Célia Barros Nunes1, Lurdes Serrazina2, Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana3
Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Campus X, Teixeira de Freitas, Bahia, Brasil, celiabns@gmail.com
2 Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Lisboa, UIDEF, Instituto de
Educação, Universidade de Lisboa, lurdess@eselx.ipl.pt 3 Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), Ilhéus, Bahia, Brasil,
eurivalda@hotmail.com
Resumo. Esta comunicação objetiva descrever e analisar a exploração de
um problema matemático envolvendo equação do segundo grau com alunos do 9.º ano do Ensino Fundamental II. O estudo foi desenvolvido no âmbito do projeto de pesquisa intitulado: “A metodologia de ensino-aprendizagem- avaliação de matemática através da resolução de problemas no contexto da sala de aula: uma proposta de pesquisa pedagógica”. É uma pesquisa de cunho qualitativo e interpretativo, baseada em estudo de caso. A recolha de dados foi feita por observação participante, gravações de vídeos e registros das atividades produzidas pelos alunos. Os resultados obtidos permitem inferir que o uso da metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução de problemas pode favorecer a exploração de tarefas com alunos para a compreensão de generalizações envolvidas, uma vez que, foi possível solucionar o problema a partir de caminhos alternativos, adotando abordagens apoiadas nas suas intuições e conhecimentos prévios até se determinar uma generalização para a tarefa dada. Ademais, a professora da turma, conseguiu interagir como mediadora do processo, motivando os alunos nos momentos de suas dificuldades em fazer uma generalização da situação.
Abstract. This communication aims to describe and analyze the exploration
of a mathematics problem involved 2nd degree equation with grade 9 students. The study was developed within the research project “The methodology of mathematics teaching-learning-evaluation through problem solving in classroom context: a pedagogical research proposal”. It is a qualitative and interpretative research, based on case study. The data collection was realized by participant observation, video recording of classroom student activities and students’ written documents. The obtained results allow to infer that the use of the methodology of math teaching-learning-evaluation through problem solving can favor the exploration of the task with students for comprehension of the generalizations referent 2nd degree equation. As, it was possible to solve the problem through alternative ways, adopting approaches based on their intuitions and previous knowledge until a generalization for the given task is determined. In addition, the class teacher was able to interact as mediator of the processes, motivating the students in the moments of difficulties to make a generalization of the situation.
Palavras-Chave: Resolução de Problemas. Equação do segundo grau.
Introdução
Atualmente a sociedade exige cada vez mais do cidadão competências de ordem científica e tecnológica, se torna preeminente a necessidade de uso da matemática na vida cotidiana. Nesse sentido, os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007), bem como os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (Brasil, 1998) defendem que todos as pessoas necessitam de conhecer e compreender a Matemática e, consequentemente, todos os alunos devem ter apoio e oportunidade necessários para aprender matemática com significado, profundidade e compreensão. É verdade que os alunos demonstram possuir diferentes talentos, capacidades, necessidades e interesse pela matemática, mesmo assim, todos eles deverão ter acesso aos melhores programas de Matemática. Não existe conflito entre equidade e excelência (NCTM, 2007).
Para desenvolver a compreensão matemática é importante que as crianças construam o seu próprio conhecimento, estabeleçam ligações entre suas intuições, a linguagem informal e as operações a partir de um leque alargado de experiências (Hiebert & Carpenter, 1992). No entanto, trabalhar a Matemática com compreensão não é tarefa fácil, mas, é possível, desde que se desenvolva no aluno a capacidade de formular e resolver problemas.
Reconhecendo a Resolução de Problemas como uma capacidade transversal a toda aprendizagem matemática (ME,2007), em 2012 foi desenvolvido um curso de extensão para futuros professores de Matemática (licenciandos em Matemática) e professores em formação continuada da Educação Básica, na Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Campus X, Teixeira de Freitas, Bahia, Brasil, em um período de 4 meses, sob a orientação da primeira autora desta comunicação, cujo objetivo era apresentar e propor, a professores de Matemática, a Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas (Onuchic, 1999) como um caminho para se ensinar e aprender matemática com compreensão. A partir desse curso, alguns professores em formação continuada, mostraram-se interessados em mudar a sua prática pedagógica e pretendiam trabalhar em sala de aula com a resolução de problemas. Como ainda não se sentiam seguros com essa nova forma de trabalho em sala de aula, pediram à pesquisadora (primeira autora deste artigo) uma intervenção em suas salas de aula guiada pela resolução de problemas.
A partir daí, surge o projeto “A metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de
proposta de pesquisa pedagógica” (Nunes, 2014), cujo objetivo é promover, por meio de
intervenções pedagógicas, em espaços escolares do Ensino Fundamental II), momentos de aprendizagem matemática através da resolução de problemas. Ressaltamos que no Brasil a Educação Básica é composta por: Ensino Fundamental I com 1.º Ciclo (1.º ao 3.º ano) e 2.º Ciclo (4.º e 5.º anos); Ensino Fundamental II com 3.º Ciclo (6.º e 7.º anos) e 4.º Ciclo (8.º e 9.º anos); e, Ensino Médio com 10.º, 11.º e 12.º. O projeto de pesquisa tem sido desenvolvido na UNEB, Campus X, Teixeira de Freitas, Bahia, Brasil, financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa da Bahia (FAPESB). O espaço escolar referenciado é uma escola pública do Ensino Fundamental II que envolveu a pesquisadora, as alunas bolsistas (alunas da graduação em Matemática e orientandas da pesquisadora, que recebem incentivo financeiro pela FAPESB), três professores que lecionam no 5.º, 8.º e 9.º anos e seus respetivos alunos.
A presente comunicação insere-se no projeto descrito acima e tem como objetivo descrever e analisar a exploração de um problema matemático que pretendia introduzir o conteúdo “equação do 2.º grau” a alunos do 9.º ano ao utilizar a metodologia de ensino- aprendizagem-avaliação de matemática através da Resolução de Problemas. Esta metodologia constitui-se num caminho para se trabalhar em sala de aula, onde o problema é o ponto de partida das atividades de sala de aula e é proposto, aos alunos, antes mesmo de lhes ter sido apresentado o conteúdo ou os recursos matemáticos mais apropriados ou pretendidos para a sua resolução (Allevato &Vieira, 2016). O que se pretende é que no percurso de sua resolução, o aluno aprenda Matemática, aprenda o conteúdo que o professor pretende que ele aprenda, bem como outros conteúdos, eventualmente, não previstos pelo professor.
O pensamento algébrico e a equação do segundo grau
Uma das áreas decisivas para a aprendizagem da Matemática no Ensino Fundamental é a Álgebra. Quando trabalhada nos Ensinos Fundamental e Médio têm a ver com a compreensão do significado das letras e das operações com elas, se considerarmos que os alunos estão estudando Álgebra quando encontram variáveis pela primeira vez. As diferentes conceções desse ramo da Matemática relacionam-se com os diferentes usos das variáveis. Assim, em resumo, ela pode ser concebida, para alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, segundo Usiskin (1995), como: aritmética generalizada (generalizando modelos); meio de resolver problemas (incógnitas ou constantes para resolver e simplificar o problema); estudo de relações (argumentos e parâmetros para
relacionar ou fazer gráficos); e como estrutura (sinais arbitrários no papel para manipular e justificar).
Ribeiro e Cury (2015) acreditam que a Álgebra deveria ser explorada desde os anos iniciais do ensino,
[...] pois dela faz parte um conjunto de processos e pensamentos que têm origem em experiências com números, padrões, entes geométricos e análise de dados e […] quando trabalhada desde os anos iniciais pode ser o fio condutor do currículo escolar e o desenvolvimento do pensamento algébrico pode permitir que sejam realizadas abstrações e generalizações que estão na base dos processos de modelagem matemática da vida real (p. 11).
Neste nível, a Álgebra não é entendida como um conjunto de técnicas, mas como um modo de pensar (Kieran, 2007). Acrescenta a autora que para a promoção deste modo de pensar e compreender a Matemática é essencial proporcionar experiências que envolvam conjeturar, generalizar e justificar, usando uma variedade de representações e linguagens.
De fato, é difícil encontrar uma área de Matemática que não envolva generalizar e formalizar em algum modo fundamental. Este tipo de pensamento está no centro da Matemática como uma ciência de coisas que obedece a um padrão e uma ordem lógica. Descobrir e explorar esse padrão ou essa ordem e, então, dar sentido a ela é o que significa fazer matemática (Van de Walle, 2001). Problemas que envolvem a descoberta de padrões contribuem para o desenvolvimento do raciocínio e para o estabelecimento de conexões entre diferentes temas matemáticos. Em particular, “é um modo de envolver os alunos nalgumas das componentes fundamentais do pensamento algébrico como sejam o particularizar, o conjeturar, o generalizar e, eventualmente, o simbolizar das relações encontradas” (Vale & Pimentel, 2005, p. 19).
O pensamento algébrico apresenta algumas características como a de ser capaz de perceber padrões e aspetos variantes, saber expressar a estrutura de uma situação- problema; e saber fazer generalizações. Com estas características, o aluno é capaz de estabelecer relações entre objetos, representando-os e raciocinando sobre suas generalizações (Putti, 2011). Assim, os alunos devem primeiro aprender a formular generalizações em tarefas nas quais tem a possibilidade de observar padrões e relações e, em um segundo momento, devem formular generalizações, utilizando a notação algébrica
para, posteriormente, numa última fase, poderem obter novas informações ao refletirem sobre as expressões algébricas produzidas pelos próprios ou por outros. (Mata-Pereira & Ponte, 2013). Em Matemática, muitas vezes, a generalização é considerada válida apenas se for demonstrada, no entanto, no âmbito da Educação Matemática, “uma generalização deve ser considerada válida de acordo com as capacidades e conhecimentos dos alunos em cada momento de sua aprendizagem” (Mata-Pereira & Ponte, 2013, p.2).
Segundo Van de Walle (2009) para desenvolver o pensamento algébrico nos alunos, algumas ideias devem ser trabalhadas no contexto da sala de aula. Dentre elas as equações e inequações que devem ser usadas para expressar relações entre duas quantidades. No que se refere às equações, particularmente as do segundo grau, o seu estudo representa para os alunos uma nova oportunidade de aprendizagem algébrica a qual remete para um nível de abstração superior ao exigido nas equações lineares. Além disso, Nabais (2010) diz que o estudo das equações do segundo grau.
[...] possibilita a utilização e exploração de múltiplas situações que contribuem para o desenvolvimento do conceito de variável; apela ao estabelecimento de conexões e à apropriação de conhecimentos de diversos temas; favorece a transição da linguagem natural para a linguagem matemática; permite o recurso a diferentes formas de representação, possibilitando a utilização de métodos algébricos e geométricos e, constitui uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas (p. 13).
Quanto a sua apresentação nos programas curriculares, o anterior Programa de Matemática para o ensino básico de Portugal (ME, 2007) integrava a aprendizagem desse tópico no terceiro ciclo do ensino básico e recomendava começar o ensino de equações do segundo grau pelas equações incompletas. O Programa considerava ainda que o estudo deste tema é uma boa oportunidade para os alunos com melhor desempenho matemático demonstrarem algebricamente a fórmula resolvente. Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (Brasil, 1998) ao tratar das equações recomendam que o estudo das técnicas convencionais para resolver equações seja desenvolvido apenas no quarto ciclo pois, caso contrário, os conteúdos do terceiro ciclo ficarão mais extensos, dificultando o trabalho com os demais blocos. Entretanto, é possível que, no terceiro ciclo, os alunos traduzam algumas situações-problema por equações. Nesses casos, “é desejável que eles desenvolvam estratégias próprias para resolvê-las (Brasil, 1998, p. 121).
A introdução das equações do segundo grau pode ser feita através da resolução de problemas, pois ela favorece, neste caso, “conexões entre as resoluções algébricas, geométricas e gráficas da equação do segundo grau de modo a proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa do estudo deste tópico através do recurso a várias formas de representação” (Nabais, 2010, p. 89).
A resolução de problemas no contexto da sala de aula
Um dos objetivos principais do ensino e da aprendizagem matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, “nada melhor que lhe apresentar situações problemas que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las” (Nunes, 2015, p. 63). Essa é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo como uma meta fundamental do ensino e da aprendizagem matemática. Bons problemas poderão proporcionar aos alunos a oportunidade de consolidar e ampliar seus conhecimentos e, se forem bem escolhidos, poderão vir a estimular a aprendizagem da Matemática.
A Resolução de Problemas é apresentada nas orientações curriculares (Brasil, 1998; NCTM, 2007; ME, 2007) como um dos temas fundamentais da matemática, tanto na investigação quanto no desenvolvimento curricular. Defende-se nessas orientações curriculares que o problema é o ponto de partida de uma atividade matemática e um caminho para se fazer matemática.
No anterior Programa de Matemática de Portugal (ME, 2007), a resolução de problemas era reconhecida como uma atividade privilegiada para a consolidação, ampliação e aprofundamento do conhecimento matemático dos alunos e referia a importância de desenvolver as capacidades de: (i) compreender problemas em contextos matemáticos e não matemáticos e de os resolver utilizando estratégias apropriadas; (ii) apreciar a plausibilidade dos resultados obtidos e a adequação ao contexto das soluções a que chegam; (iii) monitorizar o seu trabalho e refletir sobre a adequação das suas estratégias, reconhecendo situações em que podem ser utilizadas estratégias diferentes e; (iv) formular problemas.
Diante dessas orientações curriculares, uma metodologia de ensino, a Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, é apresentada por Onuchic (1999) e, mais recentemente por Allevato e Onuchic (2014) para
ajudar os professores a empregá-la em suas aulas. Elas sugerem que tais atividades sejam organizadas em dez etapas, descritas na Figura 1.
Figura 1: Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da Resolução de Problemas (Allevato & Vieira, 2016).
Reitera-se que com a Metodologia de Ensino- aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, o ensino e a aprendizagem devem ocorrer simultaneamente durante a construção do conhecimento, tendo o professor como guia e os alunos como co-construtores desse conhecimento. Além disso, essa metodologia integra uma conceção mais atual de avaliação. “Ela é construída durante a resolução do problema, integrando-se ao ensino com vistas a acompanhar o crescimento dos alunos, aumentando sua aprendizagem e reorientando as práticas em salas de aula quando for necessário” (Onuchic, 2013, p. 101). Assim, organizar o ensino e a aprendizagem da Álgebra enquadrando o pensamento algébrico, padrões e generalizações e a resolução de problemas constitui uma condição essencial para a aprendizagem da Matemática com compreensão.
Pressupostos Metodológicos
Os dados apresentados nesta comunicação fazem parte de uma investigação mais ampla e tem como objetivo descrever e analisar a exploração de um problema matemático que
pretendia introduzir o conteúdo “equação do segundo grau” a alunos do 9.º ano ao utilizar a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução de problemas. Para a coleta dos dados foram utilizadas algumas técnicas: observação participante, gravações de vídeos e registros das atividades produzidas pelos alunos. A descrição e análise dos dados foi guiada pelo roteiro da Metodologia de Ensino- aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas.
Como a pesquisa pretende promover em espaços escolares momentos de aprendizagem matemática através da Resolução de Problemas, por meio de intervenções pedagógicas, a mesma tem sido desenvolvida numa escola pública do Ensino Fundamental II, no município de Teixeira de Freitas – BA (Brasil), com a participação da pesquisadora e duas alunas bolsistas da Universidade do Estado da Bahia, UNEB – Campus X e três professores de matemática do 5.º, 7.º e 9.º ano.
O trabalho de intervenção apresentado nesta comunicação foi realizado pela pesquisadora e as alunas bolsistas com a participação da professora e uma turma do 9.º ano do Ensino Fundamental II, constituída por 35 alunos. Em conversa com a professora da turma e em reuniões de planejamento da execução da pesquisa, fomos desenhando a intervenção em comum acordo com a professora que propôs trabalharmos com equação do 2.º grau, assunto que ainda não era do conhecimento dos alunos. O ponto a destacar nesse trabalho de intervenção com os alunos é que os mesmos não mostravam familiaridade com problemas abertos, mas demonstravam disposição para realizar as atividades propostas. Consideramos como problema aberto, aquele que parte de enunciado que permite a formulação de diversos tipos de questões e possibilita a realização de explorações em diferentes direções (Vieira e Allevato, 2016).
Trazemos aqui como foi feito o planejamento para a intervenção na turma do 9.º ano, por considerar este um aspeto fundamental no processo de ensino e aprendizagem, embora, muitas vezes, não seja apreciado na prática de ensino. O planejamento de uma aula é discutido por Onuchic, et al (2014) ao se trabalhar com a Metodologia de Ensino- aprendizagem-avaliação da Matemática através da Resolução de Problemas e se constitui das seguintes fases: o problema gerador, ano escolar recomendado, objetivos, conteúdos abordados, possíveis estratégias para a resolução do problema, formalização, comentários e extensão do problema. Consideramos o problema gerador como aquele que visa a construção de um novo conceito, conteúdo, princípio ou procedimento matemático (Onuchic, 2013).
Assim, o problema com que se pretendia explorar a equação do segundo grau, apresentado aos alunos do 9.º ano foi planejado da seguinte forma:
Os participantes de um festival de música decidiram que, ao final do evento, fariam uma festa de encerramento. Nessa festa, cada um dos participantes daria uma flor de presente a cada colega que participou do evento.
a) Quantas flores serão distribuídas se o total de participantes for igual a 5? b) E se for igual a 6? E igual a 7?
c) Quantas flores serão distribuídas se o número total de participantes for igual a n?
d) Se o total de flores distribuídas na festa for igual a 930, então qual será o número de participantes?
Quadro 1: Problema gerador do conteúdo equação de segundo grau adaptado de Putti (2011)
Objetivos do problema: (i) expressar algebricamente situações envolvendo equações
polinomiais do 2.º grau; (ii) utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área de uma figura plana; (iii) interpretar o enunciado do problema.
Conteúdo matemático a ser desenvolvido: Métodos para resolver equações polinomiais
do 2.º grau; Solução geral de uma equação polinomial do 2.º grau; Desenvolvimento da fórmula resolvente da equação do 2.º grau.
Estratégias de resolução:
a) Considerando A, B, C, D e E os cinco participantes, vemos que cada participante distribuirá quatro flores. Portanto, o número total de flores distribuídas será 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5x4 = 20.
b) Analogamente, para seis e sete participantes, ter-se-ia:
i) O número total de flores distribuídas será 5+5+5+5+5+5 = 6x5 = 30.
ii) O número total de flores distribuídas será 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 7x6 = 42
O aluno, com os exemplos dos itens acima, poderá observar, no item c, que sendo n o número de participantes, cada um de seus membros dará (n-1) flores, pois cada participante não dará uma flor para si mesmo. Dessa forma, o número total de flores a serem distribuídas será n x (n-1).
Então, que número vezes o seu antecessor dará 930? Assim, no item d, eles poderão representar o problema pela seguinte equação: n(n −1) = 930.
Para resolvê-la, os alunos poderão construir uma tabela. Tabela 1: Respostas possíveis ao item (d) do problema
Número de participantes (n) Total de participantes (nx.(n-1)) 2 2x1 = 2 … … 10 10x9 = 90 … … 20 20x19 = 380 … … 30 30x29 = 870 … … 40 40x39 = 1560
Os alunos poderão perceber que o valor a ser encontrado está entre 30 e 40 e, pelo método de tentativa e erro, chegarão à resposta de 31 participantes.
Plenária (Discussão com toda a classe)
Espera-se no item d do problema, nesse momento da aula, que os alunos cheguem à equação n x (n-1) = 930, ou melhor, n² - n = 930, chegando assim a uma equação polinomial do 2.º grau.
Descrição e análise da resolução da tarefa
A princípio, esclarecemos que o problema foi apresentado aos alunos no intuito de introduzir o conteúdo “equação do segundo grau”, uma vez que, no item (c) do problema, chega-se a uma generalização para o número de flores quando o número de participantes é (n), n2 – n, cuja representação recai sobre uma equação do segundo grau.
A realização da tarefa pelos alunos seguiu as orientações sugeridas por Onuchic (2013), conforme figura 1. A turma foi dividida em sete grupos de cinco alunos, dos quais, para