Medida de Dissimilaridade

Chamada de dissimilaridade, essa m´etrica ´e capaz de identificar e quantificar as diferen¸cas topol´ogicas entre grafos. A ideia principal para medir a dissimilaridade de dois grafos ´e associar a cada estrutura um conjunto de fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao de probabi- lidade, representando todas as distˆancias de conectividade de cada n´o, e compar´a-las, por m´etricas padronizadas de informa¸c˜ao. Esse m´etodo pode ser empregado tanto em redes contendo arestas direcionadas ou n˜ao direcionadas. A medida da dissimilaridade pode ser usada para caracterizar a evolu¸c˜ao dos sistemas dinˆamicos, podendo identificar a regi˜ao do pequeno mundo no processo Watts-Strogatz (WS) e transi¸c˜oes de fase em evolu¸c˜ao da rede Erd¨os-R´enyi (ER). E ainda,em redes reais, pode avalia qu˜ao bom ´e o ajuste de

modelos de rede e pode prevˆe suas probabilidades cr´ıticas de percola¸c˜ao [58].

Calcula-se a medida de dissimilaridade entre redes (D), que captura as di- feren¸cas globais e locais de grafos, como [58] :

D(G, G0) =w1 s J (µG, µG0) log 2 + w2     p N N D(G) −pN N D(G0₎     +w3 2 s J (Pα,G, Pα,G) log 2 + s J (Pα,Gc, Pα,Gc) log 2 ! , (2.44)

onde N e M ´e do tamanho de G e G0, respectivamente, e Gc _{indica o complemento de G.} Na equa¸c˜ao a N N D ´e definida como a dispers˜ao de n´o da rede - NND (do inglˆes, network node dispersion): N N D(G) = J (P1, ..., PN) log(d + 1) , (2.45) onde J (P1, ..., PN) = X i,j pi(j) log(pi(j)/µj) e µ = (X i=j

pi(j))/N sendo a divergˆencia Jensen-Shannon e a m´edia da distribui¸c˜ao N, respectivamente.

Assim, o primeiro termo compara os padr˜oes de conectividade dos n´os, que corresponde `a distˆancia de distribui¸c˜ao de grafos. Tal que grafos que compartilham a mesma distˆancia de distribui¸c˜ao apresenta o mesmo diˆametro, comprimento de caminho m´edio e outras propriedades de conetividade. J´a o segundo termo analisa a heteroge- neidade dos n´os. Grafos apresentam o mesmo NND s˜ao grafos que tem o mesmo perfil de distˆancia de conectividade. E o terceiro termo considera a centralidade de cada n´o, contando-se a extens˜ao de conectividade direta e indireta de cada n´o.

E portanto, D(G, G0) identifica e quantifica diferentes propriedades topol´o- gicas estruturais, que afetam o fluxo de informa¸c˜ao atrav´es das redes e pode ser usado para comparar diferentes est´agios de redes reais que tenha sofrido algum tipo de altera¸c˜ao.

CAP´ITULO 3 Redes de Transporte

Como dito anteriormente, as redes de transporte entram no grupo de redes tecnol´ogicas, juntamente com redes de distribui¸c˜ao, redes de internet, redes de telefonia, redes de energia e outras. Apesar de n˜ao ser um agrupamento r´ıgido, percebe-se que h´a semelhan¸cas nesses sistemas: em todas as redes citadas h´a transporte de algo de um lugar a outro, por exemplo.

Vemos tamb´em que a classifica¸c˜ao de redes de transporte de forma mais ampla engloba redes de comunica¸c˜ao, neural, el´etrica, carga e pessoas [39]. E ainda, s˜ao consideradas redes espaciais por terem sua topologia associada `a distˆancia.

Estudos de redes de transporte de pessoas e de cargas remetem aos anos de 1960 e 1970, sobretudo realizados por ge´ografos. A pesquisa focava nos aspectos econˆo- micos e de estruturas f´ısicas de estradas e trilhos [3]. Todavia, estudos mais recentes em redes a´erea [27, 31, 59, 60, 61], terrestres [62, 63, 64, 33, 65, 66, 67, 68, 48] ou mar´ıtima [69] usam uma nova an´alise de redes onde os n´os representam localidades geogr´aficas e as arestas representam as rotas entre os locais [3].

No estudo de redes a´erea, onde os n´os representam os aeroportos e as ares- tas, a conex˜ao sem paradas, Amaral e outros [27] mostram que os resultados emp´ıricos da distribui¸c˜ao de cargas e de passageiros dos maiores aeroportos do mundo ´e uma rede de pequeno mundo, onde dois aeroportos s˜ao conectados diretamente, ou quando n˜ao conec- tados por voos diretos, s˜ao conectados por meio de voos em conex˜ao, tal que a conex˜ao ´e realizada em um aeroporto ou no m´aximo em at´e quatro aeroportos. Isso significa que a distˆancia m´axima entre dois n´os da rede de aeroportos ´e de 5 arestas.

Redes de transporte terrestre s˜ao analisadas como exemplos de redes reais para se estudar a eficiˆencia, as propriedades de redes de mundos pequenos, a distribui¸c˜ao do grau do n´o, entre outras propriedades de topologia de rede. Foram realizados estudos da eficiˆencia da rede metrovi´aria de Boston, onde cada esta¸c˜ao foi definida como n´o e cada t´unel, como aresta e introduzida a metodologia de medida de eficiˆencia global e local a partir do valor da medida de menor caminho [20, 62]. Posteriormente, foram realizados estudos das propriedades de redes de pequenos mundos na rede de trem da ´India, onde cada esta¸c˜ao era definida um n´o e a existem de uma parada por pelo menos um trem em duas esta¸c˜oes definida como aresta entre elas [63].

transporte foi realizado na Polˆonia [64], onde foram observadas que, independente do tamanho das redes de transporte p´ublico das 22 cidade polonesas, a distribui¸c˜ao do grau seguia uma lei de potˆencia ou uma fun¸c˜ao exponencial. Outras propriedades da topologia de rede tamb´em foram investigadas, tais como coeficiente de aglomera¸c˜ao, intermedia¸c˜ao e outros. Nesse caso, os autores definem dois tipos de redes, a rede espa¸co-L e a rede espa¸co- P , seguindo de forma geral a mesma constru¸c˜ao feita em [63]. Eles encontram distribui¸c˜ao do grau em lei de potˆencia para as redes espa¸co-L e exponencial para as redes espa¸co-P . Embora a defini¸c˜ao de n´o como esta¸c˜oes seja clara nos trabalhos precedentes, a defini¸c˜ao das arestas n˜ao era consensual. Sendo que a defini¸c˜ao da aresta da rede como sendo a existˆencia de pelo menos uma rota de ˆonibus, trem ou outro modal, descrito pela primeira vez naquele trabalho.

Um trabalho comparando v´arios PTNs de v´arias cidades do mundo mostrou que a distribui¸c˜ao do grau poderia ser em Lei de Potˆencia ou em Exponencial, no entanto, o modelo usado n˜ao diferencia a topologia de v´arios tipos de transporte. De modo que para algumas cidades s˜ao usados dados de transporte de ˆonibus somente, para outras, os dados de transporte de metrˆo, ˆonibus e trem, por exemplo [48].

Estudos de redes de fluxo de tr´afego e an´alises topol´ogicas de sistemas de transporte tamb´em foram bastante estudados em [33], onde Kurant e Thiran desenvolvem a an´alise usando tabela de hor´arios para gerar trˆes diferentes espa¸cos: espa¸co de transfe- rˆencias, espa¸co de paradas e espa¸co de esta¸c˜oes. O espa¸co de transferˆencias se assemelha com o espa¸co-P e o espa¸co de esta¸c˜oes, com o espa¸co-L. O modelo define para o espa¸co de transferˆencias que todo trem ´e um subgrafo e o n´umero de subgrafos ´e definido como um peso da aresta. ´E gerado uma rede em multicamadas [28], onde a estrutura f´ısica e o fluxo s˜ao camadas distintas.

Nosso trabalho se restringe ao estudo emp´ırico de redes de transporte ur- bano, que aceitamos como sendo um subgrupo de redes de transporte, inserido no contexto de redes espaciais.