Grelha de AnÆlise dos Manuais utilizada no Project

Num primeiro momento, a nossa anÆlise dos manuais serÆ efectuada com base nos critØrios da Grelha utilizada no Project 2061.

Esta grelha Ø da autoria de um grupo de investigadores que, em 1985, iniciou o Project 2061 financiado pela National Science Foundation, e apoiado pela American Association for the Advancement of Science AAAS.

Segundo os autores do projecto, este surge da necessidade dos professores/educadores terem de escolher qual o manual mais indicado, sendo que, para tal, Ø necessÆrio um mØtodo fiÆvel e vÆlido para avaliar a qualidade dos materiais curriculares. Desta forma, esta grelha serve tanto para responder s necessidades das escolas face escolha de um manual como tambØm aux ilia os professores a rever os materiais (manuais) jÆ existentes para melhorar a sua eficÆcia. Os autores referem ainda que esta poderÆ servir de guia aos investigadores na criaªo de novos materiais.

A grelha contempla duas anÆlises distintas: uma anÆlise relativa ao conteœdo dos manuais, a nossa primeira anÆlise, e outra, referente a determinados critØrios de Ensino (Instructional criteria), a nossa segunda anÆlise.

A anÆlise de conteœdo tem por objectivo verificar se o material estÆ alinhado com os objectivos curriculares definidos no Programa Curricular de MatemÆtica no que diz respeito introduªo dos Nœmeros Racionais no 5” ano (a nossa primeira anÆlise). No entanto, a simples presena desse conteœdo nos m anuais nªo assegura que os estudantes irªo aprendŒ-lo. Para uma aprendizagem real, os manuais terªo de se focar em estratØgias de ensino especficas para transmitir as ideias e as competŒncias que os estudantes deverªo adquirir (a nossa segunda anÆlise). Esta anÆlise providencia informaªo quanto ao potencial dos manuais em ajuda r os alunos numa aprendizagem efectiva de conceitos e competŒncias. Os sete critØrios definidos para fazer as apreciaıes dos manuais sªo derivados da investiga ªo sobre o processo de ensino e aprendizagem, assim como, no conhecimento prÆtico de tØcnicos da educaªo experientes. Como, no presente estudo, a metodologia de anÆlise dos manuais irÆ basear-se em parte na metodologia deste projecto, esta irÆ ser detalhadamente descrita.

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3.2.1.1- AnÆlise do conteœdo dos manuais

A nossa primeira anÆlise tem por objectivo verificar se os manuais estªo alinhados com os objectivos curriculares definidos no Programa Curricular de MatemÆtica, no que concerne a introduªo dos Nœmeros Racionais no 5” ano. Pretende- se, entªo, verificar se determinadas ideias/conceit os e competŒncias estªo, ou nªo, presentes no manual.

O Project 2061 distinguiu duas anÆlises de conteœdo: uma relativa ao conceito

de nœmeros racional ( Number Concept), que remete para os vÆrios significados de fracªo, e uma segunda anÆlise que se debrua sobre competŒncias desenvolvidas com os nœmeros racionais ( Number Skills ).

Segundo os autores, a anÆlise do conteœdo dos manuais resulta nªo s muito importante como difcil pois Ø necessÆrio perceber se o conteœdo Ø apresentado num nvel de sofisticaªo apropriado para o ano de esco laridade. Para tal, Ø fundamental uma definiªo clara e objectiva do conhecimento e compe tŒncias que os alunos deverªo desenvolver; Ø necessÆria uma definiªo suficientemente especfica de forma a permitir aos analistas determinar em que medida a manual cumpre os objectivos.

Os objectivos definidos no Programa Curricular de MatemÆtica no que concerne os Nœmeros Racionais no 5” ano sªo: Distinguir nœmero inteiro e nœmero fraccionÆrio; Comparar e ordenar nœmeros racionais representados de diversas formas; Escrever fracıes equivalentes uma fracªo dada; Escrever, se possvel, uma fracªo decimal equivalente uma fracªo dada; Converter uma frac ªo decimal em nœmeral com vrgula. Na categoria observaıes/ sugestıes metod olgicas lŒem-se as seguintes orientaıes: O estudo das fracıes deve incluir di ferentes tipos de representaıes grÆficas. Sugere-se ainda a utilizaªo de materiais manipulÆveis: sectores circulares em papel, geoplano, material Cuisenaire, calculadoras multibÆsico

Verifica-se que os objectivos definidos, no actual Programa Curricular de MatemÆtica especificamente na Ærea referente aos Nœmeros Racionais, nªo sªo precisos na descriªo do conhecimento ou das competŒncias qu e se pretende que os estudantes adquiram, ou seja, estªo pouco operacionalizados. C om efeito, relativamente ao conceito de fracªo, o objectivo remete apenas para a distinªo entre nœmero inteiro e

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nœmero fraccionÆrio. Esta operacionalizaªo dos objectivos resulta claramente desadequada, pelo que se considerou a operacionalizaªo dos objectivos propostas pelos autores da grelha: a expressªo a/b tem diferentes significados: a partes de tamanho 1/b cada (parte/todo), a a dividir por b (quociente), a comparado com b (razªo) , a enquanto medida de uma quantidade relativa de b, que representa a unidade dessa quantidade (medida); uma multiplicaªo por a e divisªo por b (operador).

Assim, considera-se que o manual contempla a maioria do conteœdo quando aborda quatro ou cinco significados; o manual contempla parcialmente o conteœdo quando aborda trŒs significados; o manual contempla um conteœdo mnimo quando aborda dois significados ou menos. A simbologia utilizada serÆ a seguinte:

A maioria do conteœdo: o manual contempla quatro ou cinco significados Conteœdo parcial: o manual contempla trŒs significados

Conteœdo mnimo: o manual contempla dois ou menos significados

Para proceder anÆlise de conteœdo que se debrua sobre as competŒncias desenvolvidas com os nœmeros racionais irÆ ter-se em conta os objectivos definidos pelo Programa Curricular, i.e., Comparar e ordenar nœmeros racionais; Escrever fracıes equivalentes uma fracªo dada.

No entanto, verificamos, uma vez mais, que estes objectivos estªo pouco operacionalizados, em particular no que diz respeito comparaªo de fracıes que poderÆ se aplicar a diferentes situaıes. Como refe re Nunes e Bryant (2009) existem trŒs situaıes relativamente comparaªo e ordena ªo de fracıes: (1) com denominador igual e numerador diferente (2/4 < 3/4); (2) com numerador igual e denominador diferente (3/2 <3/4); e (3) quando ambos variam.

Assim, considera-se que o manual contempla a maioria do conteœdo quando aborda as quatro competŒncias: equivalŒncia e as trŒs situaıes relativamente

comparaªo e ordenaªo de fracıes. Considera-se qu e o manual contempla

parcialmente o conteœdo quando aborda trŒs das quatro competŒncias; e que o manual contempla um conteœdo mnimo quando propıe situaıe s que remetem para duas, ou menos, das competŒncias exigidas. A simbologia utilizada serÆ a seguinte:

A maioria do conteœdo: o manual aborda as quatro competŒncias Conteœdo parcial: o manual aborda trŒs competŒncias

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Optou-se nesta anÆlise por nªo abordar as fracıes decimais por duas ordens de razıes: (1) a literatura sugere que o trabalho/comp reensªo das fracıes decimais requerem uma boa conceptualizaªo dos nœmeros decim ais e uma abordagem metodolgica prpria (Brissiaud, 1998; Brousseaud, 1981); e (2) segundo os autores da grelha, se o leque de objectivos Ø muito grande, deverÆ ser seleccionada uma amostra representativa destes, com a finalidade de anÆlise. Por outro lado, parece consensual na literatura, que Ø necessÆrio um longo trabalho no sentido de desenvolver uma compreensªo conceptual do conceito antes de iniciar a efectuar operaıes com as fracıes. O nosso objectivo Ø analisar como se intr oduzem conceitos antes dos algoritmos; pelo que nªo serÆ avaliada a forma como sªo abordadas as quatro operaıes com nœmeros racionais.

3.2.1.2- CritØrios de Ensino

Os autores da grelha referem que esta anÆlise providencia informaªo quanto ao potencial dos manuais em ajudar os alunos numa aprendizagem efectiva de conceitos e competŒncias, ou seja, remete para estratØgias de ensino especficas utilizadas para ensinar ideias e competŒncias.

A traduªo dos critØrios e itens de avaliaªo da Gr elha foi realizada anteriormente por Silvestre (2008).

A Grelha original Ø constituda por sete critØrios. Tendo em conta que o œltimo critØrio remetia para a caracterizaªo do ambiente da sala-de-aula de MatemÆtica, e semelhana do estudo anteriormente referido, este c ritØrio foi retirado. Assim sendo, a nossa anÆlise irÆ se debruar em redor das seis categorias. Sªo elas:

- Identificaªo de um sentido de objectivo

Este critØrio inclui itens que indicam se o manual se esfora para que os objectivos sejam claros e significativos para o aluno, e se relaciona as aulas com o objectivo da unidade.

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- Construªo de conhecimento a partir das ideias ma temÆticas dos alunos Este critØrio analisa se o manual contØm sugestıes especficas para a identificaªo das ideias dos alunos. Promover uma melhor compreensªo nos alunos requer que se perca algum tempo a escutar as ideias que eles jÆ possuem, sejam concepıes erradas, ou concepıes que podem ser œteis como base para a aprendizagem seguinte. Esse esforo implica que os professores tenham presente quais os prØ-requisitos necessÆrios para a compreensªo do que Ø esperado, e quais deverªo ser as ideias iniciais dos alunos e, em particular, as ideias que poderªo interferir com a aprendizagem da matemÆtica.

- Mobilizaªo dos alunos para a MatemÆtica

Um dos grandes objectivos da MatemÆtica Ø descobrir padrıes e modelar ideias e relaıes nos termos de um simples nœmero. Este crit Ørio verifica se o manual estimula os alunos a valorizarem o poder da MatemÆtica, e para isso precisam de ter uma noªo da variedade e complexidade das ideias e aplicaıes que a matemÆtica pode explicar ou servir como modelo.

- Desenvolvimento de ideias MatemÆticas

Este critØrio inclui itens para determinar se o manual expressa e desenvolve ideias de forma que sejam acessveis e inteligveis para o s alunos, e se demonstra a utilidade dos conceitos e competŒncias em contextos variados.

A literacia matemÆtica possui um nœmero de ideias importantes, mas abstractas representaªo simblica, padrıes e relaıes, resumi r dados. Essas ideias nªo sªo passveis de ser imediatamente descobertas no mundo real, as prprias ideias foram sendo desenvolvidas ao longo de vÆrias centenas de anos, como resultado de discussªo e debate acerca da existŒncia e lgica das leis matemÆticas, e comprovaªo de teoremas. O sucesso dos alunos e, consequentemente, dos manuais, requer que estes consigam perceber qual a ligaªo entre os conceitos e compet Œncias, que vejam a MatemÆtica como lgica e œtil, e que adquiram mais competŒncias ao utilizar a MatemÆtica.

- Promoªo do pensamento sobre a MatemÆtica

Este critØrio inclui itens para verificar se o manual sugere formas de ajudar os alunos a expressarem-se, a pensar sobre as suas ideias, e reformulÆ-las para melhor decifrarem o mundo.

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- Avaliaªo do progresso dos alunos na MatemÆtica

A avaliaªo providencia informaªo aos alunos acerc a do que Ø importante, e aos professores do que foi aprendido. Do mesmo modo, a avaliaªo fornece informaªo para ambos sobre os ajustamentos necessÆrios a fazer no ensino e na instruªo. Porque a avaliaªo Ø tªo importante no processo de aprendiza gem, deve estar de acordo com os objectivos de aprendizagem do currculo. Deste modo , este critØrio possui determinados itens que permitem verificar se o manual inclui avaliaıes que possam ser utilizadas como instrumentos diagnsticos ou formativos, que p or sua vez ajudam a determinar as carŒncias dos alunos.

Estes critØrios compreendem entre 2 a 6 itens cada um, perfazendo um total de 21, que, uma vez aplicados, depois da cotaªo, poderªo assumir a classificaªo de Nenhuma, Baixa, MØdia ou Alta. A classificaªo obtida varia conforme o nœmero de indicadores preenchidos pelo manual. Ou seja, para cada item existe um conjunto de indicadores a serem preenchidos, esses indicadores podem variar entre 2 e 4. A pontuaªo Ø, entªo, atribuda, pelo facto do manual preencher 1, 2, 3 ou 4 dos indicadores, ou por outro lado se nªo preencher nen hum.

Devida extensa descriªo dos itens e da sua cota ªo, optou-se por colocar essa informaªo em Anexo [Anexo A].

3.2.2 - AnÆlise da abordagem aos conceitos de unidade e partiªo assim como o conceito de equivalŒncia e ordem

Referimos anteriormente que esta anÆlise surgiu inicialmente da necessidade de proceder a uma avaliaªo das actividades e experiŒn cias propostas pelos manuais para desenvolver conceitos e procedimentos, e isto, de forma a responder a alguns itens da grelha. Com efeito, vÆrios itens da grelha tŒm por objectivo verificar se os manuais propıem actividades, experiŒncias ou tarefas diversificadas, que sªo apropriadas, significativas ou eficientes21 para introduzir, desenvolver e aplicar conceitos e

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Como por exemplo: As actividades que providenciam experiŒncias que dªo aos estudantes ligaıes significativas entre o conceito ou competŒncia e o seu conhecimento (III.2.1); As experiŒncias prÆticas sªo eficientes quando comparadas com outras experiŒncias que poderiam ter sido utilizadas (III.2.3), ou ainda, O manual providencia exemplos apropriados o u aplicaıes significativas dos termos e procedimentos (IV.2.3).

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procedimentos. Responder a estes critØrios implica que se proceda a uma revisªo de literatura para conseguir determinar que experiŒncias resultam mais apropriadas, significativas ou eficientes, e isto, tendo em conta a especificidade do conhecimento matemÆtico em questªo.

Por outro lado, a revisªo de literatura efectuada r evelou-nos que, mais importante que trabalhar subconstrutos ou conceitos soltos, Ø necessÆrio organizar o programa de ensino-aprendizagem em redor de determinadas grand es ideias importantes, que fornecem ncoras e conexıes entre informaıes e con hecimentos que tŒm de ser aprendidos (Baker, Simmons & Kameenui, 1994, cit. por Clarke et al., 2007). Referimos anteriormente que Carpenter, Fennema, & Romberg (1993) identificaram trŒs elementos unificadores para as interpretaıes: a unidade ( Unitizing); partiªo ( partitioning) e a noªo de quantidade; aos quais Lamon (1999) acrescenta o pensamento multiplicativo ou relativo. Kieren (1988) salientou a importncia da ideia de equivalŒncia (para alØm da partiªo) como sendo um mecanismo de construªo do conceito (ou elemento unificador). Nunes & Bryant (2003) consideram ordem e equivalŒncia dois invariantes centrais para o conceito de fracªo.

Neste sentido, e considerando a especificidade do conhecimento matemÆtico em questªo, propomo-nos proceder a uma anÆlise com o objectivo de perceber como se organiza o programa de ensino-aprendizagem em redor do conceito de unidade, partiªo, equivalŒncia e ordenaªo. Tendo em conta a complexidade e amplitude do conceito de pensamento multiplicativo, optamos por nªo o abordar.

AtravØs da revisªo de literatura efectuada identificÆmos algumas experiŒncias e situaıes que favorecem a compreensªo dos diversos conceitos relacionados com nœmero racional, e que serªo a base para a nossa anÆlise.

De seguida, em dois momentos distintos, passÆmos descriªo dos critØrios que iremos utilizar para avaliar as experiŒncias que sªo propostas para trabalhar os conceitos de unidade e partiªo, assim como de equivalŒncia e ordenaªo.

3.2.2.1. Unidade e partiªo

A anÆlise realizada por Stafylidou & Vosniadou (2004) permitiu-nos retirar vÆrias ideias, nomeadamente, a importncia de trabalhar (1) o conceito de unidade e (2) de fracªo igual, maior ou menor que a unidade. Ass im, propomo-nos analisar, em

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momentos distintos, a forma como os manuais abordam e trabalham o conceito de unidade assim como o conceito de fracªo imprpria e nœmero misto.

A nossa anÆlise relativa forma como Ø trabalhado o conceito de unidade basear-se-Æ nos seguintes critØrios:

- Reconhecemos, com Saenz-Ludlow (1995) e Steffe e Olive (1993), a importncia de propor actividades que permitam a eq uidivisªo da unidade em partes, a divisªo recursiva da parte em subpartes e a reconst ruªo da unidade; atribuindo especial importncia divisªo recursiva da parte em subpart es e a reconstruªo da unidade (Lamon, 1999; Steffe e Olive, 1993). Defendemos, com os autores, que esta acªo Ø fundamental para o desenvolvimento do significado de nœmero racional; que fornece flexibilidade ao conceito de unidade; e que poderÆ ajudar o aluno a perceber a relaªo funcional entre o todo e as suas partes, afastando-se de uma concepªo da fracªo enquanto constituda por dois nœmeros independentes.

- Com Behr et al. (1992) e Lamon (1999) reconhecemos a importncia de trabalhar o conceito de unidade atravØs de actividades de medida e partiªo .

Por tarefa de medida entende-se as situaıes em que existe uma determinada quantidade que Ø considerada a unidade de referŒncia e a partir da qual a situaªo serÆ redefinida em termos dessa unidade (Lamon, 1993; Olive & Steffe, 1980, cit. por Wong e Evans, 2008) assim como tarefas que implicam recurso recta numØrica.

Para avaliar o tipo de actividades de partiªo que sªo propostas, recorremos a Pothier e Sawada (1990) que identificaram cinco tipos de unidades distintas que podem ser partilhadas: a) quantidades contnuas; b) quant idades contnuas com subconjuntos separÆveis; c) objectos discretos; d) Conjuntos de objectos discretos com elementos divisveis; (e) Conjuntos discretos com subconjunto s separÆveis.

Tendo em conta as consideraıes de Nunes e Bryant ( 2009) atribumos especial importncia s situaıes de divisªo, i.e., quando e xistem dois domnios de medida.

A nossa anÆlise relativa forma como Ø trabalhada a ideia de fracªo igual e superior unidade e os nœmeros mistos terÆ em consideraªo as ideias de Amato (2005) que aponta a importncia de se propor, desde cedo, uma variedade de experiŒncias e mœltiplas representaıes para as fracıes iguais unidade (n/n) e de nœmeros mistos.

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Atribuimos especial importncia s situaıes onde o conceito de fracªo imprpria parece surgir mais naturalmente, i.e., situaıes me dida (Escolano e Gairin, 2005; Clarke et al., 2008) e divisªo (Nunes e Bryant, 2009; Mame de et al., 2005; Monteiro, Pinto & Figueiredo, 2005).

3.2.2.2. EquivalŒncia e ordem/comparaªo

A nossa anÆlise relativamente forma como Ø trabalhado o conceito de equivalŒncia terÆ por objectivo: (1) verificar se sªo introduzidas as duas ideias enunciadas por Nunes e Bryant (2009), i.e., duas quantidades fraccionÆrias com nomes diferentes podem ser equivalentes; e duas fracıes com o mesmo nome podem representar duas quantidades diferentes; e (2) analisar o tipo de situaªo que Ø utilizada para introduzir e desenvolver o conceito, prestando especial atenªo a situaıes de divisªo (Nunes et al. 2006, 2009; Mamede et al., 20 05; Monteiro, Pinto & Figueiredo, 2005) e de medida (Escolano e Gairin, 2005).

Para analisar a forma como sªo abordados os concei tos de ordem e comparaªo propomo-nos analisar quais os contextos utilizados para tal, atribuindo especial importncia a situaıes de divisªo (Nunes et Bryant , 2009) e de medida (Escolano e Gairin, 2005).

Como referimos, estes conceitos de equivalŒncia e ordenaªo sªo fundamentais

para uma boa compreensªo da ideia da magnitude da f racªo. Considerando as ideias de Nunes & Bryant (2009), propomo-nos ainda verificar se os manuais fomentam o desenvolvimento de raciocnios quantitativos, desen volvendo insights sobre a quantidade que permitam ao aluno construir uma compreensªo conceptual dos conceitos (e nªo s procedimental) ou se, pelo contrÆrio, se ensinam algoritmos sem os ancorar numa compreensªo de quantidades. Consideramos que u m raciocnio como quanto mais partes menor o valor (ou seja, uma relaªo in versa entre o nœmero de partes do todo e o tamanho das partes) Ø importante pois permite ao alunos entrar numa fase transitria do processo de aprendizagem das fracıe s, quando comeam a encarar a Fracªo enquanto uma Parte de um Todo e nªo mais como dois nœmeros independentes (Stafylidou e Vosniadou, 2004). Raciocnios tais como (1) independente

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do nœmero de partes em que se dividiu a unidade, o mesmo nœmero de pessoas e a mesma quantidade de piza resulta na mesma quantidade; ou ainda, (2) duas vezes mais objectos a partilhar e duas vezes mais pessoas entªo cada uma irÆ receber a mesma parte (ou seja, uma relaªo directa entre quantida des) sªo fundamentais para a compreender que o nœmero de partes e tamanho das partes podem-se compensar de forma proporcional (Nunes et Bryant, 2009).

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