Tópicos de Semigrupos Numéricos

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Tópicos de

Semigrupos

Numéricos

Marta Alexandra Ramos da Silva

Dissertação de Mestrado apresentada à

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Matemática

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Tópicos de Semigrupos

Numéricos

Marta Alexandra Ramos da Silva

Mestrado em Matemática

Departamento de Matemática 2016

Orientador

Manuel Augusto Fernandes Delgado, Professor Auxiliar, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

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Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas. O Presidente do Júri,

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Agradecimentos

Em primeiro lugar quero agradecer ao Professor Doutor Manuel Delgado. Muito obrigada pela forma como me introduziu e me cativou ao estudo destas estruturas tão simples e fascinantes. Obrigada pelos conhecimentos partilhados, por arranjar sempre disponibili-dade mesmo estando cheio de trabalho, e por tantos conselhos que foram, sem dúvida, fundamentais para realizar esta dissertação. No fundo, obrigada por ser um orientador, no verdadeiro sentido da palavra.

Quero também agradecer a todos os professores que se cruzaram comigo nas mais diversas etapas do meu percurso, e que, de alguma forma, me foram incutindo o gosto pela matemática e me influenciaram na concretização desta etapa.

Agradeço ainda aos meus amigos por todo apoio, carinho e amizade. Obrigada por serem sempre compreens´ıveis e por me darem o maior dos incentivos na realização deste projeto.

Finalmente quero agradecer aos meus pais e à minha irmã. Obrigada por acreditarem sempre em mim e me apoiarem incondicionalmente. Obrigada por me darem todas as possibilidades para concluir esta etapa. Acima de tudo, obrigada por todo o carinho, toda a paciência e por estarem sempre presentes.

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Resumo

Os semigrupos numéricos são submonóides do monóide dos inteiros não negativos com a adição. Trata-se de estruturas simples que, no entanto, apresentam problemas desafiantes.

O estudo de propriedades e a resolução de problemas nestas estruturas ajuda no trata-mento de questões análogas em estruturas mais complexas, nomeadamente por meio dos exemplos que fornecem.

Os semigrupos numéricos são dom´ınios em que a fatorização não é única. Tópicos relativos a problemas de fatorização merecem destaque nesta dissertação. Destacamos o estudo do grau de catenaridade e do grau de mansidão, ambos definidos à custa de uma noção de distância entre fatorizações.

Um semigrupo numérico pode ser munido de uma ordem parcial, que estende a ordem usual dos inteiros não negativos. A função aritmética de Möbius para inteiros pode ser generalizada a conjuntos parcialmente ordenados. A consideração da Função de Möbius associada a conjuntos parcialmente ordenados obtidos de semigrupos numéricos, dada a ordem parcial mencionada, é outro dos tópicos abordados nesta dissertação.

Nestes dois tópicos mencionados é dado particular destaque ao caso dos semigrupos numéricos aritméticos, os quais são gerados por progressões aritméticas.

Os semigrupos numéricos podem ser identificados pelos inteiros positivos que não lhe pertencem, designados por falhas. O último tópico abordado prende-se com o problema de contagem de semigrupos numéricos com o mesmo número de falhas.

Palavras-chave: semigrupo numérico, fatorização, grau de catenaridade, grau de

man-sidão, função de Möbius, semigrupo numérico aritmético, falhas, contagem de semigru-pos numéricos.

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Abstract

Numerical semigroups are submonoids of the nonnegative integers monoid, under the addition. Despite being really simple structures, they present challenging problems. The study of some properties and the solution of problems in this structures helps, in many cases, in the study of more complex structures, namely by the examples given by them.

Numerical semigroups are domains in which factorization is not unique. Topics in fac-torization problems are worth mentioning in this dissertation. We highlight the study of the catenary degree and the tame degree, both defined by means of distances between factorizations.

A numerical semigroup can be equipped with a partial order, that extends the usual order of the nonnegative integers. The M¨obius arithmetic function can be generalized to partially ordered sets. The consideration of the M¨obius function associated to partially ordered sets obtained from numerical semigroups through the mentioned order is another topic in this thesis.

In the above mentioned topics special attention is given to the case of arithmetic numeri-cal semigroups, which are generated by arithmetic progressions.

Numerical semigroups can be identified through positive integers that do not belong to them, which are called gaps. The last topic discussed in this dissertation concerns with the problem of counting numerical semigroups with the same number of gaps.

Keywords: numerical semigroup, factorization, catenary degree, tame degree, M¨obius

function, arithmetic numerical semigroup, gaps, counting numerical semigroups.

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Conte ´udo

Lista de Tabelas ix

Lista de Figuras xi

Introduc¸˜ao 1

1 Conceitos e Resultados B´asicos 3

1.1 Definições e resultados genéricos . . . 3

1.2 Semigrupos Num´ericos Sim´etricos . . . 8

1.3 Semigrupos Num´ericos Aritm´eticos . . . 9

2 Fatorizaç ões 13 2.1 Motivação . . . 13

2.2 Grau de Catenaridade . . . 23

2.2.1 Grau de Catenaridade dos Semigrupos Num´ericos Aritm´eticos . . . 29

2.3 Elementos de Betti . . . 33

2.4 Grau de Mansid˜ao . . . 36

2.4.1 Grau de Mansidão dos Semigrupos Numéricos Aritméticos . . . 45

2.5 Conjuntos Delta . . . 46

3 Fatorizaç ões em Dimensão de Imersão Três 47 3.1 Caraterização dos Elementos de Betti . . . 47

3.2 Grau de Catenaridade . . . 49

3.2.1 Algumas Ferramentas de Teoria de Grafos . . . 49

3.2.1.1 L-formas . . . 50 7

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3.3.1.1 Caso em que #Betti(S) = 1 . . . 55 3.3.1.2 Caso em que #Betti(S) = 2 . . . 55

4 Função de M öbius associada a Semigrupos Numéricos 57

4.1 Conceitos Introdutórios e Exemplos . . . 57 4.2 Semigrupos Numéricos Aritméticos . . . 63

5 Contagem de Semigrupos Num´ericos 71

5.1 Árvore dos Semigrupos Numéricos . . . 71 5.2 Resultados e Conjeturas . . . 74 5.3 Semigrupos Numéricos com 2g < 3m . . . 74

´Indice 81

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Lista de Tabelas

2.1 Distâncias entre as fatorizações de 60 em h5, 8, 12i. . . 20 2.2 R-classes dos elementos de Betti . . . 27 2.3 Máximos das distância das fatorizações a a Zi

S('(a)). . . 43

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Lista de Figuras

2.1 Grafo rS(60). . . 16

2.2 Grafo rS(20). . . 17

2.3 Grafo completo das fatorizações de 60 com as suas distâncias. . . 21

2.4 Procedimento de eliminação de arestas para obter um caminho Hamilto-niano de distâncias m´ınimas. . . 22

2.5 Fatorizações de 60, em S, unidas pelas menores distâncias. . . 23

3.1 Exemplo de uma L-forma H = L(l, h, w, y). . . 51

3.2 L-forma associada ao semigrupo num´erico S = h5, 8, 12i. . . 52

4.1 Reticulado do segmento [2, 36](N,|). . . 59

4.2 Reticulados do segmento [2, 36](N,|), com as cadeias de tamanho dois evidenciadas. . . 59

4.3 Reticulados do segmento [2, 36](N,|), com as cadeias de tamanho trˆes evi-denciadas. . . 60

4.4 Reticulado do segmento [0, 17](S,S). . . 61

4.5 Reticulados do segmento [0, 17](S,S), com as cadeias de tamanho trˆes evidenciadas. . . 62

5.1 Parte da ´arvore dos semigrupos num´ericos. . . 73

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Introduc¸˜ao

Um semigrupo numérico é um submonóide, com complemento finito, do monóide dos inteiros não negativos com a adição. Ao longo desta dissertação vão ser estudadas várias propriedades dos semigrupos numéricos.

No primeiro cap´ıtulo, designado por Conceitos Básicos, são expostas, como o nome indica, várias definições e resultados básicos e fundamentais aos restantes cap´ıtulos. É nesse cap´ıtulo que é introduzido o tema e onde são vistos alguns resultados num contexto geral.

O segundo cap´ıtulo, intitulado Fatorizações, é o cap´ıtulo principal da dissertação, o cap´ıtulo que foi mais desenvolvido e no qual são estudadas propriedades importantes das fatorizações nos semigrupos numéricos. Destaca-se neste cap´ıtulo o estudo do grau de catenaridade e do grau de mansidão, ambos definidos à custa de uma noção de distância entre fatorizações.

No terceiro cap´ıtulo, chamado Fatorizações em Dimensão de Imersão Três, são vistos resultados relativos a semigrupos numéricos gerados minimalmente por três elementos. É ainda feito um apanhado de comparações entre o grau de catenaridade e grau de mansidão para os semigrupos numéricos com três geradores minimais.

No quarto cap´ıtulo, designado Função de Möbius associada a Semigrupos Numéricos, vamos estudar a função de Möbius associada a conjuntos parcialmente ordenados ob-tidos de semigrupos numéricos, depois de definida uma certa ordem. E em especial vamos neste cap´ıtulo ver uma definição recursiva da função de Möbius para o caso dos semigrupos numéricos aritméticos.

No quinto cap´ıtulo, que se designa por Contagem de Semigrupos Numéricos, são vistas algumas conjeturas e resultados relacionados com o número de semigrupos numéricos

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que tˆem igual cardinalidade do complementar no conjunto dos n´umeros naturais.

Ao longo de toda a dissertação são usados vários exemplos para ilustrar os tópicos, al-guns dos quais vão ser feitos usando o pacote numericalsgps do sistema computacional GAP, aos quais chamaremos Exemplos GAP.

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Cap´ıtulo 1

Conceitos e Resultados B´asicos

Neste cap´ıtulo, que está dividido em três secções, começamos com uma secção de generalidades, onde se encontram sobretudo conceitos e exemplos que nos permitem uma introdução ao tema. Dedicamos depois a segunda e terceira secções a certas fam´ılias espec´ıficas de semigrupos numéricos que merecerão destaque nos tópicos abordados mais tarde.

1.1 Definiç ões e resultados genéricos

Um semigrupo numérico é um subconjunto dos números naturais que contém o zero, é fechado para a adição e cujo complementar no conjunto dos números naturais é finito. Ao longo desta dissertação vamos em geral usar a letra S para denotar um semigrupo numérico. Assim, exceto quando houver perigo de confusão ou nos parecer conveniente reforçar, S será usado com o significado de semigrupo numérico.

Definição 1.1.0.1. O menor elemento do semigrupo numérico, diferente de 0, é chamado

de multiplicidade.

Ao conjunto dos elementos do semigrupo numérico S com exceção do elemento 0 denotaremos por S⇤_.

Vejamos a seguinte proposição que junta resultados bem conhecidos de semigrupos numéricos que podemos, por exemplo, encontrar em [18].

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Proposição 1.1.0.2. Todo o semigrupo numérico admite um único sistema de geradores

minimal, que ´e finito.

Demonstração. Seja S um semigrupo numérico. Observemos que S⇤_{+ S}⇤ _{é o conjunto}

dos elementos em S que s˜ao soma de dois elementos, diferentes de zero, em S.

Vamos comec¸ar por ver que S = S⇤ _{\ (S}⇤_{+ S}⇤₎ _{´e um sistema de geradores de S. Seja}

s_{2 S}⇤_{, se s 62 S ent˜ao existem a, b 2 S}⇤_{, menores do que s, tais que s = a+b. Novamente,}

se algum destes ´ultimos elementos, eventualmente os dois, n˜ao pertencer a S, podemos escreve-lo como soma de dois elementos em S⇤ _{menores do que ele. Ou seja, supondo}

que a 62 S ent˜ao existem c, d, em S⇤_{, menores do que a tais que s = c+d+b. De novo, se}

algum dos elementos b, c, d n˜ao pertencer a S⇤_\(S⇤_+S⇤₎_{conseguimos tamb´em}

escreve-lo `a custa de dois elementos menores pertencentes a S⇤_{, fazendo assim um descida no}

conjunto dos números naturais. É claro que, como estamos no conjunto dos inteiros não negativos, esta descida é finita e portanto conseguimos encontrar s1, . . . , sn2 S tais que

s = s1+· · · + sn. Logo, S ´e um sistema de geradores.

Seja m a multiplicidade de S. É claro que m 2 S e é o menor elemento em S. Vejamos que S não pode ter mais do que m elementos. Suponhamos que existem a, b 2 S tais que a < b e b é congruente com a módulo m, portanto b = km + a para algum k 2 N. Então podemos excluir b de S e portanto existe em S no máximo um elemento por cada classe de congruência módulo m.

Seja agora M = {m1, . . . , mn} um sistema de geradores para S, vejamos que S est´a

contido neste sistema de geradores. Seja s 2 S, ent˜ao existem 1, . . . , n inteiros n˜ao

negativos, n˜ao todos nulos, tais que s = m1 1 +· · · + mn n. Mas como s 62 (S⇤ + S⇤),

temos que s = mi, para algum i 2 {1, . . . , n}. E portanto qualquer elemento que est´a

em S pertence também ao conjunto de geradores M. Logo, S está contido em qualquer sistema de geradores de S, ou seja, S ✓ M, em particular no caso em que M é um sistema minimal de geradores tem-se a igualdade.

Definição 1.1.0.3. A cardinalidade do único conjunto minimal de geradores do

semi-grupo numérico designa-se por dimensão de imersão.

Usamos a notação S = hs1, . . . , spi para indicar que o semigrupo numérico S é gerado

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1.1. DEFINIÇ ÕES E RESULTADOS GEN ÉRICOS 5 o conjunto minimal de geradores. Os seus elementos, s1, . . . , sp, serão designados por

geradores minimais.

Observemos que S = hs1, . . . , spi = {x1s1+· · · + xpsp | x1, . . . , xp 2 N} ´e o conjunto das

combinações lineares com coeficientes inteiros não negativos que podemos formar com os geradores.

Definição 1.1.0.4. Um elemento dum semigrupo numérico diz-se um átomo se não

poder ser escrito como soma de outros elementos do semigrupo num´erico, diferentes de zero.

Os únicos átomos de um semigrupo numérico são os seus geradores minimais.

Se tivermos um subconjunto A de N em que o máximo divisor comum, d, dos elementos de A é diferente de um, então A não gera um semigrupo numérico, pois todas as combinações lineares dos elementos de A são múltiplas de d, pelo que, sendo d diferente de um, o conjunto das combinações lineares não tem complementar finito. De facto o rec´ıproco também é válido [18, Lema 2.1].

E portanto num semigrupo numérico além de termos um número finito de geradores, temos ainda que o máximo divisor comum dos geradores é igual a um.

Alguns conceitos que normalmente surgem quando se fala em semigrupos numéricos são o número de Frobenius e os conjuntos de Apéry, que definimos a seguir.

Definição 1.1.0.5. O número de Frobenius de um semigrupo numérico S, que vamos

denotar por F (S), é o maior inteiro que não pertence ao semigrupo numérico.

Consideremos por exemplo N, que é o conjunto dos números naturais não negativos, este conjunto é um semigrupo numérico e o seu número de Frobenius é 1. Exemplos mais interessantes vão aparecer ao longo da dissertação.

Definição 1.1.0.6. O conjunto de Apéry de S relativamente a m 2 S⇤ _{— Ap(S, m) — é o}

conjunto dos elementos que estão em S e aos quais não podemos retirar m sem sair de S , ou seja, Ap(S, m) = {x 2 S | x m /2 S}. No caso em que m é a multiplicidade de S vamos referir-nos a este conjunto como o conjunto de Apéry do semigrupo numérico e denotá-lo por Ap(S).

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Exemplo 1.1.0.7. Seja S = {0, 4, 7, 8, 9, 11, !}. A seta ´e usada para indicar que todos

os números naturais superiores ao inteiro que a antecede estão no conjunto, neste caso todos os naturais superiores a 11 estão em S. É imediato verificar que S é um semigrupo numérico. Vejamos que 4, 7 e 9 são os átomos do semigrupo numérico.

Olhando para o conjunto S dado vemos que o 4 é o mais pequeno elemento diferente de zero contido no conjunto e portanto terá de ser um dos geradores do semigrupo numérico, dado não haver nada mais pequeno do que 4 que nos permita obtê-lo. E com o 4 conseguimos obter imediatamente todos os múltiplos dele, mas como 7 – que é o número que vem a seguir em S – não é múltiplo de 4 então também 7 é um átomo. Fazendo agora as combinações lineares de 4 e 7, conseguimos obter 0, 4, 7, 8 – duas vezes o 4 –, 11 – soma de 4 com 7 –, 12 – três vezes o 4 –, e números superiores a 12. Portanto, 9 não é combinação linear de 4 e 7 e consequentemente é um átomo do semigrupo numérico. Usando agora 4, 7 e 9 e fazendo as combinações lineares destes elementos temos 0, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13 – soma de 4 e 9 –, 14 – duas vezes o 7 –. Podemos dizer sem mais cálculos que temos todos os inteiros superiores a 14, uma vez que temos quatro inteiros seguidos e como o mais pequeno gerador é 4 podemos adicionar 4 a cada um destes elementos, e sucessivamente ao resultado das somas, obtendo assim todos os inteiros superiores a 14. E portanto 4, 7 e 9 geram o semigrupo numérico S.

A multiplicidade de S, ou seja, o mais pequeno elemento diferente de zero do semigrupo numérico S é 4 e o número de Frobenius, isto é, o maior elemento que não pertence ao semigrupo numérico é 10.

Vejamos agora qual o conjunto de Apéry de S com respeito a 7. Pela definição, temos que Ap(S, 7) = {x 2 S | x 7 62 S}, é claro que o 0 pertence a qualquer conjunto de Apéry uma vez que 0 x, com x inteiro positivo, é sempre negativo e portanto nunca pertence ao semigrupo numérico. Ao procurar os elementos do conjunto de Apéry de S com respeito a 7 o que estamos a fazer é procurar os elementos que pertencem ao semigrupo numérico mas que se lhe subtrairmos 7 obtemos elementos que já não pertencem ao semigrupo numérico. É isso que faremos a seguir.

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1.1. DEFINIÇ ÕES E RESULTADOS GEN ÉRICOS 7

{0 7, 4 7, 8 7, 9 7, 12 7, 13 7, 17 7_{} = { 7, 3, 1, 2, 5, 6, 10} ✓ Z \ S,} {7 7, 11 7, 14 7, 15 7, 16 7, 18 7_{} = {0, 4, 7, 8, 9, 11} ⇢ S.}

Observemos que não precisamos de fazer mais cálculos, uma vez que a qualquer ele-mento maior que 18 se retirarmos 7 continuamos em S, porque todos os números na-turais superiores o 11 estão em S. Portanto já encontramos todos os elementos do conjunto de Apéry de S com respeito a 7, temos então que

Ap(S, 7) ={0, 4, 8, 9, 12, 13, 17}.

Da mesma forma podemos encontrar o conjunto de Ap´ery de S com respeito a 11. {0 11, 4 11, 7 11, 8 11, 9 11, 12 11, 13 11, 14 11, 16 11, 17 11, 21 11} =

{ 11, 7, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 5, 6, 10} ✓ Z \ S, {11 11, 15 11, 18 11, 19 11, 20 11_{} = {0, 4, 7, 8, 9} ⇢ S.}

Novamente não precisamos de mais cálculos, basta observar que, como o maior ele-mento que não pertence a S é 10, se a diferença entre um eleele-mento de S e 11 é superior a 10, então essa diferença está no semigrupo numérico e portanto o elemento não pertence ao Ap(S, 11). Logo nenhum elemento superior a 21 pertence ao conjunto de Apéry de S com respeito a 11.

Temos ent˜ao que

Ap(S, 11) =_{{0, 4, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 21}.}

Deste exemplo podemos verificar que a cardinalidade de Ap(S, 7) é 7 e de Ap(S, 11) é 11, mais podemos também constatar que no conjunto de Apéry de S com respeito a 7, assim como no conjunto Ap(S, 11), estão representadas todas as classes de congruência módulo 7, respetivamente módulo 11, pelo seu mais pequeno representante contido em S.

O conjunto de Ap´ery de S com respeito a s pode ser escrito como{!(0), !(1), . . . , !(s 1)},

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E portanto, como seria de esperar pelo exemplo visto antes, temos que a cardinalidade de Ap(S, s) ´e s.

Podemos assim observar que os conjuntos de Apéry permitem facilmente determinar quais os elementos que não pertencem ao semigrupo numérico, elementos esses que são chamados de falhas do semigrupo numérico, e portanto dão-nos uma poss´ıvel ma-neira de determinar o semigrupo numérico. Observemos que, em particular, o máximo do conjunto de Apéry de um semigrupo numérico relativamente a um elemento menos esse elemento dá o número de Frobenius do semigrupo numérico em questão.

Exemplo 1.1.0.8. Vamos considerar Ap(S, 7) = {0, 4, 8, 9, 12, 13, 17} (um dos conjuntos

de Apéry obtidos no exemplo anterior) e supôr que não conhecemos S.

A partir do conjunto de Apéry dado sabemos que para qualquer x em Ap(S, 7) se tem x 762 S, e como também sabemos que os elementos de S são não negativos, temos que 1, 2, 5, 6 e 10 não pertencem a S, uma vez que 8 7 = 1, 9 7 = 2, 12 7 = 5, 13 7 = 6 e 17 7 = 10.

Mais, sabemos também que se x se encontra em Ap(S, 7) então significa que x é o menor inteiro em S, com um certo resto, módulo 7. Portanto, como 17 pertence a Ap(S, 7), e 17 é congruente com 3 módulo 7, então nem 3 nem 10 pertencem a S. Da mesma forma 1, 2, 5 e 6 também não pertencem a S.

Logo, temos que o conjunto das falhas de S ´e {1, 2, 3, 5, 6, 10} e portanto podemos concluir que S = {0, 4, 7, 8, 9, 11 !}.

1.2 Semigrupos Num´ericos Sim´etricos

Os semigrupos numéricos simétricos têm um papel de destaque nesta dissertação e portanto reservamos esta secção para os descrever.

Definição 1.2.0.1. Seja S um semigrupo numérico. S diz-se simétrico se e só se para

todo o elemento x 2 N \ S, se tem que F (S) x 2 S.

Resulta da definição que para vermos se um semigrupo é simétrico nos basta confirmar se até ao número de Frobenius (inclusive) temos tantos elementos em S como fora de S.

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1.3. SEMIGRUPOS NUM ´ERICOS ARITM ´ETICOS 9

Exemplo 1.2.0.2. O semigrupo numérico S = h4, 7, 9i, usado anteriormente, não é

simétrico. Como já foi observado F (S) = 10, portanto para vermos se S é simétrico basta verificar se para todo x 2 N \ S, 10 x 2 S, e como 10 5 = 5 /2 S podemos concluir que S não é simétrico.

Ora semigrupos numéricos de dimensão de imersão um só temos um, o S = N, que até ao seu número de Frobenius tem tantos inteiros não negativos em S como fora de S, e portanto é simétrico.

É sabido que todos os semigrupos numéricos de dimensão de imersão dois também são simétricos [18, Corolário 4.7], mas quando falamos em semigrupos numéricos com dimensões de imersão superiores a dois já não estamos a considerar necessariamente semigrupos numéricos simétricos.

O seguinte teorema dá-nos uma caracterização dos semigrupos numéricos simétricos no caso em que a dimensão de imersão é três, e a sua demonstração pode ser encontrada em [18, Teorema 10.6].

Teorema 1.2.0.3. Sejam p1, p2 2 N \ {0} primos entre si. Sejam s1, s2, s3 inteiros n˜ao

negativos com s1 2, s2+ s3 2e mdc(s1, s2p1+ s3p2) = 1. Ent˜ao S = hs1p1, s1p2, s2p1 +

s3p2i é um semigrupo numérico simétrico com dimensão de imersão três. Mais, todo o

semigrupo numérico simétrico de dimensão de imersão três é desta forma.

1.3 Semigrupos Num´ericos Aritm´eticos

Outra fam´ılia de semigrupos numéricos que merece destaque nesta dissertação é a fam´ılia dos semigrupos numéricos aritméticos. Nesta secção pretendemos descrevê-los e ver alguns resultados que vão ser úteis no decorrer da dissertação.

Definição 1.3.0.1. Um semigrupo numérico S diz-se aritmético se for minimalmente

gerado por uma progressão aritmética, isto é, S = ha, a + d, . . . , a + kdi para alguns a e d inteiros positivos tais que mdc(a, d) = 1 e algum k inteiro não negativo tal que k  a 1. Notemos que sempre que falamos em semigrupos numéricos aritméticos estamos a

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considerar um semigrupo numérico em que se verificam todas as condições da definição anterior.

Proposição 1.3.0.2. [6] Seja S = ha, a+d, . . . , a+kdi um semigrupo numérico aritmético.

Seja s um inteiro não negativo, então s 2 S se e só se s = qa + id para alguns q 2 N e i_{2 {0, . . . , qk}.}

Demonstração. Suponhamos que s 2 S, então existem a0, a1, . . . , ak inteiros não

negati-vos, tais que

s = a0a + a1(a + d) +· · · + ak(a + kd) = k X j=0 aj(a + jd) = k X j=0 aja + k X j=0 ajjd. E portanto se tomarmos q = Pk j=0aj e i = Pk j=0ajj  Pk j=0ajk temos s na forma pretendida.

Suponhamos agora que s = qa + id com q 2 N e i 2 {0, 1, . . . , qk}. Ora, se i = qk então s = qa + qkd = q(a + kd)e portanto pertence a S. Vejamos agora se i 2 {0, . . . , qk 1}, podemos então supôr que i = uk + r para alguns u 2 {0, . . . , q 1} e r 2 {0, . . . , k 1}, e portanto temos

s = qa + (uk + r)d = qa + ukd + rd

= qa ua a + ua + ukd + a + rd

= (q u 1)a + u(a + kd) + (a + rd)_{2 S.}

Portanto pela proposição anterior temos que um elemento qa + id pertence a S se e só se i  kq.

Neste caso espec´ıfico de semigrupos numéricos aritméticos, conseguimos descrever o conjunto de Apéry do semigrupo numérico com respeito à multiplicidade, da forma dada pela seguinte proposição.

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1.3. SEMIGRUPOS NUM ´ERICOS ARITM ´ETICOS 11

Proposição 1.3.0.3. Seja S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo numérico aritmético.

O conjunto de Ap´ery de S com respeito a a ´e Ap(S, a) = ( ⇠ i k ⇡ a + id_{| i 2 {0, 1, . . . , a} 1_} ) .

Demonstrac¸˜ao. Comecemos por observar que a cardinalidade do conjuntondi

kea + id |

i_{2 {0, 1, . . . , a} 1_}o ´e a.

Para vermos que qualquer elemento no conjunton ⌃i k

⌥

a + id _{| i 2 {0, 1, . . . , a} 1_}oest´a em S basta observar que i  kdi

ke, o que pela Proposição 1.3.0.2 garante que está em

S.

Vejamos agora, para concluir a demonstrac¸˜ao, que se a um elemento contido emn ⌃i k

⌥ a+ id_{| i 2 {0, 1, . . . , a} 1_}oretiramos a, este elemento já não está em S. Vejamos isto nos seguintes casos.

i Se i = sk para s 2 N, temos dsk

kea + skd a = sa + skd a = (s 1)a + skd 62 S, uma

vez que sk 6 (s 1)k.

ii Se i = qk + r onde q 2 N e 0 < r < k temos

dqk+rk ea + (qk + r)d a = qa + a + (qk + r)d a = aq + (qk + r)d 62 S, uma vez que

qk + r_{6 qk.}

Exemplo 1.3.0.4. Consideremos o semigrupo num´erico aritm´eticos S = h5, 5+3, 5+2⇥3i.

Vejamos qual é o conjunto de Apéry de S. Usando a proposição anterior temos que Ap(S) = Ap(S, 5) =nl i

2 m

5 + i_{⇥ 3 | i 2 {0, 1, 2, 3, 4}}o=_{{0, 8, 11, 19, 22}.}

Observemos que se raciocin´assemos como no Exemplo 1.1.0.7 ter´ıamos bastante mais trabalho.

(30)

(31)

Cap´ıtulo 2

Fatorizac¸ ˜oes

O segundo cap´ıtulo encontra-se dividido em cinco secções e é o mais importante da tese. A primeira secção, contendo definições e exemplos, serve de motivação às restan-tes. É nela que apresentamos o conceito de distância entre fatorizações. Esse conceito é usado para definir grau de catenaridade e grau de mansidão, tópicos essenciais abor-dados nas secções seguintes.

2.1 Motivac¸˜ao

Como dito anteriormente, pretendemos nesta secção dar fundamentos para o restante cap´ıtulo. Comecemos por ver então o que são as fatorizações.

Definição 2.1.0.1. Seja S um semigrupo numérico minimalmente gerado por {s1, . . . , sp}.

Uma fatorização de um elemento s, pertencente ao semigrupo numérico S, é um p-uplo x = (x1, . . . , xp)2 Np tal que x1s1 +· · · + xpsp = s.

Dada a definição torna-se claro que as fatorizações interessantes são as dos semi-grupos numéricos de dimensão de imersão superior a um. E portanto, a partir daqui sempre que falamos em fatorizações estamos a pensar em fatorizações de elementos em semigrupos numéricos com dimensão de imersão superior a um.

Vamos considerar a func¸˜ao

' :Np _{! S, '(a}

1, . . . , ap) = a1s1+· · · + apsp.

(32)

Trata-se de um homomorfismo sobrejetivo de monóides e designa-se por morfismo de fatorizações de S. A relação = {(a, b) 2 Np_{⇥ N}p _{| '(a) = '(b)}, designada por núcleo}

de ', é uma congruência. Ao sistema de geradores para chamamos de apresentação de S. Pelo Teorema do Homomorfismo para semigrupos, S é isomorfo a Np_/ _.

O conjunto ' 1_{(s), em que s pertence ao semigrupo num´erico S, ´e o conjunto das}

fatorizações do elemento s. Independentemente do s, como este pertence ao semigrupo numérico, o conjunto ' 1_(s) _{nunca é vazio, já que existe pelo menos uma maneira de}

escrever s como combinação linear dos geradores do semigrupo numérico.

Vamos definir o conjunto I ( ) como o conjunto dos elementos não triviais minimais de , com respeito à ordem componente a componente em Np _{⇥ N}p_{. Esta é uma ordem}

parcial, que ser´a representada por  e designada por ordem parcial usual.

Ora dadas duas fatorizac¸˜oes x = (x1, x2, . . . , xp) e y = (y1, y2, . . . , yp), de um certo

elemento de S = hs1, . . . , spi, temos '(x) = '(y) e podemos escrever

x1s1+· · · + xpsp y1s1 · · · ypsp = 0.

Ou seja, (x1, . . . , xp), (y1, . . . , yp) é solução da equação anterior, e se tivermos tal solução

com x e y minimais então a solução será também minimal. É ainda importante observar que se (x, y) é solução da equação então também (y, x) é solução da mesma.

Tomemos o elemento 0 pertencente a S = hs1, . . . , spi, um semigrupo num´erico

qual-quer, é claro que ' 1_{(0) =} _{{(0, . . . , 0)}, ou seja, a única fatorização deste elemento}

é (0, . . . , 0) 2 Np_{. Daqui em diante não vamos dar importância ao elemento 0 dado}

ter apenas esta fatorização trivial. Exemplos de outros elementos que têm apenas uma fatorização mas que são fundamentais no estudo do semigrupo numérico são os átomos, e portanto estes não vão ser desprezados.

Consideremos os conjuntos

ZS(s) = ' 1(s) ={(y1, . . . , yp)| y1s1 +· · · + ypsp = s}

e

Z_Si(s) =_{{y 2 Z}S(s)| i 2 supp(y)},

onde supp(y) = {i 2 {1, . . . , p} | yi 6= 0} ´e o suporte — em inglˆes support — da

(33)

2.1. MOTIVAÇ ÃO 15 semigrupo numérico S e Zi

S(s)o conjunto das fatorizações de s no semigrupo numérico

S cuja i-´esima componente ´e diferente de zero.

Sejam x e y duas fatorizações de um elemento s num semigrupo numérico S minimal-mente gerado por p elementos, o que implica que cada uma das fatorizações conside-radas é um p-uplo. Denotamos por x · y o produto componente a componente, isto é, o produto interno. Note-se que x · y 6= 0 exatamente quando uma dessas p componentes

´e diferente de zero tanto em x como em y, ou seja, quando x e y pertencem a Zi S(s),

para algum i 2 {0, . . . , p}. Mais, dizer que x · y 6= 0 é o mesmo que dizer que o suporte de x e y não é disjunto.

Definição 2.1.0.2. O grafo rS(s) é o grafo cujos vértices são as fatorizações do

ele-mento s 2 S e em que dois v´ertices, x, y 2 Np_{, est˜ao unidos por uma aresta se x · y 6= 0.}

Definição 2.1.0.3. Sejam x e y, em Np_{, duas fatorizações de um elemento s 2 S, vamos}

dizer que x e y est˜ao R-relacionadas se existir uma cadeia z1, . . . , zk, com k 1, de

fatorizac¸˜oes de s, tal que • z1 = x, zk = ye

• zi· zi+16= 0, 8i 2 {1, . . . , k 1}.

Notemos que a relação R é uma relação de equivalência. Para o verificar, consideremos um elemento qualquer s 2 S⇤_{e x, y, z fatorizações de s. É claro que xRx, basta}

conside-rarmos a cadeia constitu´ıda por x, x. Se xRy ent˜ao existe uma cadeia x = z1, . . . , zk = y

com zi·zi+1 6= 0 8i 2 {1, . . . , k 1} , e portanto tamb´em yRx. Por ´ultimo, se xRy e yRw

então existem cadeias x, . . . , y e y, . . . , w tais que o produto componente a componente de duas fatorizações seguidas, em cada uma das cadeias, é diferente de zero, e portanto temos também uma cadeia x, . . . , y, . . . , w de fatorizações tal que o produto componente a componente de duas fatorizações seguidas é diferente de zero.

Mais, o conjunto das R-classes de ZS(s) ´e o conjunto das componentes conexas do

grafo rS(s), uma vez que se dois elementos est˜ao na mesma R-classe eles est˜ao

ligados por um caminho no grafo, e se não estão na mesma R-classe não existe nenhum caminho entre eles, ou seja, estão em componentes conexas distintas.

(34)

Definição 2.1.0.4. Um elemento s 2 S é um elemento de Betti se o grafo rS(s)não for

conexo, ou seja, se ZS(s) tem mais do que uma R-classe. Vamos denotar por Betti(S)

o conjunto dos elementos de Betti do semigrupo num´erico S.

Exemplo 2.1.0.5. Consideremos o semigrupo num´erico S = h5, 8, 12i e tomemos o

elemento 60 que pertence a S. O pacote numericalsgps [10] do GAP [15] permite-nos obter as fatorizações deste elemento, por meio de uma sessão GAP como a que segue: gap> S:=NumericalSemigroup(5,8,12);;

gap> FactorizationsElementWRTNumericalSemigroup(60,S);

[ [ 12, 0, 0 ], [ 4, 5, 0 ], [ 8, 1, 1 ], [ 0, 6, 1 ], [ 4, 2, 2 ], [ 0, 3, 3 ], [ 0, 0, 5 ] ]

Conclu´ımos ent˜ao que

ZS(60) ={(12, 0, 0), (4, 5, 0), (8, 1, 1), (0, 6, 1), (4, 2, 2), (0, 3, 3), (0, 0, 5)}.

Vamos agora construir o grafo rS(60).

(4, 2, 2) (0, 6, 1)

(12, 0, 0) (4, 5, 0) (0, 3, 3) (0, 0, 5)

(8, 1, 1)

Figura 2.1: Grafo rS(60).

Podemos facilmente ver que o grafo apresenta apenas uma componente conexa, e portanto o elemento 60 n˜ao ´e um elemento de Betti de S.

Vamos agora considerar o elemento 20 2 S. Novamente por meio de uma sess˜ao GAP obtemos:

gap> S:=NumericalSemigroup(5,8,12);;

gap> FactorizationsElementWRTNumericalSemigroup(20,S); [ [ 4, 0, 0 ], [ 0, 1, 1 ] ]

(35)

2.1. MOTIVAÇ ÃO 17 E portanto as únicas fatorizações de 20 em S são (4, 0, 0) e (0, 1, 1).

Como (4, 0, 0) e (0, 1, 1) est˜ao em R classes distintas, o grafo rS(20) (representado na

Figura 2.2) tem duas componentes conexas, ou seja, os dois v´ertices do grafo rS(20),

correspondentes às duas únicas fatorizações de 20 em S, não estão unidos por uma aresta. Logo, 20 é um elemento de Betti de S.

(4, 0, 0) (0, 1, 1) Figura 2.2: Grafo rS(20).

O tamanho de uma fatorização x = (x1, . . . , xp), representa-se por |x| e, é dado pela

soma das suas p componentes, ou seja, |x| = x1 +· · · + xp.

Para x = (x1, . . . , xp)e y = (y1, . . . , yp)em Np, definimos

d(x, y) = max_{|x mdc(x, y)_{|, |y} mdc(x, y)_|}, onde mdc(x, y) = (min{x1, y1}, . . . , min{xp, yp}).

À função d : Np_{⇥ N}p _{! N chama-se função distância. Esta função satisfaz as}

proprieda-des de uma função distância como vemos na seguinte proposição. Esses factos podem também ser encontrados em [14, Proposição 1.2.5].

Proposic¸˜ao 2.1.0.6. Sejam x, y, z 2 Np_{. Tem-se que}

i. d(x, y) 0 ii. d(x, y) = d(y, x) iii. d(x, y) = 0 , x = y iv. d(x, y) + d(y, z) d(x, z) Demonstrac¸˜ao. i. Vejamos que d(x, y) 0, d(x, y) = max |x mdc(x, y)|, |y mdc(x, y)| = max ( _p X i=1 (xi min{xi, yi}), p X i=1 (yi min{xi, yi}) ) .

(36)

Como xi min{xi, yi} 0, para qualquer i, tem-se max ( _p X i=1 (xi min{xi, yi}), p X i=1 (yi min{xi, yi}) ) 0. ii. Que d(x, y) = d(y, x) facilmente se vˆe:

d(x, y) = max _|x mdc(x, y)_{|, |y} mdc(x, y)_|

= max _|y mdc(x, y)_{|, |x} mdc(x, y)_| = d(y, x). iii. Vamos agora ver que d(x, y) = 0 , x = y.

Temos que d(x, y) = 0 =) max |x mdc(x, y)|, |y mdc(x, y)| = 0 =) max ( _p X i=1 (xi min{xi, yi}), p X i=1 (yi min{xi, yi}) ) = 0 =₎ p X i=1 xi min{xi, yi} = p X i=1 yi min{xi, yi} = 0 =_{) x = mdc(x, y) = y.}

A implicação rec´ıproca é direta, uma vez que x = y = mdc(x, y). iv. Vejamos agora a desigualdade triangular.

Comecemos por observar que d(x, y) = max ( _p X i=1 xi min{xi, yi} , p X i=1 yi min{xi, yi} ) = max ( _p X i=1 xi, p X i=1 yi ) _p X i=1 min_{xi, yi}. E portanto, d(x, y) + d(y, z) = max ( _p X i=1 xi, p X i=1 yi ) _p X i=1 min{xi, yi} + max ( _p X i=1 yi, p X i=1 zi ) _p X i=1 min{yi, zi}.

(37)

2.1. MOTIVAÇ ÃO 19 Queremos então provar que

max ( _p X i=1 xi, p X i=1 yi ) _p X i=1 min_{xi, yi} + max ( _p X i=1 yi, p X i=1 zi ) _p X i=1 min_{yi, zi} max ( _p X i=1 xi, p X i=1 zi ) _p X i=1 min_{xi, zi} () max ( _p X i=1 xi, p X i=1 yi ) + max ( _p X i=1 yi, p X i=1 zi ) + p X i=1 min_{xi, zi} max ( _p X i=1 xi, p X i=1 zi ) + p X i=1 min{xi, yi} + p X i=1 min{yi, zi}.

Notemos que uma das seguintes desigualdades se verifica sempre: (a) max

⇢ Pp

i=1xi,Ppi=1zi  max

⇢ Pp i=1xi,Ppi=1yi ou (b) max ⇢ Pp i=1xi, Pp i=1zi  max ⇢ Pp i=1yi, Pp i=1zi .

Suponhamos que se verifica a (a) (o outro caso é análogo). Basta-nos então provar max ( _p X i=1 yi, p X i=1 zi ) + p X i=1 min_{xi, zi} p X i=1 min_{xi, yi} + p X i=1 min_{yi, zi}. (2.1)

Observemos que maxn Pp i=1yi,

Pp i=1zi

o _P

p

i=1yi, portanto verifica-se a seguinte

desigualdade maxn p X i=1 yi, p X i=1 zi o + p X i=1 min{xi, zi} p X i=1 yi+ p X i=1 min{xi, zi}.

Ent˜ao para concluir (2.1) basta provar que

p X i=1 yi+ p X i=1 min{xi, zi} p X i=1 min{xi, yi} + p X i=1 min{yi, zi}. (2.2)

Notemos agora que para cada i, yi+ min{xi, zi} min{xi, yi} + min{yi, zi}, uma vez

que se min{xi, zi} = xi temos min{xi, zi} min{xi, yi} e yi min{yi, zi}, por outro

lado se min{xi, zi} = zi temos que min{xi, zi} min{yi, zi} e yi min{xi, yi}.

To-mando agora somat´orios temos a desigualdade (2.2), e consequentemente conclui-se a prova.

(38)

Observemos que se x e y forem fatorizações distintas de um mesmo elemento num semigrupo numérico e pertencerem a R-classes distintas, então a distância entre x e y

´e dada apenas por d(x, y) = max{|x|, |y|}, uma vez que mdc(x, y) = (0, . . . , 0).

Exemplo 2.1.0.7. Consideremos novamente o semigrupo num´erico S = h5, 8, 12i. Como

vimos no Exemplo 2.1.0.5, tem-se que

ZS(60) = (12, 0, 0), (4, 5, 0), (8, 1, 1), (0, 6, 1), (4, 2, 2), (0, 3, 3), (0, 0, 5) .

A distˆancia entre (12, 0, 0) e (0, 0, 5) ´e dada por

d((12, 0, 0), (0, 0, 5)) = maxn|(12, 0, 0) mdc((12, 0, 0), (0, 0, 5))|, |(0, 0, 5) mdc((12, 0, 0), (0, 0, 5))_|o, e como mdc((12, 0, 0), (0, 0, 5)) = (0, 0, 0) temos que d((12, 0, 0), (0, 0, 5)) = 12.

No entanto, conseguimos pôr outras fatorizações de 60 entre estas duas fatorizações, no sentido em que as distâncias entre qualquer uma das outras fatorizações e estas é menor do que 12. Na Tabela 2.1 podemos ver todas as distâncias entre as fatorizações de 60, é claro que a tabela é simétrica e, por exemplo, os valores abaixo da diagonal poderiam ser omitidos.

Tabela 2.1: Distâncias entre as fatorizações de 60 em h5, 8, 12i.

(12, 0, 0) (4, 5, 0) (8, 1, 1) (0, 6, 1) (4, 2, 2) (0, 3, 3) (0, 0, 5) (12, 0, 0) 0 8 4 12 8 12 12 (4, 5, 0) 8 0 4 4 3 6 9 (8, 1, 1) 4 4 0 8 4 8 9 (0, 6, 1) 12 4 8 0 5 3 6 (4, 2, 2) 8 3 4 5 0 4 6 (0, 3, 3) 12 6 8 3 4 0 3 (0, 0, 5) 12 9 9 6 6 3 0

Observando, na tabela, as distâncias das fatorizações à fatorização (12, 0, 0) pretende-mos escolher a menor distância que existe entre esta e outra fatorização, e portanto

(39)

2.1. MOTIVAÇ ÃO 21 escolher´ıamos a fatorização (8, 1, 1). O nosso objetivo seria escolher sucessivamente a fatorização seguinte de forma a que a distância a esta fosse a menor poss´ıvel e sem nunca repetir fatorizações já usadas, no sentido de encontrar um caminho que una todas as fatorizações e cuja distância entre estas seja m´ınima. No entanto este processo se fosse feito assim teria alguns problemas, por exemplo podemos chegar a uma etapa em que temos várias escolhas de fatorizações, uma vez que há distâncias iguais entre várias fatorizações.

Sendo assim vamos fazer este processo de outra forma e vamos começar por esboçar, na Figura 2.3, um grafo completo cujos vértices são as fatorizações do elemento 60 2 S e as arestas têm como pesos as distâncias entre as fatorizações.

(4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 8 9 6 3 4 4 4 12 8 12 12 9 8 4 8 6 6 3 3 5 4

Figura 2.3: Grafo completo das fatorizações de 60 com as suas distâncias.

O objetivo agora será eliminar sucessivamente as arestas com maior peso, sem nunca tornar o grafo desconexo e encontrando um caminho simples que passe por todos os vértices, ou seja, por todas as fatorizações uma única vez, o que em teoria de grafos se designa por caminho Hamiltoniano. Na Figura 2.4 vamos fazer este procedimento por etapas - considerar na figura a sucessão dos grafos da esquerda para a direita e de cima para baixo - sendo que na primeira imagem já eliminamos as arestas cujos

(40)

pesos correspondem às maiores distâncias, ou seja, as arestas de peso 12, e desta para segunda imagem vão desaparecer as arestas de peso 9, e assim sucessivamente.

(4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 8 9 _{6 3 4} 4 4 8 98 4 8 6 6 3 35 4 (4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 8 6 3 4 4 4 8 8 4 ₈ 6 6 3 35 4 (4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 6 _{3 4} 4 4 4 6 6 3 35 4 (4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 3 4 4 4 4 3 35 4 (4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 3 4 4 4 4 3 3 4 (4, 5, 0) (12, 0, 0) (8, 1, 1) (0, 0, 5) (0, 6, 1) (0, 3, 3) (4, 2, 2) 3 4 4 4 3 3

Figura 2.4: Procedimento de eliminação de arestas para obter um caminho Hamiltoniano de distâncias m´ınimas.

Neste exemplo, da penúltima imagem para a última da Figura 2.4 tivemos de ter cuidado com as arestas a eliminar, para não tornar o grafo desconexo e para que o caminho passe por todos os vértices uma só vez. Por exemplo, não poder´ıamos eliminar a aresta que une (12, 0, 0) a (8, 1, 1) ou a aresta que liga (0, 0, 5) a (0, 3, 3) para não tornar o

(41)

2.2. GRAU DE CATENARIDADE 23 grafo desconexo. De uma forma geral, temos de ter estes cuidados durante todo o procedimento.

Obtemos assim um caminho de distˆancias m´ınimas entre (12, 0, 0) e (0, 0, 5), que est´a representado na Figura 2.5.

Figura 2.5: Fatorizações de 60, em S, unidas pelas menores distâncias.

Notemos que neste exemplo estamos a usar um elemento do semigrupo numérico com mais do que uma fatorização e com apenas uma R-classe, o que claramente não acontece para todos os elementos do semigrupo numérico. Se tivéssemos escolhido um elemento com apenas uma fatorização ou duas não faria sentido fazermos este processo.

Mais, a imagem do exemplo acima foi propositadamente desenhada com o aspeto de catenária, motivando a seguinte secção.

2.2 Grau de Catenaridade

Nesta secção vamos introduzir o grau de catenaridade, que é dos principais assuntos abordados nesta dissertação. Este tópico é definido à custa da noção de distância dada na secção anterior. Esta secção tem ainda uma subsecção onde vamos estudar o grau de catenaridade no caso particular dos semigrupos numéricos aritméticos.

Definição 2.2.0.1. Seja S um semigrupo numérico e seja s 2 S. O grau de catenaridade

de s denota-se por c(s) e é o menor inteiro não negativo N tal que para quaisquer duas fatorizações x e y de s, existe uma sequência de fatorizações z1, z2, . . . , zt de s tal que

(42)

2. para todo i 2 {1, . . . , t 1}, d(zi, zi+1) N.

Portanto o grau de catenaridade de um elemento s de S ´e o menor inteiro N tal que podemos “andar” entre quaisquer dois elementos de ZS(s)usando “passos” de tamanho

N ou inferior.

Inspirando-nos no Exemplo 2.1.0.7 da secção anterior, e usando teoria de grafos, encon-trar o grau de catenaridade passa por ir eliminando as arestas com os maiores pesos, ou seja as maiores distâncias, mas deixando sempre o grafo conexo.

Exemplo 2.2.0.2. Retomando o Exemplo 2.1.0.7, em que temos o semigrupo num´erico

S = _{h5, 8, 12i, vejamos qual o grau de catenaridade do elemento 60. Pelo processo} feito na secção anterior, em que fomos eliminando sucessivamente as arestas com as maiores distâncias obtendo um caminho simples entre todas as fatorizações com os menores pesos poss´ıveis nas arestas, podemos concluir que o grau de catenaridade de 60 é 4.

Tamb´em podemos encontrar o grau de catenaridade de um elemento atrav´es do GAP, como fazemos a seguir.

Exemplo GAP 2.2.0.3.

gap> CatenaryDegreeOfElementInNumericalSemigroup(60,S); 4

Definição 2.2.0.4. O grau de catenaridade de um semigrupo numérico S, c(S), é o

supremo do conjunto dos graus de catenaridade dos elementos de S.

Vejamos o seguinte resultado que nos dá um minorante, não trivial, para o grau de catenaridade de um semigrupo numérico.

Proposic¸˜ao 2.2.0.5. [6] Seja S = hs1, . . . , spi, com p > 1.

Ent˜ao

(43)

2.2. GRAU DE CATENARIDADE 25 Demonstrac¸˜ao. Consideremos o conjunto {k 2 N\{0} | ks1 2 hs2, . . . , spi}. Este conjunto

de inteiros positivos ´e n˜ao vazio, pois, por exemplo, s2 pertence ao conjunto. Logo, por

se tratar de um conjunto de inteiros positivos, tem primeiro elemento. Chamemos a ao primeiro elemento do conjunto em quest˜ao, isto ´e, a = min{k 2 N \ {0} | ks1 2

hs2, . . . , spi}. Seja n = as1, vamos começar por identificar as fatorizações de n que

conhecemos. Ora como n = as1 temos que (a, 0, . . . , 0) 2 ZS(n), e como a = min{k 2

N\{0} | ks1 2 hs2, . . . , spi} temos que as1 = x2s2+. . . , xpsp para alguns x2, . . . , xp inteiros

n˜ao negativos, n˜ao todos nulos, e portanto temos que (0, x2, . . . , xp)2 ZS(n).

Vejamos que ZS(n) tem pelo menos duas R-classes. Suponhamos que s´o existe uma

R-classe em ZS(n). Isto implica que tem de existir uma fatorizac¸˜ao z = (z1, . . . , zp)de n

com z1 diferente de 0 e com os restantes z2, . . . , zp n˜ao todos nulos, mas ent˜ao z1 < a.

Ora como z1s1+· · · + zpsp = as1 temos que (a z1)s1 = z2s2+· · · + zpsp 2 hs2, . . . , spi, o

que contradiz a minimalidade de a.

Portanto, n tem mais do que uma R-classe e a distância entre (a, 0, . . . , 0) e outra qualquer fatorização da forma (0, x2, . . . , xp), sendo x2, . . . , xp inteiros não negativos não

todos nulos, é sempre maior ou igual a a. Logo, c(n) a, e como o grau de catenaridade de S é o supremo do conjunto dos graus de catenaridade dos elementos do semigrupo numérico, temos que c(S) a.

Exemplo 2.2.0.6. Seja S = h5, 8, 12i o semigrupo num´erico dos exemplos anteriores,

usando o último resultado, como min{k 2 N \ {0} | 5k 2 h8, 12i} = 4, temos que c(S) 4, o que não é novidade uma vez que já t´ınhamos visto um elemento deste semigrupo numérico em que o seu grau de catenaridade era 4. Para sabermos o grau de catenaridade deste semigrupo numérico vamos usar o GAP e ver que é 4, como está no Exemplo GAP 2.2.0.7.

gap> CatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(S); 4

Sobre o grau de catenaridade de um semigrupo numérico até agora apenas conhecemos a definição: é o supremo do conjunto formado pelos graus de catenaridade de todos os

(44)

elementos nesse semigrupo numérico. Portanto, com o que sabemos, para obter o grau de catenaridade de um semigrupo numérico temos a imposs´ıvel tarefa de calcular o grau de catenaridade de infinitos elementos. Enunciamos a seguir um teorema que nos permite melhorar a tarefa de encontrar o grau de catenaridade de um semigrupo numérico, já que permite reduzir o número de elementos a considerar.

Necessitamos de introduzir algumas notac¸˜oes. Vamos considerar Rs

1, . . . , Rpss as

dife-rentes R-classes de ZS(s), para s 2 S, e ⌘(s) = max rs1, . . . , rsps onde r

s

i = min |z| |

z _{2 R}s

i e finalmente

⌘(S) = sup ⌘(s) | s 2 Betti(S) .

Temos ent˜ao o seguinte teorema, que se pode encontrar em [7].

Teorema 2.2.0.8. [7, Teorema 3.1] Seja S um semigrupo num´erico. Ent˜ao c(S) = ⌘(S).

Vejamos um exemplo em que vamos usar o Teorema anterior para calcular o grau de catenaridade de um semigrupo num´erico.

Exemplo 2.2.0.9. Consideremos o semigrupo num´erico S = h10, 17, 18, 26, 42i. O

con-junto dos elementos de Betti do semigrupo numérico S é {36, 44, 52, 60, 68, 76, 84}. Este conjunto foi obtido na seguinte sessão GAP:

gap> S:=NumericalSemigroup(10,17,18,26,42);; gap> BettiElementsOfNumericalSemigroup(S); [ 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ]

Vamos começar por escrever na Tabela 2.2 todas as fatorizações dos elementos de Betti e indicar as diferentes R -classes onde estas se encontram.

(45)

2.2. GRAU DE CATENARIDADE 27 Tabela 2.2: R-classes dos elementos de Betti

Elementos Betti R-classes

36 R36 1 ={(0, 0, 2, 0, 0)}, R236 ={(1, 0, 0, 1, 0)} 44 R44 1 ={(1, 2, 0, 0, 0)}, R244 ={(0, 0, 1, 1, 0)} 52 R52 1 ={(0, 2, 1, 0, 0)}, R252 ={(0, 0, 0, 2, 0)}, R352 ={(1, 0, 0, 0, 1)} 60 R60 1 ={(6, 0, 0, 0, 0)}, R260 ={(0, 2, 0, 1, 0)}, R360 ={(0, 0, 1, 0, 1)} 68 R68 1 ={(0, 4, 0, 0, 0)}, R268 ={(5, 0, 1, 0, 0)}, R368 ={(0, 0, 0, 1, 1)} 76 R76 1 ={(4, 0, 2, 0, 0), (5, 0, 0, 1, 0)}, R276={(0, 2, 0, 0, 1)} 84 R84 1 ={(5, 2, 0, 0, 0), (3, 0, 3, 0, 0), (4, 0, 1, 1, 0)}, R284={(0, 0, 0, 0, 2)}

Temos então, de acordo com as notações definidas anteriormente, que r36 1 = 2, r236= 2, de onde resulta ⌘(36) = 2, r44 1 = 3, r244= 2, de onde resulta ⌘(44) = 3, r52 1 = 3, r252= 2, r352= 2, de onde resulta ⌘(52) = 3, r60 1 = 6, r260= 3, r360= 2, de onde resulta ⌘(60) = 6, r68 1 = 4, r268= 6, r368= 2, de onde resulta ⌘(68) = 6, r76 1 = 6, r276= 3, de onde resulta ⌘(76) = 6, r84 1 = 6, r284= 2, de onde resulta ⌘(84) = 6. E portanto ⌘(S) = 6.

Logo, pelo último Teorema, o grau de catenaridade do semigrupo numérico é 6. Isto mesmo pode ser confirmado com o GAP.

gap> S:=NumericalSemigroup(10,17,18,26,42);; gap> CatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(S); 6

Do Teorema 2.2.0.8 resulta o seguinte corol´ario que tamb´em se encontra em [7].

Corolário 2.2.0.10. Sejam S = hs1, . . . , sni um semigrupo numérico e s 2 S. Se s é

minimal a satisfzer a condição c(s) = c(S), então s = w + sj com w 2 Ap(S, n1)\ {0} e

(46)

Resulta das definições que se s é um elemento de Betti então c(s) ⌘(s). Consequen-temente

sup_{{⌘(s) | s 2 Betti(S)}  sup{c(s) | s 2 Betti(S)}.} Como Betti(S) ✓ S, tem-se

sup{c(s) | s 2 Betti(S)}  sup{c(s) | s 2 S} = c(S).

Usando ainda o facto de se ter c(S) = ⌘(S) (Teorema 2.2.0.8), podemos escrever a seguinte cadeia

⌘(S) = sup_{{⌘(s) | s 2 Betti(S)}  sup{c(s) | s 2 Betti(S)}}

 sup{c(s) | s 2 S} = c(S) = ⌘(S) pelo que as desigualdades que aparecem nesta cadeia são de facto igualdades. Pode-mos então escrever o seguinte corolário.

Corolário 2.2.0.11. O grau de catenaridade de um semigrupo numérico é atingido num

elemento Betti.

Neste momento surgem-nos outros problemas para o cálculo do grau de catenaridade de um semigrupo numérico. Apesar de sabermos que nos podemos restringir aos elementos de Betti para encontrar o grau de catenaridade de um semigrupo numérico, não temos ainda uma forma eficiente de encontrar todos os elementos de Betti de um semigrupo numérico. Também não sabemos, dado um semigrupo numérico, dizer quantos elementos de Betti ele tem, embora vejamos adiante (ver Secção 2.3) que o seu número é finito.

No entanto, como veremos também adiante este último resultado permite-nos obter facilmente o grau de catenaridade dos semigrupos numéricos de dimensão de imersão três.

Mas prestemos primeiro atenção à seguinte subsecção e vejamos uma outra forma de encontrar o grau de catenaridade do semigrupo numérico, num caso bastante particular.

(47)

2.2. GRAU DE CATENARIDADE 29

2.2.1 Grau de Catenaridade dos Semigrupos Num´ericos Aritm´eticos

Lembremos que um semigrupo numérico se diz aritmético se for gerado por uma pro-gressão aritmética. Todos os semigrupos numéricos a considerar nesta secção são aritméticos. Têm as seguintes carater´ısticas (ver Secção 1.3) são gerados pela pro-gressão aritmética {a, a+d, . . . , a+kd} com a e d inteiros positivos tais que mdc(a, d) = 1 e com k inteiro não negativo tal que k  a 1.

Podemos encontrar o grau de catenaridade deste tipo de semigrupos numéricos sem recorrer ao grau de catenaridade de todos os elementos do semigrupo numérico, nem recorrer aos elementos de Betti do semigrupo numérico. De facto o Teorema 2.2.1.7 dá-nos uma fórmula para o grau de catenaridade de um semigrupo numérico aritmético, a qual só depende dos geradores. Esta secção é baseada em [6].

A proposição seguinte será usada para descrever o conjunto dos tamanhos das fatorizações de elementos num semigrupo numérico aritmético.

Proposição 2.2.1.1. Seja s um inteiro tal que s = ua + vd = ua + vd. Então existe um

inteiro tal que (u, v) (u, v) = (d, a).

Demonstração. Observemos que ua+vd = ua+vd implica que (u u)a = (v v)d, como o mdc(a, d) = 1 então d | (u u). Logo, u u = d para algum 2 Z. Resulta também que d a = (v v)do que implica a = v v.

É de notar que há um número infinito de elementos do semigrupo numérico que podem ser escritos como diferentes combinações lineares dos geradores, havendo consequen-temente mais do que uma fatorização para esses elementos, ao contrário de elementos como os átomos que têm apenas uma fatorização.

Observação 2.2.1.2. No caso dos semigrupos numéricos aritméticos, ainda que exista

mais do que uma fatorização de um certo elemento s = qa + id, existe pelo menos uma que terá tamanho q, como resulta da demonstração da Proposição 1.3.0.2.

Mais, um elemento s pertencente a um semigrupo numérico aritmético pode ser escrito como |z|a + id onde |z| é o tamanho da fatorização z de s e i 2 {0, . . . , |z|q}. E da demonstração da Proposição 2.2.1.1, ao escrevermos s = |z|a + id = ua + vd conseguimos retirar que |z| é máximo quando i < a.

(48)

O próximo resultado depende destas duas proposições evidenciadas na observação anterior.

Sejam c, r 2 N tais que 0  r < a. Ent˜ao ca + rd 2 S se e s´o se r  ck.

Demonstração. Seja s = ca + rd, notemos que se r  ck, então pela Proposição 1.3.0.2 temos que s 2 S.

Por outro lado, suponhamos que ca + rd = ca + rd 2 S com c 2 N e r 2 {0, . . . , ck}, de acordo com a Proposiçãp 1.3.0.2. Pela Proposição 2.2.1.1 existe um inteiro tal que (c, r) + (d, a) = (c, r). Ora como 0  r = r ae r < a então temos que  0. Mais, como r  ck então r = r a _{ ck = (c + d)k, logo r  ck + (a + dk), e como  0,} temos que ck + (a + dk)  ck, portanto r  ck.

Proposição 2.2.1.4. Sejam S = ha, a+d, . . . , a+kdi um semigrupo numérico aritmético,

s2 Ap(S) e z 2 ZS(s). Ent˜ao, |z| 

⌃_a

k

⌥ .

Demonstração. Seja z uma fatorização do elemento s 2 Ap(S). Como constatamos na Observação 2.2.1.2, temos que s = |z|a + id para algum 0  i  |z|k. Suponhamos que |z| ⌃ak

⌥

+ 1. Então |z|k ⌃a_k⌥k + k a + k a e portanto i pode ser maior ou igual a. No entanto como já t´ınhamos notado na Observação 2.2.1.2 a maior fatorização é obtida quando i < a, e portanto podemos encontrar q 2 N, com q |z| e c 2 {0, . . . , a 1_{} tal} que s = qa + cd. Então, temos que s a = (q 1)a + cd. Mas como q _|z| ⌃a

k

⌥ + 1, vem que (q 1)k ⌃a_k⌥k a > c. E portanto temos que s a = (q 1)a + cd com (q 1)_{2 N e c < (q} 1)k, o que implica que s a 2 S pela Proposic¸˜ao 1.3.0.2. Mas isto

é imposs´ıvel uma vez que estávamos a supôr que s 2 Ap(S). Logo, |z| ⌃a k

⌥ .

Corolário 2.2.1.5. Sejam S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo numérico aritmético e

sum elemento de S tal que s = w+(a+jd) com w 2 Ap(S) e j 2 {1, . . . , k}. Se z 2 ZS(s)

ent˜ao |z| ⌃a k

⌥

+ d + 1.

Demonstração. Seja w = qa + cd com q o maior poss´ıvel, ou seja, com 0  c < a, e con-seguimos encontrar uma expressão desta forma como já vimos pela Observação 2.2.1.2. Então s = (qa + cd) + (a + jd) = (q + 1)a + (c + j)d. Ora, pela Proposição 2.2.1.4 temos que q ⌃a

k

⌥

(49)

2.2. GRAU DE CATENARIDADE 31 i. Se c + j < a então q + 1 é o maior tamanho de uma fatorização de s. Portanto

|z|  q + 1 ⌃a k ⌥ + 1_⌃a k ⌥ + d + 1.

ii. Se c + j a, como 0 < j  k < a e 0  c < a, então c + j a < a. E portanto s = (q + 1)a + (c + j)d = (q + 1 + d)a + (c + j a)d, e q + 1 + d é o maior tamanho de uma fatorização de n. Logo, |z|  q + 1 + d ⌃a

k

⌥

+ d + 1.

A seguinte proposição vai ser importante para chegarmos a uma expressão simples que nos dá o grau de catenaridade de um semigrupo numérico aritmético.

Temos que min c2 N \ {0} | ca 2 ha + d, . . . , a + kdi =la k m + d. Demonstração. Sejam s = ⌃a k ⌥ + d ae b = min c 2 N \ {0} | ca 2 ha + d, . . . , a + kdi . Dado i 2 {1, . . . , k}, como s (a + a + id) =⇣ la k m + d⌘a 2a id =⇣ la k m 2⌘a + (a i)d, pela Proposição 2.2.1.3 temos que s (a + a + id) 2 S se e só se 0  a i  ⌃a

k ⌥ 2 k. Mas como⇣ ⌃a k ⌥ 2⌘k + i _⇣ ⌃a k ⌥ 2⌘k + k =⇣ ⌃a k ⌥ 1⌘k < a, então s (a + a + id) 62 S. Pela definição de b, existem b2, . . . , bk+1 2 N tais que ba = b2(a + d) +· · · + bk+1(a + kd).

E como b 6= 0, existe i 2 {1, . . . , k} tal que bi+1 6= 0. Comecemos por assumir que

b <⌃a_k⌥+d. Ent˜ao s =⇣ ⌃a_k⌥+d⌘a ba+ba =⇣ ⌃a_k⌥+d b⌘a+b2(a+d)+· · ·+bk+1(a+kd),

e como ⌃a k ⌥ + d b > 1, j´a que b < ⌃a k ⌥

+ d, podemos retirar um a a s que continuamos em S, assim como podemos retirar a + id. Mas isto implica que s (a + a + id) 2 S, o que ´e imposs´ıvel como j´a tinhamos visto. Logo, b ⌃a

k

⌥ + d. Por fim resta-nos observar que se k dividir o a ent˜ao s = a

k(a + kd) e caso k n˜ao divida

a ent˜ao s = ⌅a k

⇧

(a + kd) + (a + (amod k)d), o que significa que s 2 S. E portanto b⌃a

k

⌥ + d.

Finalmente usando resultados anteriores, e como ´e feito em [6], conseguimos chegar ao seguinte teorema.

Teorema 2.2.1.7. Seja S = ha, a + d, . . . , a + kdi um semigrupo num´erico aritm´etico.

Ent˜ao

c(S) =la k m

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Demonstração. Da Proposição 2.2.1.6, da Proposição 2.2.0.5, do Corolário 2.2.1.5 e do Corolário 2.2.0.10, temos que

la k m + d_{ c(S) }la k m + d + 1. Resta ver que c(S) 6=⌃a

k

⌥

+ d + 1. Suponhamos ent˜ao que c(S) = ⌃a

k

⌥

+ d + 1. Vamos assumir que n = w + (a + jd), com w_{2 Ap(S, a) e j 2 {0, . . . , k}, e n =}⇣ ⌃a_k⌥+ d + 1⌘a + cdpara algum c 2 {0, . . . , a 1}, j´a que um elemento de S se pode escrever desta forma.

Se c j, ent˜ao w a = n (a + jd) a =⇣ la k m + d + 1⌘a + cd (a + jd) a =⇣ la k m + d 1⌘a + (c j)d, com 0  c j  a 1 ⌃a k ⌥ k + k(d 1) =⇣ ⌃a k ⌥

+ d 1⌘k, o que significa que w a 2 S, contradizendo o facto de w 2 Ap(S, a). Portanto c < j.

Observemos que n = (a + cd) +⇣ la k m + d⌘a = (a + cd) + 8 > < > : a k(a + kd) se k | a, ⌅_a k ⇧

(a + kd) + (a + (amod k)d) caso contr´ario.

Portanto há duas fatorizações do elemento n em que a c-ésima componente é diferente de zero:

i. temos a fatorizac¸˜ao z = (da

ke + d, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), em que as suas ´unicas

compo-nentes diferentes de zero s˜ao a primeira e a c-´esima;

ii. e temos a fatorização z que poderá ter a c-ésima e a k-ésima componente diferen-tes de zero caso k | a, ou poderá ter a c-ésima, a k-ésima e a (a mod k)-ésima componentes diferentes de zero caso k não divida a.

O tamanho de z ´e 1 +⌃a k

⌥

<⌃a_k⌥+ d + 1. Isto prova que para cada fatorizac¸˜ao de n com tamanho⌃a

k

⌥

(51)

2.3. ELEMENTOS DE BETTI 33 do que⌃a

k

⌥

+ d + 1. Pelo Teorema 2.2.0.8 podemos deduzir que o grau de catenaridade de S n˜ao pode ser⌃a

k

⌥

+ d + 1.

Exemplo 2.2.1.8. Seja S = h5, 8, 11i um semigrupo num´erico, observemos que S ´e

gerado pela progressão aritmética {5, 5 + 3, 5 + 2 ⇥ 3}. Usando o Teorema 2.2.1.7 temos que o grau de catenaridade de S é igual a⌃5

2

⌥

+ 3 = 6.

Podemos confirmar no GAP o resultado deste exemplo, como vemos a seguir.

gap> CatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(S); 6

2.3 Elementos de Betti

Os elementos de Betti já definidos anteriormente, na Definição 2.1.0.4, merecem des-taque nesta dissertação.

Não é do nosso conhecimento que haja uma relação clara entre o número de geradores minimais e o números de elementos de Betti de um semigrupo numérico. Nem sabemos se de facto essa relação existe.

Observemos o seguinte exemplo, em que evidenciamos três semigrupos numéricos de dimensão de imersão quatro. Vejamos qual o número de elementos de Betti de cada um dos semigrupos numéricos em questão.

Exemplo 2.3.0.1.

1. S = h927, 1469, 2101, 3072i tem 8 elementos de Betti. 2. S = h940, 1469, 2101, 3072i tem 21 elementos de Betti. 3. S = h926, 1469, 2101, 3072i tem 38 elementos de Betti.

Para fazer o exemplo anterior recorremos ao GAP para calcular o n´umero de elementos de Betti de cada um dos semigrupos num´ericos.

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No Exemplo 2.3.0.1 temos semigrupos numéricos de dimensão de imersão quatro, que diferem apenas num átomo, e no entanto têm números bem distintos de elementos de Betti.

Outra questão que surge é se há sempre um número finito de elementos de Betti. Ora Rédei provou que todo o monóide comutativo finitamente gerado tem uma apresentação finita, e portanto todo o semigrupo numérico também. Consequentemente um semigrupo numérico tem um número finito de elementos de Betti.

Mas vejamos alguns resultados que nos permitem responder a esta quest˜ao de forma simples para o caso dos semigrupos num´ericos.

Lema 2.3.0.2. Seja S = hs1, . . . , sni um semigrupo num´erico. Ent˜ao, s1 + s2 +· · · + sn

n˜ao ´e um elemento de Betti de S.

Demonstração. Basta observar que z = (1, 1, . . . , 1) é uma fatorização do elemento s1+

s2 +· · · + sne portanto qualquer outra fatorização deste elemento pertencerá à mesma

R-classe de z.

Lema 2.3.0.3. Sejam S = hs1, . . . , sni um semigrupo num´erico e s = s1 + s2 +· · · + sn.

Nenhum elemento de s + S ´e um elemento de Betti de S.

Demonstração. Consideremos t 2 S e (t1, . . . , tn) uma fatorização de t, então (1 +

t1, . . . , 1 + tn) é uma fatorização de s + t, que tem todas as componentes não nulas.

Corolário 2.3.0.4. O número de elementos de Betti de um semigrupo numérico é finito.

Demonstração. Seja S = hs1, . . . , sni um semigrupo numérico e s = s1 +· · · + sn. O

complementar de s + S no conjunto dos números naturais é finito, uma vez que a partir de s + F (S) todos os inteiros estão em s + S. Assim, pelo Lema 2.3.0.3, a partir de s + F (S)não temos mais elementos de Betti.

Depois de termos respondido à questão colocada, interessa-nos agora conseguir uma majoração para o número de elementos de Betti de um semigrupo numérico. Observe-mos o seguinte corolário que resulta do Lema 2.3.0.3.

Corol´ario 2.3.0.5. Seja S = hs1, . . . , sni um semigrupo num´erico e s = s1 +· · · + sn.

Temos que

(53)

2.3. ELEMENTOS DE BETTI 35 Demonstração. Observemos que todos os inteiros superiores a s + F (S) pertencem a s + S. E observemos que o elemento 0, os geradores minimais e o elemento s não são elementos de Betti.

Este majorante para o número de elementos de Betti pode ser melhorado. Observemos o seguinte corolário que resulta também do Lema 2.3.0.3.

Corol´ario 2.3.0.6. Seja S = hs1, . . . , sni um semigrupo num´erico e s = s1 +· · · + sn.

Temos que

#Betti(S) s (n + 1).

Demonstração. Observemos que os elementos de Betti são elementos do semigrupo numérico S, que não pertencem a s + S, ou seja pertencem ao conjunto S \ (s + S) que é precisamente o conjunto de Apéry de S com respeito a s. Como vimos anteriormente este conjunto tem s elementos que são os elementos do semigrupo numérico aos quais retirando s sa´ımos de S. O zero e os n geradores minimais do semigrupo numérico são exemplos de elementos que fazem parte de Ap(S, s). Para concluir a prova basta observar que nem o zero nem os geradores minimais são elementos de Betti.

Como conseguimos concluir que o número de elementos de Betti é finito, podemos afirmar agora que calcular o grau de catenaridade a partir dos elementos de Betii será mais prático do que usando o grau de catenaridade de todos os elementos do semigrupo numérico.

Mais, com o último corolário conseguimos uma majoração para o número de elementos de Betti de um semigrupo numérico.

Observemos que com o último corolário conseguimos apenas dizer que o semigrupo S = h926, 1469, 2101, 3072i não tem mais de 926+1469+2101+3072 (4+1) = 7563 elementos de Betti, e como já t´ınhamos visto no Exemplo 2.3.0.1 este semigrupo numérico tem apenas 38 elementos de Betti.

De facto esta majoração não nos satisfaz. Deixamos assim em aberto o problema de encontrar uma majoração, mais estreita, para o número de elementos de Betti de um semigrupo numérico.

(54)

2.4 Grau de Mansid˜ao

O grau de mansidão, também definido à custa da noção de distância dada na secção inicial deste cap´ıtulo, é outro tópico fundamental nesta tese. Esta secção apresenta uma subsecção onde é visto o caso particular do grau de mansidão nos semigrupos numéricos aritméticos.

Seja S o semigrupo num´erico gerado minimalmente por {s1, s2, . . . , sp}, com p > 1.

Para s 2 S e i 2 {1, . . . , p} vamos definir ti(s) = max d(z, ZSi(s)) | z 2 ZS(s) , onde

d(z, Zi

S(s)) = min d(z, y)| y 2 ZSi(s) .

Definição 2.4.0.1. O grau de mansidão - em inglês tame degree - de um elemento s,

pertencente ao semigrupo numérico S, também é definido em termos de distâncias e é dado por t(s) = max ti(s)| s si 2 S, 1  i  p .

Exemplo 2.4.0.2. Consideremos de novo o semigrupo num´erico S = h5, 8, 12i. Vejamos,

usando a definição, qual o grau de mansidão do elemento 60.

Comecemos por notar que este semigrupo numérico é minimalmente gerado por três elementos, e portanto, usando a notação da definição anterior, temos que p = 3.

Vejamos quais os si, ou seja os geradores minimais, tais que 60 si pertencem a S.

Como 60 5 = 5⇥ 11 2 S, 60 8 = 8⇥ 5 + 12 2 S e 60 12 = 8⇥ 6 2 S todos os si

verificam a condic¸˜ao.

Ora, como j´a indicamos anteriormente no Exemplo 2.1.0.7,

ZS(60) ={(12, 0, 0), (4, 5, 0), (8, 1, 1), (0, 6, 1), (4, 2, 2), (0, 3, 3), (0, 0, 5)}.

Usando ZS(60) facilmente distinguimos os seguintes conjuntos, definidos na secc¸˜ao

inicial deste cap´ıtulo: Z1 S(60) = (12, 0, 0), (4, 5, 0), (8, 1, 1), (4, 2, 2) , Z2 S(60) = (4, 5, 0), (8, 1, 1), (0, 6, 1), (4, 2, 2), (0, 3, 3) e Z3 S(60) = (8, 1, 1), (0, 6, 1), (4, 2, 2), (0, 3, 3), (0, 0, 5) .

(55)

2.4. GRAU DE MANSID ˜AO 37 Vamos agora encontrar os conjuntos ti(60), 1  i  3, para este exemplo.

t1(60) = max n d z, Z1 S(60) | z 2 ZS(60) o = maxnd (12, 0, 0), Z_S1(60) , d (4, 5, 0), Z_S1(60) , d (8, 1, 1), Z_S1(60) , d (0, 6, 1), Z_S1(60) , d (4, 2, 2), Z_S1(60) , d (0, 3, 3), Z_S1(60) , d (0, 0, 5), Z_S1(60) o.

Como é nula a distância entre um elemento e qualquer conjunto que o contém, temos que

d (12, 0, 0), Z_S1(60) = d (4, 5, 0), Z_S1(60) = d (8, 1, 1), Z_S1(60) = d (4, 2, 2), Z_S1(60) = 0, resta-nos ver quanto ´e d (0, 6, 1), Z1

S(60) , d (0, 3, 3), ZS1(60) e d (0, 0, 5), ZS1(60) . Ora, d (0, 6, 1), ZS1(60) = min n d (0, 6, 1), (12, 0, 0) , d (0, 6, 1), (4, 5, 0) , d (0, 6, 1), (8, 1, 1) , d (0, 6, 1), (4, 2, 2) o = min 12, 4, 8, 5 = 4, d (0, 3, 3), Z_S1(60) = minnd (0, 3, 3), (12, 0, 0) , d (0, 3, 3), (4, 5, 0) , d (0, 3, 3), (8, 1, 1) , d (0, 3, 3), (4, 2, 2) o = min 12, 6, 8, 4 = 4 e d (0, 0, 5), Z1 S(60) = min n d (0, 0, 5), (12, 0, 0) , d (0, 0, 5), (4, 5, 0) , d (0, 0, 5), (8, 1, 1) , d (0, 0, 5), (4, 2, 2) o = min 12, 9, 9, 6 = 6. Portanto, t1(60) = max 0, 0, 0, 4, 0, 4, 6 = 6.