Heurísticas de busca local × BTP (agregados)

Cplex LB RINS DINS BTP-ACVO RK_1–SDCV

Porcentagens agregadas Qtde (%) Qtde (%) Qtde (%) Qtde (%) Qtde (%) Qtde (%) Ótimas ou até 1% 21 53,8 20 51,3 27 69,2 26 66,7 1 2,6 2 5,1 1% a 5% 8 20,5 9 23,1 6 15,4 8 20,5 6 15,4 5 12,8 5% a 10% 3 7,7 4 10,3 3 7,7 3 7,7 6 15,4 7 17,9 10% a 25% 4 10,3 1 2,6 1 2,6 0 0,0 8 20,5 8 20,5 25% a 50% 0 0,0 1 2,6 0 0,0 0 0,0 5 12,8 5 12,8 50% a 100 % 0 0,0 0 0,0 0 0,0 0 0,0 6 15,4 7 17,9 Acima de 100% 3 7,7 4 10,3 2 5,1 2 5,1 7 17,9 5 12,8

Capítulo 5

Resultados Computacionais Adicionais

A avaliação do desempenho da busca tabu paramétrica nas instâncias da Miplib apresentada no Capítulo 4 mostra a robustez da implementação em instâncias de problemas de diversas áreas. Neste capítulo, a ênfase concentra-se em avaliar o desempenho da heurística para instâncias de um mesmo problema. Para essa finalidade, foram consideradas 32 instâncias do problema da mochila multidimensional (multidimensional knapsack problem, MKP), 32 instâncias do problema da mo- chila multidimensional com restrições de demanda (multidemand multidimensional knapsack pro-

blem, MDMKP) e 57 instâncias do problema de designação generalizada, (generalized assignment problem, GAP).

A forma de apresentação dos resultados deste capítulo segue o mesmo padrão utilizado no Capí- tulo 4. A mesma calibração de parâmetros usada no Capítulo 4 foi mantida para os três conjuntos de instâncias. Primeiramente, são apresentados os modelos matemáticos e as instâncias utilizadas, e na seqüência os resultados computacionais. O Apêndice D mostra algumas informações adicionais relativas aos testes de Wilcoxon que foram realizados.

5.1 Modelos matemáticos e instâncias utilizadas

Esta seção descreve brevemente os modelos matemáticos dos três problemas considerados e a origem das instâncias utilizadas para avaliar a busca tabu paramétrica.

5.1.1 Problema da mochila multidimensional

O problema da mochila multidimensional envolve encontrar um subconjunto de um total de n itens que maximize a soma das utilidades enquanto satisfaz m restrições de capacidade. O modelo

120 Resultados Computacionais Adicionais

matemático de programação inteira é o descrito a seguir:

max n X j=1 cjxj (5.1) n X j=1 aijxj ≤ bi, i = 1, ..., m (5.2) xj ∈ {0, 1}, j = 1, ..., n. (5.3)

Na função objetivo (5.1), cjrepresenta a utilidade de cada item j. As restrições (5.2) representam

as m restrições de mochila em que aijé o volume ocupado pelo item j na mochila i e bié a capacidade

da mochila i que não pode ser excedida. As restrições (5.3) expressam o domínio das variáveis e representam a exclusão ou inclusão de cada item j nas m mochilas.

Chu e Beasley (1998) geraram uma biblioteca de instâncias com n ∈ {100, 250, 500} e m ∈

{5, 10, 30}. Os coeficientes aij são inteiros gerados aleatoriamente entre 0 e 1000. Os valores bi

são tais que bi = α n

P

j=1

aij em que α é um parâmetro que controla a capacidade de uma restrição de

mochila (5.2). Essa imposição diminui com o crescimento de α. Para cada um dos 9 pares m–n, foram geradas 10 instâncias para cada valor de α ∈ {0,25; 0,50; 0,75}, resultando em 30 instâncias para cada par m–n e totalizando 270 instâncias na biblioteca.

As instâncias escolhidas para serem tratadas pela busca tabu paramétrica foram selecionadas dos grupos que Chu e Beasley (1998) relatam como sendo os mais difíceis de serem resolvidos. Para cada par m–n com m ∈ {5, 10, 30} e n ∈ {100, 500} foram escolhidas 4 instâncias considerando

α = 0,25 para n = 100 e α = 0,50 para n = 500. Também foram selecionadas 4 instâncias do

grupo 30–500 com α = 0,75 e 4 instâncias do grupo 5–250 com α = 0,25, totalizando 32 instâncias. As instâncias são identificadas com a nomenclatura mkp–m–n–s, em que s é o número da instância dentro do grupo m–n.

5.1.2 Problema da mochila multidimensional com restrições de demanda

Quando no problema da mochila multidimensional são adicionadas restrições de demanda, surge o problema da mochila multidimensional com restrições de demanda. O seu modelo matemático de programação inteira é descrito por:

max

n

X

j=1

5.1 Modelos matemáticos e instâncias utilizadas 121 n X j=1 aijxj ≤ bi, i = 1, ..., m (5.5) n X j=1 aijxj ≥ bi, i = m + 1, ..., m + q (5.6) xj ∈ {0, 1}, j = 1, ..., n. (5.7)

A função objetivo, as restrições de mochila e as restrições de integralidade das variáveis de decisão das expressões (5.4), (5.5) e (5.7) do MDMKP são equivalentes às expressões (5.1), (5.2) e (5.3) do MKP. A diferença são as q restrições de demanda da expressão (5.6) que são do tipo "maior ou igual que". Encontrar uma solução inteira-factível é uma tarefa desafiadora para várias instâncias desse problema pois as restrições de demanda são conflitantes com as restrições de mochila e reduzem significativamente o espaço de soluções em relação ao MKP.

Cappanera e Trubian (2005) geraram uma biblioteca de instâncias de MDMKP modificando as instâncias de MKP criadas por Chu e Beasley (1998). Foram escolhidas 5 instâncias de cada configu- ração m–n–α e a partir de cada uma foram geradas 6 instâncias, usando a função objetivo com todos os coeficientes positivos ou com coeficientes positivos e negativos. Foram utilizados valores de q tais que q ∈ {1, m/2, m}.

As instâncias escolhidas para serem tratadas pela busca tabu paramétrica foram selecionadas dos grupos derivados de mkp–5–100, mkp–5–500, mkp–30–100 e mkp–30–500. Para cada valor de q ∈

{m/2, m} foram selecionadas 4 instâncias, sendo duas com todos os coeficientes positivos na função

objetivo e duas com coeficientes positivos e negativos, totalizando 32 instâncias. A nomenclatura usada para designar as instâncias é a mesma de Arntzen et al., (2006). Assim, em mdmkp–m–n–q–

r–s, r é um se houver coeficientes negativos na instância e s é o número da instância dentro de um

grupo.

5.1.3 Problema de designação generalizada

O problema de designação generalizada envolve encontrar a designação de cada uma de n tarefas a exatamente um dentre m agentes com custo mínimo. O modelo matemático de programação inteira é descrito por: min m X i=1 n X j=1 cijxij (5.8)

122 Resultados Computacionais Adicionais m X i=1 xij = 1, j = 1, ..., n (5.9) n X j=1 aijxij ≤ bi, i = 1, ..., m (5.10) xij ∈ {0, 1}, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. (5.11)

Na função objetivo dada pela expressão (5.8), cij é o custo de designar a tarefa j ao agente i. As

restrições (5.9) em conjunto com as restrições de integralidade (5.11) garantem que cada tarefa j seja designada a exatamente um agente i. As restrições (5.10) garantem que a capacidade máxima bi de

cada agente não seja violada, dado que designar uma tarefa j a um agente i consome a quantidade de recurso aij.

Chu e Beasley (1997) geraram uma biblioteca de instâncias com m ∈ {5, 10, 15, 20, 40, 60, 80} e

n ∈ {100, 200, 400, 900, 1600}. O autores usaram diferentes critérios de geração de instâncias e as

agruparam em quatro conjuntos A, B, C e D. Yagiura et al. (2006) estenderam a biblioteca incluindo o conjunto E. As instâncias do grupo A são consideradas as mais fáceis, seguidas das do grupo B. As instâncias dos grupos D e E são consideradas as mais difíceis pois os custos de designação e os recursos consumidos são inversamente correlacionados. Todas as 57 instâncias distribuídas entre os grupos de A a E foram utilizadas para validar o desempenho da busta tabu paramétrica. A nomencla- tura usada para designar as instâncias é a seguinte: o primeiro caractere indica o grupo da instância, os próximos dois caracteres indicam o número de agentes e os restantes indicam o número de tarefas. Por exemplo, E801600 trata-se de uma instância do grupo E, com 80 agentes e 1600 tarefas.

5.2 Resultados com uso de memória de curto prazo

Nesta seção, para os três problemas considerados, são apresentados os resultados para as estraté- gias de cálculo de penalidade inteira e resistência a metas e na seqüência os resultados de curto prazo. Os dados da coluna “Melhor Valor” para as instâncias de GAP foram selecionados de Yagiura et al. (2006) e da execução do branch-and-cut do Cplex 10 por duas horas, sempre reportando o melhor dos dois valores. Para as instâncias de MKP, os melhores valores de função objetivo conhecidos vêm de Chu e Beasley (1998) e da execução do Cplex por duas horas. Para as instâncias de MDMKP, a execução do Cplex por duas horas foi aplicada para encontrar o melhor valor. Para essas instâncias, houve 10 casos em que a BTP apresentou resultados melhores que os do branch-and-cut do Cplex. Quando isso ocorre, o valor encontrado pela BTP é o usado e o nome da instância aparece em negrito.

5.2 Resultados com uso de memória de curto prazo 123

Os mesmos critérios de avaliação usados no Capítulo 4 também são aqui aplicados considerando exe- cuções com limite de tempo de 3600s. Em primeiro lugar é aplicado o teste de classificação com sinal de Wilcoxon. Em segundo lugar a execução que falha em menos instâncias. E em terceiro lugar, o número de instâncias cujos desvios ficam abaixo de 5%.

5.2.1 Tratamento da penalidade inteira e da resistência a metas

Nesta subseção são avaliadas as técnicas de cálculo de penalidade inteira e resistência a metas, ACVO, DM e RB. As Tabelas 5.1 e 5.2 trazem os resultados das instâncias de GAP, as Tabelas 5.3 e 5.4 o resultados das instâncias de MKP e as Tabelas 5.5 e 5.6 os resultados das instâncias de MDMKP. Para o problema GAP, o uso da ACVO foi superior ao uso da DM e da RB pelo teste de Wilcoxon. A ACVO falha em 3 instâncias, a DM em 6 e a RB em 7. Entre DM e RB, o teste de Wilcoxon é inconclusivo. As três execuções encontram a solução ótima para 8 instâncias. O desvio médio para ACVO é um pouco superior inclusive quando Média(50) é considerada. Para desvio não superior a 5%, a ACVO também é vantajosa com 78,9% das instâncias dentro dessa faixa, enquanto DM e RB apresentam respectivamente 68,4% e 71,9%.

Para o problema MKP, o teste de Wilcoxon foi inconclusivo entre todas as execuções. Em ins- tâncias de MKP, a BTP sempre foi capaz de encontrar pelo menos uma solução inteira-factível, in- dependente da execução realizada. A ACVO encontra 6 soluções ótimas, a DM encontra 4 e a RB encontra 5. Os desvios médios são muito próximos entre si com uma pequena vantagem para a exe- cução RB. Como todas as instâncias apresentam desvio inferior a 5% para MKP, para esse problema a discussão será modificada para desvio não superior a 1%. A ACVO alcança essa marca para 84,4% das instâncias, a DM para 87,5% e a RB para 90,6%.

Para o problema MDMKP, o teste de Wilcoxon também foi inconclusivo entre todas as execuções. As três execuções encontram 3 soluções ótimas. A ACVO falha em 5 instâncias, a DM em 4 e a RB em 4. O desvio médio para a execução ACVO apresentou melhor resultado e quando Média(27) é usada a ACVO ainda mantém uma pequena vantagem. Para desvio não superior a 5%, a ACVO atinge essa faixa para 65,6% das instâncias e a DM e RB atingem essa faixa para respectivamente 71,9% e 62,5% das instâncias.

Assim como ocorre para as instâncias da Miplib, a técnica ACVO é a mais indicada para o GAP. Para MKP e MDMKP, as melhores técnicas são respectivamente a RB e a DM. A ACVO embora não tenha sido sempre a vencedora, ainda assim apresentou resultados competitivos. Nas execuções de curto prazo, extensões de curto prazo e longo prazo, foi mantida a implementação de referência com uso da abordagem ACVO.

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