Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Uma Introdução à Teoria dos Grupos
Francicarlos de Medeiros Santos
Curso de Licenciatura em Matemática
Uma Introdução à Teoria dos Grupos
por
Francicarlos de Medeiros Santos
sob orientação do
Prof. Dr. Alex de Moura Batista
Dezembro de 2018 Caicó-RN
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Profª. Maria Lúcia da Costa Bezerra - - CERES--Caicó
Santos, Francicarlos de Medeiros.
Uma Introdução à Teoria dos Grupos / Francicarlos de Medeiros Santos. - Caicó: UFRN, 2018.
63f.: il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó - Campus Caicó. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Curso de Matemática.
Orientador: Dr. Alex de Moura Batista.
1. Grupos. 2. Subgrupos. 3. Teorema de Lagrange. I. Batista, Alex de Moura. II. Título.
RN/UF/BS-CAICÓ CDU 51
"A sabedoria é um paradoxo. O homem que mais sabe é aquele que mais reconhece a vastidão da sua ignorância."
Após este longo percurso, não poderia deixar de expor minha gratidão a todos que contribuíram de forma direta ou indireta para o desenvolvimento deste trabalho. Primeiramente, sou grato a Deus por toda benção e saúde concebida.
Agradeço ao meu pai Francisco Valdivino e a minha mãe Ana Maria por todo o carinho, incentivo, apoio moral, emocional e …nanceiro, en…m, por sempre me deixar em uma situação confortável para que pudesse estudar. Aos meus irmãos Ana Carla, Francisco, Pedro Lucas e meu sobrinho Deyvid por todos os conselhos e carinho.
À turma de Matemática 2015.1 e aos amigos construídos ao longo do curso, que estavam sempre procurando ajudar uns aos outros. Destaco aqui os meus colegas Fernando, Francisco Lúcio e Iritan que, por muitas vezes, me ajudaram no manuseio do software ao qual utilizamos para digitar o trabalho.
Aos meus professores por todos os conhecimentos repassados e as trocas de experiências compartilhadas diariamente.
Por …m, mas não menos importante, externo minha gratidão ao Professor Dr. Alex de Moura Batista por se colocar à disposição para orientar esta pesquisa, pela paciência e comprometimento.
Resumo
O presente trabalho tem como objetivo introduzir o estudo da teoria dos grupos, apresentando os resultados de uma forma mais detalhada e espera-se que possa servir de apoio aos graduandos em matemática. Para isso, dispomos de uma pesquisa bibliográ…ca para fazer um levantamento de resultados acerca de grupos, subgrupos, classes laterais, homomor…smos de grupos e, por …m, o Teorema de Lagrange. Fixamos alguns exemplos para facilitar o entendimento desses assuntos. Por se tratar de um trabalho de conclusão de curso, os conteúdos aqui explicitados são elementares, vistos no curso de licenciatura.
The present work has as objective introduces the study of the theory of the groups, presenting the demonstrations of the most detailed form and one hopes that it could serve of support to the graduating students in mathematics. For that, we dispose of a bibliographical research to do a lifting result about groups, sub-groups, side classes, homomor…smos from groups and, …nally, Lagrange’s Theorem. In which we …x some examples to make easy the understanding. Because of being treated as a work of conclusion of course, the contents here set out are elementary, seen in the degree course.
Sumário
1 Noções Preliminares 1
1.1 Funções . . . 1
1.2 Relações de equivalência . . . 2
1.3 Conjunto dos Números Inteiros . . . 5
1.3.1 Divisibilidade . . . 6
1.3.2 Ideais . . . 7
2 Teoria Básica dos Grupos 12 2.1 Grupos . . . 12 2.1.1 Grupo Abeliano . . . 17 2.1.2 Grupo Cíclico . . . 21 2.1.3 Subgrupos . . . 22 2.2 Classes Laterais . . . 25 2.2.1 Ordem de um grupo . . . 28
2.3 Subgrupos normais e Homomor…smos de grupos . . . 32
2.3.1 Homomor…smo . . . 40
3 O Teorema de Lagrange e aplicações 47 3.1 Teorema de Lagrange . . . 47
Nos cursos de licenciatura em matemática existem aquelas disciplinas mais avançadas, que introduzem os conteúdos que são trabalhados posteriormente nas pós-graduações, em que os alunos possuem grande di…culdade na compreensão das mesmas, talvez devido a um certo grau de abstração ao qual essas componentes curriculares oferecem, causando assim um alto índice de reprovação nas referidas disciplinas. Partindo desse pressuposto, desenvolvemos esse trabalho para tentar sanar, em parte, tais di…culdades apresentadas pelos discentes no estudo de grupos.
O interesse no estudo da presente temática se deu ao cursar a componente curricular Álgebra abstrata I, ministrada pelo professor Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino, no qual foram apresentadas as estruturas algébricas munidas de uma operação chamadas de grupos. Posteriormente demos sequência ao estudo cursando a disciplina Álgebra Abstrata II, esta foi ministrada pelo professor Dr. Alex de moura Batista, que é o orientador deste trabalho. Nestas disciplinas vimos que através de conceitos primitivos e argumentações lógicas podemos mostrar a validade de certos resultados que são empregados em outras áreas como, por exemplo, na física, química, entre outras. De acordo com Cajori (2007, p.48) "[...] os argumentos da teoria dos grupos conduziram a descobertas importantes a respeito da estrutura de átomos e moléculas".
No decorrer do trabalho veremos alguns resultados acerca de Teoria dos Grupos, apresentando os conceitos, exemplos e resultados para um melhor entendimento. Os livros muitas vezes ao provar um resultado, omitem algumas "passagens" di…cultando o entendimento do estudante. Assim, apresentaremos estas provas de forma mais detalhada para que se possa deduzir a lógica matemática que está por trás de tais demonstrações. Por se tratar de um trabalho de conclusão de curso, serão abordados apenas resultados elementares acerca da Teoria dos Grupos. Este trabalho poderá servir de apoio para os graduandos em Matemática ou áreas a…ns.
O trabalho está dividido em três capítulos, onde no capitulo 1 são apresentadas as noções preliminares que serão de extrema importância para o entendimento dos
capítulos seguintes. No capítulo 2 foram abordados os conceitos elementares sobre Teoria dos Grupos, no qual podem ser vistos alguns tipos de grupos e subgrupos, tais como os mais conhecidos grupos abelianos, grupos cíclicos, subgrupos normais, entre outros. Além disso, no capítulo 2 falamos sobre Homomor…smos de grupos. O capítulo 3 foi reservado para o Teorema de Lagrange, que é um dos mais importantes resultados acerca dos grupos …nitos e, ainda, mostramos alguns resultados que são decorrentes deste teorema.
Noções Preliminares
Este capítulo tem como propósito abordar os conceitos básicos que serão fundamentais para o entendimento dos capítulos posteriores. Os conteúdos aqui abordados são apenas algumas noções sobre funções, relações de equivalência, classes de equivalência e algumas propriedades do conjunto dos números inteiros, onde serão expostos seus respectivos conceitos, exemplos e resultados. Para uma leitura mais aprofundada sobre os assuntos aqui expostos, pode-se consultar os livros [5], [7], [8] e [9].
1.1
Funções
O conceito de função, assim como o de conjuntos, é essecial para todos os ramos da Matemática. É fato que esses dois conceitos são sempre a parte central para desenvolvimento de tais estudos nas áreas da Matemática. Veremos a seguir apenas as de…nições básicas sobre funções, pois serão utilizadas com bastante frequência nos capítulos posteriores.
De…nição 1.1.1 Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se função de A em B uma regra que associa a todo elemento de A um único elemento em B. Denotamos por f : A ! B a função de A em B e f(x) = y a regra que associa o elemento x a y. De…nição 1.1.2 Seja f : A ! B uma função. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é dito contradomínio de f .
1.2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
De…nição 1.1.3 Sejam A e B não vazios, X A; Y B e f : A ! B uma função. O conjunto
f (X) =ff(x); x 2 Xg é dito imagem de X pela função f . O conjunto
f (A) =ff(x); x 2 Ag
é denotado por Im(f ) e chamado de conjunto imagem da f: Já o conjunto f 1(Y ) =fx 2 A; f(x) 2 Y g
é denominado imagem inversa de Y pela f .
De…nição 1.1.4 Uma função f : A ! B é sobrejetiva quando Im(f) = B:
Observação 1.1.5 É claro que Im(f ) B. Dessa forma, para mostrar que uma função é sobrejetiva, basta provar que B Im(f ):
De…nição 1.1.6 Uma função f : A ! B é injetiva se para quaisquer x1; x2 2 A, com
x1 6= x2 tem-se f (x1)6= f(x2), ou ainda, se f (x1) = f (x2); então x1 = x2:
De…nição 1.1.7 Se a função f : A ! B é injetiva e sobrejetiva, simultaneamente, diz-se que f é bijetiva.
1.2
Relações de equivalência
O conceito de relação de equivalência é bastante intuitivo, mas de fundamental importância para o estudo de qualquer área da matemática. Segundo Vieira (2015, p. 50) "[...] tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um conjunto qualquer, mesmo distintos, cumprem papel equivalente". A partir das relações de equivalência surgem as classes de equivalências, estas são de suma importância para gerar os conjuntos quocientes que veremos no decorrer da seção.
De…nição 1.2.1 (Relação de equivalência) Sejam A um conjunto não vazio e R uma relação em A. A relação R é de equivalência se, para quaisquer x; y; z 2 A, satisfaz as seguintes condições:
(i) xRx;
(ii) Se xRy, então yRx;
(iii) Se xRy e yRz; então xRz:
As propriedades (i), (ii) e (iii) da de…nição anterior são chamadas, respectivamente, de re‡exiva, simétrica e transitiva. Quando uma relação R em um conjunto A for de equivalência, usaremos a notação no lugar de R, para indicar que os elementos estão relacionados.
Exemplo 1.2.2 A relação de igualdade em R é uma relação de equivalência. De fato, dados x; y; z 2 R, então
(i) x = x;
(ii) Seja x = y. Então y = x;
(iii) Sejam x = y e y = z. Assim, x = z;
Exemplo 1.2.3 A relação inclusão de conjuntos não é uma relação de equivalência. Com efeito, seja X um conunto não vazio. Considere o conjunto
P (X) =fA; A Xg:
Note que, se C; D 2 P (X) são tais que C D, mas C 6= D, então D " C, isto é, a propriedade simétrica nem sempre é válida para a relação .
De…nição 1.2.4 (Classe de equivalência) Sejam A um conjunto não vazio, x 2 A e uma relação de equivalência em A. Chama-se classe de equivalência do elemento x em relação a , o conjunto x formado por todos os elementos de A que estão relacionados com x. Simbolicamente
x =fy 2 A; y xg: Observação 1.2.5 Para todo x 2 A tem-se que x 2 x:
Proposição 1.2.6 Sejam A um conjunto não vazio e uma relação de equivalência em A. Quaisquer que sejam x; y 2 A, são válidas as seguintes propriedades:
(i) x = y se, e somente se, x y; (ii) Se x6= y, então x \ y = ?;
1.2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
(iii) [
x2A
x = A:
Demonstração: (i) Primeiramente, se x = y, então dado x 2 x, temos que x 2 y. Disto, segue que x y:
Reciprocamente, seja z 2 x: Então z x. Como x y, a propriedade transitiva nos garante que z y, isto é, z 2 y: Logo, x y. Agora, dado r 2 y, tem-se que r y. Por hipótese, x y, como a relação é de equivalência, então y x. Pela transitividade, r x, ou seja, r 2 x e, por conseguinte, y x o que implica x = y.
(ii) Provaremos argumentando por contradição. Se x \ y é não vazio, então existe z 2 x \ y. Daí, z 2 x e z 2 y, o que implica z x e z y. Pela propriedade simétrica, temos que x z e, pela propriedade transitiva, x y, o que pelo item (i) desta proposição, temos x = y.
(iii) Claramente x A, para qualquer x 2 A. Logo, [
x2A
x A: Agora, se x 2 A: Como, é uma relação de equivalência em A, então pela propriedade re‡exiva temos que x x, isto é, x 2 x. Sabendo que, x [
x2A x, tem-se que x 2 [ x2A x e, com isso, A [ x2A x: Portanto, [ x2A x = A:
De…nição 1.2.7 (Conjunto quociente) Seja A um conjunto não vazio e uma relação de equivalência em A. O conjunto formado por todas as classes de equivalência
, denotado por
A= =fx; x 2 Ag
é denominado conjunto quociente de A pela relação de equivalência .
Proposição 1.2.8 Sejam Z o conjunto dos números inteiros e n 2 Z. A relação (mod n); de…nida por x y(mod n), com x; y 2 Z , se existir k 2 Z tal que x y = nk é uma relação é de equivalência.
Demonstração: Temos que, para quaisquer x; y; z 2 Z, tem-se (i) x x = 0 = k 0, para todo k 2 Z;
(ii)Se x y(mod n), então existe k0 2 Z, tal que
x y = nk0: Assim,
Logo, y x(mod n).
(iii)Se x y(mod n)e y z(mod n), então existem r; r0 2 Z, de forma que
x y = nr e y z = nr0: Assim (x y) + (y z) = nr + nr0; o que implica em x + ( y + y) z = n(r + r0); portanto x z = n(r + r0):
Assim, x z(mod n)e, consequentemente, a relação é de equivalência.
Observação 1.2.9 A relação de equivalência mostrada na última proposição é uma relação bem conhecida, chamada de congruência módulo n. Um conjunto quociente bastante conhecido é o
Z= mod n =fx; x 2 Zg: No que segue, escrevemos Z= mod n = Zn.
1.3
Conjunto dos Números Inteiros
Nesta seção, vamos estudar algumas propriedades do conjunto Z dos números inteiros, estas serão fundamentais para compreender alguns dos conteúdos abordados posteriormente. Alguns resultados desta seção terão a demonstração omitida, pois tratam-se de conteúdos básicos estudados em teoria dos números e que não são o foco deste trabalho. Os tópicos apresentados aqui podem ser vistos com mais detalhes nas referências [8],[7] e [9].
De…nição 1.3.1 (Elemento mínimo) Seja A Z não vazio. Um elemento x0 é
denominado mínimo de A, e denotado x0 = min A, se satisfaz as seguintes condições:
(i) x0 2 A;
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Observação 1.3.2 Quando o elemento mínimo existe ele é único.
Axioma 1.3.3 (Princípio da Boa Ordem) Todo subconjunto não vazio X de Z de elementos não negativos possui um elemento mínimo.
O Princípio da Boa Ordenação é um axioma de grande expressão no estudo da teoria dos números. A partir dele são provados vários resultados importantes. Nos próximos capítulos veremos algumas decorrências deste axioma.
Teorema 1.3.4 (Indução Finita) Suponhamos que seja dada uma a…rmação a(n) dependendo de n 2 Z tal que:
(i) a(0) é verdadeira.
(ii) Para k 2 N, a(k + 1) é verdadeira sempre que a(k) for verdadeira. Então, a(n) é verdadeira para todo n 2 N:
Demonstração: Ver referência [7] (p. 19).
1.3.1
Divisibilidade
As equações do tipo ax = b possuem solução no conjunto dos números inteiros, dependendo dos coe…cientes a; b 2 Z. Quando isso ocorre, diz-se que a é um divisor de b. Essa ideia será expressa de maneira formal na próxima de…nição.
De…nição 1.3.5 Sejam a e b números inteiros. Diz-se que b divide a, quando existe um inteiro c tal que
a = bc: Neste caso, escrevemos b j a:
O próximo teorema é conhecido por algoritmo da divisão, este será útil em alguns resultados que serão provados em breve.
Teorema 1.3.6 (Algoritmo da Divisão) Sejam a; b 2 Z, com b 6= 0: Então, existe únicos q; r 2 Z, tais que
a = qb + r, 0 r <jbj : Demonstração: Veja [8].
1.3.2
Ideais
A seguir estudaremos os subconjuntos dos múltiplos de Z; denominados ideais. Os ideais de Z são subconjuntos não vazios de números inteiros que satisfazem algumas propriedades. Mais precisamente:
De…nição 1.3.7 Um subconjunto I não vazio de Z, diz-se ideal de Z se as condições a seguir são satisfeitas:
(i) Se a; b2 I, então a + b 2 I; (ii) Se a2 I e x 2 Z, então ax 2 I:
Exemplo 1.3.8 Dado p2 Z, considere o conjunto pZ = fpn; n 2 Zg: Podemos ver claramente que pZ é um ideal de Z:
Exemplo 1.3.9 O conjunto I = fa 2 Z; a > 0g não é um ideal de Z. De fato, pois dados a 2 I e x 2 Z, com x < 0, temos que ax < 0, isto é, ax =2 I.
Agora provaremos um resultado que caracteriza os ideais de Z:
Proposição 1.3.10 Seja I um ideal de Z, tal que I 6= f0g: Então existe único n 2 N tal que I = nZ:
Demonstração: Seja a 2 I, com a 6= 0. Considere o conjunto I+=fx 2 I; x > 0g:
Note que, I+
é não vazio. Com efeito, se a > 0, segue que a 2 I+: Se a < 0, como I é
um ideal, então a = ( 1)a 2 I, isto é, a > 0 2 I+. Assim, pelo Princípio da Boa
Ordem I+ possui um elemento mínimo n = min I+
2 I+. Como I+ I, temos que
n2 I. Logo, para todo x 2 Z, nx 2 I, isto é, nZ I. Agora, provaremos que I nZ. Seja b 2 I. Pelo Algoritmo da divisão, temos que existem q; r 2 Z, tais que
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
com 0 r < n: O que implica r = b nq 2 I. Note que, r = 0. Se fosse r > 0, então r 2 I+. Além disso, r n, pois n = min I+, o que é uma contradição. Disto, segue
que b = nq 2 nZ. Portanto, I = nZ:
Outro conceito relevante na teoria dos números é o de números primos. Veja a de…nição formal a seguir.
De…nição 1.3.11 (Número primo) Um número p 2 Z n f 1; 0; 1g é dito primo se toda vez que a j p, então a = 1 ou a = p.
Nos próximos resultados veremos algumas propriedades relacionadas ao conjunto Zn.
Inicialmente caracterizaremos os seus elementos, depois iremos munir este conjunto de duas operações e provaremos algumas propriedades relacionadas a estas operações. Proposição 1.3.12 Se n 1, então tem-se que Zn = f0; 1; 2; :::; n 1g. Em
particular, Zn possui n elementos.
Demonstração: Por de…nição, temos que f0; 1; :::; n 1g Zn. Agora seja k 2 Z:
Assim, k 2 Zn é tal que
k =fx 2 Z; x k(mod n)g:
O algoritmo da divisão garante a existência de q; r 2 Z, tais que k = nq + r;
onde 0 r < n. Logo,
k r = nq; o que equivale a
k r (mod n);
assim, pelo item (i) da Proposição 1.2.6 tem-se k = r, com r2 f0; 1; :::; n 1g: Portanto, k = r2 f0; 1; :::; n 1g, isto é, Zn f0; 1; :::; n 1g. Logo, Zn=f0; 1; :::; n 1g:
Por …m, suponha que existam r; s 2 Zn, tais que s = r e 0 r < s < n. Daí,
s r(mod n), isto é, n j s r, o que é uma contradição, pois 0 < s r < n. Logo, s 6= r sempre que 0 r < s < n, ou seja, quaisquer duas classes de Zn são distintas.
Proposição 1.3.13 As operações de soma e multiplicação dadas por : Zn Zn ! Zn
(a; b) 7 ! a b = a + b e
: Zn Zn ! Zn
(a; b) 7 ! a b = a b estão bem de…nidas no conjunto Zn, para n 1.
Demonstração: Primeiramente, veri…caremos que a soma está bem de…nida. Sejam (a; b),(a0; b0)2 Zn Zn, com (a; b) = (a0; b0). Assim, a = a0 e b = b0, ou seja,
a a0 = nk e b b0 = nk0; para k; k0 2 Z. Assim, temos
(a a0) + (b b0) = nk + nk0; o que implica
(a + b) (a0+ b0) = n(k + k0):
Logo, a + b (a0+ b0)(mod n), isto é, a b = a0 b0. Dessa forma, a operação está
bem de…nida.
Agora, sejam (x; y),(x0; y0)2 Zn Zn, com (x; y) = (x0; y0). Assim, x = x0 e y = y0,
isto é, x x0 = nk e y y0 = nk0; para k; k0 2 Z: Ou ainda, x = nk + x0 e y = nk0+ y0: Logo, xy = (nk + x0)(nk0+ y0) xy = n2kk0+ nky0 + x0nk0+ x0y0; o que implica em xy x0y0 = n[nkk0+ ky0 + x0k0]:
Disto, segue que xy x0 y0(mod n), isto é, x y = x0 y0. Portanto, a operação
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Proposição 1.3.14 Considere Zn munido das operações de…nidas na Proposição
1.3.13. Então, para todos a,b,c 2 Zn, são válidas:
(i) (a b) c = a (b c);
(ii) Existe 02 Zn, tal que a 0 = a e 0 a = a;
(iii) Dado a2 Zn, existe a2 Zn, tal que a a = 0 e a a = 0;
(iv) a b = b a;
(v) (a b) c = a (b c);
(vi) Existe 12 Zn, tal que 1 a = a e a 1 = a;
(vii) a (b c) = a b a c: Demonstração: Sejam a; b; c2 Zn.
(i)Note que,
(a b) c = (a + b) c = (a + b) + c = a + (b + c) = a (b + c) = a (b c): Logo, (a b) c = a (b c):
(ii)Dado 0 2 Zn, temos que
0 a = 0 + a = a:
De forma análoga, a 0 = a. Assim, 0 é o elemento neutro aditivo de Zn.
(iii)Claramente temos que
a a = a + ( a) = a + a = 0; ou seja, a é o inverso aditivo de a:
(iv)Temos,
Segue que a propriedade comutativa da soma é válida em Zn: (v)Observe que (a b) c = (ab) c = (a b) c = a (b c) = a (b c) = a (b c) isto é, (a b) c = a (b c):
(vi)Dado 1 2 Zn, tem-se
a 1 = a 1 = a;
e ainda, 1 a = a. Ou seja, 1 é o neutro multiplicativo de Zn:
(vii)Agora, vejamos que
a (b c) = a (b + c) = a (b + c) = a b + a c = a b a c = a b a c: Portanto, a (b c) = a b a ce segue o resultado.
Capítulo 2
Teoria Básica dos Grupos
Acredita-se que o estudo bem sucedido da teoria dos grupos partiu de um artigo publicado em 1770 pelo matemático Lagrange, neste artigo ele considerava a resolubilidade das equações por meio das permutações de suas raízes. Posteriormente os matemáticos Galois e Abel provaram que seria impossível resolver, em termos usuais, as equações de grau maior do que quatro. Vale ressaltar que, o termo "grupo" foi usado, de maneira técnica, a primeira vez por Galois.
Este capítulo tem como objetivo abordar alguns princípios elementares sobre Grupos. Os conteúdos estudados no decorrer deste capítulo tem como base os livros [5], [6], [7] e [9].
2.1
Grupos
Nesta seção, estudaremos algumas estruturas algébricas munidas apenas de uma operação. Estas estruturas são conhecidas como grupos. Além disso, de…nimos alguns tipos de grupos e subgrupos e apresentamos seus respectivos exemplos e resultados, para um melhor entendimento dos conteúdos abordados.
De…nição 2.1.1 (Grupo) Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação : G G ! G
(a; b) 7 ! a b :
Dizemos que (G; ) é um grupo se as propriedades abaixo são válidas para quaisquer que sejam a; b; c 2 G
i) (a b) c = a (b c);
ii) Existe e2 G, tal que a e = e a = a; iii) Para todo a2 G, com a 6= e, existe a 1
2 G tal que a a 1 = a 1 a = e.
Observação 2.1.2 A …m de simpli…car as notações, em algumas ocasiões deixaremos de explicitar a operação do grupo escrevendo somente G para denotar um grupo (G; ). Além disso, quando não houver ambiguidade utilizaremos a notação xy, em vez de x y. Exemplo 2.1.3 O conjunto dos números inteiros Z munido da operação de soma usual é um grupo. Em notação (Z; +). Com efeito, dados a; b; c 2 Z, temos que
(i) (a + b) + c = a + (b + c);
(ii) Existe 02 Z, tal que a + 0 = 0 + a = a;
(iii) Para todo a2 Z, com a 6= 0, existe ( a) 2 Z tal que a + ( a) = a + a = 0. Logo, (Z; +) é um grupo.
Exemplo 2.1.4 O conjunto dos números racionais sem o zero Q munido da operação multiplicação usual é um grupo. De fato, para quaisquer x; y; z 2 Q , temos que
(i) (x y) z = x (y z);
(ii) Existe 12 Q , tal que x 1 = 1 x = x;
(iii) Para todo z 2 Q , com z 6= 1, existe z 1 2 Q , tal que z z 1 = z 1 z = 1. Portanto, (Q ; ) é um grupo.
Exemplo 2.1.5 Seja Mn o conjunto das matrizes reais de ordem n, no qual as
operações a seguir estão bem de…nidas em Mn
+ : Mn Mn ! Mn [aij]n n; [bij]n n 7 ! [aij + bij]n n : Mn Mn ! Mn [aij]n n; [bij]n n 7 ! [cij]n n ; com cij = n P k=1
aikbkj:Temos que (Mn; +) é um grupo. De fato, claramente a propriedade
associativa é satisfeita. Além disso, a matriz nula dada por N = [0]n n , sendo aij = 0
para todos i; j 2 N, é o elemento neutro de Mn e toda matriz A = [aij]n n 2 Mn possui
inversa P = [pij]n n, com pij = aij para todos i; j 2 N.
Exemplo 2.1.6 Considere o conjunto G = fA 2 Mn; det(A) 6= 0g. Assim, (G; ) é
um grupo, onde a matriz identidade In = [aij]n n, em que,
aij =
(
1; se i = j; 0; se i 6= j:
2.1. GRUPOS
para todos i; j 2 N, é o elemento neutro de G, e ainda, dada A 2 G tem-se que det(A)6= 0, isto é, existe A 1 tal que AA 1 = A 1A = I
n.
Exemplo 2.1.7 (Z; ) não é um grupo. De fato, dado m 2 Z n f 1; 1g, não existe n2 N tal que m n = 1.
De…nição 2.1.8 (Grupo …nito) Um grupo (G; ) é dito …nito quando o conjunto G for …nito.
Proposição 2.1.9 (Grupo das permutações) Sejam S um conjunto não vazio e G =ff : S ! S; f é bijetivag munido da operação
: G G ! G (f; g) 7 ! f g
onde (f g)(x) = f (g(x)), para x2 S. Tem-se que (G; ) é um grupo.
Demonstração: Claramente o conjunto G é não vazio, pois a função identidade, dada por
id : S ! S x 7 ! id(x) = x
é uma função bijetiva. Logo, id 2 G. Agora, sejam f; g; h 2 G (i)Note que, para todo x 2 S
[(f g) h](x) = f g(h(x)) = f (g(h(x))) = f [(g h)(x)] = [f (g h)](x);
disto, segue que (f g) h = f (g h). (ii)Observe que,
f id(x) = f (id(x)) = f (x):
De maneira análoga, id f (x) = f (x): Assim, a função identidade é o elemento neutro de G.
(iii)Como f é bijetiva, então f admite a função inversa, ou seja, existe f 1 2 G tal que
f f 1 = id e f 1 f = id: Portanto, (G; ) é um grupo.
Observação 2.1.10 Se S = f1; 2; :::; ng, o grupo (G; ) será denotado por Sn. Para
facilitar o entendimento, denotaremos um elemento f do grupo Sn por
f = 1 2 3 ::: n f (1) f (2) f (3) ::: f (n)
! :
Proposição 2.1.11 (Propriedade cancelativa) Sejam G um grupo e x; y; z 2 G, com z 6= e, tais que x z = y z; então x = y.
Demonstração: Seja x z = y z. Note que,
x = x e: (2.1)
Como z 6= e, então existe z 1
2 G, tal que z z 1 = e. Assim, pela igualdade (2.1)
segue que x = x e = x (z z 1) = (x z) z 1 = (y z) z 1 = y (z z 1) = y e = y: Portanto, x = y.
Proposição 2.1.12 Seja (G, ) um grupo. Então, (i) O elemento neutro de G é único;
2.1. GRUPOS
Demonstração: (i)De fato, sejam e e e0 os elementos neutros do grupo (G; ). Assim, e0 = e0 e = e e0 = e:
Disto, segue que e0 = e. Portanto, o elemento neutro é único.
(ii) Seja x 2 G e suponhamos que existem x0; x 1 2 G, tais que x0 e x 1 sejam inversos de x. Daí,
x0 = x0 e = x0 (x x 1) = (x0 x) x 1 = e x 1 = x 1: Segue, portanto, que x0 = x 1, isto é, o inverso também é único.
Proposição 2.1.13 Sejam (G, ) um grupo e a,b 2 G. Então, são válidas: (i) (a 1) 1 = a;
(ii) (a b) 1 = b 1 a 1.
Demonstração: (i) Note que, por de…nição
a a 1 = e = (a 1) 1 a 1: Logo, pela propriedade cancelativa, segue que a = (a 1) 1.
(ii) Provaremos que o inverso de (a b) é b 1 a 1. Pelas propriedades associativa,
elemento inverso e elemento neutro, temos
(a b) (b 1 a 1) = a (b b 1) a 1 = a e a 1
= (a e) a 1 = a a 1 = e:
Portanto, pela unicidade do elemento inverso segue que (a b) 1 = b 1 a 1.
Já vimos o conceito de grupos e alguns exemplos. Em breve serão expostos outros casos particulares de grupos.
2.1.1
Grupo Abeliano
Ao estudar a teoria dos grupos é comum nos depararmos com o termo grupos comutativos. Estes se diferenciam dos demais por uma de suas características que é satisfazer a propriedade comutativa, com relação a operação utilizada, eles também recebem o nome de grupos abelianos em homenagem ao matemático Niels Henrik Abel (1802-1829).
De…nição 2.1.14 (Grupo abeliano) Dizemos que (G; ) é um grupo abeliano, quando a operação que de…ne G for comutativa, ou seja, para quaisquer a; b 2 G, tem-se
a b = b a:
Exemplo 2.1.15 O grupo (Z; +) é um grupo abeliano, pois, quaisquer que sejam x; y 2 Z, temos que
x + y = y + x:
Exemplo 2.1.16 Os conjuntos Q , R munidos da operação de multiplicação usual também são grupos abelianos.
Exemplo 2.1.17 O conjunto G = GL(n; K), n = 2, de todas as matrizes 2 2 invertíveis com coe…cientes em um corpo K é um grupo não abeliano, em relação a operação produto de matrizes. De fato, pois sejam
" 1 0 1 1 # e " 2 0 1 1 # elementos de G. Note que, " 1 0 1 1 # " 2 0 1 1 # = " 2 0 3 1 # 6= " 2 0 2 1 # = " 2 0 1 1 # " 1 0 1 1 # :
Portanto, G não é abeliano.
Exemplo 2.1.18 Os grupos Sn, com n 3, são grupos não abelianos. De fato, sejam
f; g2 G dadas por
f : f1; 2; :::; ng ! f1; 2; :::; ng:
Onde, f (1) = 2, f (2) = 1 e f (x) = x, para todo x 2 S, com 3 x n. E, g :f1; 2; :::; ng ! f1; 2; :::; ng:
2.1. GRUPOS
No qual, g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 1 e g(x) = x, para todo x 2 S, com 4 x n. Note que,
(f g)(1) = f (g(1)) = f (2) = 1 (g f )(1) = g(f (1)) = g(2) = 3:
Logo, (f g)(1) = 16= 3 = (g f), ou seja, (f g) 6= (g f). Portanto, o grupo Sn com
n 3 não é abeliano.
Proposição 2.1.19 O conjunto Zn munido da operação
: Zn Zn ! Zn
(a; b) 7 ! a b = a b é um grupo abeliano.
Demonstração: Como visto na Proposição 1.3.13 a operação está bem de…nida em Zn. Além disso, a Proposição 1.3.14 garante que (Zn; )é um grupo abeliano.
Observação 2.1.20 Podemos munir Zn com a operação
: Zn Zn ! Zn
(a; b) 7 ! a b = a b :
Prova-se que sob algumas condições (Znn f0g; ) é também um grupo abeliano.
Proposição 2.1.21 Seja G um grupo. Se x2 = e, para todo x
2 G, então G é abeliano. Demonstração: Sejam x; y 2 G. Temos que xy 2 G: Daí,
(xy)2 = e (xy)(xy) = e xyxy = e:
Assim, pelas propriedades associativa e elemento neutro, obtemos x(xyxy) = xe (xx)yxy = x x2yxy = x eyxy = x yxy = x: Com isso, temos que
y(yxy) = yx (yy)xy = yx y2xy = yx exy = yx xy = yx: Portanto, G é abeliano.
No estudo da álgebra abstrata tem-se as estruturas algébricas munidas de duas operações que sob algumas condições formam o que chamamos de Anéis. Vejamos a de…nição formal e algumas proposições que podem ser relacionados com o estudo de grupos. Mas antes de introduzir estes conceitos, vale ressaltar que algumas demonstrações serão omitidas, pois para demonstrá-las seria necessário de…nir outras propriedades. Como o propósito deste trabalho não é o estudo de anéis, então serão expostos apenas alguns resultados.
De…nição 2.1.22 (Anel comutativo e com unidade) Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações
: A A ! A (a; b) 7 ! a b
: A A ! A (a; b) 7 ! a b ;
chamadas de soma e produto, respectivamente. Dizemos que (A; ; ) é um anel comutativo e com unidade se as propriedades abaixo são válidas para todos x; y; z 2 A (i) (A; ) é um grupo abeliano;
2.1. GRUPOS
(ii) (x y) z = x (y z);
(iii) x (y z) = x y x z; (x y) z = x z y z; (iv) x y = y x;
(v) Existe 1A 2 A tal que 1A x = x 1A= x.
De…nição 2.1.23 (Domínio de integridade) Seja A um anel comutativo e com unidade. Diz-se que A é um domínio de integridade se dados a; b 2 A tais que
a b = 0A;
tem-se a = 0A ou b = 0A.
De…nição 2.1.24 Seja A um anel comutativo e com unidade. Diz-se que A é um corpo se todo elemento não nulo de A possui inverso multiplicativo, ou seja, qualquer que seja a2 A, com a 6= 0A, existe a 1 2 A tal que
a a 1 = a 1 a = 1A:
Proposição 2.1.25 Todo corpo é um domínio de integridade. Demonstração: Ver referência [5] (p. 224).
Observação 2.1.26 Não vale a volta da Proposição anterior. Com efeito, Z é um domínio de integridade, mas dado m 2 Z n f 1; 1g, não existe n 2 Z tal que mn = 1, isto é, Z não é corpo.
Proposição 2.1.27 Seja (G; ; ) um anel comutativo e com unidade. Se G é um corpo, então (G n f0g; ) é um grupo abeliano, onde 0 é o elemento neutro com relação a operação .
Demonstração: Sejam a; b; c 2 G. Temos, (i) (a b) c = a (b c);
(ii)Existe 1G2 G, tal que a 1G= 1G a = a;
(iii)Dado a 2 G r f0g, existe a 1
2 G, tal que a a 1 = a 1 a = 1 G;
Além disso,
(iv) a b = b a.
Proposição 2.1.28 Se p 2 Z é primo, então (Zp; ; ) é um corpo.
Demonstração: Ver referência [1].
O proxímo resultado será de suma importância para provar o pequeno teorema de Fermat, que será visto no capítulo 3.
Corolário 2.1.29 Seja (Zp; ; ) um anel, com p2 Z primo. Então (Zp n f0g; ) é
um grupo abeliano.
Demonstração: Pela Proposição 2.1.28 segue que (Zp; ; ) é um corpo. Assim, a
Proposição 2.1.27 garante que (Zpn f0g; ) é um grupo abeliano.
2.1.2
Grupo Cíclico
Outros grupos bastante conhecidos no estudo da álgebra abstrata são os grupos cíclicos. Estes são também grupos abelianos (provaremos mais adiante). Veja a seguir alguns exemplos e resultados acerca destes grupos.
De…nição 2.1.30 Sejam (G; ) um grupo, x 2 G e n 2 Z. Então, de…nimos xn por
xn= 8 > < > : e, se n = 0 xn 1 x, se n > 0 (x n) 1, se n < 0 :
Proposição 2.1.31 Seja (G; ) um grupo. Dados a 2 G e m; n 2 Z. Então, (i) an am = an+m;
(ii) (an)m = anm.
Demonstração: Ver referência [9].
De…nição 2.1.32 (Grupo cíclico) Um grupo G é dito cíclico se existir x 2 G, tal que para qualquer elemento y 2 G tem-se
y = xn, para algum n 2 Z: Escrevemos
G =hxi = fxn; n2 Zg; e dizemos que x gera o conjunto G.
2.1. GRUPOS
Exemplo 2.1.33 O grupo (Z5; ) é cíclico. De fato, pois
30 = 0 31 = 3
32 = 3 3 = 6 = 1
33 = 32 3 = 1 3 = 1 + 3 = 4 34 = 33 3 = 4 3 = 4 + 3 = 7 = 2: Logo, 3 é um gerador do grupo Z5 e, portanto, (Z5; +) é cíclico.
Proposição 2.1.34 Todo grupo cíclico é abeliano.
Demonstração: Sejam G um grupo cíclico e a; x1; x2 2 G, onde G = hai. Temos,
x1 = an1 e x2 = an2;
para n1; n2 2 Z: Assim, pela Proposição 2.1.31, segue que
x1 x2 = an1 an2
= an1+n2
= an2+n1
= an2 an1
= x2 x1:
Portanto, G é um grupo abeliano.
Exemplo 2.1.35 O grupo G = GL(n; K), n 2, das matrizes 2 2 invertíveis com coe…cientes em um corpo K não é cíclico, em relação a operação produto de matrizes. De fato, pois (G; ) não é abeliano.
2.1.3
Subgrupos
Os subgrupos H são subconjuntos de um grupo G que sob algumas condições também são grupos munidos da mesma operação de G. Veja a seguir a de…nição de uma maneira mais formal.
De…nição 2.1.36 (Subgrupos) Seja (G; ) um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Diz-se que H é um subgrupo de G se H for um grupo com a mesma operação de G.
Observação 2.1.37 Escrevemos H G para denotar que H é um subgrupo de G. Observação 2.1.38 Todo grupo G possui dois subgrupos G e feg, que são denominados subgrupos triviais de G.
O próximo resultado fornece as condições necessárias e su…cientes para que um subconjunto não vazio H de um grupo G seja um subgrupo.
Proposição 2.1.39 Seja G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Diremos que H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes condições: (i) e2 H;
(ii) Para quaisquer x; y2 H, tem-se xy 2 H; (iii) Para todo x2 H, tem-se que x 1
2 H.
Demonstração: Observe que, H é um subgrupo de G, então H é um grupo com a mesma operação de G. Assim, dados x; y 2 H, temos:
(i) e2 H; (ii) xy2 H; (iii)Existe x 1
2 H, tal que xx 1 = e:
Reciprocamente, como e 2 H, então H é um conjunto não vazio. Além disso, para todos x; y; z 2 H, como H é um subconjunto de G, então x; y; z 2 G. Pelo fato de G ser um grupo, então a igualdade
(xy)z = x(yz);
é sempre válida. E ainda, pela condição (iii) todo elemento de H possui inverso em H. Portanto, H é um grupo e, pela de…nição de Subgrupos, H é um subgrupo de G. Corolário 2.1.40 Seja G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. H é um subgrupo de G se, e somente se, para quaisquer x; y 2 H tem-se xy 1
2.1. GRUPOS
Demonstração: De início, sejam x; y 2 H. Pelos itens (iii) e (ii) da Proposição 2.1.39, temos que y 1
2 H e, ainda, xy 1
2 H.
Reciprocamente, vamos mostrar que as condições da Proposição 2.1.39 são satisfeitas. Vejamos,
(i)Note que, e = xx 1
. Logo, e 2 H;
(iii)Dado x 2 H. Então, x 1 = ex 1, ou seja, x 1
2 H; (ii)Sejam x; y 2 H. Então, y 1
2 H. Veja que, xy = x(y 1) 1
, isto é, xy 2 H. Portanto, H é um subgrupo de G.
Proposição 2.1.41 Sejam H1 e H2 subgrupos do grupo G. Então, H1 \ H2 é um
subgrupo de G.
Demonstração: Note que, claramente o conjunto H1\ H2 é não vazio, pois e 2 H1
e e 2 H2. Sejam x; y 2 H1\ H2. Assim, x; y 2 H1 e x; y 2 H2. Pelo Corolário 2.1.40,
temos xy 1
2 H1 e xy 1 2 H2, isto é, xy 1 2 H1 \ H2. Portanto, H1 \ H2 é um
subgrupo de G.
Exemplo 2.1.42 O conjunto G = GL(n; K), n 2, de todas as matrizes n n invertíveis com coe…cientes em um corpo K é um exemplo de um grupo (não abeliano), em relação a operação produto de matrizes e o conjunto
H =fA 2 GL(n; K); det A = 1g
é um subgrupo de GL(n; K).
Exemplo 2.1.43 Sejam o grupo (Z; +) e n 2 Z. Considere o conjunto nZ = fnk; k 2 Zg:
Então (nZ; +) é um subgrupo de (Z; +).
O próximo resultado nos diz que (nZ; +) são os únicos subgrupos de Z.
Proposição 2.1.44 Se H é um subgrupo de (Z; +), então existe n 2 Z, tal que H = nZ:
Demonstração: Se H é um subgrupo de Z, então H é um ideal e o resultado segue da Proposição 1.3.10.
Observação 2.1.45 Nem sempre a união de subgrupos será um subgrupo. De fato, temos que (2Z; +) e (3Z; +) são subgrupos de (Z; +) e, ainda, 2 2 2Z e 3 2 3Z, ou seja, 2; 3 2 2Z [ 3Z. Porém, 2 + 3 =2 2Z e 2 + 3 =2 3Z, logo 2 + 3 =2 2Z [ 3Z. No entanto, veremos a seguir que sob algumas condições pode-se garantir que uma determinada união de subgrupos é ainda um subgrupo.
Proposição 2.1.46 Sejam G um grupo e H1 H2 ::: Hn ::: subgrupos de G.
Então,
H =[
i2N
Hi
é um subgrupo de G.
Demonstração: Veja que, H é não vazio, pois e 2 H1. Como H1 H, então
e 2 H. Dados x; y 2 H, existem m; n 2 N tais que x 2 Hm e y 2 Hn. Sem perda de
generalidade, considere m < n. Assim, Hm Hn. Daí, x 2 Hn: Do Corolário 2.1.40,
temos xy 1 2 Hn. De Hn H, segue que xy 1 2 H e, consequentemente, H é um
subgrupo de G.
Proposição 2.1.47 Se G é um grupo e x 2 G, então hxi é subgrupo de G. Demonstração: Note que hxi é não vazio, pois e = x0
2 hxi. Sejam y; z 2 hxi. Assim, existem m; n 2 Z tais que y = xm e z = xn. Com isso, temos que z 1 = x n.
Daí,
yz 1 = xmx n = x(m n):
Disto, yz 1 2 hxi. Dessa forma, o Corolário 2.1.40 garante que hxi G.
2.2
Classes Laterais
De…nição 2.2.1 Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Dados a; b 2 G, considere, sobre G, a relação (mod H), dada por a b(mod H) se ab 1
2 H.
2.2. CLASSES LATERAIS
Demonstração: Note que, para quaisquer a; b; c 2 G, tem-se (i)Veja que, aa 1 = e
2 H, isto é, a a(mod H); (ii) Se a b(mod H). Então, por de…nição, ab 1
2 H. Além disso, (ab 1) 1
2 H. Pela Proposição 2.1.13, segue que ba 1
2 H, isto é, b a(mod H). (iii) Se a b(mod H) e b c(mod H), então ab 1
2 H e bc 1
2 H. Sendo assim, pelas propriedades associativa, elemento inverso e elemento neutro, temos
(ab 1)(bc 1) = a(b 1b)c 1 = aec 1 = (ae)c 1 = ac 1 2 H;
isto é, a c(mod H). Portanto, a relação (mod H) é de equivalência.
Observação 2.2.3 A partir da relação de equivalência (mod H) formamos a seguinte classe de equivalência
x =fy 2 G; y x(mod H)g
=fy 2 G; yx 1 = h, com h2 Hg =fy 2 G; y = hx, com h 2 Hg =fhx; h 2 Hg
que será denotada por Hx. O conjunto Hx é denominado classe lateral à direita de H em G.
Observação 2.2.4 De maneira análoga a observação anterior, temos a seguinte classe de equivalência
x =fxh; h 2 Hg
que é indicada por xH e denominada classe lateral à esquerda de H em G. Observação 2.2.5 Quando G é abeliano, então xH = Hx, para todo x 2 G:
De…nição 2.2.6 O conjunto formado por todas as classes laterais à direita de H em G é denotado por
Proposição 2.2.7 Seja G um grupo e H G, tal que H G. Considere a 2 G, tal que a =2 H, então a 6= e:
Demonstração: Demonstraremos argumentando por contradição. Suponha que a = e, então ae 1 = ae = a
2 H, o que é uma contradição, pois a =2 H: Exemplo 2.2.8 Seja G = S3 =ff1; f2; f3; f4; f5; f6g, onde
f1 = 1 2 3 1 2 3 ! ; f2 = 1 2 3 2 1 3 ! ; f3 = 1 2 3 1 3 2 ! : f4 = 1 2 3 3 2 1 ! ; f5 = 1 2 3 3 1 2 ! ; f6 = 1 2 3 2 3 1 !
Considere o subgrupo H = ff1; f2g. Temos as seguintes classes laterais à direita de H
em G: Hf1 = ( f1 f1 = 1 2 3 1 2 3 ! = f1; f2 f1 = 1 2 3 2 1 3 ! = f2 ) ; Hf2 = ( f1 f2 = 1 2 3 2 1 3 ! = f2; f2 f2 = 1 2 3 1 2 3 ! = f1 ) ; Hf3 = ( f1 f3 = 1 2 3 1 3 2 ! = f3; f2 f3 = 1 2 3 2 3 1 ! = f6 ) ; Hf4 = ( f1 f4 = 1 2 3 3 2 1 ! = f4; f2 f4 = 1 2 3 3 1 2 ! = f5 ) ; Hf5 = ( f1 f5 = 1 2 3 3 1 2 ! = f5; f2 f5 = 1 2 3 3 2 1 ! = f4 ) ; Hf6 = ( f1 f6 = 1 2 3 2 3 1 ! = f6; f2 f6 = 1 2 3 1 3 2 ! = f3 ) :
Note que, Hf1 = Hf2; Hf3 = Hf6; Hf4 = Hf5. Logo,
G=H =fHf1; Hf3; Hf4g:
Proposição 2.2.9 Sejam G um grupo, H subgrupo de G e (mod H) a relação de equivalência sobre o grupo G. Então,
2.2. CLASSES LATERAIS
(ii) Se Hx6= Hy, então Hx \ Hy = ?; (iii) [
x2G
Hx = G:
Demonstração: Segue da Proposição 1.2.6, uma vez que (mod H) é uma relação de equivalência.
2.2.1
Ordem de um grupo
Ao estudar conjuntos …nitos é comum nos depararmos com o termo cardinalidade de um conjunto, que nada mais é do que a quantidade de elementos que o conjunto possui. A seguir, será estudado algo parecido, o que denominamos de ordem de um grupo. Além disso, veremos também a ordem do elemento de um certo grupo.
De…nição 2.2.10 (Ordem de um grupo) Seja G um grupo …nito. O número de elementos de G chama-se ordem de G e é indicada por jGj.
Exemplo 2.2.11 Como visto na Proposição 1.3.12, o conjunto Zn possui n elementos:
Então jZnj = n.
Exemplo 2.2.12 O conjunto Z é in…nito: Assim, a ordem do grupo (Z; +) é in…nita. Em notação, jZj = +1.
Observação 2.2.13 Posteriormente provaremos que se H é um subgrupo de um grupo …nito G, tal que jGj = jHj = n, n 2 N, então H = G.
Teorema 2.2.14 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Então, toda classe lateral tem a mesma quantidade de elementos de H. Além disso, jHxj = jxHj :
Demonstração: Primeiramente, de…namos a seguinte função : H ! Hx
h 7 ! (h) = hx : Note que, para qualquer y 2 Hx, existe h 2 H tal que
ou seja, y 2 Im( ). Logo, Hx Im( ). Como, Im( ) Hx, então Hx = Im( ), isto é, a função é sobrejetiva.
Agora, se h; h0 2 H são tais que (h) = (h0), temos
hx = h0x
pela propriedade cancelativa, segue que
h = h0:
Assim, é injetiva e, ainda, bijetiva. Portanto, Hx tem a mesma quantidade de elementos de H, isto é,
jHxj = jHj : (2.2)
Agora, de…na
' : H ! xH h 7 ! '(h) = xh :
Argumentando como anteriormente, segue que ' é sobrejetiva e injetiva. Assim, ' é bijetiva e, consequentemente,
jxHj = jHj : (2.3)
Portanto, de (2.2) e (2.3) segue que jxHj = jHxj.
De…nição 2.2.15 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. A quantidade de elementos do conjunto G=H chama-se índice de H em G, que será denotado por jG=Hj. De…nição 2.2.16 (Ordem de um elemento) Sejam G um grupo e a 2 G. Se existir n2 N tal que an = e, diz-se que a tem ordem …nita. Neste caso, o menor inteiro positivo
n tal que an= e chama-se ordem de a, a qual denotaremos por
O(a): Observação 2.2.17 Se existir n 2 N tal que an = e, a
2 G, então a existência do menor inteiro positivo com esta propriedade é garantida pelo Princípio da Boa Ordenação.
Proposição 2.2.18 Sejam G um grupo e a 2 G. Então, O(a) = 1 se, e somente se, a = e.
Demonstração: Primeiramente, veja que se O(a) = 1, então a1 = e. Logo, a = e:
2.2. CLASSES LATERAIS
Proposição 2.2.19 Seja G um grupo.
(i) Dado a2 G r feg, tem-se O(a) = 2 se, e somente se, a = a 1.
(ii) O(a) = O(a 1), para todo a
2 G.
(iii) Dado a 2 G r feg qualquer, se O(a) = 2, então G é abeliano: (iv) Se O(a) = nm, então O(am) = n.
Demonstração: (i) Primeiramente, mostraremos que a = a 1: Como, O(a) = 2, então
a2 = e: (2.4)
Como, a 6= e, então existe a 1
2 G, tal que
aa 1 = e: Assim, por (2.4)
aa = a2 = aa 1:
Pela propriedade cancelativa, segue que a = a 1. Reciprocamente, temos que a = a 1, daí aa = a 1a; isto é, a2 = e
. Por de…nição, segue que O(a) = 2, pois a 6= e. (ii)Se O(a) < +1, então existe m 2 N tal que
am = e: (2.5)
Note que,
a m = e 1 = e; o que implica
(a 1)m = e: Logo, por (2.5), tem-se am = (a 1)m
, isto é, O(a) = O(a 1).
(iii) Se O(a) = 2, com a 6= e, então o item (i) dessa Proposição nos garante que a = a 1
. Dados, x; y 2 G, tem-se que xy 2 G. Logo, xy = x 1y 1
= (yx) 1 = yx:
Com isso, G é abeliano.
(iv)Se O(a) = nm, então anm= e. Daí, pela Proposição 2.1.31, temos que
(an)m = anm = e: Portanto, O(am) = n.
Proposição 2.2.20 Sejam G um grupo e x 2 G:
(i) Se O(x) = m, então para qualquer k 2 Z, xk = xr, sendo r o resto da divisão de k
por m;
(ii) Se O(x) = m, então jhxij = m; (iii) Se xm = e, então O(x) divide m:
Demonstração: (i) Sejam O(x) = m e k 2 Z. Assim, xm = e. Pelo algoritmo da divisão, existem q; r 2 Z tais que
k = mq + r; com 0 r < m. Logo, k r = mq. Daí,
xmq = (xm)q = eq = e: Ou seja, xk r = xmq = e:Logo, xk = xr.
(ii) Primeiramente, observe que os elementos de fe; x; x2; :::; xm 1g são distintos. Com efeito, se xj = xi; para 0 i < j < m, então xjx i = xix i; o que implica xj i= xi i= x0 = e: Logo, xj i = e e j i < m
, o que é uma contradição, pois O(x) = m: Assim, xj
6= xi,
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
tal que xk = xr. Temos que, xk 2 hxi, e ainda, xk= xr 2 fe; x; :::; xm 1g, isto é,
hxi fe; x; :::; xm 1g: (2.6) Por de…nição, temos fe; x; :::; xm 1
g hxi. Disto e por (2.6) segue que hxi = fe; x; :::; xm 1g: Portanto, hxi possui m elementos, o que implica jhxij = m.
(iii) Seja xm = e, então O(x) < +1. Considere O(x) = n. Pelo algoritmo da divisão, existem q; r 2 Z, tais que
m = nq + r; (2.7) onde 0 r < n. Assim, xm = e; o que implica xnq+r = e; daí xnqxr= e; isso equivale a (xn)qxr = e; logo exr = e:
Portanto, xr = e. Por de…nição, n é o menor inteiro positivo tal que xn = e, segue que
r = 0e, consequentemente, da igualdade (2.7) temos m = nq, isto é, O(x) j m:
2.3
Subgrupos
normais
e
Homomor…smos
de
grupos
Vejamos a seguir os conceitos de classe de conjugação, subgrupos normais e homomor…smos, com alguns resultados. Vale ressaltar que os conteúdos que serão abordados nessa seção são apenas noções elementares. Para um estudo mais aprofundado, recomenda-se os livros descritos no início deste capítulo.
x
G y se existe g 2 G tal que
y = g 1xg: Proposição 2.3.2 A relação
G de…nida acima é de equivalência.
Demonstração: Note que, para todo x 2 G podemos escrever x = e 1xe;
logo, x
G x:
Agora, sejam x; y 2 G tais que x G y. Daí, existe g 2 G de forma que
y = g 1xg; Assim,
gy = g(g 1xg);
o que pelas propriedades associativa e elemento neutro, segue que gy = xg;
Além disso,
(gy)g 1 = (xg)g 1;
novamente pelas propriedades associativa e elemento neutro, temos gyg 1 = x:
O que implica em
x = (g 1) 1yg 1; isto é, y
G x.
Por …m, sejam x; y; z 2 G com x G y e y
G z. Assim, devem existir g; h 2 G tais
que
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Daí, z = h 1(g 1xg)h = (h 1g 1)x(gh) = (gh) 1x(gh): Como (gh) 1; gh2 G, então x
G z e, portanto, G é uma relação de equivalência.
De…nição 2.3.3 Sejam x; y 2 G: Se x
G y diz-se que x e y são elementos conjugados
em G.
Observação 2.3.4 Posteriormente será usada a notação xg para representar g 1xg:
De…nição 2.3.5 Sejam G um grupo,
G uma relação de equivalência em G e x 2 G:
Então, a classe de equivalência x dada por x =fy 2 G; x
G yg = fy 2 G; y = x g;
com g 2 Gg = fxg; g2 Gg
será chamada de classe de conjugação em G determinada pelo elemento x em G e indicada por Cx em vez de x:
Observação 2.3.6 Assim como nos outros casos de classe de equivalência, as seguinte propriedades são válidas:
(i) Cx = Cy se, e somente se, x G y;
(ii) Se Cx6= Cy, então Cx \ Cy 6= ?;
(iii) [
x2G
Cx = G:
De…nição 2.3.7 Sejam G um grupo e g 2 G. De…na a função
g : G ! G
x 7 ! xg :
A função g chama-se conjugação pelo elemento g.
Proposição 2.3.8 A função g de…nida acima é bijetiva e o conjunto imagem g(H)
Demonstração: Seja y 2 G. Tome x = gyg 1 2 G. Daí, pelas propriedades associativa e elemento neutro, temos
g(x) = xg = g 1xg = g 1(gyg 1)g = (g 1g)y(g 1g) = eye = y: Logo, g é sobrejetiva.
Agora, sejam x1x2 2 G, tais que g(x1) = g(x2), onde
g(x1) = g 1x1g g(x2) = g 1x2g;
devemos provar que x1 = x2. Ora,
g(x1) = g(x2)
g 1x1g = g 1x2g;
pela propriedade cancelativa, obtemos x1 = x2. Disto, segue que g é injetiva e,
consequentemente, bijetiva. Sabemos que
g(H) = f g(x); x 2 Hg = fxg; x2 Hg:
Como, e = g 1eg = eg
2 g(H), para todo g 2 G, então g(H) 6= ?. Assim, sejam
y1; y2 2 g(H). Dessa forma, existem x1; x2 2 H, tais que y1 = xg1 e y2 = xg2. Logo,
y21 = (xg2) 1 = ((g 1x2)g) 1
= g 1(g 1x2) 1
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Com isso, pelas propriedades associativa e elemento neutro, vem que y1y21 = (g 1x1g)(g 1x21g) = g 1x1(gg 1)x21g = g 1x1ex21g = g 1x1x21g = (x1x21) g:
Como x1x21 2 H, então y1y21 = (x1x21)2 g(H)e, portanto, g(H) G.
Observação 2.3.9 Denotamos o subgrupo g(H) por Hg.
Observação 2.3.10 A inclusão H Hg sempre é válida.
De…nição 2.3.11 (Subgrupo normal) Seja G um grupo. Um subgrupo H de G é dito normal quando Hg H
, para todo g 2 G.
Exemplo 2.3.12 Seja G um grupo abeliano. Então, os subgrupos de G são todos normais. De fato, sejam H G; g 2 G e y = g 1hg
2 Hg , onde h 2 H. Assim, y = g 1hg = (g 1h)g = (hg 1)g = h(g 1g) = he = h:
Isto é, y 2 H, o que implica Hg H:
Exemplo 2.3.13 Seja G um grupo. Os subgrupos triviais G e feg são normais em G. Exemplo 2.3.14 Considere o seguinte subgrupo de S3
H = ( h1 = 1 2 3 1 2 3 ! ; h2 = 1 2 3 2 1 3 !) :
H não é um subgrupo normal de S3. Com efeito, Seja f =
1 2 3 3 1 2
!
2 S3. Note
que, dado hf2 2 Hf temos que
hf2 = f h2 f 1 = 1 2 3 3 2 1 ! = 2 H; isto é, Hf H:
Observação 2.3.15 Usaremos a notação H E G, para indicar que H é um subgrupo normal de G.
Proposição 2.3.16 Se G é um grupo e H E G, então Hg = H:
Demonstração: Como H E G, então por de…nição, temos que Hg H:Agora, dado
x2 H e g 2 G, utilizando as propriedades elemento neutro, inverso e associatividade, tem-se que x = exe = (g 1g)x(g 1g) = g 1(gxg 1)g: Logo, x = g 1(gxg 1)g 2 Hg, isto é, H Hg. Portanto, Hg = H.
Proposição 2.3.17 Sejam G um grupo, g 2 G e H G. Então H E G se, e somente se, Hg = gH.
Demonstração: Primeiramente mostraremos que Hg = gH. Seja x 2 gH, então
x = gn (2.8)
para algum n 2 H. Como H E G, pela Proposição 2.3.16 temos que Hg = H: Assim, n2 Hg, isto é,
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
com n0 2 H. Substituindo (2.9) em (2.8), obtemos x = g(g 1n0g) = (gg 1)n0g = en0g = n0g:
Ou seja, x = n0g 2 Hg. Com isso, gH Hg. De forma análoga, temos que Hg gH
e, assim, Hg = gH:
Reciprocamente, para todo g 2 G, dado y 2 Hg, existe h 2 H de maneira que
y = g 1hg; (2.10)
ou ainda,
gy = hg:
Note que, hg 2 Hg. Como Hg = gH, segue que hg 2 gH. Disto, temos que hg = gn;
para algum n 2 H. Logo,
h = gng 1: (2.11)
Daí, substituindo (2.11) em (2.10), tem-se
y = g 1(gng 1)g = (g 1g)n(g 1g) = ene
= n:
Com isso, y = n 2 H; isto é, Hg H: Portanto, H E G:
A seguir veremos algumas noções sobre grupos quocientes. A próxima proposição mostra uma característica interessante dos subgrupos normais, se H é um subgrupo normal de um grupo G, então o conjunto quociente G=H também é um grupo.
operação:
: G=H G=H ! G=H (x; y) 7 ! x y = xy :
Demonstração: Primeiramente provaremos que a operação está bem de…nida. Sejam (x; y); (a; b) 2 G=H G=H, tais que x = a e y = b. Assim, x a(mod H) e y b(mod H), ou seja, xa 1 2 H e yb 1 2 H. Tome, xa 1 = n1 e yb 1 = n2.
Note que, xy(ab) 1 = xyb 1a 1 = x(yb 1)a 1 = xn2a 1 = xen2a 1 = xa 1an2a 1 = n1an2a 1 = n1(a 1) 1n2a 1:
Como H E G, então pela Proposição 2.3.16, H = Ha
, para todo a 2 G. Assim, temos que (a 1) 1n
2a 1 2 Ha = H. Logo, n1(a 1) 1n2a 1 2 H e xy ab(mod H). Por …m,
temos que xy = ab, isto é, a operação está bem de…nida.
Agora, vejamos que G=H é um grupo munido da operação . Quaisquer que sejam x; y; z2 G=H, tem-se
(i) (x y) z = xy z = (xy)z = x(yz) = xyz = x (y z);
(ii) Dado e 2 G=H, temos que x e = xe = x e e x = ex = x. Logo, e é o elemento neutro de G=H;
(iii)Dado x 1 2 G=H, tem-se que x x 1 = xx 1 = ee x 1 x = x 1x = e. Logo,
x 1 é o inverso de x.
Portanto, G=H é um grupo, denominado grupo quociente. Proposição 2.3.19 Seja G um grupo e N E G. Então, (i) Se G é cíclico, então G=N é cíclico;
(ii) Se G é abeliano, então G=N é abeliano.
Demonstração: (i)Se G é cíclico, digamos que G = hxi. Seja y 2 G=N, então y 2 G. Daí,
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
para algum n 2 Z. Assim,
y = xn= xn:
Portanto, G=N hxi. Como por de…nição hxi G=N, segue o resultado. (ii)Como G é abeliano, então para quaisquer x; y 2 G=N, temos
x y = x y = y x = y x:
Portanto, G=N é abeliano.
2.3.1
Homomor…smo
A seguir veremos funções entre dois grupos que preservam algumas propriedades algébricas entre eles. São os chamados homomor…smos. Estes são de extrema importância para o estudo de grupos, a partir deles podemos identi…car quando dois grupos possuem a mesma ordem e também pode-se veri…car outras características. De…nição 2.3.20 Sejam (G; ) e (G0; ) grupos. Chama-se homomor…smo a função
: G ! G0 que satisfaz a seguinte condição
(x y) = (x) (y); para quaisquer x; y 2 G.
Exemplo 2.3.21 Sejam os grupos (R+; ) e (R; +). A função
f : R+ ! R
x 7 ! f(x) = log(x) é um homomor…smo. De fato, pois, dados y; z 2 R+, então
f (z y) = log(zy)
= log(z) + log(y) = f (z) + f (y):
Observação 2.3.22 Se : G ! G0 é um homomor…smo bijetivo, dizemos que é
para indicar que G e G0 são isomorfos. Um isomor…smo : G ! G é chamado de automor…smo. O conjunto dos automor…smos de G será denotado por AutG.
Proposição 2.3.23 Se G é um grupo e '; 2 AutG, então: (i) ' 2 AutG;
(ii) ' 1
2 AutG:
Demonstração: (i)Como '; 2 AutG, então ' : G ! G é bijetiva e : G ! G é bijetiva. Logo, ' : G ! G também é bijetiva. Só nos resta mostrar que ' : G ! G é um homomor…smo.
Sejam x; y 2 G, note que
(' )(xy) = '( (xy)) = '( (x) (y)) = '( (x))'( (y)) = (' )(x)(' )(y): Logo, ' é um homomor…smo e, portanto, ' 2 AutG:
(ii)Sejam y1; y2 2 G. Então, como ' é bijetiva, existem x1; x2 2 G tais que
'(x1) = y1 e '(x2) = y2:
Ainda pelo fato de ' ser bijetiva, então ' admite inversa ' 1 que também é bijetiva.
Assim, temos que ' 1(y
1) = x1 e ' 1(y2) = x2. Daí, ' 1(y1y2) = ' 1('(x1)'(x2)) = ' 1('(x1x2)) = (' 1 ')(x1x2) = id(x1x2) = x1x2 = ' 1(y1)' 1(y2): Portanto, ' 1 2 AutG.
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Observação 2.3.24 A última proposição nos diz que AutG munido da operação composição é um grupo.
De…nição 2.3.25 Sejam G e G0 grupos, : G ! G0 um homomor…smo e e0 o
elemento neutro de G0. O conjunto
ker( ) = fg 2 G; (g) = e0; e0 2 G0g é chamado de núcleo do homomor…smo .
Lema 2.3.26 Se : G ! G0 é um homomor…smo de grupos, então
(i) (e) = e0, onde e é o elemento neutro de G e e0 é o elemento neutro de G0;
(ii) (a 1) = (a) 1, para todo a 2 G.
(iii) é injetiva se, e somente se, ker( ) = feg:
Demonstração: (i) Suponha que (e)6= e0. Assim, temos que
(e) (e) = (ee) = (e) = (e)e0;
pela propriedade cancelativa segue que (e) = e0, o que é uma contradição. Portanto,
segue o resultado.
(ii)Note, pelo item (i); que
(a) (a 1) = (aa 1) = (e) = e0: Isto implica que (a 1) = (a) 1.
(iii) Primeiramente, seja injetiva e g 2 ker( ). Assim, (g) = e0. Pelo item
(i), temos que (e) = e0. Logo, (g) = (e) e, consequentemente, g = e 2 feg o que
implica ker( ) feg. Como, por de…nição, feg ker( )segue que ker( ) = feg. Reciprocamente, suponhamos que ker( ) = feg. Se g1; g2 2 ker( ), então
(g1) = e0 = (g2). Daí,
e0 = (g1) (g2) 1 = (g1) (g21)
Assim, g1g21 2 ker( ) = feg. Dessa forma,
g1g21 = e:
O que implica em g1 = g2: Portanto, é injetiva.
Lema 2.3.27 Sejam G e G0 grupos com identidades e e e0, respectivamente, e :
G ! G0 um homomor…smo. Então
(i) Im( ) = (G) =f (g); g 2 Gg é um subgrupo de G0;
(ii) ker( )E G;
Demonstração: (i) O item (i) do Lema 2.3.26 garante que Im( ) é não vazio, pois (e) = e0 2 Im( ). Sejam a; b 2 Im( ), então existem g
1; g2 2 G, tais que
(g1) = a e (g2) = b:
Pelo item (ii) do Lema anterior, tem-se b 1 = (g2) 1 = (g21). Daí,
ab 1 = (g1) (g21)
= (g1g21);
isto é, ab 1
2 Im( ) e, portanto, Im( ) é um subgrupo de G0:
(ii)Primeiramente vejamos que ker( ) é subgrupo de G. Como e 2 G0 e pelo Lema
2.3.26 (e) = e0, então ker( ) é não vazio, pois e 2 ker( ). Sejam g
1; g2 2 ker( ).
Então,
(g1) = e0 e (g2) = e0.
Note que, (g11) = (g1) 1 = e0 1= e0: Daí,
(g2g11) = (g2) (g11)
= e0e0 = e0:
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Agora, seja ng 2 ker( )g, com n 2 ker( ) e g 2 G. Veja que, (ng) = (g 1ng) = (g 1) (n) (g) = (g 1)e0 (g) = (g 1) (g) = (g 1g) = (e) = e0: Isto é, ng
2 ker( ), o que implica ker( )g ker( ): Assim, ker( )E G.
Pelo item (ii) do lema anterior temos que G= ker( ) tem estrutura de grupo. O próximo resultado nos diz que sob algumas condições G= ker( ) é isomorfo a Im( ): Este resultado é conhecido como o primeiro teorema do isomor…smo, este é importante, pois auxilia a caracterizar o quociente de um grupo.
Teorema 2.3.28 (Teorema do Isomor…smo) Seja : G ! G0 um homomor…smo
de grupos. Então
G= ker( )' Im( ): Demonstração: Primeiramente, de…na
' : G= ker( ) ! Im( ) g 7 ! '(g) = (g) :
Veja que, ' está bem de…nida. Com efeito, se g; h 2 G= ker( ), com (g); (h) 2 Im( ), são tais que g = h, temos que gh 1 2 ker( ). Daí,
(gh 1) = e0 (g) (h 1) = e0 (g) (h) 1 = e0, o que implica
isto é, '(g) = '(h). Provaremos que ' é um homomor…smo. Quaisquer que sejam g; h2 G= ker( ), temos
'(gh) = (gh) = (g) (h) = '(g)'(h):
Resta mostrar que a função ' é bijetiva. Para qualquer y 2 Im( ), existe g 2 G, tal que y = (g): Dessa forma, '(g) = (g) = y. Logo, ' é sobrejetiva. Agora, sejam x; y 2 G= ker( ), tais que '(x) = '(y). Daí,
'(x) = '(y);
o que equivale a
(x) = (y); o que implica
(x) (y) 1 = e0; pelo item (ii) do Lema 2.3.26, vem
(x) (y 1) = e0;
como é um homomor…smo, então
(xy 1) = e0; logo, xy 1
2 ker( ), isto é, x = y. Portanto, ' é injetiva e segue o resultado. Corolário 2.3.29 Sejam G um grupo, K E G, H E G e K < H < G. Então
G=K
H=K ' G=H: Demonstração: Considere a função
' : G=K ! G=H gK 7 ! gH :
2.3. SUBGRUPOS NORMAIS E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Vejamos que ' está bem de…nida. Sejam g1k1; g2k2 2 G=K, tais que g1k1 = g2k2, onde
k1; k2 2 K e g1; g2 2 G. Dessa forma, g1g21 = k1k21 2 K. Como K < H; então
g1g21 2 H: Logo,
g1 g2(mod H);
o que pela Proposição 2.2.9 temos que g1H = g2H. Com isso, segue que g1h1 = g2h2,
com h1; h2 2 H. Assim,
'(g1k1) = g1h1 = g2h2 = '(g2k2):
Portanto, a função está bem de…nida. Como K E G e H E G, então G=K e G=H são grupos. Veja que ' é um homomor…smo. Com efeito,
'(g1k1)'(g2k2) = g1h1g2h2
= g1(h1g2)h2
= g1(g2h1)h2
= (g1g2)(h1h2)
= ' ((g1g2)(h1h2)) :
A seguir, provaremos que ' é sobrejetiva. Seja, y 2 G=H. Daí, y = gh, no qual g 2 G e h 2 H. Observe que,
y = gh = '(gk);
isto é, y 2 Im(') e G=H Im('). Por de…nição, Im(') G=H, logo, Im(') = G=H. Só nos resta provar que H=K = ker('). Note que,
ker(') = fgk 2 G=K; '(gk) = eh0g =fgk 2 G=K; gh = h0g =fgk; g = h0h 1 2 Hg = H=K:
Portanto, H=K = ker(') e pelo Teorema do isomor…smo G=K
H=K = G=K
ker(') ' Im(') = G=H; como queríamos demonstrar.
O Teorema de Lagrange e aplicações
Nascido em 25 de janeiro de 1736 na cidade de Turim (Itália), o matemático e físico de origem francesa Joseph Louis Lagrange é considerado um dos matemáticos mais importantes do …nal do século XVIII, ao lado de Euler. Em 1795 Lagrange foi indicado para ser professor na Escola de Artilharia Real em Turim, no qual dois anos mais tarde contribuiu para a fundação da Academia Real de Ciência. Por volta de 1766 Lagrange foi convidado para substituir Euler na direção da seção matemática na Academia de Ciência de Berlim, onde permaneceu durante 20 anos. Em 1787 Lagrange tornou-se membro da Academia de Ciência de Paris e perdurou até o …m de sua carreira. Vale ressaltar que ele teve signi…cativas contribuições para teoria das funções, teoria dos números, equações diferenciais, cálculo de probabilidades, entre outras.
Neste capítulo, estudaremos uma das contribuições de Lagrange para a teoria dos grupos, o conhecido Teorema de Lagrange. Lembrando que este teorema foi enunciado por Lagrange e só teve sua demonstração completa apresentada 30 anos depois por Pietro Abbati (1768-1842). De acordo com Vieira (2015, p. 230) "o Teorema de Lagrange é a base dos grupos …nitos".
Como base para o desenvolvimento deste capítulo, foram utilizados os livros [5], [6], [7] e [9].
3.1
Teorema de Lagrange
Esta seção será dedicada ao Teorema de Lagrange e alguns resultados que são decorrentes do mesmo. Este teorema estuda a ordem de um grupo e através dele podemos simpli…car algumas demonstrações de outros resultados que levaram vários
3.1. TEOREMA DE LAGRANGE
anos para serem provados, como é o caso do Pequeno Teorema de Fermat que veremos mais adiante. São várias as aplicações do Teorema de Lagrange, mas destacamos aqui apenas as mais elementares, vistas no decorrer da graduação.
Teorema 3.1.1 (Lagrange) Se G é um grupo …nito e H é um subgrupo de G, então jGj = jG=Hj jHj :
Demonstração: Como G é …nito, então claramente G=H também é …nito. Considere jG=Hj = n, assim
G=H = fHx1; Hx2; :::; Hxng;
onde x1; x2; :::; xn2 G, o que pelo item (iii) da Proposição 2.2.9, temos
G = Hx1[ Hx2 [ Hx3[ ::: [ Hxn:
Ainda pela Proposição 2.2.9, as classes laterais Hxi e Hxj são disjuntas se i 6= j. Como
a união acima é disjunta, temos
jGj = jHx1j + jHx2j + jHx3j + ::: + jHxnj :
O Teorema 2.2.14 nos garante que jHxij = jHj, para todo i 2 G. Com isso,
jGj = jHj + jHj + jHj + ::: + jHj ; o que implica em
jGj = n jHj = jG=Hj jHj Portanto, jGj = jG=Hj jHj :
Corolário 3.1.2 Sejam G um grupo …nito e H G. Então jHj jGj.
Demonstração: A demonstração segue de forma imediata, pois pelo Teorema de Lagrange, temos que
jGj = jG=Hj jHj ; onde jG=Hj 1:Portanto, jHj jGj.
O próximo resultado nos diz que se G é um grupo …nito e dado um subgrupo H de G, se H possui a mesma quantidade de elementos de G, então H e G são iguais. Proposição 3.1.3 Seja G um grupo …nito e H G. Se jHj = jGj, então H = G.
