Grau de Catenaridade dos Semigrupos Num´ericos Aritm´eticos

Lembremos que um semigrupo num´erico se diz aritm´etico se for gerado por uma pro- gress˜ao aritm´etica. Todos os semigrupos num´ericos a considerar nesta secc¸˜ao s˜ao aritm´eticos. Tˆem as seguintes carater´ısticas (ver Secc¸˜ao 1.3) s˜ao gerados pela pro- gress˜ao aritm´etica {a, a+d, . . . , a+kd} com a e d inteiros positivos tais que mdc(a, d) = 1 e com k inteiro n˜ao negativo tal que k  a 1.

Podemos encontrar o grau de catenaridade deste tipo de semigrupos num´ericos sem recorrer ao grau de catenaridade de todos os elementos do semigrupo num´erico, nem recorrer aos elementos de Betti do semigrupo num´erico. De facto o Teorema 2.2.1.7 d´a-nos uma f´ormula para o grau de catenaridade de um semigrupo num´erico aritm´etico, a qual s´o depende dos geradores. Esta secc¸˜ao ´e baseada em [6].

A proposic¸˜ao seguinte ser´a usada para descrever o conjunto dos tamanhos das fatorizac¸˜oes de elementos num semigrupo num´erico aritm´etico.

Proposic¸˜ao 2.2.1.1. Seja s um inteiro tal que s = ua + vd = ua + vd. Ent˜ao existe um

inteiro tal que (u, v) (u, v) = (d, a).

Demonstrac¸˜ao. Observemos que ua+vd = ua+vd implica que (u u)a = (v v)d, como o mdc(a, d) = 1 ent˜ao d | (u u). Logo, u u = d para algum 2 Z. Resulta tamb´em que d a = (v v)do que implica a = v v.

´E de notar que h´a um n´umero infinito de elementos do semigrupo num´erico que podem ser escritos como diferentes combinac¸˜oes lineares dos geradores, havendo consequen- temente mais do que uma fatorizac¸˜ao para esses elementos, ao contr´ario de elementos como os ´atomos que tˆem apenas uma fatorizac¸˜ao.

Observac¸˜ao 2.2.1.2. No caso dos semigrupos num´ericos aritm´eticos, ainda que exista

mais do que uma fatorizac¸˜ao de um certo elemento s = qa + id, existe pelo menos uma que ter´a tamanho q, como resulta da demonstrac¸˜ao da Proposic¸˜ao 1.3.0.2.

Mais, um elemento s pertencente a um semigrupo num´erico aritm´etico pode ser escrito como |z|a + id onde |z| ´e o tamanho da fatorizac¸˜ao z de s e i 2 {0, . . . , |z|q}. E da demonstrac¸˜ao da Proposic¸˜ao 2.2.1.1, ao escrevermos s = |z|a + id = ua + vd conseguimos retirar que |z| ´e m´aximo quando i < a.

O pr´oximo resultado depende destas duas proposic¸˜oes evidenciadas na observac¸˜ao anterior.

Proposic¸˜ao 2.2.1.3. Seja S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo num´erico aritm´etico.

Sejam c, r 2 N tais que 0  r < a. Ent˜ao ca + rd 2 S se e s´o se r  ck.

Demonstrac¸˜ao. Seja s = ca + rd, notemos que se r  ck, ent˜ao pela Proposic¸˜ao 1.3.0.2 temos que s 2 S.

Por outro lado, suponhamos que ca + rd = ca + rd 2 S com c 2 N e r 2 {0, . . . , ck}, de acordo com a Proposic¸˜ap 1.3.0.2. Pela Proposic¸˜ao 2.2.1.1 existe um inteiro tal que (c, r) + (d, a) = (c, r). Ora como 0  r = r ae r < a ent˜ao temos que  0. Mais, como r  ck ent˜ao r = r a _{ ck = (c + d)k, logo r  ck + (a + dk), e como  0,} temos que ck + (a + dk)  ck, portanto r  ck.

Proposic¸˜ao 2.2.1.4. Sejam S = ha, a+d, . . . , a+kdi um semigrupo num´erico aritm´etico,

s2 Ap(S) e z 2 ZS(s). Ent˜ao, |z| 

⌃_a

k

⌥ .

Demonstrac¸˜ao. Seja z uma fatorizac¸˜ao do elemento s 2 Ap(S). Como constatamos na Observac¸˜ao 2.2.1.2, temos que s = |z|a + id para algum 0  i  |z|k. Suponhamos que |z| ⌃ak

⌥

+ 1. Ent˜ao |z|k ⌃a_k⌥k + k a + k a e portanto i pode ser maior ou igual a. No entanto como j´a t´ınhamos notado na Observac¸˜ao 2.2.1.2 a maior fatorizac¸˜ao ´e obtida quando i < a, e portanto podemos encontrar q 2 N, com q |z| e c 2 {0, . . . , a 1_{} tal} que s = qa + cd. Ent˜ao, temos que s a = (q 1)a + cd. Mas como q _|z| ⌃a

k

⌥ + 1, vem que (q 1)k ⌃a_k⌥k a > c. E portanto temos que s a = (q 1)a + cd com (q 1)_{2 N e c < (q} 1)k, o que implica que s a 2 S pela Proposic¸˜ao 1.3.0.2. Mas isto

´e imposs´ıvel uma vez que est´avamos a supˆor que s 2 Ap(S). Logo, |z| ⌃a k

⌥ .

Corol´ario 2.2.1.5. Sejam S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo num´erico aritm´etico e

sum elemento de S tal que s = w+(a+jd) com w 2 Ap(S) e j 2 {1, . . . , k}. Se z 2 ZS(s)

ent˜ao |z| ⌃a k

⌥

+ d + 1.

Demonstrac¸˜ao. Seja w = qa + cd com q o maior poss´ıvel, ou seja, com 0  c < a, e con- seguimos encontrar uma express˜ao desta forma como j´a vimos pela Observac¸˜ao 2.2.1.2. Ent˜ao s = (qa + cd) + (a + jd) = (q + 1)a + (c + j)d. Ora, pela Proposic¸˜ao 2.2.1.4 temos que q ⌃a

k

⌥

2.2. GRAU DE CATENARIDADE 31 i. Se c + j < a ent˜ao q + 1 ´e o maior tamanho de uma fatorizac¸˜ao de s. Portanto

|z|  q + 1 ⌃a k ⌥ + 1_⌃a k ⌥ + d + 1.

ii. Se c + j a, como 0 < j  k < a e 0  c < a, ent˜ao c + j a < a. E portanto s = (q + 1)a + (c + j)d = (q + 1 + d)a + (c + j a)d, e q + 1 + d ´e o maior tamanho de uma fatorizac¸˜ao de n. Logo, |z|  q + 1 + d ⌃a

k

⌥

+ d + 1.

A seguinte proposic¸˜ao vai ser importante para chegarmos a uma express˜ao simples que nos d´a o grau de catenaridade de um semigrupo num´erico aritm´etico.

Proposic¸˜ao 2.2.1.6. Seja S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo num´erico aritm´etico.

Temos que min c2 N \ {0} | ca 2 ha + d, . . . , a + kdi =la k m + d. Demonstrac¸˜ao. Sejam s = ⌃a k ⌥ + d ae b = min c 2 N \ {0} | ca 2 ha + d, . . . , a + kdi . Dado i 2 {1, . . . , k}, como s (a + a + id) =⇣ la k m + d⌘a 2a id =⇣ la k m 2⌘a + (a i)d, pela Proposic¸˜ao 2.2.1.3 temos que s (a + a + id) 2 S se e s´o se 0  a i  ⌃a

k ⌥ 2 k. Mas como⇣ ⌃a k ⌥ 2⌘k + i _⇣ ⌃a k ⌥ 2⌘k + k =⇣ ⌃a k ⌥ 1⌘k < a, ent˜ao s (a + a + id) 62 S. Pela definic¸˜ao de b, existem b2, . . . , bk+1 2 N tais que ba = b2(a + d) +· · · + bk+1(a + kd).

E como b 6= 0, existe i 2 {1, . . . , k} tal que bi+1 6= 0. Comecemos por assumir que

b <⌃a_k⌥+d. Ent˜ao s =⇣ ⌃a_k⌥+d⌘a ba+ba =⇣ ⌃a_k⌥+d b⌘a+b2(a+d)+· · ·+bk+1(a+kd),

e como ⌃a k ⌥ + d b > 1, j´a que b < ⌃a k ⌥

+ d, podemos retirar um a a s que continuamos em S, assim como podemos retirar a + id. Mas isto implica que s (a + a + id) 2 S, o que ´e imposs´ıvel como j´a tinhamos visto. Logo, b ⌃a

k

⌥ + d. Por fim resta-nos observar que se k dividir o a ent˜ao s = a

k(a + kd) e caso k n˜ao divida

a ent˜ao s = ⌅a k

⇧

(a + kd) + (a + (amod k)d), o que significa que s 2 S. E portanto b⌃a

k

⌥ + d.

Finalmente usando resultados anteriores, e como ´e feito em [6], conseguimos chegar ao seguinte teorema.

Teorema 2.2.1.7. Seja S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo num´erico aritm´etico.

Ent˜ao

c(S) =la k m

Demonstrac¸˜ao. Da Proposic¸˜ao 2.2.1.6, da Proposic¸˜ao 2.2.0.5, do Corol´ario 2.2.1.5 e do Corol´ario 2.2.0.10, temos que

la k m + d_{ c(S) }la k m + d + 1. Resta ver que c(S) 6=⌃a

k

⌥

+ d + 1. Suponhamos ent˜ao que c(S) = ⌃a

k

⌥

+ d + 1. Vamos assumir que n = w + (a + jd), com w_{2 Ap(S, a) e j 2 {0, . . . , k}, e n =}⇣ ⌃a_k⌥+ d + 1⌘a + cdpara algum c 2 {0, . . . , a 1}, j´a que um elemento de S se pode escrever desta forma.

Se c j, ent˜ao w a = n (a + jd) a =⇣ la k m + d + 1⌘a + cd (a + jd) a =⇣ la k m + d 1⌘a + (c j)d, com 0  c j  a 1 ⌃a k ⌥ k + k(d 1) =⇣ ⌃a k ⌥

+ d 1⌘k, o que significa que w a 2 S, contradizendo o facto de w 2 Ap(S, a). Portanto c < j.

Observemos que n = (a + cd) +⇣ la k m + d⌘a = (a + cd) + 8 > < > : a k(a + kd) se k | a, ⌅_a k ⇧

(a + kd) + (a + (amod k)d) caso contr´ario.

Portanto h´a duas fatorizac¸˜oes do elemento n em que a c-´esima componente ´e diferente de zero:

i. temos a fatorizac¸˜ao z = (da

ke + d, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), em que as suas ´unicas compo-

nentes diferentes de zero s˜ao a primeira e a c-´esima;

ii. e temos a fatorizac¸˜ao z que poder´a ter a c-´esima e a k-´esima componente diferen- tes de zero caso k | a, ou poder´a ter a c-´esima, a k-´esima e a (a mod k)-´esima componentes diferentes de zero caso k n˜ao divida a.

O tamanho de z ´e 1 +⌃a k

⌥

<⌃a_k⌥+ d + 1. Isto prova que para cada fatorizac¸˜ao de n com tamanho⌃a

k

⌥

2.3. ELEMENTOS DE BETTI 33