A Relatividade Geral ´e a teoria atualmente aceita pela comunidade cient´ıfica que melhor descreve os efeitos relativ´ısticos do campo gravitacional no n´ıvel cl´assico (para uma introdu¸c˜ao detalhada ao tema, s˜ao deixados como referˆencia ao leitor os livros- texto [136, 149, 226, 227]). Nessa teoria, a geometria do espa¸co-tempo ´e caracterizada por uma variedade curva pseudo-Riemanniana, em que as componentes do tensor m´etrico gµν
do espa¸co-tempo descrevem o campo gravitacional.
Os conceitos f´ısicos mais fundamentais que a RG deve satisfazer s˜ao os princ´ıpios de equivalˆencia e o da covariˆancia geral. De acordo com o princ´ıpio de equivalˆencia, o campo gravitacional pode sempre ser eliminado em uma pequena regi˜ao do espa¸co-tempo por meio de uma escolha apropriada de um referencial acelerado. Em outras palavras, a for¸ca gravitacional ´e localmente equivalente `as for¸cas fict´ıcias de in´ercia. J´a o princ´ıpio de covariˆancia geral (ou simplesmente, covariˆancia) afirma que todas as leis da f´ısica n˜ao dependem do sistema de coordenadas usado. Isso significa que, matematicamente, todas as quantidades f´ısicas devem ser expressas por objetos que se transformam como tensores com respeito `as transforma¸c˜oes gerais de coordenadas x0µ = x0µ(xν) .
A dinˆamica do campo gravitacional ´e obtida atrav´es da a¸c˜ao total
St= SEH + Sm, (1.1) onde SEH = − 1 16π G Z d4x√−g (R + 2Λ) (1.2)
´e a a¸c˜ao da gravidade, tamb´em conhecida como a¸c˜ao de Einstein-Hilbert, e Sm ´e a a¸c˜ao
que descreve a mat´eria no espa¸co-tempo curvo. Na f´ormula (1.2), G ´e a constante gravi- tacional de Newton, R ´e o escalar de curvatura de Ricci e Λ ´e a constante cosmol´ogica.
Atrav´es do princ´ıpio da m´ınima a¸c˜ao, obtemos as equa¸c˜oes de campo de Einstein Gµν ≡ Rµν − 1 2gµνR = 8πG Tµν− Λ gµν, (1.3) onde Tµν = −√2 −g δSm δgµν (1.4) ´e conhecido como tensor momento energia.
As duas principais solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Einstein s˜ao a solu¸c˜ao do campo gravita- cional esfericamente sim´etrico, que ´e fundamental para descrever objetos como, por exem- plo, planetas, estrelas e buracos negros, e as solu¸c˜oes de m´etrica homogˆenea e isotr´opica que s˜ao usadas para estudar a dinˆamica do nosso universo em diferentes etapas de sua evolu¸c˜ao. As previs˜oes obtidas por meio dessas solu¸c˜oes est˜ao de acordo com os dados experimentais e observacionais dispon´ıveis [136, 149, 226, 227]. Entretanto, as mesmas n˜ao est˜ao livres de problemas e apresentam s´erias quest˜oes conceituais relacionadas com a existˆencia de singularidades. A seguir, discutiremos em maiores detalhes essas quest˜oes.
1.1.1
A solu¸c˜ao de Schwarzschild
A solu¸c˜ao de Schwarzschild descreve o campo gravitacional de uma distribui¸c˜ao esfericamente sim´etrica de massa em repouso. No caso de uma massa puntiforme M , posicionada na origem de um sistema de coordenadas esf´ericas, a solu¸c˜ao ´e dada por
ds2 = 1 − 2GM r dt2− 1 −2GM r −1 dr2− r2dΩ2, (1.5)
onde dΩ2 ´e a m´etrica da esfera de raio unit´ario.
A m´etrica (1.5) ´e singular em dois diferentes pontos do espa¸co-tempo, no raio gra- vitacional rg = 2GM e na origem r = 0. ´E bem conhecido que a primeira singularidade
depende da escolha de coordenadas [89,92,118]. Se usarmos, por exemplo, as coordenadas de tempo avan¸cado v e tempo retardado u, definidas pelas express˜oes
v = t + r + rg ln r rg − 1 , u = t − r − rg ln r rg − 1 , (1.6)
a m´etrica se torna regular em r = rg,
ds2 = 1 −2GM r du dv − r2dΩ2. (1.7)
Outra observa¸c˜ao importante ´e que apesar desse fato, o primeiro termo de ambas as equa¸c˜oes (1.5) e (1.7) se anula no raio gravitacional. Isso indica a existˆencia do horizonte de eventos do buraco negro, uma regi˜ao do espa¸co-tempo em que nenhuma part´ıcula pode se propagar para o seu exterior [89, 92, 118].
J´a a singularidade em r = 0 n˜ao pode ser removida por meio de qualquer trans- forma¸c˜ao de coordenadas. Para entendermos esse fato podemos construir quantidades
escalares a partir do tensor de curvatura, que por serem escalares n˜ao dependem do sis- tema de coordenada usado. Como a solu¸c˜ao de Schwarzschild ´e uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein do v´acuo, Rµν = 0, o escalar mais simples poss´ıvel nesse caso ´e o quadrado do
tensor de Riemann (tamb´em conhecido como invariante de curvatura de Kretschmann), cujo valor para a m´etrica (1.5) ´e dado por
R2µναβ = 12 r
2 g
r6 . (1.8)
O significado real dessa singularidade torna-se claro quando consideramos o processo do colapso gravitacional [89, 92, 136]. Qualitativamente o que ocorre ´e que uma estrela muito pesada, depois de atingir a etapa final da sua evolu¸c˜ao (em que o seu combust´ıvel nuclear j´a foi extinto), come¸ca a diminuir de tamanho devido `a atra¸c˜ao gravitacional. Esse processo pode prosseguir at´e que a estrela se torne muito pequena, e se a estrela for suficientemente massiva, a for¸ca gravitacional na sua superf´ıcie pode superar o limite criado pelas for¸cas nucleares (limite de Chandrasekhar). Nesse caso, o colapso da estrela continua e, eventualmente, a estrela se converte em um buraco negro. O processo de colapso continua ocorrendo dentro do buraco negro, at´e que chegar´ıamos a uma situa¸c˜ao em que, admitindo que a RG ´e v´alida em todas as escalas, ter´ıamos uma verdadeira part´ıcula puntiforme no centro do buraco negro, chegando assim em uma situa¸c˜ao em que a densidade de energia e a curvatura s˜ao estritamente infinitas e a singularidade em r = 0 se torna real.
A singularidade descrita acima ´e uma situa¸c˜ao f´ısica n˜ao realista. Sendo assim, espera-se que modifica¸c˜oes na teoria original da Relatividade Geral sejam respons´aveis por evitar a sua forma¸c˜ao.
1.1.2
Modelo cosmol´ogico padr˜ao
A Cosmologia estuda a dinˆamica do universo em larga escala, em que a for¸ca gra- vitacional ´e o principal tipo de intera¸c˜ao. O modelo cosmol´ogico padr˜ao ´e baseado nos seguintes princ´ıpios [118, 154]:
(i) princ´ıpio cosmol´ogico: o universo em escalas maiores do que 100 Mpc ´e homogˆeneo e isotr´opico. Este princ´ıpio tamb´em implica que o universo est´a em expans˜ao de acordo com a lei de Hubble: a velocidade com que um ponto A se afasta com
respeito de um ponto B ´e proporcional a sua distˆancia
vAB = H(t) rAB, (1.9)
onde H(t) ´e conhecido como parˆametro de Hubble e rAB ´e o raio vetor que aponta
de A para B.
(ii) postulado de Weyl: a mat´eria que preenche o universo ´e descrita atrav´es de um flu´ıdo perfeito, que ´e caracterizado pela sua densidade de energia ρ, press˜ao p e quadrivelocidade uα. O seu tensor momento energia ´e dado por
Tµν = (ρ + p) uµuν − p δµν; (1.10)
(iii) a dinˆamica gravitacional nas escalas cosmol´ogicas ´e determinada pela Relatividade Geral.
O espa¸co-tempo homogˆeneo e isotr´opico ´e descrito pela m´etrica de Friedmann- Lemaˆıtre -Robertson-Walker (FLRW) ds2 = dt2− a(t)2. dr2 1 − kr2 + r 2dΩ2 , k = −1, 0, 1 , (1.11)
onde a(t) ≡ exp(R dt0H(t0)) ´e conhecido como fator de escala do universo e os diferentes
valores de k definem a curvatura da se¸c˜ao espacial tridimensional do espa¸co-tempo. Substitu´ıdo a m´etrica (1.11) e o tensor momento energia (1.10) nas equa¸c˜oes de Einstein (1.3), chegamos `a equa¸c˜ao diferencial de Friedmann
H2 = ˙a a 2 = 8πG 3 ρ − k a2 + Λ 3 . (1.12)
Outra importante rela¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de momento e energia ˙
ρ + 3 H (ρ + p) = 0 . (1.13)
A densidade total de energia do universo ρ =P ρi inclui diferentes tipos de fluidos
como, por exemplo, a mat´eria bariˆonica, a mat´eria escura, a radia¸c˜ao e a energia escura. Para uma dada equa¸c˜ao de estado do tipo p = wρ, o sistema de equa¸c˜oes (1.12) e (1.13) pode ser solucionado. A t´ıtulo de exemplo, no caso de um g´as ultrarrelativ´ıstico de part´ıculas (radia¸c˜ao) a equa¸c˜ao de estado ´e definida pela rela¸c˜ao p = ρ/3 e, portanto, a solu¸c˜ao para o caso espec´ıfico em que k = Λ = 0 ´e dada por
ρ(t) ∝ a−4, a(t) ∝ t1/2, H(t) = 1 2t, R 2 µν = 3 4t4 . (1.14)
J´a quando a press˜ao exercida pela mat´eria pode ser desprezada em rela¸c˜ao a sua densidade de energia (poeira), temos p = 0 e assim encontramos como solu¸c˜ao
ρ(t) ∝ a−3, a(t) ∝ t2/3, H(t) = 2
3t, R =
4
3t2 . (1.15)
Em ambos os casos no in´ıcio do universo, isto ´e, no limite em que t → 0 , temos que o fator de escala a(t) → 0 e, consequentemente, a densidade total de energia tal como a curvatura s˜ao infinitas (singularidade inicial). Chegamos assim, mais uma vez, em outro exemplo de singularidade que ´e independente do sistema de coordenadas usado. Qualitativamente, a situa¸c˜ao aqui ´e an´aloga ao caso do buraco negro.