1. – HISTÓRICO

A utilização dos Modelos Poissonianos Homogêneos é feita através da calibração, que consiste em determinar as funções de mobilidade O1 e O2, e da aplicação do modelo já calibrado aos dados experimentais. Com essa finalidade, diversos programas de computador foram desenvolvidos, a partir dos anos noventa, com uso de computadores pessoais.

O programa POISHOM – modelos Poissonianos Homogêneos, foi desenvolvido pelo Engenheiro Márcio F. A. Mendes em sua Tese de Mestrado sob orientação do Professor Geraldo Wilson Júnior (MENDES, 1995). Este programa foi escrito em linguagem Pascal, versão 5.0, e implementou a calibração e aplicação da função densidade de probabilidade do tempo médio de passagem de um grupo de partículas através de uma seção fixa, a partir de uma injeção instantânea. Sua calibração consiste da determinação dos parâmetros O1 e O2, através do método de tentativa e erro. O critério de ajuste consiste em calcular os menores valores de funções objetivos definida pelas somas dos desvios quadráticos entre os pontos experimentais e as funções aproximativas teóricas obtidas com os valores conhecidos do par O1 eO2.

Após determinar o par de valores de O1 e O2, pode-se então calcular as funções densidade de probabilidade aproximativas dos tempos de passagem. Essa versão permite criar um arquivo em formato texto com os valores teóricos das funções densidade de probabilidade. O programa apresenta uma interface com o usuário baseada em linhas de comando para o ambiente DOS.

O programa WPETS foi elaborado por MENDES e MEDEIROS, 1996, em linguagem Delphi 1.0. Em sua versão 1.0, possui todas as opções fornecidas pelo programa POISHOM, com a vantagem do ambiente Windows. Esta versão, realizada para a descrição Euleriana, apresenta uma tela de entrada que permite: escolher os

arquivos experimentais através de caixas de diálogo padrão, definir os parâmetros O1 e O2, e a distância da seção de medidas. O programa possibilita, também a apresentação das funções densidade de probabilidade teóricas, validadas, em forma de gráficos.

O programa PAICON, que significa Processos Aleatórios com injeções Instantâneas e CONtínuas, em sua versão 1.0, implementada em 1999, foi elaborado pelo Engenheiro Cid S. G. Monteiro, sob orientação do Professor Geraldo Wilson Júnior, e consistiu na automatização dos processos de calibração dos programas POISHOM e WPETS. A versão 2.0 foi desenvolvida no ano de 2000 e além da calibração, possui um módulo de aplicação das funções densidade e distribuição de probabilidade, juntamente com o cálculo dos principais parâmetros estatísticos, entre eles, dos momentos de 1ª, 2ª e 3ª ordens, variança e os coeficientes de assimetria e variação do tempo médio de passagem de sedimentos e poluentes através de seções transversais, com injeção instantânea.

A versão 3.0 do programa PAICON, disponibilizada em 2001, incorporou a análise espacial com injeção instantânea, ou seja, o estudo e a implementação das funções densidade e distribuição de probabilidade das posições das partículas de sedimentos e contaminantes, num determinado instante, em resposta a uma injeção instantânea, assim como os cálculos dos momentos de 1ª, 2ª e 3ª ordens, variança e coeficientes de assimetria e variação.

Em 2002, a versão 4.0, a mais recente, foi concluída pelo Engenheiro Cid S. G.

Monteiro, e engloba todas as versões desenvolvidas anteriormente e realiza a calibração e aplicação das funções densidade e distribuição de probabilidade, juntamente com os cálculos dos momentos de 1ª, 2ª e 3ª ordens, variança e coeficientes de assimetria e variação, para uma taxa de imersão constante (TODOROVIC’, 1975), tanto para a Descrição Lagrangeana (análise espacial) quanto para a Descrição Euleriana (análise temporal).

A versão 4.0 também implementa um módulo denominado “Simulações”. Este módulo aborda as injeções contínuas a partir da integração das injeções instantâneas, o que permite analisar quaisquer tipos de taxa de imersão contínua, como por exemplo, as

taxas de imersão constante, linear, exponencial, senoidal, e discretas do tipo histograma, que serão apresentadas no final deste Capítulo.

IV.2. – PAICON 4.0 - PROCESSOS ALEATÓRIOS COM INJEÇÕES

INSTANTÂNEAS E CONTÍNUAS

O Software PAICON: Processos Aleatórios com imersões Instantânea e CONtínua, desenvolvido em linguagem Delphi, possibilita, em sua Versão 4.0, Figura IV.1, analisar as descrições Euleriana (temporal) e Lagrangeana (espacial) dos movimentos de sedimentos e poluentes, por arraste e em suspensão, assim como os casos de imersões instantânea e contínua. O programa apresenta as inovações proporcionadas pelo ambiente gráfico, através de uma interface de aquisição de dados flexível, assim como uma visualização gráfica dos resultados.

Figura IV.1. - Tela de créditos e versões anteriores ao programa PAICON

A Figura IV.2 ilustra as duas formas de análise de dados abordadas pelo programa. A primeira forma está baseada na Descrição Euleriana (análise temporal) e a segunda na Descrição Lagrangeana (análise espacial). Cada análise foi dividida em injeções instantânea e contínua; ambas apresentam as possibilidades de calibração, aplicação e cálculo dos momentos das funções densidade de probabilidade (MONTEIRO e WILSON-JR, 2001, 2002^{a, b}, 2003, e WILSON-JR e MONTEIRO, 2002).

Calibração

Injeção Instantânea

PAIC O N

V E RS ÃO 4.0 P rocessos Aleatórios co m Injeçõ es Instan tân ea e Con tín ua

A NÁ LIS E T E M P O RA L

A plicação

A NÁ LIS E E S P A CIA L

Injeção Contínua

F unções Intensidade de

Movimento

F unções Densidade de Probabilidade F unções D istribuição de

Probabilidade

M om entos

Primeira O rdem - Média Segunda O rdem T erceira O rdem

Variança Massa T otal

Figura IV.2. - Formas de Análise de Dados do Programa PAICON

A Figura IV.3 ilustra as opções da Análise Espacial, presentes no menu principal do programa que correspondem à implementação das funções apresentadas no Capítulo III. Opções semelhantes são disponíveis para a Análise Temporal. As principais facilidades e recursos desenvolvidos no aplicativo são detalhadas, a seguir. A melhor forma de visualizar o Programa PAICON é através da leitura deste Capítulo IV simultaneamente com o acompanhamento na tela do computador das opções descritas.

Figura IV.3. - Opções da Análise Espacial do Programa PAICON IV.2.1. - Entrada de Dados

O programa se inicia com a leitura de arquivos de dados experimentais, obtidos a partir de trabalhos de campo e canais de laboratório. Esses arquivos apresentam os valores do tempo t e da função densidade de probabilidade temporal, qx(t), ou valores da distância x e da função densidade de probabilidade espacial, ft(x).

Os arquivos experimentais podem ser criados de três formas distintas, apresentadas a seguir.

Na primeira forma, os arquivos experimentais são criados, editados e visualizados através de uma ferramenta localizada no menu “Arquivo”. Para se criar um novo arquivo de dados deve-se escolher a sub-opção “Novo Arquivo de Dados”, onde deve ser informado o nome, o tipo de análise e injeção para o arquivo a ser criado, conforme ilustrado na Figura IV.4. O nome do arquivo de entrada não deve conter a extensão, pois o programa se encarrega de colocar a extensão “.db”, automaticamente. Neste ponto, o programa cria um arquivo, de banco de dados do tipo Paradox, no sub-diretório chamado “Tabelas”. Este diretório é criado automaticamente pelo programa quando este roda pela primeira vez.

Após a confirmação do aceite do arquivo, será exibida a tela da Figura IV.5 para que o usuário entre com os valores obtidos nos trabalhos de campo. Os dados em forma de gráfico, também podem ser visualizados, através do botão “Gráfico”.

Figura IV.4. - Tela de entrada do nome

do arquivo experimental Figura IV.5. - Tela para entrada de valores de campo

A segunda possibilidade de se gerar arquivos de dados experimentais é através da importação de arquivos em formato “.dbf”. Estes arquivos podem ser editados e manipulados usando-se, por exemplo, o Microsoft Excel, que apresenta vários recursos para criação de arquivos. Após a criação do arquivo dentro do Excel, deve-se salvar o arquivo no formato “.dbf” utilizando-se a opção dBase IV. A importação de arquivos para o programa PAICON é feita escolhendo-se a sub-opção “Importar dbf”, localizada no menu “Arquivo”. Ao se escolher esta opção, será aberta uma caixa de diálogo pedindo o nome do arquivo “.dbf” a ser importado, e, em seguida é apresentada a tela para importação de arquivos experimentais, Figura IV.6.

Figura IV.6. - Tela de importação de arquivos experimentais tipo “.dbf”

Com a evolução do programa, tornou-se necessário refazer a estrutura dos arquivos de dados experimentais, os quais eram criados, externamente, em formato texto e agora são criados dentro do programa e no formato de banco de dados. Para

facilitar a migração dos arquivos já existentes em formato texto para o novo formato, foi criado um “conversor” que automatiza essa passagem e cuja tela está exibida na Figura IV.7. O conversor encontra-se no menu “Ferramentas”, opção “Arquivo de Dados”.

Figura IV.7. - Conversor de arquivo texto para arquivo tipo “.db”

IV.2.2. - Calibração das Funções de Mobilidade O¹ eO²

O objetivo da calibração é a determinação do par de valores (O1, O2) tal que as funções densidade de probabilidade teóricas, tanto para injeções instantâneas, quanto para injeções contínuas, se ajustem, da melhor forma possível, às curvas experimentais, ou seja, tal que as somas dos desvios quadráticos dos valores teóricos em relação aos experimentais sejam mínimas. Em outras palavras, a calibração está baseada na determinação do par (O1, O2) cujos resultados proporcionem o menor valor da Função Objetivo fi(O1,O2 ), i = 1, 2; igual à soma dos desvios quadráticos dos valores das funções de densidade de probabilidade experimental e teóricas.

A Calibração foi implementada de quatro formas, conforme pode ser visto na Figura IV.8, a seguir. A primeira forma, denominada de calibração automática, consiste da determinação do par (O1,O2) através de um processo de varredura automatizada. Nos processos aleatórios Poissonianos homogêneos, a velocidade média de transporte das partículas é dada pela relação up =O1/O2. O programa utiliza esta relação para fazer a varredura de O1 ou de O2, de acordo com a intervenção do usuário, de modo a encontrar o par que apresente a menor soma dos desvios quadráticos. O par calculado desta forma faz com que as funções teóricas aproximativas, superior e inferior do modelo Poissoniano se ajustem melhor ao transporte do grupo de partículas.

A segunda forma de calibração é chamada de Calibração pelo Máximo, pois ajusta os máximos das funções densidade de probabilidade teóricas do modelo ao valor máximo dos dados experimentais, ou seja, desta vez o ajuste favorece a localização do pico de concentração. Este cálculo está fundamentado na velocidade e no comportamento assintótico do máximo. O valor da ordenada do máximo de concentração é lido automaticamente do arquivo de entrada.

A terceira forma é denominada de calibração por Valores Especificados, e é feita através de um diálogo com o usuário, num processo de tentativa e erro, no qual é informado o valor das funções de mobilidade.

O quarto tipo de calibração utiliza diretamente os valores da média e da variança dos dados experimentais para calcular as funções de mobilidade, O1 e O2.

Figura IV.8.a.– Calibração automática Figura IV.8.b. – Calibração pelo máximo

Figura IV.8.c. – Calibração a partir dos valores de O¹ e O²

Figura IV.8.d. – Calibração a partir dos valores da média e da variança

As representações gráficas, exemplificadas nas Figuras IV.9.a e b, a seguir, ilustram a calibração do modelo através da média e da variança; e do pico de concentração para o mesmo conjunto de dados.

Figura IV.9.a. – Calibração ajustada à média e a variança da nuvem de sedimentos

ou poluentes

Figura IV.9.b. – Calibração ajustada ao pico de concentração da nuvem de sedimentos ou

poluentes

Os processos que consideram os valores da Média e da Variança para o cálculo do par O1 e O2 são usados quando se quer determinar com precisão, o comprimento do trecho contaminado por um poluente, enquanto que no ajuste pelo Máximo e Moda, a precisão da estimativa é orientada para a previsão dos teores máximos de poluição alcançados a uma distância precisa da injeção.

IV.2.3. - Aplicação – Taxa de imersão instantânea

Com a determinação do par (O1, O2), através da calibração, pode-se calcular as funções densidade e distribuição de probabilidade teóricas aproximativas, superior e inferior, a moda, a massa total, a atenuação dos máximos e os parâmetros estatísticos:

momentos de 1^a, 2^a e 3^a ordens, variança, coeficientes de assimetria e de variação.

Todos os exemplos de saída apresentados a seguir se referem à Análise Espacial.

Visando facilitar o uso do programa, telas semelhantes, com adequação da legenda e dos parâmetros de entrada, também estão disponíveis para Análise temporal.

A Figura IV.10, a seguir, apresenta a tela de configuração para a Análise Espacial com Injeção Instantânea. Através desta tela é possível calcular as funções densidade e de distribuição de probabilidade da distância média percorrida por uma partícula ou grupo de partículas num tempo determinado, assim como a moda e a massa total, conforme apresentado na Figura IV.3.

Figura IV.10. – Tela de entrada de dados para Aplicação da Descrição Lagrangeana com Injeção Instantânea

A Figura IV.11.a ilustra a saída da função densidade de probabilidade e apresenta as opções que podem ser aplicadas aos gráficos de saída, tais como: visualização 3D, detalhe do gráfico através da aplicação de “zoom” a uma determinada área do gráfico, ocultação e alteração da legenda, restauração do gráfico, adição e remoção de pontos das séries experimentais do gráfico, para melhorar o ajuste aos resultados teóricos. A Figura IV.11.b apresenta um exemplo de visualização 3D das funções aproximativas de distribuição de probabilidade.

Figura IV.11.a. - Exemplo de saída da função densidade de probabilidade e suas

opções gráficas

Figura IV.11.b. - Visualização em 3D das funções aproximativas de distribuição de probabilidade IV.2.3.1 - Momentos e Atenuação dos picos de concentração

As telas a seguir, Figura IV.12, apresentam, a partir da tela de entrada (Figura IV.12.a), exemplos de algumas opções de cálculo do programa, para a descrição Lagrangeana. As Figuras IV.12.b e IV.12.c mostram a posição média das partículas e a variança das posições das partículas em relação a essa média, em função do tempo,

respectivamente. Os valores dos picos de concentração ao longo do escoamento, também em função do tempo, estão apresentadas na Figura IV.12.d.

Figura IV.12.a. – Tela de configuração ou de entrada de dados para a Descrição

Lagrangeana

Figura IV.12.b. – Evolução da posição média das partículas em função do

tempo

Figura IV.12.c. – Evolução da variança das posições das partículas em função do

tempo

Figura IV.12.d. – Valor do pico de concentração em função do tempo

IV.2.4. - Aplicação - Taxa de Imersão Contínua Constante no Intervalo de Tempo [0, t]

Na injeção contínua, um grupo de partículas é imerso durante um intervalo de tempo [0,t], não desprezível em relação ao tempo médio que as partículas levam para percorrer uma certa distância, ou seja, as partículas não são submetidas simultaneamente a ação do escoamento.

A injeção contínua à uma taxa constante está ilustrada na Figura III.4. A Figura IV.13.a, a seguir, apresenta a tela de configuração do Programa PAICON para o cálculo das funções densidade e de distribuição de probabilidade Lagrangeanas. A Figura IV.13.b mostra os resultados dessas funções, calculados com os valores da Figura

forma achatada da função densidade de probabilidade, devida ao período de tempo [0,t]

de injeção constante.

Figura IV.13.a. – Tela de configuração para o cálculo das funções densidade e de distribuição de probabilidade Lagrangeanas, de uma injeção contínua constante

Figura IV.13.b. – Exemplos de funções densidade e de distribuição de probabilidade da posição de um grupo de partículas

As Figuras IV.13.c e d ilustram, respectivamente, a tela de configuração para o cálculo dos momentos e da variança, e exemplos de resultados de cálculos do momento de 1ª ordem e da variança da posição média de um grupo de partículas injetadas de forma contínua, constante, durante um intervalo de tempo, efetuadas pelas Equações 3.94 e 3.97.

Figura IV.13.c. – Tela de configuração para o cálculo dos momentos e da variança das posições das partículas em função do tempo

Figura IV.13.d. – Exemplos de resultados de cálculos do momento de 1ª ordem e da variança das posições de um grupo de partículas em função do tempo IV.2.5. – Módulo Simulações

Uma vez que as funções densidade de probabilidade, Lagrangeanas e Eulerianas, das imersões contínuas são obtidas a partir da integração de funções resultantes de imersões instantâneas, como indicado nas Equações 3.77, 3.78, 3.102 e 3.103, o Programa PAICON permite que se analise quaisquer funções discretas e/ou contínuas, de imersão de sedimentos e poluentes. Quaisquer funções temporais de taxas de rejeitos domésticos e industriais podem ser assim abordadas.

O módulo Simulações destina-se ao cálculo das funções densidade e de distribuição de probabilidade em resposta às imersões contínuas, e se inicia com a especificação dos valores de mobilidade dos sedimentos O1 e O2; dos valores das características dos gráficos, ou seja, do intervalo de visualização dos resultados e da injeção. Estes últimos valores são: duração da injeção; instante de observação após o término da imersão para o caso da análise espacial ou posição da seção de medidas para o caso da análise temporal; número de divisões usadas para discretizar a função de entrada; tipo de função usada para representar a taxa de injeção e seus parâmetros; e o tipo de análise desejada, como mostrado na Figura IV.14, a seguir.

Figura IV.14. – Tela de entrada do módulo Simulações

São disponibilizadas cinco funções para representar as taxas de injeção contínua:

as funções constante, linear, exponencial, senoidal e o histograma. As quatro primeiras funções representativas dos tipos de lançamentos são especificadas diretamente na tela de entrada e para essas funções estão disponíveis três operadores: quadrático, módulo ou valor absoluto, e o operador retificador, o qual elimina todos os valores negativos da função de entrada. Assim, definida a função de entrada o usuário pode escolher apenas um dos operadores, o qual permite modificar a função de entrada, gerando assim novas possibilidades de taxas de injeção conforme ilustrado na Figura V.15.

Figura IV.15 – Ilustração do uso dos operadores disponíveis no módulo

Para as taxas de imersão representadas por um histograma, deve-se criar um arquivo “.db” tipo Paradox, contendo sua especificação. Este arquivo pode ser criado e editado usando-se, por exemplo, o Microsoft Excel. Cada linha do arquivo define um patamar do histograma. O arquivo deve então conter quatro colunas. A primeira representa a amplitude de cada patamar, a segunda e a terceira colunas definem, respectivamente, o ponto inicial e final do intervalo e a última coluna especifica o número de divisões usadas para discretizar este patamar. Esta estrutura está ilustrada nas Figuras IV.16.a e b.

Amplitude Pi Pf Num Divisões

5 0 10 10

3 10 20 10

4 20 30 10

2 30 40 10

1 40 50 10

0 50 100 1

5 100 110 10

3 110 120 10

4 120 130 10

2 130 140 10

1 140 150 10

Figura IV.16.a. – Exemplo de histograma de injeção

Figura IV.16.b. – Estrutura do arquivo do histograma da Figura IV.16.a

Apresenta-se a seguir, na Figura IV.17, um exemplo de saídas para uma taxa de imersão exponencial decrescente e as opções disponíveis para os gráficos de saída dos resultados. Como pode ser visto, esta tela apresenta três gráficos: o primeiro, à esquerda, representa a resposta à taxa de injeção especificada; o segundo gráfico, no canto superior direito, ilustra a taxa de injeção, e o terceiro permite visualizar três componentes da resposta. Uma vez que são calculadas duas funções aproximativas as opções “Série Superior” e “Série Inferior” permitem ocultar e mostrar essas funções aproximativas do gráfico principal. As opções “Distribuição de Probabilidade” e

“Densidade de Probabilidade” permitem alternar entre a exibição de uma ou outra função. Por último, as opções “Carregar dados experimentais” e “Retirar dados experimentais” permitem inserir e remover dados experimentais a fim de compará-los com os resultados teóricos.

Figura IV.17. – Exemplo de saídas gráficas da Descrição Lagrangeana para uma taxa de imersão exponencial decrescente

A Figura IV.18, a seguir, ilustra as funções densidade de probabilidade da distância média percorrida no intervalo de tempo (0,t] (Análise Espacial), e do tempo médio de passagem das partículas através de seções fixas, situadas à distância x da seção de injeção (Análise Temporal), para alguns tipos de imersão (MONTEIRO e WILSON-JR, 2002^{a, b}, 2003; WILSON-JR e MONTEIRO, 2002), a saber:

x uma única imersão instantânea,

x duas imersões instantâneas defasadas de um intervalo de tempo t₁ > 0, x taxa de imersão contínua, constante, no intervalo de tempo [0,t], x taxa de imersão contínua senoidal,

x duas imersões instantâneas defasadas de um intervalo de tempo t₁ > 0, x taxa de imersão contínua, constante, no intervalo de tempo [0,t], x taxa de imersão contínua senoidal,