No século XIX, surgiram os primeiros pensadores a registrar suas investigações sobre o comportamento de um sistema quanto ao tempo, e as implicações causadas pela dependência das condições iniciais desse sistema. Um dos enunciados mais conhecidos sobre o tópico foi apresentado por Pierre-Simon Laplace.
Também é possível observar o conceito embrionário do caos determinístico apresentado pelo matemático francês Jules Henri Poincaré, em 1890, em uma competição internacional realizada em homenagem ao sexagésimo aniversário do rei Oscar II da Suécia e Noruega. Poincaré foi premiado nessa competição por mostrar a solução mais próxima para uma das quatro problemáticas propostas na ocasião, a qual optou pela estabilidade do sistema solar. Na mecânica celeste, Isaac Newton solucionou o problema dos dois corpos, como o movimento da Terra ao redor do Sol. Porém, vários grandes matemáticos e físicos tentaram estender a solução analítica de Newton para o problema dos três corpos, o que, no entanto, se mostrou ser uma questão demasiadamente complexa (LAYEK, 2015).
49 Poincaré havia percebido a sensível dependência das condições iniciais em sistemas caóticos, afirmando que uma causa muito pequena, que escapa à percepção, determinará um efeito considerável que não poderá deixar de ser visto, e então, esse evento será atribuído como acaso. Se as condições iniciais do universo e as leis da natureza fossem completamente conhecidas, pode-se prever exatamente a situação desse mesmo universo em um momento posterior. Não obstante, mesmo se as leis da natureza forem totalmente conhecidas, as condições iniciais poderiam ser obtidas apenas de forma aproximada, e, caso isso permitisse prever um evento posterior do sistema com a mesma aproximação, esse fenômeno pode ser antecipado, e portanto, será governado por leis. Esse comportamento não é recorrente em todos os sistemas, pois pequenas diferenças nas condições iniciais podem gerar grandes modificações no sistema no estado final desse fenômeno. Um pequeno erro no início implicará em um enorme erro no final, tornando a previsão impossível (POINCARÉ, 2003).
A descoberta de Poincaré não recebeu a devida atenção na época, até que em 1963, Edward Norton Lorenz publicou um artigo, descrevendo resultados numéricos obtidos através da integração de equações diferenciais ordinárias não lineares de terceira ordem – vide Equação – que nada mais são que uma versão simplificada dos rolos de convecção na atmosfera.
{ 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = −𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = −𝑥𝑧 + 𝑟𝑥 − 𝑦 𝑑𝑧
𝑑𝑡= 𝑥𝑦 − 𝑏𝑧
(3.10)
Onde 𝜎 é o número de Prandtl e r representa o número de Rayleigh. Por meio desse sistema pode ser obtido o atrator de Lorenz, mostrado na Figura 3.3. O título do seu trabalho foi “Deterministic Nonperiodic flow” sendo o artigo mais influente, além de ter dado início ao estudo de sistemas caóticos (LAYEK, 2015). Lorenz havia então mostrado que existe estrutura no caos, que quando representada em forma gráfica, as soluções de suas equações formam uma configuração de pontos em forma de borboleta. É argumentado em seu trabalho, que essa configuração deveria ser infinitas superfícies complexas (STROGATZ, 2018).
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Figura 3.3 O atrator de Lorenz Fonte: (STROGATZ, 2018)
Alguns anos mais tarde, em dezembro de 1972, durante o 139º encontro da American Association for the Advancement of Science, em Washington, Lorenz apresentou em seu discurso a celebre frase que ficaria marcada como símbolo popular do estudo do caos: o efeito borboleta (LORENZ, 2005).
Em 1970, o matemático japonês Yoshisuke Ueda publicou artigos pioneiros, apresentando sua descoberta de uma família de atratores estranhos, através de seus estudos sobre as equações de Duffing.
O termo caos foi primeiramente introduzido como um termo técnico moderno por Robert May, que apresentou a ideia de caos para biologia populacional em 1974. Em seu artigo, ele apontou que a evolução das populações aparenta ser aleatória, mesmos que as equações subjacentes não possuam qualquer aspecto aleatório. Ainda de acordo com seu trabalho, influências externas, tais como clima, comida e saúde, podem influenciar na aleatoriedade das mudanças da população. Através da aplicação da equação logística para modelar a população, foi percebido que o crescimento populacional exibia um comportamento caótico. Isso implica que, se o nível populacional inicial for modificado, todas as outras populações sucessivas irão mudar, mesmo se dois níveis populacionais iniciais forem muito próximos, seus níveis posteriores poderão ser totalmente diferentes (CHAU;
WANG, 2011).
51 Em 1975, Tien-Yien Li e James A. Yorke apresentaram a primeira definição matemática do caos para movimentos supostamente aleatórios de sistemas determinísticos simples (CHAU; WANG, 2011; LAYEK, 2015). Nesse processo, o caos também adquiriu outro significado. Li e Yorke utilizaram o termo em referência ao sistema de equações que possuem pelo menos algumas soluções aperiódicas, mesmo que esse sistema apresente a maioria de suas soluções sendo periódicas. Em sistemas denominados caóticos, a maior parte dos seus estados iniciais apresenta um comportamento aperiódico, e apenas alguns casos restritos levam à periodicidade (LORENZ, 2005).
O físico teórico americano Michael Jay Feigenbaum descobriu em 1975, que a razão da diferença entre valores de sucessivas bifurcações de duplicação de período tende a ser uma constante, em torno de 4,669201, conhecida como a constante de Feigenbaum. O físico provou matematicamente que essa mesma constante ocorreria em uma ampla classe de mapeamento não linear quando se aproxima de um nível caótico. Em 1978, publicou o seu trabalho ao qual apresentava sua descoberta das propriedades de escala e as constantes universais em mapeamentos unidimensionais (CHAU; WANG, 2011; VAN WYK; STEEB, 2013). A Figura 3.4 apresenta o mapa logístico, onde se podem observar as relações matemáticas estabelecidas por Feigenbaum:
Figura 3.4: Mapa logístico Adaptado de Chau e Wang (2011, p.7)
52 Onde a primeira constante de Feigenbaum é obtida através da seguinte relação:
𝛿 = lim
k→∞
𝛿𝑘
𝛿𝑘+1= 4,669201 (3.11)
Essa constante relaciona os intervalos entre bifurcações consecutivas. A segunda constante de Feigenbaum é determinada através da razão entre os valores de largura de bifurcações consecutivas:
𝛼 = lim
k→∞
𝛼𝑘
𝛼𝑘+1 = 2,502907 (3.12)
Benoît B. Mandelbrot criou o termo fractal para descrever estruturas que são irregulares, erráticas e que a autossimilaridade é intrínseca na maior parte desses objetos.
Essas estruturas consistem em autossimilaridade em escalas, ou seja, os padrões observados em largas escalas se repetem, em escalas cada vez menores. Sendo assim, um objeto fractal é formado por partes similares ao todo, mas não dispõe de uma menor escala característica para medição. A geometria fractal encontra ordem em formas e processos caóticos, sendo diferente da Euclidiana (LAYEK, 2015).
Em 1990, foi introduzido o primeiro método de controle do caos, desenvolvido por Edward Ott, Celso Grebori e James A. Yorke, que baseia-se na aplicação de pequenas perturbações em atratores caóticos, a fim de que seja realizada a estabilização de orbitas caóticas instáveis selecionadas (CHAU; WANG, 2011).
Esses foram alguns dos mais importantes avanços no que concerne ao desenvolvimento teórico de sistemas caóticos, que são fundamentais para as aplicações de técnicas baseadas no caos que são utilizadas atualmente.
Existem diversas evidências experimentais e estudos teóricos dedicados à determinação de medidas qualitativas e quantitativas a fim de quantificar o caos, a exemplo da sequência universal, do expoente de Lyapunov, da teoria do grupo de renormalização, das medidas invariantes (LAYEK, 2015). Contudo, neste trabalho de tese, o sistema caótico será determinado através dos testes de determinismo e do teste para o comportamento caótico, que serão apresentados nas seções seguintes.
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