Considere agora o grupo H gerado pelas as transla¸c˜oes de Heisenberg vertical
(ζ, v, u)7→ (ζ, v + 1, u) e horizontal
(ζ, v, u)7→ (ζ + 1, v, u).
Estes elementos fixam o ponto q∞. Tome ent˜ao os elementos parab´olicos g e x, respectivamente os
conjugados das transla¸c˜oes acima com a invers˜ao na cadeia unit´aria centrada na origem de H. Seja G o grupo gerado por g e x. G ´e um grupo discreto de isometrias holomorfas e tem uma representa¸c˜ao em termos de geradores e rela¸c˜os dada por G = hg, x : [g, x] = 1i. Segundo o teorema 4.16 em [19], a folhea¸c˜ao vertical deH sobre C projeta no quociente H/G sobre um fibrado de retas sobre uma superf´ıcie n˜ao fechada.
Denote por FG o dom´ınio fundamental de Ford para a a¸c˜ao do grupo G.
Teorema 2.8.1 FG tem infinitas faces, sendo limitado pelas esferas isom´etricas dos elementos g, gkx,
gkx−1 e de seus inversos, para todo inteiro n˜ao negativo k.
Dem.:A id´eia da demonstra¸c˜ao aqui ´e um pouco diferente daquela do grupo gerado por trˆes transla¸c˜oes. L´a exibimos pontos em todas as faces do poliedro candidato a dom´ınio de Ford para o Grupo. Aqui, come¸caremos mostrando que o poliedro fundamental de Ford para G tem faces nas esferas isom´etricas de g, g−1, x e x−1. Depois usando o teorema de Giraud, mostraremos que FG n˜ao pode ser formado apenas
por estas faces, mas tamb´em tˆem que aparecer faces em Igkxe I′
gkxpara k≥ 0. Chamando de P o poliedro
definido pelo exterior comum das esferas acima, veremos que P ´e um poliedro fundamental para a a¸c˜ao de G formado por esferas isom´etricas de Ford, sendo portando o pr´oprio dom´ınio de Ford de G.
Os elementos do grupo G podem ser listados facilmente: s˜ao eles as composi¸c˜oes do tipo gkxm, onde
k, m∈ Z. Estes s˜ao todos pois G ´e abeliano livre.
Representantes dos elementos de G s˜ao dados pelas matrizes unit´arias abaixo.
gkxm= 1 −m m ¡1 +ik 2¢ m − ikm 2 ¡1 + ik 2 ¢³ 1−m2 2 ´ +ikm2 4 (1+ik 2)m 2 2 − ik 2 ³ 1 +m2 2 ´ ik 2 +¡1 − ik 2¢ m 1 2 ³ 1−m2 2 ´ −(1− ik 2)m 2 2 ikm2 4 +¡1 − ik 2 ¢³ 1 +m2 2 ´ .
O subgrupo gerado por g ´e unipontente, portanto as esferas isom´etricas das potˆencias gk est˜ao no
interior de Ig se k > 1 e no interior de Ig′ se k < −1. O mesmo acontece com o subgrupo unipotente
gerado por x: as esferas isom´etricas das potˆencias xm est˜ao no interior de I
x se m > 1 e no interior de Ix′
se m <−1.
Considere os v´ertices superior de Ig (isto ´e, o ponto (0, 2)∈ H) e inferior de Ig′ (o ponto (0,−2) ∈ H).
Como o exterior de Igk
xm est´a descrito por
Ext¡Igkxm¢ : 2 < | − 4mζ + (1 − |ζ|2+ iv)(−1 + m2+ ik)− (1 + |ζ|2− iv)(1 + ik + m2)|,
segue que o teste para ver se o ponto (0, 2) satisfaz esta inequa¸c˜ao se reduz a
2 <| − 2 + 4k + 4m2i
|,
o que ´e sempre verdade, exceto quando k = m = 0, caso em que gkxm= 1, e quando k = 1, m = 0, o
que ´e ´obvio pois (0, 2) ´e um v´ertice de Ig.
De maneira an´aloga demonstra-se que o v´ertice inferior (0,−2) ∈ I′
gest´a no exterior de todas as outras
esferas isom´etricas dos elementos de G. Considere agora o ponto (2, 0)∈ I′
x. O teste para verificar quando este ponto est´a no exterior de Igk
xm
se reduz agora a
2 <| − 8m2− 8m − 2 + 8ki|,
inequa¸c˜ao que ´e sempre verdadeira exceto se k = m = 0, caso em que gkxm= 1, ou se k = 0 e m =
−1, caso em que gkxm= x−1. Assim, (2, 0)∈ I′
x est´a no exterior de todas as outras esferas isom´etricas dos
elementos de G. Analogamente, (−2, 0) ∈ Ix est´a no exterior de todas as outras esferas isom´etricas dos
elementos de G.
Ent˜ao sabemos que h´a faces de FG em Ig, Ig′, Ixe Ix′. Todas as esferas isom´etricas de elementos de G
passam pela origem de H, o ´unico ponto fixo do grupo G. Logo h´a uma aresta de FG em cada uma das
interse¸c˜oes Ig∩ Ix, Ig∩ Ix′, Ig′ ∩ Ix e Ig′ ∩ Ix′.
N˜ao pode acontecer de FG ser formado apenas por estas quatro esferas, uma vez que, nesse caso,
haveria em FG exatamente quatro arestas n˜ao-planas. Mas o teorema de Giraud 2.4.1 garante que cada
ciclo de arestas em FG tem comprimento exatamente trˆes, ou seja, o n´umero de arestas n˜ao-planas tem
de ser m´ultiplo de trˆes.
Usando mais uma vez o teorema de Giraud, podemos obter as outras arestas do ciclo ao qual pertence a aresta a contida em Ig∩ Ix, obtendo desta forma outras esferas isom´etricas que certamente contˆem faces
de FG. Por um lado, Ig est´a identificada com Ig′, pela pr´opria g. Assim, b = g(a) est´a na interse¸c˜ao de
I′
g com uma certa esfera Fb. Do outro lado temos x−1 identificando Ix′ com Ix, portanto c = x(a) est´a na
interse¸c˜ao de I′
x com uma certa esfera Fc. Pelo teorema de Giraud o ciclo est´a completo, logo Fc = Igx−1,
Fb= Igx′ −1 e b = gx−1(c).
A aresta contida em I′
g∩ Igx′ −1 implica n˜ao s´o a existencia de uma face contida em I
′
gx−1 como tamb´em
a existˆencia de uma aresta contida na interse¸c˜ao desta ´ultima esfera isom´etrica com Ig, cujo ciclo, obtido
usando-se novamente o racioc´ınio acima, cont´em tamb´em arestas em Ig2x−1∩ Igx−1 e Ig′ ∩ I′
g2x−1.
Procedendo indutivamente, o ciclo de arestas contidas em Ig∩ Ig′k−1x−1, Igkx−1∩ Igk−1x−1 e Ig′∩ I′
gk
x−1
implica a existˆencia de um ciclo de mesma natureza, onde k deve ser substituido por k + 1. Ou seja, para cada k≥ 1, existe um ciclo com arestas contidas em
Ig∩ Ig′k
x−1, Igk+1x−1∩ Igkx−1 e Ig′ ∩ I′
gk+1x−1.
Chamaremos estes ciclos de ciclos ciclos do tipo 1. An´alises semelhantes com os ciclos aos quais pertencem as arestas contidas em Ig∩ Ix′, Ig′ ∩ Ixe Ig′ ∩ Ix′ levam respectivamente aos ciclos cujas arestas
est˜ao em
Ig∩ Ig′kx, Ig′ ∩ Ig′k+1x e Igk+1x∩ I′
Ig′ ∩ Igkx, Ig∩ Igk+1x e Ig′kx∩ Ig′k+1x, k≥ 1;
I′
g∩ Igkx−1, Ig∩ Igk+1x−1 e Ig′k+1x−1∩ Ig′kx−1, k≥ 1.
Chamamos estes ciclos de ciclos dos tipos 2, 3 e 4, respectivamente.
Ali´as, se considerarmos k ≥ 0, a descri¸c˜ao destes ciclos em fun¸c˜ao de k inclui tamb´em os ciclos aos quais pertencem as arestas contidas em Ig∩ Ix, Ig∩ Ix′, Ig′ ∩ Ixe Ig′ ∩ Ix′.
Desta forma concluimos que o poliedro de Ford para G possui uma face em cada uma das esferas isom´etricas listadas no teorema. Defina P como sendo o exterior comum destas esferas. Resta mostrar que P ´e um poliedro fundamental para G.
O Poliedro P , embora n˜ao tenha um n´umero finito de faces, satisfaz `as condi¸c˜oes do teorema de Poincar´e 2.3.1. Isto porque a hip´otese do poliedro D ter um n´umero finito de lados serve para garantir que os ciclos de arestas s˜ao finitos. Mas isto no nosso caso foi garantido pela constru¸c˜ao de P . Ent˜ao, para mostrar que P ´e um poliedro fundamental para G, basta mostrar que o grupo H, gerado pelos identificadores de faces de P e cujas rela¸c˜oes s˜ao dadas pelos ciclos tipos 1-4 descritos acima ´e o pr´oprio grupo G.
Para ver isso, procedemos de maneira geral, denominando as faces contidas em Igkx de Ak e as faces
contidas em Igkx−1 de Bk. Chame ainda de ak o identificador das faces Ak e A′k e de bk o identificador das
faces Bke Bk′. Uma planifica¸c˜ao do poliedro P , com esta nomenclatura das faces, encontra-se na figura 2.6.
Apesar de esta planifica¸c˜ao ser realizada a partir do ponto fixo do grupo, este esquema n˜ao ´e exatamente uma proje¸c˜ao estereogr´afica, pois o ponto fixo tamb´em aparece na representa¸c˜ao finita. Devemos portanto imaginar identificados os pontos onde se acumulam as faces j´a que ambos s˜ao exatamente o ponto fixo do grupo. Nesse caso as esferas Ig e Ig′ tˆem representa¸c˜oes ilimitadas.
. . .
A’
A’
B
B
B
. . .
. . .
B’
B’
A
A
A
. . .
2
1
0
1
2
2
1
0
1
2
O
Figura 2.6: Descri¸c˜ao do poliedro P que na verdade ´e o poliedro de Ford para G.
As rela¸c˜oes decorrentes dos ciclos do tipo 1 s˜ao, bk+1= gbk, para k≥ 0. Por outro lado, ao conside-
rarmos as rela¸c˜oes decorrentes dos ciclos do tipo 4, encontramos bk+1 = bkg, para k≥ 0. Isto significa
que bk comuta com g para qualquer k≥ 0.
Olhando agora para os ciclos dos tipos 2 e 3, encontramos respectivamente as rela¸c˜oes ak+1= gak e
ak+1= akg, o que significa que ak tamb´em comuta com g para todo k≥ 0.
Como a0 = b−10 , concluimos que o grupo gerado pelos identificadores das faces de P tem uma repre-
senta¸c˜ao em termos de geradores e rela¸c˜oes hg, a0 : [g, a0] = 1i. Como a0 = x, segue que este grupo ´e
o pr´oprio grupo G e desse modo P ´e um poliedro fundamental para G. Sendo um poliedro fundamental formado por esferas isom´etricas de Ford, P ´e o poliedro de Ford para a a¸c˜ao de G, completando a prova do teorema.
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