Hist´ orico Biplot

O m´etodo biplot foi desenvolvido por GABRIEL (1971) para representar

grafi-camente resultados de an´alise de componentes principais ou de decomposi¸c˜ao de valores

singulares (DVS), no qual o valor de cada elemento de uma tabela de dupla entrada pode

ser visualizado pelo produto de vetores e pelo co-seno do ˆangulo entre dois vetores (YAN;

KANG, 2003). Quando duas matrizes apresentarem o mesmo n´umero de linhas e colunas, ´e

poss´ıvel multiplic´a-las. A nova matriz gerada da multiplica¸c˜ao das duas anteriores assume

o mesmo n´umero de linhas e colunas de ambas as matrizes (GABRIEL, 1971; YAN; KANG,

2003; SILVA, BENIN, 2012). Dessa forma, qualquer matriz den observa¸c˜oes e p vari´aveis

pode ser representada por um biplot. Os valores singulares da DVS s˜ao distribu´ıdos para

os marcadores de linhas e colunas de diferentes maneiras, dependendo se o interesse est´a

na rela¸c˜ao entre linhas (JK-Biplot), ou entre colunas (GH-Biplot) ou entre linhas e colunas

(SQRT-Biplot).

Alguma t´ecnica de redu¸c˜ao de dimens˜ao ´e normalmente usada para

rep-resentar as amostras como pontos, muitas vezes, an´alise de componentes principais

(ACP) (PEARSON, 1901; HOTELLING, 1933) ou an´alise de vari´aveis canˆonicas (AVC)

(HOTELLING, 1935, 1936). De modo mais geral, as t´ecnicas de dimensionamento,

como an´alise de coordenadas principais (PCO) (TORGERSON, 1952; GOWER, 1966) ou

escalonamento multidimensional m´etrica ou n˜ao-m´etrica (MDS) (KRUSKAL, 1964a, 1964b;

SAMMON, 1969) s˜ao usados. Jolliffe (2002) dedica uma monografia ao ACP, enquanto

Krzanowski (2000) abrange temas mais gerais com multivariados. Cox e Cox (2001) e Borg

e Groenen (2005) s˜ao referˆencias padr˜ao para t´ecnicas de escala.

A colinearidade entre os vetores linhas e colunas em tabela de dupla entrada,

aproximada sobre o gr´afico Biplot, pode dar ind´ıcios para o ajuste de alguns modelos

bilin-eares do tipo multiplicativo (BRADU; GABRIEL, 1978). Foi estudado por Gabriel e Zamir

(1979) a intera¸c˜ao dos modelos bilineares por meio de uma aproxima¸c˜ao de posto inferior.

Tamb´em foi demonstrado que os biplots s˜ao melhores para descrever e analisar um conjunto

de dados comparando com a an´alise explorat´oria de dados (COX; GABRIEL, 1982). As

vantagens do m´etodo Biplot em rela¸c˜ao `a sele¸c˜ao e diagn´ostico de modelos que se ajustam a

matriz de dados multivariados foi descrito por Gabriel (1981). Galindo (1986) prop˜oe uma

alternativa de representa¸c˜ao simultˆanea para as linhas e colunas (HJ-Biplot), mas com a

desvantagens de n˜ao reproduzir os dados originais.

Os Biplots n˜ao lineares foram desenvolvidos, utilizados para obter o ajuste de

trajet´orias n˜ao lineares e representar as vari´aveis que se projetam sobre as representa¸c˜oes

obtidas por meio de coordenadas principais (GOWER; HARDING, 1988; GOWER, 1992).

Yan (2001) utilizou o Biplot para estudo de GEI, com os modelos bilineares para a an´alise

de GEI (linhas-colunas) na ´area da agronomia, possibilitando o estudo da estabilidade

dos gen´otipos a serem testados em v´arios ambientes (SOUZA, 2010). O Meta Biplot foi

desenvolvido por Mart´ın-Rodriguez et al. (2002) para compara¸c˜ao de diversos Biplots, sendo

aplicado ao estudo com bastantes indiv´ıduos e vari´aveis ao longo do tempo em diversas

situa¸c˜oes experimentais.

Varela (2002) utilizou o Biplot como ferramenta para explicar a intera¸c˜ao

de ordem superior associada a um modelo linear, dando ˆenfase `as intera¸c˜oes de segunda

e terceira ordem, para as tabelas de dupla e tripla entrada, respectivamente, e tamb´em

para identificar as linhas e as colunas respons´aveis pela ausˆencia/presen¸ca de intera¸c˜ao e

no diagn´ostico de modelos, identificando os diferentes tipos de intera¸c˜oes presentes em uma

tabela de m´ultiplas entradas (SOUZA, 2010). O Biplot para detectar multicolinearidade

entre as vari´aveis baseado na decomposi¸c˜ao espectral da inversa da matriz de correla¸c˜oes foi

estudado por Ram´ıres et al. (2005). Para as vari´aveis que s˜ao bin´arias (presen¸ca/ausˆencia),

foi sugerido para a utiliza¸c˜ao do Biplot Log´ıstico (VICENTE-VILLARD ´ON;

GALINDO-VILLARD ´ON; BL ´ASQUEZ-ZABALLOS, 2006), o qual ´e uma representa¸c˜ao baseada em

modelos de regress˜ao log´ıstica.

Muitos pacotes estat´ısticos podem ser utilizados para produzir, pelo menos,

o mais simples de biplots da abordagem tradicional. Estes incluem os principais pacotes

estat´ısticos Minitab (MINITAB, 2007), SPSS (SPSS, 2008), Stata (STATACORP, 2007) e

v´arios produtos do SAS (SAS, 2009). Muitas vezes, a funcionalidade ´e limitada e dif´ıceis

de obter os resultados. Maior funcionalidade ´e fornecida pelos trˆes programas dedicados ao

biplot como: XLS-Biplot (UDINA, 2005a, 2005b), oGGEBiplot(YAN; KANG, 2006) e

biplot(LIPKOVICH; SMITH, 2002a, 2002b). O XLS-Biplot ´e baseado em XLisp-Stat

(TIERNEY, 1990) e tem muitas caracter´ısticas ´uteis, incluindo um servidor-web relacionada

que pode ser usado para construir biplots online. GGEbiplot ´e voltado principalmente

para engenheiros agrˆonomos, fitotecnistas e geneticistas. Ela complementa o livro de Yan e

Kang (2003), que ´e a utiliza¸c˜ao da metodologia GGE (Genotype main effects + Genotype

environment interaction) para o estudo de GEI. O sof tware possui v´arias caracter´ısticas

especiais para an´alise de dados, principalmente para o m´etodo GGE Biplot e constru¸c˜ao de

v´arios tipos de Biplots.

Al´em dosof tware GGEBiplot, existem outros tamb´em para constru¸c˜ao de

Biplot, como sof tware R (R DEVELOPMENT, 2009). O sof tware R ´e livre e

desen-volvido por v´arios pesquisadores e possui diversos pacotes para an´alise de dados, nesse caso

para estudo de Biplot, tem como pacoteAgricolae desenvolvido por Felipe de Mendiburu

e Reinhard Simon, utilizado em pesquisas agr´ıcolas e em v´arios tipos de an´alises de

delinea-mentos como, an´alise do modelo AMMI com gr´afico Biplot. O Pacote Bpca desenvolvido

por Jos´e Cl´audio Faria com implementa¸c˜ao dos m´etodos cl´assicos dos Biplots: SQRT, JK ,

GH e HJ. A apresenta¸c˜ao dos gr´aficos podem ser na forma de 2D ou 3D.

O pacoteGGEBiplotGUI(2013) fornece uma interface gr´afica para a

cons-tru¸c˜ao de GGE biplots em R. Algumas das fun¸c˜oes do pacote s˜ao: (i) classifica¸c˜ao das

cultivares com base em seu desempenho em qualquer ambiente; (ii) classifica¸c˜ao dos

am-bientes com base no desempenho relativo das cultivares; (iii) comparar o desempenho de

qualquer par de cultivares em ambientes diferente; (iv) identificar a melhor cultivar em

cada ambiente; (v) o agrupamento dos ambientes baseados nas melhores cultivares; (vi)

a avalia¸c˜ao das cultivares com base em ambos rendimento m´edio e a estabilidade e (vii) a

avalia¸c˜ao dos ambientes baseados em ambos capacidade de discriminar e representatividade.