Gravita¸c˜ ao n˜ ao-local livre de fantasmas

A pr´oxima generaliza¸c˜ao poss´ıvel consiste em considerar para a a¸c˜ao da gravidade uma forma n˜ao-local, contendo um n´umero infinito de derivadas. Com o intuito de estudar o propagador nesse tipo de teoria, os termos relevantes na a¸c˜ao s˜ao aqueles que s˜ao de segunda ordem na m´etrica. Sendo assim, considere

S = SEH +

Z

d4x√−gnR F1() R + RµνF2() Rµν+ RµναβF3() Rµναβ

o

. (1.30) O terceiro termo da equa¸c˜ao (1.30), na verdade, n˜ao contribui para o estudo do propa- gador. Por meio das identidades de Bianchi e de integra¸c˜oes por partes, pode-se provar para qualquer N inteiro a existˆencia da seguinte identidade [12]

RµναβNRµναβ = 4RµνNRµν − RNR + O(R...3) . (1.31)

Dessa maneira, admitindo que as fun¸c˜oes F1,2,3() possam ser expandidas em s´eries de

potˆ_{encias no operador , vemos que o termo que cont´em o quadrado do tensor de Riemann} ´e na verdade de terceira ordem. Ent˜ao, se trocarmos F1 → F1 − F3 e F2 → F2 + 4F3,

podemos usar sem perda de generalidade para o c´alculo do propagador F3 = 0 .

Considere agora, o caso particular com as seguintes fun¸c˜oes: F1() = a() − 1

Para essa escolha, o propagador completo para o campo gravitacional tem a seguinte forma [31, 218], G2(p) = 1 p2_a(−p2₎ h P(2)− 1 2P (0−s)i_{, (1.33)}

onde P(2) _{e P}(0−s)_{s˜ao os operadores de proje¸c˜ao de spin (para maiores detalhes a respeito}

dos projetores, veja as referˆencias [42, 167]). Em particular, se a fun¸c˜_{ao a() n˜ao tiver} zeros, n˜ao introduzimos res´ıduos novos no propagador (1.33). Desse modo, a teoria n˜ao inclui novos graus de liberdades e podemos, assim, construir uma teoria da gravita¸c˜ao com derivadas superiores livre de fantasmas no n´ıvel de ´arvore. De acordo com o teorema de Weierstrass, qualquer fun¸c˜ao inteira no plano complexo pode ser escrita na forma a() = e−γ(), onde γ() ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica qualquer. Essencialmente, o mesmo exemplo de fun¸c˜ao inteira foi considerado nas referˆencias [29, 150, 152, 218], a saber

a() = exp  − µ2  . (1.34)

Na teoria gravitacional n˜ao-local baseada na fun¸c˜ao exponencial (1.34), a f´ormula para o power counting, equa¸c˜ao (1.17), n˜ao tem sentido matem´atico, pois ela tem um resultado indefinido do tipo ∞ − ∞. Todavia, atrav´es da contagem do n´umero de infi- nitudes introduzidas na forma da exponencial, ´e poss´ıvel atrav´es da rela¸c˜ao topol´ogica (1.18) realizar o estudo da estrutura das divergˆencias nessa teoria. Os detalhes desse processo pode ser encontrado nas referˆencias [150, 152, 217, 218]. Os resultados prelimina- res s˜_{ao exatamente os mesmos do que na teoria polinomial (1.24) com k > 3. A teoria} ´e super-renormaliz´avel, as divergˆencias est˜ao presentes apenas no n´ıvel de 1-loop e os contratermos tem apenas zero, dois e quatro derivadas da m´etrica.

Apesar de os fantasmas massivos n˜ao estarem presentes no propagador no n´ıvel de ´

arvore (1.33), no n´ıvel quˆantico o propagador completo com todas as corre¸c˜oes quˆanticas, apresenta um n´umero infinito de fantasmas complexos escondidos [199]. Sendo assim, na teoria quˆantica completa, n˜ao ´e poss´ıvel tamb´em, nesse caso, evitar a presen¸ca de estados n˜ao-f´ısicos devido `as derivadas superiores.

Elementos de teoria quˆantica de campos no espa¸co-tempo curvo

Um dos aspectos melhor compreendidos atualmente com respeito aos efeitos quˆan- ticos do campo gravitacional ´e a teoria quˆantica de campos no espa¸co-tempo curvo. Essa, corresponde a uma abordagem semicl´assica da gravita¸c˜ao, em que apenas os campos de mat´eria s˜ao quantizados, enquanto que a m´etrica ´e tratada apenas como um campo ex- terno cl´assico. No presente cap´ıtulo, nosso principal objetivo ´e dar uma introdu¸c˜ao mais t´ecnica relacionada a essa teoria, com t´opicos que ser˜ao importantes para o entendimento da tese. Come¸camos na se¸c˜ao 2.1 introduzindo a no¸c˜ao da a¸c˜ao do v´acuo e apresentamos argumentos formais a respeito da necessidade da introdu¸c˜ao dos termos com derivadas superiores na a¸c˜ao gravitacional. O motivo exposto ´e que os termos com quatro derivadas da m´etrica s˜ao necess´arios para a renormaliza¸c˜ao da teoria semicl´assica. Em seguida, na se¸c˜ao 2.2 consideramos a a¸c˜ao efetiva do v´acuo. Na teoria de perturba¸c˜oes a a¸c˜ao efetiva pode ser escrita como a a¸c˜ao cl´assica mais corre¸c˜oes quˆanticas em potˆencias da constante ~. Sendo assim, a a¸c˜ao efetiva representa um dos objetos centrais do nosso es- tudo. Logo depois, na se¸c˜ao 2.3 discutimos como definir a a¸c˜ao dos campos de mat´eria no espa¸co-tempo curvo. Na se¸c˜ao 2.4, abordamos os m´etodos pr´aticos dos c´alculos quˆanticos das divergˆencias de 1-loop no fundo geral e consideramos assuntos relacionados como a renormaliza¸c˜ao e o grupo de renormaliza¸c˜ao. Damos maior ˆenfase na t´ecnica de Schwinger- DeWitt, pois esse representa o principal m´etodo de c´alculo que ser´a usado. Por fim, as se¸c˜oes 2.5, 2.6 e 2.7 tratam de assuntos relacionados a anomalia conforme. Devido `a fun-

damental importˆancia desse assunto para a teoria semicl´assica (e tamb´em para essa tese) essa se¸c˜ao cont´em maiores detalhes. Novamente, este cap´ıtulo de revis˜ao ´e desenvolvido tendo como base as notas de aula do professor Ilya Shapiro que foram respons´aveis pelo artigo de revis˜ao [200].

2.1

A¸c˜ao do v´acuo: a real necessidade das derivadas

superiores

Como visto no cap´ıtulo anterior, a gravita¸c˜ao quˆantica ´e caracterizada por um con- flito entre a sua renormaliza¸c˜ao e unitariedade. Para que a teoria seja renormaliz´avel, ´e necess´aria a introdu¸c˜ao de termos com derivadas superiores na a¸c˜ao gravitacional. Con- tudo, esses termos introduzem graus de liberdade n˜ao-f´ısicos, respons´aveis pela quebra da unitariedade da matriz S gravitacional.

A formula¸c˜ao de uma teoria quˆantica da gravidade consistente, ainda ´e um dos maiores desafios existentes na F´ısica te´orica. O maior problema nessa ´area ´e a falta de evidˆencia experimental a respeito da quantiza¸c˜ao da m´etrica. Consequentemente, qual- quer modelo de gravita¸c˜ao quˆantica ´e, atualmente, baseado apenas em princ´ıpios te´oricos, sem nenhuma restri¸c˜ao fenomenol´ogica. Sendo assim, a real necessidade das derivadas su- periores na a¸c˜ao gravitacional se torna question´avel. Ser´a que ´e poss´ıvel ignorar esses termos? A resposta para essa pergunta ´e negativa, pois mesmo quando a m´etrica n˜ao ´e quantizada, esses termos s˜ao fundamentais para que a teoria quˆantica da mat´eria seja consistente no espa¸co-tempo curvo. As teorias de campo da mat´eria renormaliz´aveis no espa¸co-tempo plano perdem essa propriedade no espa¸co-tempo curvo, se n˜ao considerar- mos os termos de quarta ordem na a¸c˜ao gravitacional. Vale a pena enfatizar mais uma vez que, apesar de n˜ao existirem evidˆencias emp´ıricas da quantiza¸c˜ao da m´etrica, a teoria quˆantica de campos e o espa¸co-tempo curvo s˜ao no¸c˜oes bem estabelecidas que possuem, separadamente, uma ampla verifica¸c˜ao experimental. Dessa forma, ´e natural admitir a consistˆencia simultˆanea das duas teorias. Para entendermos como os termos quadr´aticos na curvatura emergem naturalmente na teoria quˆantica de campos no espa¸co-tempo curvo, podemos considerar, mais uma vez, a expans˜ao da m´etrica gµν = ηµν + hµν e os argu-

Figura 2.1: As linhas retas correspondem aos campos de mat´eria, j´a as linhas onduladas `a m´etrica externa. Um ´unico diagrama no espa¸co-tempo plano gera um conjunto infinito de diagramas no espa¸co- tempo curvo. O primeiro diagrama ´e exatamente o original do espa¸co-tempo plano e o restante cont´em linhas externas gravitacionais.

os poss´ıveis diagramas de Feynman possuem apenas loops de campos de mat´eria. Devido `

a gravita¸c˜ao ser uma teoria do tipo n˜ao-polinomial, qualquer diagrama de Feynman no espa¸co-tempo plano ´e respons´avel por um conjunto infinito de diagramas no espa¸co-tempo curvo, com o n´umero crescente de linhas externas gravitacionais (veja a figura 2.1).

Quando o n´umero de v´ertices de um dado diagrama aumenta, o grau superficial de divergˆencias pode, de acordo com a f´ormula (1.17), apenas diminuir. Portanto, a inser¸c˜ao de novos v´ertices de intera¸c˜ao com campos hµν n˜ao pode elevar o grau superficial de

divergˆencias de um diagrama. Como resultado, todos os diagramas com caudas externas gravitacionais tˆem o mesmo ou um menor ´ındice de divergˆencia do que o diagrama origi- nal do espa¸co-tempo plano. A teoria quˆantica de campos renormaliz´avel no espa¸co-tempo plano possui apenas divergˆencias logar´ıtmicas com dimens˜ao de massa quatro. Portanto, mesmo no espa¸co-tempo curvo estar˜ao presentes apenas divergˆencias logar´ıtmicas com essa dimens˜ao. O simples diagrama de bolha de v´acuo no espa¸co-tempo plano ´e res- pons´avel, no espa¸co-tempo curvo, pelo diagrama com estrutura geral apresentada na fi- gura 2.2. Esse diagrama ´e respons´avel por contribui¸c˜oes puramente gravitacionais e como argumentado anteriormente, as divergˆencias logar´ıtmicas tamb´em possuem nesse caso di- mens˜ao de massa 4. Como a m´etrica ´e um campo adimensional e como as divergˆencias tamb´em s˜ao nessa situa¸c˜ao express˜oes locais e covariantes [137], a ´unica forma poss´ıvel para as divergˆencias logar´ıtmicas puramente gravitacionais s˜ao os termos quadr´aticos nos tensores de curvatura.

Figura 2.2: Diagrama geral com um loop dos campos de mat´eria com linhas externas gravitacionais. As divergˆencias est˜ao presentes apenas nos diagramas com um e dois v´ertices gravitacionais.

O n´umero m´ınimo de termos puramente gravitacionais, necess´arios para a renor- maliza¸c˜ao da teoria semicl´assica, conhecidos como a¸c˜ao do v´acuo, podem ser expressos como

Svac = SEH + SDS, (2.1)

SDS =

Z

d4x√−g {a1C2+ a2E + a3R + a4R2} , (2.2)

onde na equa¸c˜ao (2.2) utilizamos uma base mais ´util para os termos quadr´aticos nos ten- sores de curvatura, por meio do quadrado do tensor de Weyl C2 _{e do termo topol´ogico}

de Gauss-Bonnet E. A prova formal da suficiˆencia da a¸c˜ao do v´acuo (2.1) para renorma- lizabilidade da teoria semicl´assica pode ser encontrada, por exemplo, na referˆencia [42].