2.3 Subgrupos normais e Homomor…smos de grupos
2.3.1 Homomor…smo
A seguir veremos funções entre dois grupos que preservam algumas propriedades algébricas entre eles. São os chamados homomor…smos. Estes são de extrema importância para o estudo de grupos, a partir deles podemos identi…car quando dois grupos possuem a mesma ordem e também pode-se veri…car outras características. De…nição 2.3.20 Sejam (G; ) e (G0; ) grupos. Chama-se homomor…smo a função
: G ! G0 que satisfaz a seguinte condição
(x y) = (x) (y); para quaisquer x; y 2 G.
Exemplo 2.3.21 Sejam os grupos (R+; ) e (R; +). A função
f : R+ ! R
x 7 ! f(x) = log(x) é um homomor…smo. De fato, pois, dados y; z 2 R+, então
f (z y) = log(zy)
= log(z) + log(y) = f (z) + f (y):
Observação 2.3.22 Se : G ! G0 é um homomor…smo bijetivo, dizemos que é
para indicar que G e G0 são isomorfos. Um isomor…smo : G ! G é chamado de automor…smo. O conjunto dos automor…smos de G será denotado por AutG.
Proposição 2.3.23 Se G é um grupo e '; 2 AutG, então: (i) ' 2 AutG;
(ii) ' 1
2 AutG:
Demonstração: (i)Como '; 2 AutG, então ' : G ! G é bijetiva e : G ! G é bijetiva. Logo, ' : G ! G também é bijetiva. Só nos resta mostrar que ' : G ! G é um homomor…smo.
Sejam x; y 2 G, note que
(' )(xy) = '( (xy)) = '( (x) (y)) = '( (x))'( (y)) = (' )(x)(' )(y): Logo, ' é um homomor…smo e, portanto, ' 2 AutG:
(ii)Sejam y1; y2 2 G. Então, como ' é bijetiva, existem x1; x2 2 G tais que
'(x1) = y1 e '(x2) = y2:
Ainda pelo fato de ' ser bijetiva, então ' admite inversa ' 1 que também é bijetiva.
Assim, temos que ' 1(y
1) = x1 e ' 1(y2) = x2. Daí, ' 1(y1y2) = ' 1('(x1)'(x2)) = ' 1('(x1x2)) = (' 1 ')(x1x2) = id(x1x2) = x1x2 = ' 1(y1)' 1(y2): Portanto, ' 1 2 AutG.
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Observação 2.3.24 A última proposição nos diz que AutG munido da operação composição é um grupo.
De…nição 2.3.25 Sejam G e G0 grupos, : G ! G0 um homomor…smo e e0 o
elemento neutro de G0. O conjunto
ker( ) = fg 2 G; (g) = e0; e0 2 G0g é chamado de núcleo do homomor…smo .
Lema 2.3.26 Se : G ! G0 é um homomor…smo de grupos, então
(i) (e) = e0, onde e é o elemento neutro de G e e0 é o elemento neutro de G0;
(ii) (a 1) = (a) 1, para todo a 2 G.
(iii) é injetiva se, e somente se, ker( ) = feg:
Demonstração: (i) Suponha que (e)6= e0. Assim, temos que
(e) (e) = (ee) = (e) = (e)e0;
pela propriedade cancelativa segue que (e) = e0, o que é uma contradição. Portanto,
segue o resultado.
(ii)Note, pelo item (i); que
(a) (a 1) = (aa 1) = (e) = e0: Isto implica que (a 1) = (a) 1.
(iii) Primeiramente, seja injetiva e g 2 ker( ). Assim, (g) = e0. Pelo item
(i), temos que (e) = e0. Logo, (g) = (e) e, consequentemente, g = e 2 feg o que
implica ker( ) feg. Como, por de…nição, feg ker( )segue que ker( ) = feg. Reciprocamente, suponhamos que ker( ) = feg. Se g1; g2 2 ker( ), então
(g1) = e0 = (g2). Daí,
e0 = (g1) (g2) 1 = (g1) (g21)
Assim, g1g21 2 ker( ) = feg. Dessa forma,
g1g21 = e:
O que implica em g1 = g2: Portanto, é injetiva.
Lema 2.3.27 Sejam G e G0 grupos com identidades e e e0, respectivamente, e :
G ! G0 um homomor…smo. Então
(i) Im( ) = (G) =f (g); g 2 Gg é um subgrupo de G0;
(ii) ker( )E G;
Demonstração: (i) O item (i) do Lema 2.3.26 garante que Im( ) é não vazio, pois (e) = e0 2 Im( ). Sejam a; b 2 Im( ), então existem g
1; g2 2 G, tais que
(g1) = a e (g2) = b:
Pelo item (ii) do Lema anterior, tem-se b 1 = (g2) 1 = (g21). Daí,
ab 1 = (g1) (g21)
= (g1g21);
isto é, ab 1
2 Im( ) e, portanto, Im( ) é um subgrupo de G0:
(ii)Primeiramente vejamos que ker( ) é subgrupo de G. Como e 2 G0 e pelo Lema
2.3.26 (e) = e0, então ker( ) é não vazio, pois e 2 ker( ). Sejam g
1; g2 2 ker( ).
Então,
(g1) = e0 e (g2) = e0.
Note que, (g11) = (g1) 1 = e0 1= e0: Daí,
(g2g11) = (g2) (g11)
= e0e0 = e0:
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Agora, seja ng 2 ker( )g, com n 2 ker( ) e g 2 G. Veja que, (ng) = (g 1ng) = (g 1) (n) (g) = (g 1)e0 (g) = (g 1) (g) = (g 1g) = (e) = e0: Isto é, ng
2 ker( ), o que implica ker( )g ker( ): Assim, ker( )E G.
Pelo item (ii) do lema anterior temos que G= ker( ) tem estrutura de grupo. O próximo resultado nos diz que sob algumas condições G= ker( ) é isomorfo a Im( ): Este resultado é conhecido como o primeiro teorema do isomor…smo, este é importante, pois auxilia a caracterizar o quociente de um grupo.
Teorema 2.3.28 (Teorema do Isomor…smo) Seja : G ! G0 um homomor…smo
de grupos. Então
G= ker( )' Im( ): Demonstração: Primeiramente, de…na
' : G= ker( ) ! Im( ) g 7 ! '(g) = (g) :
Veja que, ' está bem de…nida. Com efeito, se g; h 2 G= ker( ), com (g); (h) 2 Im( ), são tais que g = h, temos que gh 1 2 ker( ). Daí,
(gh 1) = e0 (g) (h 1) = e0 (g) (h) 1 = e0, o que implica
isto é, '(g) = '(h). Provaremos que ' é um homomor…smo. Quaisquer que sejam g; h2 G= ker( ), temos
'(gh) = (gh) = (g) (h) = '(g)'(h):
Resta mostrar que a função ' é bijetiva. Para qualquer y 2 Im( ), existe g 2 G, tal que y = (g): Dessa forma, '(g) = (g) = y. Logo, ' é sobrejetiva. Agora, sejam x; y 2 G= ker( ), tais que '(x) = '(y). Daí,
'(x) = '(y);
o que equivale a
(x) = (y); o que implica
(x) (y) 1 = e0; pelo item (ii) do Lema 2.3.26, vem
(x) (y 1) = e0;
como é um homomor…smo, então
(xy 1) = e0; logo, xy 1
2 ker( ), isto é, x = y. Portanto, ' é injetiva e segue o resultado. Corolário 2.3.29 Sejam G um grupo, K E G, H E G e K < H < G. Então
G=K
H=K ' G=H: Demonstração: Considere a função
' : G=K ! G=H gK 7 ! gH :
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Vejamos que ' está bem de…nida. Sejam g1k1; g2k2 2 G=K, tais que g1k1 = g2k2, onde
k1; k2 2 K e g1; g2 2 G. Dessa forma, g1g21 = k1k21 2 K. Como K < H; então
g1g21 2 H: Logo,
g1 g2(mod H);
o que pela Proposição 2.2.9 temos que g1H = g2H. Com isso, segue que g1h1 = g2h2,
com h1; h2 2 H. Assim,
'(g1k1) = g1h1 = g2h2 = '(g2k2):
Portanto, a função está bem de…nida. Como K E G e H E G, então G=K e G=H são grupos. Veja que ' é um homomor…smo. Com efeito,
'(g1k1)'(g2k2) = g1h1g2h2
= g1(h1g2)h2
= g1(g2h1)h2
= (g1g2)(h1h2)
= ' ((g1g2)(h1h2)) :
A seguir, provaremos que ' é sobrejetiva. Seja, y 2 G=H. Daí, y = gh, no qual g 2 G e h 2 H. Observe que,
y = gh = '(gk);
isto é, y 2 Im(') e G=H Im('). Por de…nição, Im(') G=H, logo, Im(') = G=H. Só nos resta provar que H=K = ker('). Note que,
ker(') = fgk 2 G=K; '(gk) = eh0g =fgk 2 G=K; gh = h0g =fgk; g = h0h 1 2 Hg = H=K:
Portanto, H=K = ker(') e pelo Teorema do isomor…smo G=K
H=K = G=K
ker(') ' Im(') = G=H; como queríamos demonstrar.
O Teorema de Lagrange e aplicações
Nascido em 25 de janeiro de 1736 na cidade de Turim (Itália), o matemático e físico de origem francesa Joseph Louis Lagrange é considerado um dos matemáticos mais importantes do …nal do século XVIII, ao lado de Euler. Em 1795 Lagrange foi indicado para ser professor na Escola de Artilharia Real em Turim, no qual dois anos mais tarde contribuiu para a fundação da Academia Real de Ciência. Por volta de 1766 Lagrange foi convidado para substituir Euler na direção da seção matemática na Academia de Ciência de Berlim, onde permaneceu durante 20 anos. Em 1787 Lagrange tornou-se membro da Academia de Ciência de Paris e perdurou até o …m de sua carreira. Vale ressaltar que ele teve signi…cativas contribuições para teoria das funções, teoria dos números, equações diferenciais, cálculo de probabilidades, entre outras.
Neste capítulo, estudaremos uma das contribuições de Lagrange para a teoria dos grupos, o conhecido Teorema de Lagrange. Lembrando que este teorema foi enunciado por Lagrange e só teve sua demonstração completa apresentada 30 anos depois por Pietro Abbati (1768-1842). De acordo com Vieira (2015, p. 230) "o Teorema de Lagrange é a base dos grupos …nitos".
Como base para o desenvolvimento deste capítulo, foram utilizados os livros [5], [6], [7] e [9].
3.1
Teorema de Lagrange
Esta seção será dedicada ao Teorema de Lagrange e alguns resultados que são decorrentes do mesmo. Este teorema estuda a ordem de um grupo e através dele podemos simpli…car algumas demonstrações de outros resultados que levaram vários
3.1. TEOREMA DE LAGRANGE
anos para serem provados, como é o caso do Pequeno Teorema de Fermat que veremos mais adiante. São várias as aplicações do Teorema de Lagrange, mas destacamos aqui apenas as mais elementares, vistas no decorrer da graduação.
Teorema 3.1.1 (Lagrange) Se G é um grupo …nito e H é um subgrupo de G, então jGj = jG=Hj jHj :
Demonstração: Como G é …nito, então claramente G=H também é …nito. Considere jG=Hj = n, assim
G=H = fHx1; Hx2; :::; Hxng;
onde x1; x2; :::; xn2 G, o que pelo item (iii) da Proposição 2.2.9, temos
G = Hx1[ Hx2 [ Hx3[ ::: [ Hxn:
Ainda pela Proposição 2.2.9, as classes laterais Hxi e Hxj são disjuntas se i 6= j. Como
a união acima é disjunta, temos
jGj = jHx1j + jHx2j + jHx3j + ::: + jHxnj :
O Teorema 2.2.14 nos garante que jHxij = jHj, para todo i 2 G. Com isso,
jGj = jHj + jHj + jHj + ::: + jHj ; o que implica em
jGj = n jHj = jG=Hj jHj Portanto, jGj = jG=Hj jHj :
Corolário 3.1.2 Sejam G um grupo …nito e H G. Então jHj jGj.
Demonstração: A demonstração segue de forma imediata, pois pelo Teorema de Lagrange, temos que
jGj = jG=Hj jHj ; onde jG=Hj 1:Portanto, jHj jGj.
O próximo resultado nos diz que se G é um grupo …nito e dado um subgrupo H de G, se H possui a mesma quantidade de elementos de G, então H e G são iguais. Proposição 3.1.3 Seja G um grupo …nito e H G. Se jHj = jGj, então H = G.
Demonstração: Suponha que H 6= G. Como H G, então H G, isto é, existe pelo menos um x 2 G tal que x =2 H. Pela Proposição 2.2.7 temos que x 6= e. Logo, x; e2 G=H, isto é, jG=Hj > 1. Do Teorema de Lagrange, segue que
jGj = jG=Hj jHj > jHj
O que é uma contradição, visto que jHj = jGj. Portanto, H = G:
Observação 3.1.4 O resultado anterior é válido apenas para grupos …nitos. Com efeito, Dados o grupo (Z; +) e o subgrupo 2Z de Z, temos que j2Zj = jZj = 1, mas 2Z Z.
Corolário 3.1.5 Seja G um grupo …nito e g 2 G: Então, O(g) divide jGj. Em particular, gjGj = e:
Demonstração: Considere n; k 2 N, tais que jGj = n e O(g) = k. Pelo item (ii) da Proposição 2.2.20, temos que O(g) = jhgij = k. Como hgi G, então pelo Teorema de Lagrange
jGj = jhgij r = kr;
para algum r 2 N. Logo, O(g) = k divide jGj. Por …m, temos que gjGj = gkr
= (gk)r = er = e: Portanto, gjGj = e:
O resultado a seguir é conhecido como o Pequeno Teorema de Fermat, ele foi enunciado em 1640 pelo matemático Fermat e só teve sua demonstração publicada quase um século depois (em 1736) por Euler. É um resultado expressivo para à Teoria dos Números, acredita-se que a partir dele surgiu à Teoria das Congruências.
Corolário 3.1.6 (Pequeno Teorrema de Fermat) Seja p 2 Z primo. Então ap 1 1(mod p)
3.1. TEOREMA DE LAGRANGE
Demonstração: Seja a 2 ZnpZ, isto é, a não é um multiplo de p. Então, a 2 Zpnf0g.
Como p 2 Z é primo, do Corolário 2.1.29, temos que (Zpn f0g; ) é um grupo. Além
disso, pela Proposição 1.3.12, temos que jZpj = p. Logo, Zpn f0g = p 1. Pelo
corolário anterior, segue que
ajZpnf0gj = 1
o que implica
ap 1 = 1; o que equivale a
ap 1= 1
Portanto, ap 1 1(mod p), para todo a 2 Z n pZ.
Corolário 3.1.7 Todo grupo G de ordem prima é cíclico.
Demonstração: Sejam jGj = p, onde p 2 Z é primo, a 2 G com a 6= e. Pela Proposição 2.1.47 temos que hai G. Logo, pelo Teorema de Lagrange,
jGj = n jhaij ;
para algum n 2 Z. Assim, temos p = n jhaij : Sendo p 2 Z primo, temos por de…nição que jhaij = 1 ou jhaij = p. Como a 6= e, então da Proposição 2.2.18 segue que jhaij 6= 1, assim, jhaij = p, o que implica em jhaij = jGj. Portanto, pela Proposição 3.1.3 temos hai = G, de onde segue o resultado.
Corolário 3.1.8 Seja G um grupo …nito tal que jGj 5, então G é abeliano.
Demonstração: Se jGj = 1, teremos G = feg = hei. Logo, G é cíclico e, por conseguinte, abeliano. Se jGj 2 f2; 3; 5g, segue o resultado pelo Corolário 3.1.7. Agora vejamos o caso jGj = 4. Se existir a 2 G tal que jhaij = jGj, então pela Proposição 3.1.3, temos que G = hai. Assim, G é cíclico e, consequentemente, abeliano. Agora, suponha que hai G, para todo a 2 G n feg. Pelo Teorema de Lagrange,
jGj = k jhaij ; para algum k 2 Z. Ou seja,
Agora, estudaremos três possibilidades:
(i) k = 1 e jhaij = 4, este caso não pode ocorrer, pois hai G, logo jhaij 6= 4 = jGj. (ii) k = 4e jhaij = 1, também não ocorre, pois a 6= e, assim, jhaij 6= 1.
(iii)Só nos resta que k = 2 e jhaij = 2.
Dessa forma, segue que jhaij = 2, o que pelo item (iii) da Proposição 2.2.19 tem-se que G é abeliano.
Corolário 3.1.9 Sejam G um grupo …nito e : G ! G0 um homomor…smo de
grupos. Então, jIm( )j divide jGj.
Demonstração: Pelo item (ii) do Lema 2.3.27, temos que ker( ) E G. Como G é …nito, então pelo Teorema de Lagrange, temos
jGj = jG= ker( )j jker( )j : (3.1)
O Teorema do isomor…smo garante que G= ker( ) é isomorfo a Im( ), isto é, a função ' : G= ker( ) ! Im( )
é bijetiva. Logo, jG= ker( )j = jIm( )j. Assim, da igualdade (3.1) segue que jGj = jIm( )j jker( )j :
Portanto, jIm( )j divide jGj.
Vale salientar que a volta do Teorema de Lagrange nem sempre é válida, pois se m 2 N divide a ordem de um grupo G, não necessariamente existirá um subgrupo de G com ordem m. Por exemplo, o grupo alternado de S4, denotado por A4 (que
poderá ser estudado com mais detalhes nos livros [6] e [9]) possui ordem 12, mas não possui subgrupo de ordem 6. Um resultado mais geral que se aproxima de uma provável recíproca do Teorema de Lagrange é o Teorema de Sylow, que será enunciado a seguir, mas não será demonstrado, pois para prová-lo seria preciso o estudo de mais alguns conceitos que não explicitamos durante o trabalho.
Teorema 3.1.10 (Teorema de Sylow) Sejam p 2 Z um número primo e G um grupo, tal que jGj = pmb, com mdc(p; b) = 1. Então, para cada n, 0 n m,
existe um subgrupo H de G, onde jHj = pn.
Referências Bibliográ…cas
[1] ATIYAH, M. F, MACDONALD, I. G. Introduction to Commutative Algebra. New York: Addsion-Wesley, 1969.
[2] BOLDRINI, J.L.,e outros. Álgebra Linear. 3 ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil,1980.
[3] BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
[4] CAJORI, Florian. Uma História da Matemática. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2007.
[5] DOMINGUES, H. H., IEZZI, G.. Álgebra Moderna. 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003.
[6] GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
[7] GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 6. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2017. [8] MILIES, C. P., COELHO, S. P.. Números: Uma Introdução à Matemática. 3. ed.
2. reimp. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2006.
[9] VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. 2. ed. Campina Grande: EDUEPB, 2015.