Trataremos aqui apenas de homomorfismos em an´eis comutativos com unidade, em virtude de termos introduzido o conceito de ideais apenas em an´eis comutativos com unidade.
Defini¸c˜ao 16 (Homomorfismo)
SejamA,Ban´eis comutativos com unidades, respectivamente, 1Ae1B. Uma fun¸c˜ao f : A −→ B ´e um homomorfismo de an´eis se, e somente se, para quaisquer x, y∈A
A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao `a esquerda da igualdade s˜ao do anelA, enquanto a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao `a direita s˜ao do anelB.
(i) f(x+y) =f(x) +f(y), (ii) f(x·y) =f(x)·f(y), (iii) f(1A) = 1B.
Exemplo 54
A fun¸c˜ao f: Z−→ Z×Z definida por f(x) = (x, x), para todo x ∈ Z´e um homomorfismo de an´eis.
De fato, sejam x, y∈Z. Ent˜ao,
f(x+y) = (x+y, x+y) = (x, x) + (y, y) = f(x) +f(y) , f(x·y) = (x·y, x·y) = (x, x)·(y, y) = f(x)·f(y)e f(1) = (1, 1).
Exemplo 55
A fun¸c˜aog:Z×Z−→Z definida porg(x, y) = x, para todo(x, y)∈Z×Z,
´e um homomorfismo de an´eis.
Esse homomorfismo ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada.
Exemplo 56
SejaA um anel comutativo com unidade 1A.
A fun¸c˜ao identidade I :A −→ A definida por I(x) =x, para todo x ∈ A, ´e um homomorfismo de an´eis.
Exemplo 57 Sejaa∈Z.
A fun¸c˜ao avalia¸c˜ao em a, ϕa : Z[x] −→ Z, definida por ϕa(f(x)) = f(a) ´e um homomorfismo de an´eis.
Proposi¸c˜ao 20 (Propriedades dos homomorfismos)
SejamAeBan´eis comutativos com unidades ef:A−→Bum homomorfismo de an´eis. Ent˜ao:
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
(i) f(0A) =0B.
(ii) f(−a) = −f(a), para qualquer a∈A. (iii) f(A)´e um subanel de B.
(iv) Se a ´e invert´ıvel em A, ent˜ao f(a) ´e invert´ıvel em B e f(a)−1=f(a−1).
Demonstra¸c˜ao:
(i) Como 0A=0A+0A ef´e homomorfismo de an´eis, ent˜ao f(0A) =f(0A+0A) =f(0A) +f(0A).
Logo, f(0A) = f(0A) +f(0A). Adicionando −f(0A) a ambos os membros da igualdade acima, obtemos
Na ´ultima igualdade usamos a associatividade da adi¸c˜ao do anelB.
0B=f(0A) −f(0A) = (f(0A) +f(0A)) −f(0A) = f(0A).
(ii) Seja a∈ A. Como vale a propriedade do item (i), 0A =a+ (−a) e f´e homomorfismo de an´eis temos que
0B=f(0A) =f(a+ (−a)) =f(a) +f(−a), mostrando quef(−a) = −f(a), para qualquer a∈A.
(iii) Primeiramente, 0B = f(0A) ∈ f(A). Agora, sejam a, a′ ∈ A. Ent˜ao, a+a′ ∈A, a·a′ ∈Ae −a∈A. Como f´e homomorfismo de an´eis, temos:
f(a) +f(a′) =f(a+a′)∈f(A),
f(a)·f(a′) = f(a·a′)∈f(A)e, pela propriedade (ii),
−f(a) = f(−a)∈f(A),
mostrando quef(A)´e um subanel de B.
(iv) Temos 1A=a·a−1e1B=f(1A) = f(a·a−1) =f(a)·f(a−1), mostrando que f(a−1) ´e o inverso de f(a), isto ´e,f(a−1) = f(a)−1.
Defini¸c˜ao 17 (N´ucleo)
SejamA, Ban´eis comutativos com unidades ef:A−→Bum homomorfismo.
O n´ucleo def´e o conjunto definido por
N´ucleo(f) = {a∈A; f(a) =0B}. Exemplo 58
No Exemplo 54 temos
N´ucleo(f) ={x∈Z; f(x) = (x, x) = (0, 0)}={x∈Z; x=0}={0}.
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6
Exemplo 59
No Exemplo 55 temos
N´ucleo(g) ={(x, y)∈Z×Z; g(x, y) =x =0}={(0, y) ; y∈Z}=0×Z.
Antes de vermos mais propriedades do n´ucleo de um homomorfismo de an´eis, vamos introduzir um tipo especial de ideal muito importante, a saber, ideal primo.
Defini¸c˜ao 18 (Ideal primo)
Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal P de A, P 6= A, ´e um ideal primo se, e somente se, se a, b∈A e a·b∈P, ent˜ao a∈P ou b∈P. Exemplo 60
Seja A um dom´ınio. O ideal I = {0} ´e um ideal primo, pois se a, b ∈ A e a·b=0, ent˜aoa =0 oub=0.
Exemplo 61
EmZ, o ideal I(15) = 15Zn˜ao ´e um ideal primo, pois15∈I(15), 15=3·5, com 36∈I(15)e 56∈I(15).
Exemplo 62
No dom´ınio dos inteiros todo idealI=pZ, gerado por um natural primo p,
´e um ideal primo.
De fato, pZ ( Z e se a, b ∈ Z com a·b ∈ I = pZ, ent˜ao p divide a·b e, como p ´e primo, temos que p divide a ou p divide b. Logo, a ∈ pZ ou b∈pZ.
Proposi¸c˜ao 21 (Propriedades do N´ucleo)
SejamA,Ban´eis comutativos com unidades ef:A−→Bum homomorfismo.
Ent˜ao,
(i)f´e um homomorfismo injetor se, e somente se, N´ucleo(f) ={0A}.
(ii) N´ucleo de f´e um ideal de A.
(iii) SeB´e um dom´ınio, ent˜ao N´ucleo(f)´e um ideal primo de A.
Demonstra¸c˜ao:
(i) Suponhamos, primeiramente, que f seja um homomorfismo injetor. Se x est´a no N´ucleo(f), ent˜ao f(x) = 0B = f(0A), pelo item (i) da Proposi¸c˜ao anterior. Comof´e injetor, temos x=0A. Logo, N´ucleo(f) ={0A}.
Reciprocamente, suponhamos que N´ucleo(f) = {0A} e sejam a, a′ ∈ A com f(a) = f(a′). Ent˜ao,
A segunda igualdade segue do item (ii) da Proposi¸c˜ao anterior.
0B=f(a′) −f(a) =f(a′) +f(−a) = f(a′−a).
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
Conclu´ımos, respectivamente, que 0A ∈ N´ucleo(f), x +y ∈ N´ucleo(f) e a·x∈N´ucleo(f), mostrando que N´ucleo(f)´e um ideal de A.
(iii) Pelo item anterior, N´ucleo(f) ´e um ideal de A. Falta mostrar que ´e um ideal primo. Sejam a, a′ ∈ A tais que a· a′ ∈ N´ucleo(f). Ent˜ao, 0B=f(a·a′) =f(a)·f(a′). Como B´e um dom´ınio, temos que f(a) =0Bou f(a′) = 0B. Logo, a∈N´ucleo(f) ou a′ ∈N´ucleo(f).
Veremos agora uma propriedade interessante dos homomorfismos bije-tores de an´eis.
Proposi¸c˜ao 22
SejamA,Ban´eis comutativos com unidades ef:A−→Bum homomorfismo bijetor. Ent˜ao, a fun¸c˜ao f−1:B−→A´e um homomorfismo bijetor.
Demonstra¸c˜ao: Para cada b ∈ B, existe um ´unico a ∈ A tal que f(a) = b, seguindo a existˆencia do fato de f ser sobrejetor e a unicidade do fato de f ser injetor. Assim, a fun¸c˜aof−1 ´e definida por
f−1(b) =a se, e somente se,f(a) =b. defini¸c˜ao da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes; em (3), defini¸c˜ao da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes; em (3), f−1◦f=IA; e em (4), a defini¸c˜ao def−1.
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6
Comof−1(1B) =1A, mostramos que f−1 ´e um homomorfismo.
Para cada a∈A, tome b=f(a)∈B. Ent˜ao, a= (f−1◦f)(a) =f−1(f(a)) =f−1(b), mostrando quef−1 ´e sobrejetor.
Se f−1(b) =f−1(b′), ent˜ao b=f(f−1(b)) = f(f−1(b′)) =b′, mostrando
Sejam A, B an´eis comutativos com unidades. Dizemos que A e B s˜ao an´eis isomorfosse, e somente se, existe um homomorfismo bijetorf:A−→B.
Desempenham um papel importante a n´ıvel elementar, entre os an´eis comutativos com unidade, os dom´ınios.
De fato, suponhamos queρseja um homomorfismo do anelZno dom´ınio D, tal queρ(1) = 1D. para todon∈Z, mostrando a unicidade. Basta agora apenas verificar (fa¸ca vocˆe mesmo), que a express˜ao acima define um homomorfismo.
O n´ucleo de ρ´e um ideal de Ze N´ucleo(ρ)6=Z, pois 16∈N´ucleo(ρ).
Mais ainda, N´ucleo(ρ) ´e um ideal primo deZ.
Poder´ıamos ter usado o item (iii) da Proposi¸c˜ao 21.
De fato, se a, b ∈ Z e a ·b ∈ N´ucleo(ρ), ent˜ao 0D = ρ(a· b) = ρ(a)·ρ(b). ComoD´e um dom´ınio, temos que ρ(a) =0Douρ(b) =0D, isto
´e, a∈N´ucleo(ρ) oub∈N´ucleo(ρ).
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
Os ideais primos de Z s˜ao {0} ou I(p), o ideal principal gerado por p, onde p´e um natural primo.
O homomorfismo ρ´e chamado de homomorfismo caracter´ıstico.
Quando N´ucleo(ρ) ={0}dizemos queD´e umdom´ınio de caracter´ıstica 0. Nesse caso,n1D=1D+· · ·+1D
Quando N´ucleo(ρ) = I(p), p primo, dizemos que D ´e um dom´ınio de caracter´ıstica p. Nesse caso, p1D = 1D+· · ·+1D Todo corpo ´e um dom´ınio.
Exemplo 63
Q,R e C s˜ao corpos de caracter´ıstica 0, assim como Q(√ 2).
Os dom´ınios Z[√
2] e Z[√
5] s˜ao dom´ınios de caracter´ıstica 0.
Exemplo 64
O corpo Zpdos res´ıduos m´odulo p, ondep´e primo, ´e de caracter´ıstica p.
O anel de polinˆomiosZp[x]´e um dom´ınio de caracter´ıstica p.
Exemplo 65
SeD ´e um dom´ınio ordenado, ent˜ao car(D) =0.
Lembre que . . . 0D< 1D< 1D+1D<· · ·.
Mostraremos agora que “a menos de isomorfismo”Z´e o ´unico dom´ınio bem ordenado.
Defini¸c˜ao 20 (Homomorfismo de an´eis ordenados)
Sejam A, B an´eis ordenados. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : A −→ B ´e um homomorfismo de an´eis ordenados se, e somente se,
(i)f´e um homomorfismo;
(ii) se a, a′ ∈Ae a≤a′, ent˜ao f(a)≤f(a′).
Teorema 8
SejaDum dom´ınio bem ordenado. Ent˜ao, existe um isomorfismof:Z−→D de an´eis ordenados.
Demonstra¸c˜ao: Seja fo ´unico homomorfismo de Z em D tal que f(1) =1D, isto ´e, f´e o homomorfismo caracter´ıstico e f(n) =n1D. ´E claro que f´e um homomorfismo de an´eis ordenados, pois sen > n′, ent˜aon1D> n′1D. Como D´e um dom´ınio ordenado, ent˜ao N´ucleo(f) ={0} e, portanto,f´e injetora.
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6
Vamos mostrar que f ´e sobrejetora, equivalentemente, que d∈D´e da forma d = n1D, para algum n ∈ Z. Suponhamos, por absurdo, que exista d∈D tal que d6=n1D, para todo n∈Z.
Aqui vamos usar a hip´otese deDser bem ordenado.
Consideremos os subconjuntos deD
S={n1D; n∈Zen1D> d}e T ={n1D; n∈Zen1D< d}. Mostraremos que S=T =∅, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Suponhamos queS6=∅. Pelo Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao,Stem menor elemento, digamos m1D, logo m1D > d. Como (m−1)1D 6∈ S, temos que (m−1)1D≤d. Sendo(m−1)1D6=d, obtemos(m−1)1D< d. Pelo Corol´ario 1 da Proposi¸c˜ao 12 da Se¸c˜ao 4 na Parte 2,m1D= (m−1)1D+1D≤d, uma contradi¸c˜ao.
Suponhamos que T 6= ∅. Pelo Exerc´ıcio 9 da Se¸c˜ao 4 da Parte 2, T tem maior elementom1D, logo m1D< d. Como (m+1)1D6∈T, temos que (m+1)1D≥d. Sendo(m+1)1D6=d, obtemos(m+1)1D> d. Pelo Corol´ario 1 da Proposi¸c˜ao 12 da Se¸c˜ao 4 da Parte 2 ,d+1D≤(m+1)1D=m1D+1D, que ´e equivalente a d≤ m1D, uma contradi¸c˜ao.
Exerc´ıcios
1. Determine quais das fun¸c˜oes s˜ao homomorfismos de an´eis comutativos com unidade.
(a) f:Z−→Z×Z definida por f(x) = (0, x).
(b) f:Z×Z−→Z definida por f(x, y) =y.
(c) f:Z−→Zndefinida por f(x) = x, onde n∈N en≥2.
(d) f:Z−→Z definida por f(x) =nx, onde n∈N e n≥2.
(e) ϕa: R[x] −→ R definida por ϕa(f(x)) = f(a) , onde a ∈ R est´a fixo.
2. Determine o n´ucleo dos homomorfismos do Exerc´ıcio anterior e diga quais s˜ao homomorfismos injetores.
3. SejamAum anel comutativo com unidade,Bum dom´ınio ef:A−→B um homomorfismo.
(a) Mostre que N´ucleo(f)´e um ideal primo deA.
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
(b) Mostre que se A´e um corpo, ent˜ao f´e injetor.
4. Considere a seguinte fun¸c˜ao
ϕ:R[x] −→ R f(x) 7−→ f(0) (a) Mostre que ϕ´e um homomorfismo de an´eis.
(b) Mostre que ϕ´e sobrejetor e N´ucleo(ϕ) = I(x), onde I(x)´e o ideal gerado por x.
5. Considere a seguinte fun¸c˜ao
ϕ:Z[x] −→ Z f(x) 7−→ f(0) (a) Mostre que ϕ´e um homomorfismo de an´eis.
(b) Mostre que ϕ´e sobrejetor e N´ucleo(ϕ) = I(x), onde I(x)´e o ideal gerado por x.
6. Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A−→ B um homo-morfismo. Mostre que:
(a) se I´e um ideal de A, ent˜ao f(I)´e um ideal de f(A);
(b) se J ´e um ideal deB, ent˜ao f−1(J) ´e um ideal deA, onde f−1(J) = {a∈A; f(a)∈J}
´e a imagem inversa de J porf;
(c) se J ´e um ideal primo deB, ent˜ao f−1(J)´e um ideal primo de A; (d) se I´e um ideal primo deAe N´ucleo(f)⊂I, ent˜ao f(I)´e um ideal
primo de f(A).
7. Seja S o conjunto dos an´eis comutativos com unidades.
Defina a rela¸c˜ao bin´aria em S :
A∼B⇐⇒existe isomorfismo f:A−→B. Mostre que∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em S.
Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade
PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6
8. Sejam K eL corpos e f:K−→L um homomorfismo.
Mostre que f´e injetora.
9. Sejam A,B e C an´eis comutativos com unidades. Sejam f:A−→B e g :B−→C homomorfismos. Mostre que:
(a) g◦f:A−→C ´e um homomorfismo;
(b) se fe g s˜ao injetores, ent˜ao g◦f´e injetor;
(c) se fe g s˜ao sobrejetores, ent˜ao g◦f´e sobrejetor;
(d) se fe g s˜ao isomorfismos, ent˜ao g◦f´e um isomorfismo.
10. SejaDum dom´ınio eK o seu corpo de fra¸c˜oes. Mostre quef:D−→K definida por f(x) = 1x
D ´e um homomorfismo injetor de an´eis.
11. Seja D um dom´ınio ordenado. Mostre que o homomorfismo carac-ter´ıstico ρ : Z −→ D ´e um homomorfismo injetor. Conclua que car(D) =0.
12. Seja D um dom´ınio com car(D) =p, ondep´e um natural primo.
(a) Sejamx, y∈D e q=pn, onden∈N e n≥1. Mostre que (x+y)q=xq+yq.
(b) Mostre que ϕq : D −→ D definida por ϕ(x) = xq ´e um homo-morfismo injetor de an´eis, onde q = pn, para algum n ∈ N e n≥1.
13. Sejam m, n n´umeros naturais primos entre si.
Definimos f:Z−→Zm×Znpor f(x) = (x mod m, x mod n).
(a) Mostre que f´e um homomorfismo sobrejetor de an´eis.
(b) Mostre que N´ucleo(f) = (m·n)Z.
Sugest˜ao: Use o Exerc´ıcio 25 da Se¸c˜ao 5.