POLINÔMIOS NA ESCOLA BÁSICA
9) Há alguma explicação que você considere indispensável ser dada? Qual?
10) Quais as dificuldades que os alunos poderiam apresentar, em relação ao conceito matemático abordado em sua aula? E na resolução da situação matemática?
11) O conceito matemático abordado no plano de aula será/deverá ser retomado, posteriormente, em outro ano da Educação Básica? Tal conceito será/poderá ser utilizado como conhecimento prévio para a aprendizagem de outro conceito matemático?
Apresentação e análise dos dados: os conhecimentos mobilizados pelos professores Uma vez que os dados produzidos em nosso estudo se deram em dois momentos, o segundo e o décimo encontro do curso, optamos por organizar nosso processo de análise da seguinte forma: primeiramente apresentamos e discutimos as sequências didáticas elaboradas pelos professores no início do processo (segundo encontro). Em seguida, analisaremos as sequências (re)elaboradas num segundo momento (décimo encontro) e, por fim, buscamos apresentar algumas comparações nas sequências produzidas com a finalidade de identificar se elas sofreram alterações após a participação no curso (dos encontros terceiro ao nono) e, em caso afirmativo, como isso se deu. Vale destacar que nossas análises não tinham por propósito julgar se as propostas dos professores estavam bem ou mal elaboradas. Nosso objetivo foi trazer à tona, a partir da análise das sequências didáticas, identificar e compreender elementos dos conhecimentos mobilizados pelos professores no que se referem ao ensino dos polinómios na/para a Educação Básica. Iniciamos então, com a análise das primeiras sequências didáticas desenvolvidas pelos professores, tomando-se por base a organização que propomos na Tabela 4, a qual busca relacionar as questões por nós elaboradas (apresentadas na Tabela 3) que serviram de roteiro para os professores elaborarem suas sequencias e os domínios do MTSK (Carrillo et al.; 2013). A partir desse pressuposto, chegamos à seguinte configuração:
Tabela 4. Modelo do MTSK e Questões16
Subdomínio Envolve... Questões
Conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK)
KMT
Conhecimento de como o ensino pode ou deve ser realizado.
Estratégias de ensino diversas que auxilie o aluno no desenvolvimento de suas capacidades procedimentais e conceituais em matemática. Realizar a seleção de exemplos ou escolher um livro.
4, 5, 6, 7 e 9
KFLM
O conhecimento de como os alunos aprendem os conteúdos matemáticos, as características desse processo de compreensão, erros comuns, dificuldades, obstáculos e a linguagem normalmente usada pelos estudantes ao lidar com cada conceito. A identificação das características da aprendizagem matemática.
8 e 10
16 Consideramos que as questões 3 e 11 estão relacionadas ao conhecimento que engloba as conexões entre tópicos avançados Û elementares, prévios Û futuros, pertencente ao subdomínio KSM e, por essa razão, não as consideramos nas análises desse trabalho.
KMLS
Conhecimento das especificações curriculares envolvendo o que está previsto em cada etapa da educação escolar em termos de conteúdos e competências (conceituais, procedimentais, atitudinais e de raciocínio matemática nos diversos momentos educativos), normas mínimas e as formas de avaliação que possibilitam a progressão de um ano para outro.
1
Fonte: Elaborado pelos autores
Em relação à primeira questão do roteiro sugerido, observamos que todos os professores indicaram o 8º ano como sendo o momento adequado na escolaridade básica para a introdução ao estudo dos polinómios. O conhecimento que permite aos professores indicarem o que está previsto em cada etapa da educação escolar em termos de conteúdos e competências insere-se no subdomínio KMLS e, em nossa interpretação, os professores foram capazes de mobilizar tal forma de conhecimento e adequarem o estudo dos polinómios ao momento escolar correspondente.
No que se refere às estratégias de ensino no entanto, observamos que 9 dos 10 professores investigados parecem seguir “um roteiro pronto” para o ensino dos polinómios, roteiro esse que se inicia pela definição de monómios e de polinómios e, em seguida, passa a abordar as operações envolvendo polinómios. Evidências disso podem ser observadas no protocolo apresentado na Figura 2. Este cenário parece ratificar o que Koerich (2000) aponta em sua pesquisa, no que se refere à forma como o conceito de polinômio é apresentado nos livros didáticos e como os professores organizam suas propostas de aulas. Ibrahim (2015) evidencia que, geralmente, nos livros didáticos, a proposta para o estudo dos polinómios, segue a seguinte ordem: expressões algébricas, monómios, polinómios, operação com polinómios, produtos notáveis, e fatoração de polinómios.
Figura 2. Roteiro para o ensino dos polinómios elaborado pelo professor B
O conhecimento que permite aos professores escolherem um livro e optarem por uma série particular de (contra)exemplos, ao invés de usar outros recursos e materiais, para ajudar os alunos a compreenderem o significado de algum tópico matemático faz parte do subdomínio KMT. A partir das evidências que obtivemos em nosso estudo, notamos a falta de estratégias variadas, tais como, uso em atividades para modelar diferentes situações (por exemplo, no mercado de ações, para descrever a trajetória de um projétil, entre outras), as quais poderiam possibilitar uma compreensão do conceito de polinômio por parte dos estudantes, que rompesse com a simples manipulação de métodos e técnicas de resolução. Em assim sendo, os dados nos sugerem limitações do conhecimento dos professores no que tange a este subdomínio, o KMT.
Os professores mencionam em suas sequencias didáticas que os estudantes apresentam dificuldades em operar com polinómios; “enxergar” a expressão algébrica como uma possível resposta de um exercício; identificar o grau do polinômio. Esse tipo conhecimento, que permite a identificação das dificuldades apresentadas pelos alunos é parte do KFLM e, segundo nossos dados, parece que os professores mobilizam tal conhecimento em suas sequencias didáticas, uma vez que são capazes de identificar e de reconhecer possíveis dificuldades de seus estudantes em relação ao ensino de polinómios. Com relação à tipologia de atividades propostas, notamos que a maioria dos professores oportuniza atividades que requerem a aplicação de fórmulas e procedimentos para seus estudantes. Um exemplo disso pode ser observado no protocolo apresentado na Figura 3. Isso leva-nos a concluir que os professores privilegiam em suas aulas o desenvolvimento de habilidades algorítmicas e a memorização de regras, deixando para um segundo plano a atenção ao desenvolvimento do conhecimento conceitual, se é que o fazem. Tal evidência reforça os resultados de pesquisas indicadas em nossa revisão de literatura (Araújo, 1999; Aguiar, 2014; Lautenschlager & Ribeiro; 2014; Ribeiro, 2016; Lautenschlager & Ribeiro; 2017).
Figura 3 – Exemplo de atividade elaborada pelo professor B
Para além disso, tal evidência parece sugerir ainda que os professores possivelmente ensinam tal conteúdo da mesma maneira como aprenderam, isto é, sem atribuir sentido aos conceitos matemáticos, de maneira mecanizada e que grande parte desses professores não consegue estabelecer relações que ultrapassem o abismo existente entre o que lhes ensinaram na universidade e o que eles, futuramente, irão ensinar nas escolas, devido sua formação inicial não elucidar os aspectos essenciais que serão desenvolvidos em sala de aula (Wu, 2002). Isso parece nos leva a sugerir que a formação inicial de professores precisa considerar as relações entre conteúdo e pedagogia (Ponte, 2014) no sentido de formar um professor que seja capaz de compreender e utilizar uma matemática voltada para o ensino e para a aprendizagem de seus estudantes.
Uma lacuna que também pudemos perceber a partir dos dados analisados refere-se à não mobilização de elementos do KMLS, uma vez que nenhum dos professores indicou, em suas sequencias, formas de avaliação - pontual ou contínua - da aprendizagem de seus estudantes.
A fim de verificar se e como os estudos realizados durante o curso proporcionaram uma reflexão acerca do ensino dos polinómios ou a ampliação e/ou aprofundamento dos conhecimentos necessários para o ensino de polinómios na Educação Básica, como já indicamos anteriormente, solicitamos aos professores que olhassem novamente para a sequência didática que tinham produzido e, se julgassem adequado, realizassem modificações em suas produções.
Dos dez professores participantes da pesquisa, quatro mantiveram a mesma sequência, justificando que não havia necessidade de alguma alteração. Isso nos chamou a atenção, uma vez que era esperado, ou ao menos desejado, que, após o processo de formação, os professores repensassem sua proposta de aula e, de certa forma, refletissem sobre sua
própria prática de sala de aula e organizassem uma nova sequencia de atividades para propor a seus alunos.
Por outro lado, somente seis professores restantes apresentaram alguma proposta de alteração em suas sequencias, buscamos sintetizar na Tabela 5 o que identificamos de mudanças em relação aos conhecimentos mobilizados pelos professores ao analisarmos as duas sequencias. Vejamos:
Tabela 5. Quadro Síntese dos Registros obtidos nas Sequências Didáticas Podemos observar na primeira sequência
didática...
Podemos observar na segunda sequência didática ...
Alta incidência da aplicação do recurso didático que chamamos de “cálculo da área do retângulo” e do uso de situações-problema relacionadas ao dia-a-dia como estratégias para o ensino dos polinómios.
Inclusão de atividades manipulativas para o cálculo da área de figuras planas.
8 dentre os 10 professores, optam por iniciar pela definição de monómios e de polinómios e, em seguida, passam a abordar as operações envolvendo polinómios.
Ainda há a preocupação em iniciar pela definição de monómios e polinómios. Também não observamos emprego de estratégias variadas.
Os professores ensinam a Álgebra que é apresentada nos livros didáticos.
Observamos a ocorrência de uma proposta de atividade sobre a construção de diversos gráficos, variando-se os parâmetros, as raízes e o grau do polinômio, considerando a fatoração de polinómios e a utilização de um aplicativo informático para sua construção Ausência de estratégias variadas, tais como,
uso em atividades para modelar diferentes situações.
Quatro professores mantiveram a mesma sequência, justificando que não havia necessidade de alguma alteração.
A maioria dos professores oportuniza atividades para a aplicação de fórmulas e procedimentos.
Um professor modificou toda a estrutura de sua sequência didática, alterando, inclusive, o público-alvo – de alunos do Ensino Fundamental, para alunos do Ensino Médio.
Fonte: elaborado pelos autores
Dos seis professores que refletiram acerca das sequencias produzidas no início do curso e consideraram a importância de se reorganizar a proposta de ensino que eles utilizariam em suas aulas sobre polinómios, destacaremos a seguir o caso de dois professores (A) e o (J), os quais apresentaram mudanças mais significativas em suas produções.
Na segunda versão o professor (A), assim como o professor (J), modificou toda a estrutura de sua sequência didática, alterando, inclusive, o público-alvo – de alunos do Ensino Fundamental, para alunos do Ensino Médio. Ele, o professor (A), também incorporou atividades mais dinâmicas nas quais o professor “dialoga” com os estudantes ao propor
uma roda de conversa sobre o ensino dos polinómios. Também percebemos que o professor menciona “atividades de construção e exploração” do conteúdo (Figura 4).
Figura 4 - Registro elaborado pelo professor (A) na 2ª versão da Sequencia Didática
Observamos na reorganização da proposta de ensino do professor (A) uma maior mobilização de elementos dos subdomínios KMT e KLMS, conforme tínhamos conjecturado ao organizar nosso roteiro de orientação para a elaboração das propostas de ensino (ver Tabela 4). Isso nos faz refletir que, no caso desse professor, a participação no curso pode ter contribuído para que ele repensasse sobre a sua prática em sala de aula, ao menos no que se refere à proposição de atividades para seus estudantes.
O professor (J) propôs atividades sobre a construção de diversos gráficos, variando-se os parâmetros, as raízes e o grau do polinômio, considerando a fatoração de polinómios e a utilização de um aplicativo informático para sua construção, isto sugere uma ampliação do conhecimento do ensino de matemática após a participação no processo de formação continuada (Figura 5). No caso do professor (J), observamos uma evolução e maturidade na mobilização dos diferentes subdomínios do MTSK, fenômeno que julgamos ter sido proveniente das intervenções propostas ao longo dos encontros sobre a temática no curso de extensão.
Figura 5 – Exemplo de Atividade porposta pelo Professor J
Para além dos dois professores acima indicados, pudemos observar ainda que, de maneira geral, os outros 4 professores participantes propuseram a inclusão de atividades manipulativas com o recurso do cálculo da área de figuras planas, o que nos remete a interpretar uma maior mobilização do KMT destes professores, muito embora as
mudanças propostas em suas sequencias didáticas não tenham sido tão significativas, como foram as dos professores (A) e (J).
Algumas conclusões e considerações
Uma vez que o objetivo de nosso trabalho era identificar e analisar tipos de conhecimentos mobilizados por um grupo de professores de Matemática durante uma formação sobre o ensino de polinómios na Escola Básica, bem como compreender a contribuição dessa proposta para a aprendizagem dos professores, entendemos que, por meio do modelo MTSK (Carrillo, Climent, Contreras & Muñoz-Catalán, 2013), foi possível identificar e analisar se e quais subdomínios foram mobilizados pelos professores participantes em nosso curso.
Prioritariamente, observamos a mobilização de três subdomínios do modelo teórico MTSK e, embora tenhamos circunscrito nossas análises a “apenas” duas sequências didáticas elaboradas pelos professores, entendemos ter sido possível associar certos conhecimentos a determinados subdomínios:
• Conhecer dúvidas dos alunos sobre os polinómios e poder refletir sobre dificuldades de aprendizagem como, operar com polinómios; enxergar a expressão algébrica como uma possível resposta de um exercício; identificar o grau do polinômio; evidenciam a mobilização de elementos do subdomínio conhecimento das características da aprendizagem matemática – KFLM.
• Conhecer diferentes métodos ou tipos de abordagem para propiciar o estudo, como, por exemplo, utilizar uma determinada representação (a utilização do cálculo de área de figuras planas), ao propor o ensino de polinómios e suas operações pertence ao subdomínio KMT.
• Conhecer o momento, no currículo escolar, em que o conceito de polinómio deve ser ensinado está relacionado ao KMLS.
No entanto, apesar de identificamos a mobilização de diferentes subdomínios do MTSK em relação ao ensino de polinómios, as evidências levantadas em nossa pesquisa indicam que tal situação se restringe a parte dos professores investigados e, além disso, de maneira parcial. Isso parece-nos reforçar o que tantas outras pesquisas na área nos apontam sobre a necessidade de ser aprofundada e mantida formação do professor da Educação Básica que contemple “olhar” para o conteúdo a ser ensinado para além da própria estrutura
interna matemática, bem como para romper com um modelo de formação que supervalorize aspectos didáticos e pedagógicos gerais (Ribeiro, 2012; Aguiar, 2014; Lautenschlager & Ribeiro; 2014; Ribeiro & Cury; 2015).
Entendemos que os nossos resultados podem ajudar na elaboração de um design para a formação de professores quando apontam a necessidade de se trabalhar com equidade os diferentes tipos de conhecimento, como os que são contemplados no modelo do MTSK (Carrillo, Climent, Contreras & Muñoz-Catalán, 2013).
Propomos que sejam considerados em processos de formação continuada de professores, como a que buscamos desenvolver em nosso curso de extensão, situações e atividades matemáticas que articulem o conhecimento específico matemático com os conhecimentos pedagógicos do conteúdo inerentes à Matemática da escola básica. Para, além disso, certamente é fundamental que tais processos de formação tematizem a articulação com a prática docente do professor em suas salas de aula.
Referências bibliográficas
Aguiar, M. (2014). O Percurso da Didatização do Pensamento Algébrico no Ensino
Fundamental: uma análise a partir da Transposição Didática e da Teoria Antropológica do Didático (Doctoral dissertation, Universidade de São Paulo).
Artigue, M., Assude, T., Grugeon, B., & Lenfant, A. (2001). Teaching and learning algebra: Approaching complexity through complementary perspectives. In: The future of the
Teaching and Learning of Algebra, Proceedings of 12 th ICMI Study Conference, The
University of Melbourne, Australia (pp. 21-32).
Ball, D., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special?. Journal of teacher education, 59(5), 389-407.
Bogdan, R. C., & Biklen, S. K. (1994). Investigação qualitativa em educação: uma introdução
às teorias e aos métodos. trad. Maria João Alvarez, Sara Bahia dos Santos e Telmo
Mourinho Baptista. Portugal: Porto Editora.
Carrillo, J., Climent, N., Contreras, L. C., & Muñoz-Catalán, M. C. (2013). Determining specialized knowledge for mathematics teaching. In: Proceedings of the CERME (Vol. 8, pp. 2985-2994).
Crotty, M. (1998). The foundations of social research: Meaning and perspective in the research
process. Sage.
Cruz, E. D. S. (2005). A noção de variável em livros didáticos de Ensino Fundamental: um estudo
sob ótica da organização praxeológica. Dissertação de Mestrado, Pontifícia Universidade
Católica, São Paulo.
Doerr, H. M. (2004). Teachers’ knowledge and the teaching of algebra. In: The Future of the
Teaching and Learning of Algebra The 12 th ICMI Study (pp. 265-290). Springer
Netherlands.
Eisenberg, T., & Dreyfus, T. (1994). Os Polinômios no Currículo da Escola Média. As idéias de
álgebra. Organizadores Arthur F. Coxford; Alberto P. Shulte. Tradução de Hygino H.
Ibrahim, S. A. (2015). A apropriação dos significados de polinômios: um estudo na perspectiva
da teoria histórico-cultural. Dissertação (mestrado) – Universidade de Uberaba. Programa
de Mestrado em Educação.
Lautenschlager, E. (2017, no prelo). Conhecimento matemático para o ensino de polinômios na
educação básica. Tese de Doutorado (Doutorado em Neurociência e Cognição),
Universidade Federal do ABC, 177f.
Lautenschlager, E., & Ribeiro, A. J. (2014). Reflexões acerca do impacto do conhecimento matemático dos professores no ensino: a álgebra da Educação Básica. Jornal Internacional
de Estudos em Educação Matemática, 7(3).
Lautenschlager, E.,& Ribeiro, A. J. (2017, no prelo) Conhecimento matemático sobre o conceito de polinômios de um grupo de professores da Educação Básica.
Moriel-Junior, J. G., & Carrillo, J. (2014). Explorando indícios de conhecimiento especializado para ensinar matemática como modelo MTSK. In: M. T. González, M. Codes, D. Arnau y
T. Ortega (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVIII (pp. 465-474). Salamanca:
SEIEM.
Ponte, J. P. (2014). Formação do professor de matemática: perspectivas atuais. In: PONTE, J. P. (Org.). Práticas profissionais dos professores de matemática. Lisboa: IE/UL (pp. 343- 358).
Ribeiro, A. J. (2012). Equação e Conhecimento Matemático para o Ensino: relações e potencialidades para a Educação Matemática. Bolema, Rio Claro (SP), 26(42B), 535-557. Ribeiro, A. J., & Cury, H. N. (2015). Álgebra para a Formação do Professor: explorando os
conceitos de equação e de função. Educação Matemática em Revista, 83-84.
Ribeiro, A. J. (2016). Álgebra e seu ensino: dando eco às múltiplas “vozes” da educação básica. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, 7(4), 1-14.
Schulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. CERAS, School of Education, Stanford University.
Shulman, L. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard
educational review, 57(1), 1-23.
Wu, H. (2002). What is so difficult about the preparation of mathematics teachers. CBMS
O PROFESSOR E A FIDELIDADE MATEMÁTICA DA CALCULADORA