Grupos Conformes

O objetivo deste capítulo é discutir sobre grupos conformes. Pelos resultados obtidos, é plausível que haverá relação com o grupo ortogonal generalizado. Iremos explicitar esta relação.

De…nição 3.13 Uma compacti…cação conforme de uma variedade conexa semi-RiemannianaX é uma variedade semi-RiemannianaN e um mergulho conformei:X !N tal que

1. i(X) é denso emN;

2. Toda transformação conforme':M !X injetora de…nida em um abertoM X,M 6=;, tem um difeomor…smo conforme (ou seja, com inversa conforme) '^ :N !N tal quei('(p)) = ^'(i(p)), para todo p2M.

Chamaremos '^ de extensão conforme de '.

De…nição 3.14 O grupo conformeConf(R^p;q)é a componente conexa contendo a identidade do grupo dos difeomor…smos conformes da compacti…cação conforme de R^p;q.

De…nição 3.15 Seja p+q=n 2. De…namos a aplicação i:R^p;q!Pn+1(R)

x= x¹; :::; xⁿ 7! 1 +g^p;q(x; x)

2 :x¹:::::xⁿ: 1 g^p;q(x; x) 2

onde denotamos um ponto de Pn+1(R)por ⁰::::: ⁿ⁺¹ = ⁰; :::; ⁿ⁺¹ , com = ⁰; :::; ⁿ⁺¹ 2 Rⁿ⁺², :Rⁿ⁺²n f0g !Pn+1(R)a aplicação quociente. Claro que ⁰::::: ⁿ⁺¹ = ⁰::::: ⁿ⁺¹ , para todo 2Rn f0g.

Proposição 3.16 O fechoi(R^p;q) emPn+1(R)é descrito por

i(R^p;q) =N^p;q := ⁰::::: ⁿ⁺¹ 2Pn+1(R) ;g^p+1;q+1( ; ) = 0; ( ) = ⁰::::: ⁿ⁺¹ : Demonstração: Primeiro, suponha que 2 i(R^p;q), então = lim_{j!1 j}, _j 2 i(R^p;q). Pela con-tinuidade deg^p+1;q+1, e como

g^p+1;q+1 _j; _j = _j; _{j p+1;q+1}= 0 entãog^p+1;q+1( ; ) = 0, ei(R^p;q) N^p;q.

Por outro lado, se ⁰::::: ⁿ⁺¹ 2N^p;q e ⁰+ ⁿ⁺¹= 6= 0, então

0::::: ⁿ⁺¹ = 2 ⁰ +g^p+1;q+1( ; )

2 : ¹::::: ⁿ: 2 ⁰ +g^p+1;q+1( ; ) 2

= 1

2 +g^p;q( ; )

: ¹::::: ⁿ: 1 2

g^p;q( ; )

=i ¹( )

onde utilizou-se na segunda igualdade g^p+1;q+1( ; ) = g^p;q( ; ) ^{0 2} + ^{n+1 2}, e na terceira igualdade ⁰::::: ⁿ⁺¹ = ^{1 0}::::: ^{1 n+1} . Logo se ⁰::::: ⁿ⁺¹ 2 N^p;qni(R^p;q) então

0+ ⁿ⁺¹ = 0. Suponha então que as sequências _k ! 0 e _k ! 0 com _k 6= 0, _k 6= 0, _k 6= _k, 2 ⁰ k + ²_k = 2 ⁿ⁺¹ k + ²_k. Temos pela última condição que se ⁰::::: ⁿ⁺¹ 2 N^p;q, então Pk :=

0+ _k ::::: ⁿ⁺¹+ _k 2 N^p;q. Mas ⁰+ _k + ⁿ⁺¹ + _k 6= 0, e portanto P_k 2 i(R^p;q). Assim lim_k!1P_k = ⁰::::: ⁿ⁺¹ 2i(R^p;q), ou seja,N^p;q i(R^p;q).

Lema 3.17 A restrição := jS^p;q Rⁿ⁺² é um recobrimento duplo de classe C¹.

Para normalizar, de…namosr:= Pp j=0

Demonstração: A aplicação estar bem de…nida resulta de

r(x)²=1

Quei= , é evidente das de…nições dessas aplicações. Sex2R^p;q, então

É evidente que é um mergulho. Basta então mostrar que é conforme. Temos que, denotando = ¹_r,

@f

@x =f_; , para p(não utilizando a convenção de Einstein)

= _; 1 +g^p;q(x; x)

2 x ; _; x¹; :::; _; x + ; :::; _; xⁿ; _; 1 g^p;q(x; x)

2 + x

e para > p temos os sinais dos termos x na primeira e na última coordenadas trocados. Agora,

para p,

2gij, implicando conforme.

Corolário 3.19 A aplicaçãoi:R^p;q!Pn+1(R)é um mergulho conforme de classeC¹. Demonstração: Resulta de i= , sendo e mergulhos conformes classeC¹.

Teorema 3.20 Para toda matriz 2O(p+ 1; q+ 1), a aplicação = :N^p;q !N^p;q de…nida por

Comog^p+1;q+1é invarinte com respeito a , é conforme. De fato, o raciocínio é equivalnte ao do último Lema: como é uma isometria, ao ela agir em um ponto 2Rⁿ⁺² com ( )2N^p;q, temos

e Xp

este último podendo ser diferente de1. Então o fator conforme será ( ( ))²=

Teorema 3.21 Seja p+q=n >2. Toda transformação conforme de um aberto conexoM R^p;q tem uma extensão conforme única para N^p;q. O grupo de todas as transformações conformes N^p;q !N^p;q é isomorfo aO(p+ 1; q+ 1). A componente conexa que contém a identidade desse grupo, denotada por Conf(R^p;q), é isomorfa a SO₀(p+ 1; q+ 1), ou SO₀(p+ 1; q+ 1)=f 1g se I está na componente conexa da identidade de O(p+ 1; q+ 1).

Demonstração: A unicidade segue do Teorema 3.20 e da Proposição 3.16. Como existe uma aplicação 2 para 1 entre as transformações do grupo ortogonal generalizado em R^p+1;q+1 e os difeomor…smos conformes em N^p;q, temos que por construção que se N^p;q é uma continuação conforme, então ela é única, e para que N^p;q seja uma compacti…cação conforme, basta mostrar as extensões conformes das transformações ortogonais, translações, dilatações e transformações conformes especiais. Ou seja, a existência da primeira parte do teorema.

1. Transformações ortogonais: Seja o2O(p; q), então de…nimos 2O(p+ 1; q+ 1)como

2. Translações: Seja c de…nida por

c=

onde c 2Rⁿ, In =diag(1; :::;1) eg = [T]^p;q_c . Que c 2O(p+ 1; q+ 1)vem de ( c)^tg⁰ c =g⁰.

3. Dilatação: Seja rde…nida por

r=

4. Transformação conforme especial: Seja _ede…nida por

e=

e como ⁰+ ⁿ⁺¹= 1e ^{0 n+1} =g^p;q( ; ), temos

^

'(i( )) = 1 +g^p;q( ; ) +g^p;q( ; )g^p;q(b; b)

2 g^p;q(b; ) ::::: +b g^p;q( ; ) ::::: : 1 g^p;q( ; ) +g^p;q( ; )g^p;q(b; b)

2 g^p;q(b; ) :

Mas para a transformação conforme especial '( ) = bg^p;q( ; )

1 2g^p;q( ; b) +g^p;q( ; )g^p;q(b; b); b2Rⁿ; 2M₁( R^p;q temos

i('( )) = 1 +g^p;q('( ); '( ))

2 ::::: b g^p;q( ; )

1 2g^p;q( ; b) +g^p;q( ; )g^p;q(b; b) ::::: 1 g^p;q('( ); '( )) 2

mas

g^p;q('( ); '( )) = g^p;q( bg^p;q( ; ); bg^p;q( ; )) (1 2g^p;q( ; b) +g^p;q( ; )g^p;q(b; b))²

= (1 2g^p;q( ; b) +g^p;q( ; )g^p;q(b; b)) ¹g^p;q( ; ) e portantoi('( )) = ^'(i( )), implicando que'^ é a extensão conforme de '.

Pelo teorema anterior, concluímos que o grupo das transformações conformesN^p;q!N^p;q é o grupo dos difeomor…smos conformes, que são dados univocamente porf ; g. Que este grupo é homomór…co a O(p+ 1; q+ 1) basta ver que se ; ⁰ 2 O(p+ 1; q+ 1), então uma aplicação que leva elementos deO(p+ 1; q+ 1)a elementos do grupo de difeomor…smos conformes deN^p;q de…nida por ( ) = satisfaz (lembrando quei= )

( ⁰) (i( )) = 0(i( ))

= ( ⁰( ( )))

= ( ( ⁰( ( ))))

= ( 0(i( )))

= ( ) ( ⁰) (i( )) 8 2R^p;q. Pelo teorema do isomor…smo temos a segunda parte do teorema.

ComoConf(R^p;q)não possui topologia ainda de…nida, utilizaremos a topologia deSO0(p+ 1; q+ 1) para induzir a topologia de Conf(R^p;q), de tal maneira que seja de classe C¹, e portanto seja um isomor…smo de grupos de Lie. Isso prova a terceira parte.

Pela análise feita para n=p+q 3, vemos que as transformações conformes em abertos conexos de R^p;q são injetoras, e portanto todos possuem uma extensão conforme em N^p;q. Isso não ocorre em R^2;0, pois existem aplicações holomór…cas não injetoras. Um exemplo seria z 7! z^k, z 2 Cn f0g, k 2 Zn f 1;0;1g. Existem ainda aplicações que mesmo injetoras, não possuem extensões conformes holomór…cas, comoz7!p

z,z2 fw2C;Re(w)>0g.

De…nição 3.22 Uma transformação conforme global emR^2;0é uma função holomór…ca injetiva, de…nida em todo planoC com exceção de no máximo um ponto.

Pela análise feita com o fator conforme de Killing para p= 2, q= 0, as transformações conformes globais em R^2;0 possuem fator conforme de Killing linear. Disso podemos provar, da mesma maneira que o cason=p+q 3, o seguinte teorema:

Teorema 3.23 Toda transformação conforme global'emM Ctem uma única continuação conforme

^

':N^2;0!N^2;0 onde'^ = com 2O(3;1). O grupo dos difeomor…smos conformes N^2;0!N^2;0 é isomór…co a O(3;1)=f 1g e a componente conexa contendo a identidade desse grupo é isomorfo a SO0(3;1).

De…nição 3.24 Uma transformação de Möbius é uma função holomór…ca', tal que existe uma matriz a b

c d 2SL(2;C) onde'(z) =az+b

cz+d,cz+d6= 0:

Pelo último teorema, temos Conf R^2;0 = SO0(3;1). Sabemos que SO0(3;1) = P SL(2;C) :=

SL(2;C)=f 1g. O conjunto Mb das transformações de Möbius formam um grupo por composição isomorfo a P SL(2;C). Portanto Mb é o conjunto de todos os difeomor…smos conformes deN^2;0 =P, ou seja, Mb é isomorfo ao grupo Aut(P) de todas as aplicações biholomór…cas P ! P da esfera de RiemannP. Em resumo, Mb é o conjunto de todas as transformações conformes globais, e

Mb=P SL(2;C) =Aut(P) =SO₀(3;1) =Conf R^2;0 :

Agora, façamos o mesmo estudo para oR^1;1. Para isso, precisamos do seguinte teorema.

Teorema 3.25 Paraf 2C¹(R)sejaf 2C¹ R²;R de…nida porf (x; y) :=f(x y). A aplicação :C¹(R) C¹(R)!C¹ R²;R²

(f; g)7! 1

2(f++g ; f+ g ) tem as seguintes propriedades

1. Im = (u; v)2C¹ R²;R² ;ux=vy; uy=vx ; 2. (f; g)conforme,f⁰>0; g⁰>0ouf⁰ <0; g⁰<0;

3. (f; g)bijetora,f eg são bijetoras;

4. (f h; g k) = (f; g) (h; k)paraf; g; h; k2C¹(R).

Demonstração:

1. Primeiro, seja(u; v)2 (f; g). Como u_x= 1

2 (f₊)⁰+ (g )⁰ uy= 1

2 (f+)⁰ (g )⁰ vx=1

2 (f+)⁰ (g )⁰ v_y= 1

2 (f₊)⁰+ (g )⁰

entãoux=vy euy =vx. Por outro lado, seja(u; v)2C¹ R²;R² comux=vy euy=vx. Então uxx=vxy=uyy, e portanto g @ @ u= 0, cuja uma solução éu(x; y) = ¹₂(f+(x; y) +g (x; y)) para certosf; g2C¹(R). Disso temosvx=uy= ¹₂ (f+)⁰ (g )⁰ evy=ux= ¹₂ (f+)⁰+ (g )⁰ , implicando v(x; y) =¹₂(f+(x; y) g (x; y)).

2. Para(u; v)2 (f; g)temosu²_x v²_x= (f+)⁰+ (g )⁰. Então

u²_x v_x²>0,(f+)⁰(g )⁰>0,f⁰g⁰>0:

3. Primeiro a injetividade. Para'(x; y) = (f; g), '(x; y) ='(x⁰; y⁰)é equivalente a f(x+y) +g(x y) =f(x⁰+y⁰) +g(x⁰ y⁰)

f(x+y) g(x y) =f(x⁰+y⁰) g(x⁰ y⁰)

ou seja, f(x+y) =f(x⁰+y⁰)eg(x y) =g(x⁰ y⁰). Portanto' é injetora se e só se f eg o são. Agora a sobrejetividade. Se f eg são sobrejetoras, e '= (f; g), então para ( ; ) 2R², existem s; t 2 R tais que f(s) = + e g(t) = . Então '(x; y) = ( ; ) com x¹₂(s+t) e y = ¹₂(s t). Por outro lado, se '(x; y) é sobrejetora, e 2 R, então x=y = ¹₂ implica f sobrejetora, ex= y= ¹₂ implica gsobrejetora.

4. Temos que

(f; g) (h; k) =1

2(f+ (h; k) +g (h; k); f+ (h; k) g (h; k)) com

f+ (h; k) =f 1

2(h++k +h+ k ) =f+ h+= (f h)₊ g (h; k) =g 1

2(h₊+k h₊+k ) =g k = (g k) e portanto (f; g) (h; k) = (f h; g k).

Temos então que o grupo de difeomor…smos conformes que preservam a orientação emR^1;1é isomorfo a

(Dif f+(R) Dif f+(R))[(Dif f (R) Dif f (R))

ondeDif f+(R)(Dif f (R)) é o grupo dos difeomor…smos deRcom derivada positiva (negativa).

Geralmente se quer trabalhar em uma variedade compacta, então podemos utilizar S^1;1 como a compacti…cação conforme do plano de Minkowski. Dessa maneira,Conf R^1;1 é a componente conexa que contém a identidade do grupo dos difeomor…smos conformes S^1;1 ! S^1;1, que pode ser denotado porConf S^1;1 . Pelo mesmo raciocínio do teorema anterior (basta trocarR^1;1 porS^1;1, e as funções serem2 -periódicas) temos o seguinte Corolário.

Corolário 3.26 Conf R^1;1 =Dif f₊(S) Dif f₊(S).

Capítulo 4

Álgebra de Virasoro

A partir deste capítulo iremos nos concentrar no caso bidimensional, tanto euclidiano quanto lorentziano.

Como veremos, nestes casos podemos escrever as álgebras conformes como uma álgebra de Lie de dimen-são in…nita chamada álgebra de Witt. Buscaremos então a verdimen-são quântica desta álgebra, conhecida como álgebra de Virasoro, e mostraremos sua existência e unicidade a menos de isomor…smo entre álgebras de Lie.

Por …m, analizaremos a teoria de representações da álgebra de Virasoro, de maneira análoga a feita com a álgebra so(1;3). Tais representações serão o …nal da teoria abordada neste trabalho sobre as transformações conformes. Munidos de todo o formalismo construído até então, iremos dar um exemplo de aplicação no próximo capítulo.

4.1 Álgebra de Witt

4.1.1 Caso R

^2;0

Para encontrar a álgebra de Witt a partir das transformações conformes, é bem mais simples nos restringirmos aos casos bidimensionais, comoas transformações conformes em R^2;0. Focaremos nas aplicações holomór…cas, já que para as anti-holomór…cas o desenvolvimento é análogo.

Como vimos, as transformações conformes emR^2;0=Cse resumem as transformações holomór…cas e anti-holomór…cas. Apoiados no formalismo da Análise Complexa, sabemos que podemos escrever toda função analítica (que satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, e portanto são holomór…cas) em séries de Taylor. Outro fato é que toda aplicação anti-holomór…ca pode ser escrita como o complexo conjugado de uma função holomór…ca, e portanto também é igual a sua série de Taylor. Isso justi…ca a analogia na obtenção da álgebra de Witt. Ver [7] para análise complexa.

Podemos então escrever uma transformação holomór…caf(z)como f(z) =z+

+1

X

n= 1

anzⁿ;

ondeP+1

n= 1anzⁿ é a série de Laurent. Podemos escrever a transformação in…nitesimal como

+1

X

n= 1

anzⁿ⁺¹ d dz: De…nindo

L_n= zⁿ⁺¹ d

dz; n2Z

como geradores da trasformação, vemos que satisfazem a álgebra de Witt W = CfLn;n2Zg, que é de…nida pelo colchete de Lie

[Lm; Ln] = (m n)Lm+n

comn; m2Z. De fato,

[L_m; L_n] =L_mL_n L_nL_m

=z^m+1 d

dz zⁿ⁺¹ d

dz zⁿ⁺¹ d

dz z^m+1 d dz

=z^m+n+1(n+ 1) d

dz z^m+n+1(m+ 1) d dz

= (m n)Lm+n:

O equivalente vale para as transformações anti-holomór…cas, onde os geradores Ln = zⁿ⁺¹_dz^d satis-fazem

Lm; Ln = (m n)Lm+n:

Ou seja, as transformações in…ntesimais são geradas por duas cópias da álgebra de Witt, uma para o caso holomór…co e outra para o caso anti-holomór…co.

Perceba que a trasformação holomór…ca é de…nida em qualquer aberto, implicando que nem todos osLn são bem de…nidos globalmente emP. Segue então o seguinte lema:

Lema 4.1 Os geradoresL_m são de…nidos globalmente se e somente sejmj 1.

Demonstração: Para ver isso, seja um campov(z)gerado pelosL_n. Podemos escrever v(z) = X

n2Z

anLn=X

n2Z

anzⁿ⁺¹ d dz

que é não-singular (e portanto é bem de…nida globalmente) paran 1 quando z ! 0. Para ver a restrição paranpositivo, façamosw= ¹_z !0, implicandon 1. Concluí-se que somentefL 1; L0; L1g são de…nidos globalmente.

A recíproca é clara, já quefL 1; L0; L1gsão lineares, e portanto de…nidos globalmente.

Existe a versão para os geradoresL_n, que é análogo.

Obtemos então que o conjuntofL ₁; L₀; L₁g[ L ₁; L₀; L₁ é o conjunto dos geradores in…nitesimais deAut(P) =Conf R^2;0 .

4.1.2 Caso R

^1;1

Como vimos, o grupo Conf R^1;1 é isomorfo ao produto Dif f₊ S¹ Dif f₊ S¹ . A álgebra de Dif f+ S¹ possui relação com a álgebra de Witt. Para isso, segue o seguinte lema:

Lema 4.2 O grupo álgébricoDif f+ S¹ , com sua topologia induzida deC¹ S¹; S¹ (espaço das apli-cações S¹ !S¹ de classeC¹) munido da topologia de Whitney, é um grupo de Lie com álgebra igual ao espaço vetorial real dos campos de vetores classeC¹ denotado porV ect S¹ .

Sua demonstração, assim como a demostração de queDif f₊ S¹ é um grupo de Lie, será omitida por estar fora do escopo deste trabalho, e pode ser encontrada em [14].

Um elemento genérico de V ect S¹ é f_d^d, com f 2 C¹ S¹; S¹ . O colchete de Lie entre dois elementosf_d^d; g_d^d 2V ect S¹ é

f d d ; g d

d =f d

d g d

d g d

d f d

d

= (f g⁰ g f⁰) d d

ondeg⁰= ^dg_d ef⁰ =_d^df. Representando os elementos deC¹ S¹; S¹ por séries convergentes de Fourier, temos

f( ) = X1 n= 1

c_neⁱⁿ onde

cn= 1 2

Z

f( )e ⁱⁿ d :

A convergência da série de Fourier é válida neste caso, pois como os elementos deV ect S¹ são difeo-mor…smos deS¹, que é compacto, a aplicação

p:S¹!R z7!

ondez=eⁱ (e implicitamente estamos tomandoS¹ C), de…ne um isomor…smo entreC¹ S¹; S¹ e C₂¹(R;R), e a integral Z ₁

1jf(x)j²dx <1

para todaf 2C₂¹(R;R). Em outras palavras, as funções deC¹ S¹; S¹ são quadrado integráveis, e comoptorna a função periódica com intervalo2 , temos que toda função deC¹ S¹; S¹ possui uma série de Fourier associada que converge uniformemente para ela. Escrevendo

L_n =ieⁱⁿ d d

=ieⁱⁿ ieⁱ d dz

= zⁿ⁺¹ d dz como a base deV ect S¹ , temos que o colchete se torna

[Ln; Lm] = (n m)Ln+m: A complexi…cação deV ect S¹ ,

V ect^C S¹ :=V ect S¹ C

tem, como subálgebra, a álgebra de WittW =CfLn;n2Zg, gerada porLn = zⁿ⁺¹_dz^d; n2Z, com colchete de de Lie[Lm; Ln] = (m n)Lm+n.

Para um estudo introdutório de séries de Fourier, ver [23].

No documento Transformações Conformes (páginas 47-58)