Parte 3 Dom´ınios principais

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Parte 3

Dom´ınios principais

R e f e r ê n c i a s Sobre a aritmética dos inteiros: Números-Uma Introdu¸cão à Matemáticade César Polcino Milies e Sônia Pitta Coelho. Editado pela Editora da Universidade de São Paulo (Edusp), 2000.

Para saber mais sobre anéis e o dom´ınio principal dos inteiros: Curso de Álgebra, Volume 1de Abramo Hefez, Cole¸cão Matemática Universitária, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1998.

Sobre anéis, extensões algébricas de corpos e grupos:Introdu¸cão à Algebra´ de Adilson

Gon¸calves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.

Nosso objetivo agora é introduzir os conceitos de ideal em anéis comutativos com unidade e dom´ınio principal, mostrando que em um dom´ınio principal vale a fatora¸cão única.

Come¸camos com a divisibilidade em anéis comutativos com unidade e os conceitos de máximo divisor comum e m´ınimo múltiplo comum. Mostraremos a rela¸cão entre ideais e mdc, no contexto dos dom´ınios principais.

Faremos um estudo detalhado das propriedades do dom´ınio dos inteiros, discutindo a fatora¸c˜ao ´unica sob o ponto de vista dos dom´ınios principais.

Abordaremos propriedades aritméticas do dom´ınio dos inteiros, estu- daremos congruências de inteiros, critérios de divisibilidade, analisaremos alguns tipos de equa¸cões diofantinas.

Construiremos os anéis Zndos inteiros módulo n, como anel quociente de uma rela¸cão de equivalência no dom´ınioZ.

Finalizaremos com o estudo de homomorfismos e isomorfismos de an´eis comutativos com unidade, mostrando que Z, a menos de isomorfismo, ´e o

´

unico dom´ınio bem ordenado.

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Divisibilidade

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 1

Divisibilidade

Daqui por diante, consideramos apenas an´eis comutativos com unidade.

Defini¸c˜ao 1 (M´ultiplo ou divisor)

Sejam a, b ∈ A. Dizemos que b ´e m´ultiplo de a se, e somente se, existe c∈A, tal que b=a·c.

Quando a 6=0 e b= a·c dizemos que a divide b e escrevemos a | b.

Nesse caso, dizemos quea ´e um divisordeb.

Exemplo 1

No anel Z × Z temos que (−2, 6) ´e m´ultiplo de (−1, 2), pois (−2, 6) = (−1, 2)(2, 3).

Proposi¸c˜ao 1 (Propriedades da divisibilidade)

SejaAum anel comutativo com unidade1_A. Sejama, b, c, d, b₁, . . . , b_n∈A.

Valem as seguintes propriedades:

(i) Sea6=0, ent˜ao a|0e a|a.

(ii) Sea6=0,b6=0, a|be b|c, ent˜ao a|c.

(iii) Sea6=0,a|(b+c) ea|b, ent˜ao a|c.

(iv) sea6=0, a|b₁, . . . , a|b_n, ent˜ao a|(b₁c₁+· · ·+b_nc_n), para quaisquer c₁, . . . , c_n∈A.

(v) se u´e invert´ıvel em A, ent˜ao u|a, para todo a∈A.

Os elementos invert´ıveis dividem todos os elementos de um anel. Para cada elemento de um anel o interessante ´e determinar, caso existam, os seus divisores n˜ao-invert´ıveis.

(vi) Seja Aum dom´ınio. Se a6=0,c6=0,a|b ec|d, ent˜ao a·c|b·d.

Demonstra¸c˜ao:

(i)0=a·0 e a6=0=⇒a|0; a=a·1_A e a6=0=⇒a|a.

(ii) Suponhamos que a | b e b | c. Ent˜ao, existem c₁, c₂ ∈ A tais que b=a·c₁ e c=b·c₂. Logo, c= (a·c₁)·c₂=a·(c1·c₂), com c₁·c₂ ∈A. Ent˜ao, a|c.

(iii) Sea |(b+c) ea|b, ent˜ao existem c₁, c₂∈ Atais que b+c=a·c₁ e b= a·c₂. Logo, c =a·c₁−b =a·c₁−a·c₂ = a·(c₁−c₂). Portanto, a|c.

(iv) Sea |b₁, . . . , a |b_n, ent˜ao existem d₁, . . . , d_n∈ A tais que b_j=a·d_j para j=1, . . . , n e, para quaisquer c₁, . . . , c_n∈A, temos

As igualdades (1) e (2) seguem, respectivamente, das propriedades M1 e AM emA.

Xn

j=1

b_j·c_j= Xn

j=1

(a·d_j)·c_j⁽¹⁾= Xn

j=1

a·(d_j·c_j)⁽²⁾= a· Xn

j=1

d_j·c_j

! , mostrando quea|(b₁·c₁+· · ·+b_n·c_n).

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Divisibilidade

(v) Seja uinvert´ıvel em A. Ent˜ao, para todo a∈Atemos

a=1_A·a= (u·u⁻¹)·a=u·(u⁻¹·a), com u⁻¹·a∈A.

Logo, u|a.

(vi) SejamAum dom´ınio ea, c∈An˜ao-nulos. Ent˜ao,a·c6=0. Suponhamos

Em (1) usamos as propriedades M1 e M2 da multiplica¸c˜ao do dom´ınioA.

que a| b ec |d. Ent˜ao, existem c₁, c₂∈ A tais que b =a·c₁ e d =c·c₂. Logo, b·d= (a·c₁)·(c·c₂)⁽¹⁾= (a·c)·(c₁·c₂). Portanto, a·c|b·d.

Proposi¸c˜ao 2

Sejam Aum dom´ınio, a, b∈A n˜ao-nulos. Ent˜ao,a|be b|a se, e somente se, existe um invert´ıvel u∈Atal que b=u·a.

Demonstra¸c˜ao:

(⇐=:) Seb=u·acomuinvert´ıvel emA, ent˜ao ´e claro quea|be escrevendo a=u⁻¹·b, vemos que b|a.

(=⇒:) Suponhamos que a | b e b | a. Ent˜ao, existem u, v ∈ A tais que b=u·a e a=v·b. Logo,

Em (1) usamos M1, em (2), a Lei do cancelamento num dom´ınio e em (3), a defini¸c˜ao de invert´ıvel.

1_A·b=b=u·a=u·(v·b) ⁽¹⁾= (u·v)·b

=(2)⇒ 1_A=u·v

=(3)⇒ u, vsão invert´ıveis emA . E muito importante saber quem são os elementos invert´ıveis num anel´ com unidade. Em exerc´ıcios anteriores, você já determinou

A^∗ ={a∈A; a´e invert´ıvel emA}. Exemplo 2

(a) Se A=Z, então Z^∗ ={1,−1}. (b) Se Ké um corpo, então K^∗ =K\{0}.

Em particular, Q^∗ =Q\{0}, R^∗ =R\{0} eC^∗ =C\{0}. (c) Os invert´ıveis emZ[i] s˜ao 1,−1, i,−i.

(d) EmR[x], o anel dos polinˆomios com coeficientes reais, temosR[x]^∗ =R^∗. Em K[x], o anel de polinˆomios com coeficientes no corpo K, temos que K[x]^∗ =K^∗ =K\{0}.

Prove, por indu¸c˜ao sobre n≥0, a afirma¸c˜ao.

(e) Para qualquer n∈Z, temos que

−1+√ 2n

´e invert´ıvel em Z[√ 2].

A proposi¸c˜ao anterior motiva a seguinte defini¸c˜ao.

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Divisibilidade

Defini¸c˜ao 2 (Associado)

Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b ∈ A. Dizemos que a ´e associadoabse, e somente se, existe um invert´ıveluemA, tal queb=u·a.

Vamos ver algumas propriedades interessantes do anel dos inteiros.

Corol´ario 1

Sea, b∈Z são não-nulos, a|be b|a, então b=a oub= −a.

Demonstra¸c˜ao: Os invert´ıveis deZ s˜ao 1 e −1, logo b=a oub= −a.

Proposi¸c˜ao 3

Sejam a, b∈Z com b6=0. Se a|b, ent˜ao 1≤|a|≤|b|.

Demonstra¸cão: Como | a | ≥ 0 e a 6= 0, temos que | a | ≥ 1. Além disso, a|b e b6=0, então existe c 6=0, tal que b=a·c e também| c|≥1. Pela propriedade OM, temos|a|·|c|≥|a|·1=|a|≥1. Assim,

|b|=|a·c|=|a|·|c|≥|a|≥ 1.

Defini¸c˜ao 3 (M´aximo Divisor Comum)

Sejama₁, . . . , a_nelementos de um anelA, comutativo com unidade. Dizemos que d∈A´e um m´aximo divisor comum (mdc) de a₁, . . . , a_nse, e somente se,

(i)d|a₁, . . . , d|a_n, isto ´e,d´e um divisor comum de a₁, . . . , a_n; (ii) para todoc∈A, tal quec|a₁, . . . , c|a_n, temos que c|d.

Proposi¸c˜ao 4

Seja d ∈ A um mdc de a₁, . . . , a_n∈ A. Ent˜ao, d^′ ´e um mdc de a₁, . . . , a_n se, e somente se,d|d^′ ed^′ |d.

Demonstra¸c˜ao:

(=⇒:) Suponhamos que d^′ é um mdc de a₁, . . . , a_n. Pela propriedade (ii) do mdc, todo divisor de a₁, . . . , a_n divide d^′. Como dé um divisor comum de a₁, . . . , a_n, então d | d^′. De modo análogo, usando que d é um mdc de a₁, . . . , a_ned^′ é um divisor comum de a₁, . . . , a_n, obtemos que d^′ |d. (⇐=:) Suponhamos que d é um mdc dea₁, . . . , a_n, d|d^′ ed^′ |d.

Vamos mostrar as propriedades (i) e (ii) da defini¸c˜ao do mdc para d^′. Como d^′ |d e d|a₁, . . . , d|a_n, pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao 1, temos d^′ |a₁, . . . ,d^′ |a_n, mostrando a propriedade (i).

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Divisibilidade

Seja c um divisor de a₁, . . . , a_n. Como d é um mdc, pela propriedade (ii) do mdc, c | d. Então c | d, d | d^′ e, novamente, pelo item (ii) da Proposi¸cão 1, conclu´ımos quec|d^′, mostrando a propriedade (ii).

Corol´ario 2

SeAé um dom´ınio, então dois máximos divisores comuns de a₁, . . . , a_nsão associados.

Demonstra¸cão: Sejam d e d^′ máximos divisores comuns de a₁, . . . , a_n. Pela Proposi¸cão anterior, d | d^′ e d^′ | d. Pela Proposi¸cão 2, existe um invert´ıvel u∈A, tal que d^′ =u·d, significando que de d^′ são associados.

Observa¸cão: EmZsedé um mdc, então−dtambém é um mdc e um deles é positivo. Denotaremos o máximo divisor comum positivo por mdc(a1, . . . , a_n).

Para entendermos a origem do nome mdc, note que se c | a₁, . . . , c | a_n, ent˜ao c|mdc(a1, . . . , a_n). Assim,

c≤|c|≤ mdc(a1, . . . , a_n)

mostrando que no dom´ınio dos inteiros mdc(a1, . . . , a_n) ´e o maior dos divisores comuns dea₁, . . . , a_n.

Exemplo 3

Algumas propriedades interessantes no dom´ınio bem ordenado dos inteiros:

(a) Se a6=0, ent˜ao mdc(0, a) =|a|.

(b) mdc(0, 0) n˜ao existe.

(c) Se adivide b, então mdc(a, b) =|a|. Defini¸cão 4 (M´ınimo múltiplo comum)

Um elemento m de um anel A, comutativo com unidade, ´e um m´ınimo m´ultiplo comum dos elementos a₁, . . . , a_n em A se, e somente se, valem as seguintes propriedades:

(i)m ´e m´ultiplo comum de a₁, . . . , a_n.

(ii) Para todoc∈Aque é múltiplo comum dea₁, . . . , a_n, entãocé múltiplo dem.

De modo an´alogo ao mdc, temos o seguinte resultado.

Corol´ario 3

SeAé um dom´ınio, então dois m´ınimos múltiplos comuns de a₁, . . . , a_nsão associados.

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Divisibilidade

Observa¸cão: EmZsemé um mmc, então−m também é um mmc e um deles

é não-negativo. Denotaremos o m´ınimo múltiplo comum não-negativo por mmc(a1, . . . , a_n). Observamos que se para algumj=1, . . . , ntemosa_j=0, então mmc(a1, . . . , a_n) =0. Reciprocamente, se mmc(a1, . . . , a_n) =0, como Zé um dom´ınio, então temos a_j=0, para algum j=1, . . . , n. Suponhamos quea_j6=0, para todo j=1, . . . , n. Nesse caso, m=mmc(a1, . . . , a_n)> 0 e sec6=0é múltiplo comum dea₁, . . . , a_n, então existea6=0tal quec=a·m.

Como | a |≥ 1, pela propriedade OM, temos | c |=| a | · | m | ≥| m |= m, mostrando que no dom´ınio dos inteiros quando mmc(a1, . . . , a_n)6=0, então o mmc é o menor inteiro positivo múltiplo comum de a₁, . . . , a_n.

c=a1·. . .·an é múltiplo comum dea1, . . . ,an, logo cé múltiplo dem=mmc;

portanto, sem=0, ent˜ao a₁·. . .·an=0.

Em qualquer anelA, temos 0=0·a, para todoa∈A.

Temos interesse no mmc quando mmc6=0.

Exemplo 4

Algumas propriedades interessantes no dom´ınio bem ordenado dos inteiros:

(a) Sea∈Z, ent˜ao mmc(0, a) =0.

(b) Sea divide b, ent˜ao mmc(a, b) =|b|.

Aprenderemos depois a determinar o máximo divisor comum e o menor múltiplo comum de inteiros não-nulos, a partir da sua fatora¸cão única.

Agora vocˆe deve praticar as propriedades elementares da divisibilidade.

Exerc´ıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade.

(a) Mostre que a seguinte rela¸cão binária é uma rela¸cão de equi- valência em A

a´e associado a b⇐⇒ existe invert´ıvel u∈A, tal que b=u·a.

(b) Para cada anel A e elementos a, b∈A dados, determine a classe de equivalˆencia de a e de b.

i. A=Z, a=0 e b6=0.

ii. A=Z[i],a=0 eb6=0.

iii. A´e um corpo, a=0 e b6=0.

iv. A=R[x],a=x eb=2x−1. 2. Sejama, b, celementos de um dom´ınio com a6=0ec6=0. Mostre que

a|b se, e somente se,a·c|b·c.

3. Sejanum natural ´ımpar. Mostre que a soma dentermos consecutivos de uma progressão aritmética de números inteiros é divis´ıvel por n.

4. Seja n um natural positivo. Mostre que dados n n´umeros naturais consecutivos apenas um deles ´e divis´ıvel por n.

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Divisibilidade

5. Sejam m e n inteiros ´ımpares. Mostre que:

(a) 8|(m²−n²) (b) 8|(m⁴+n⁴−2)

6. Mostre que para todo n´umero natural n, 9divide 10ⁿ+3·4ⁿ⁺²+5. 7. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam a, b ∈ A e n um

natural. Mostre que:

(a) Para todon≥2, temos

aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²·b+· · ·+a·bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹).

(b) Para todon=2m+1, com m≥1, temos

a^2m+1+b^2m⁺¹= (a+b)(a^2m−a^2m⁻¹·b+· · ·−a·b^2m⁻¹+b^2m).

(c) Para todon=2m, com m ≥1, temos

a^2m−b^2m= (a+b)(a^2m⁻¹−a^2m⁻²·b+· · ·+a·b^2m⁻²−b^2m⁻¹).

8. Mostre que, para todo n´umero inteiro positivon, temos:

(a) 9|(10ⁿ−1) (b) 3|(10ⁿ−7ⁿ)

(c) 8|(3²ⁿ−1)

(d) 6|(5²ⁿ⁺¹+1) (e) 6|(5²ⁿ−1) (f) 13|(9²ⁿ−4²ⁿ)

(g) 53|(7⁴ⁿ−2⁴ⁿ) (h) 19|(3²ⁿ⁺¹+4⁴ⁿ⁺²)

(i) 17|(10²ⁿ⁺¹+7²ⁿ⁺¹) 9. (a) Mostre quea+bi∈Z[i]´e invert´ıvel se, e somente se,a²+b²=1.

(b) Mostre que 1+i, 1−i,2−i e 2+i n˜ao s˜ao invert´ıveis em Z[i].

(c) Mostre que 1+i e 1−i s˜ao associados em Z[i].

(d) Mostre que 1+i e 1−i dividem 2 em Z[i].

(e) Mostre que 2+i e 2−i n˜ao s˜ao associados em Z[i]

(f) Mostre que 2+i e 2−i dividem 5 em Z[i].

10. Sejam A um dom´ınio e a₁, . . . , a_n∈A. Mostre que:

(a) Se m em^′ são m´ınimos múltiplos comuns de a₁, . . . , a_n, entãom e m^′ são associados.

(b) Se m é um m´ınimo múltiplo comum de a₁, . . . , a_n e m^′ é associado de m, então m^′ também é um m´ınimo múltiplo comum de a₁, . . . , a_n.

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Ideais e m´aximo divisor comum

Ideais e m´ aximo divisor comum

Veremos agora que o conceito de mdc est´a relacionado com o conceito de ideais de um anel comutativo com unidade. Depois obteremos a fatora¸c˜ao

´

unica em dom´ınios de ideais principais.

Defini¸c˜ao 5 (Ideal)

SejaAum anel comutativo com unidade. Um subconjunto n˜ao-vazio Ide A

´e chamado de ideal se, e somente se, (i) se a, b∈I, ent˜ao a+b∈I;

(ii) sea∈I e x∈A, ent˜ao a·x∈I.

Observa¸c˜ao: SejamAum anel comutativo com unidade1_AeIum ideal deA.

(a) Como I 6= ∅, ent˜ao existe b ∈ I e assim, pela propriedade (ii), 0_A = 0_A · b ∈ I. Logo, a condi¸c˜ao de I 6= ∅ pode ser substitu´ıda por 0∈I.

Portanto,

I⊂A´e um ideal de A⇐⇒







(i) 0∈I

(ii) a, b∈I=⇒a+b∈I (iii) a∈A, b∈I=⇒a·b∈I

(b) Se I ´e um ideal de A, da propriedade (iii) acima segue que para todo b∈I temos que−b= (−1A)·b∈I.

(c) Da observa¸c˜ao (b) e da propriedade (ii) acima temos que se a, b ∈ I, ent˜ao a−b=a+ (−b)∈I.

Exemplo 5

Em qualquer anel comutativo com unidade, {0}e As˜ao ideais de A. Exemplo 6

Seja A um anel comutativo com unidade e fixe a ∈ A. Consideremos o seguinte subconjunto deA

I(a) = {a·x ; x∈A}.

Ent˜ao, I(a)´e um ideal de A, chamado de ideal principal gerado por a.

De fato, vamos verificar as trˆes propriedades da defini¸c˜ao de ideal.

(i)0=a·0∈I(a).

(ii) Seb, c∈I(a), ent˜ao existem x, y∈A tais queb=a·x e c=a·y, logo

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b+c=a·x+a·y=a·(x+y). Como x+y∈A, temos queb+c∈I(a).

(iii) Seja b ∈ A e c ∈ I(a). Ent˜ao, c = a·x para algum x ∈ A e b·c = b·(a·x) =a·(b·x)∈I(a), pois b·x∈A.

Usamos, na ´ultima igualdade, a associatividade e a comutatividade da multiplica¸c˜ao do anelA.

Agora podemos construir muitos exemplos.

Exemplo 7

No dom´ınio dos inteiros temos:

I(2) ={2·x; x ∈Z}=inteiros pares=2Z;

Verifique queI(2) =I(−2).

I(1) ={1·x=x; x ∈Z}=Z;

I(−1) ={(−1)·x= −x ; x∈Z}=Z.

Exemplo 8

Sejam A um anel comutativo com unidade ea, b∈Afixados. O conjunto I(a, b) = {a·x+b·y; x, y∈A}

´e um ideal de A chamado de ideal gerado por a eb.

De fato, valem as trˆes propriedades da defini¸c˜ao de ideal:

(i)0=a·0+b·0∈I(a, b).

(ii) Sec, d∈I(a, b), ent˜ao existemx₁, y₁, x₂, y₂ ∈Atais quec=a·x₁+b·y₁ ed=a·x₂+b·y₂. Logo,

c+d = (a·x₁+b·y₁) + (a·x₂+b·y₂)

= (a·x₁+a·x₂) + (b·y₁+b·y₂)

= a·(x₁+x₂) +b·(y₁+y₂), onde x₁+x₂, y₁+y₂∈A. Logo,c+d∈I(a, b).

(iii) Sec∈I(a, b)e d∈A, ent˜ao existem x, y∈A tais que c=a·x+b·y ec·d= (a·x+b·y)·d=a·(x·d) +b·(y·d)∈I(a, b).

Exemplo 9

Sejam A um anel comutativo com unidade e a₁, . . . , a_s ∈ A fixados. O conjunto

I(a1, . . . , a_s) ={a₁·x₁+· · ·+a_s·x_s; x₁, . . . , x_s∈A}

é um ideal de A chamado de ideal gerado por a₁, . . . , a_s. De fato, valem as três propriedades da defini¸cão de ideal:

(i)0=a₁·0+· · ·+a_s·0∈I(a₁, . . . , a_s).

(ii) Sec, d∈I(a₁, . . . , a_s), ent˜ao existem x₁, . . . , x_s, y₁, . . . , y_s∈A tais que c=a₁·x₁+· · ·+a_s·x_se d=a·y₁+· · ·+a_s·y_s. Logo,

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c+d = (a₁·x₁+· · ·+a_s·x_s) + (a₁·y₁+· · ·+a_s·y_s)

(1)= (a1·x₁+a₁·y₁) +· · ·+ (as·x_s+a_s·y_s)

(2)= a·(x1+y₁) +· · ·+a_s·(xs+y_s), onde x₁+y₁, . . . , x_s+y_s∈A. Logo, c+d∈I(a1, . . . , a_s).

Em (1) usamos a comutatividade e associatividade da adi¸c˜ao.

Em (2) usamos a

distributividade da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.

(iii) Sec∈I(a₁, . . . , a_s) e d∈A, ent˜ao existem x₁, . . . , x_s∈A tais que c=a₁·x₁+· · ·+a_s·x_s e

c·d= (a₁·x₁+· · ·+a_s·x_s)·d=a₁·(x₁·d) +· · ·+a_s·(x_s·d)∈I(a₁, . . . , a_s), poisx_j·d∈A, para todo j=1, . . . , s.

Defini¸c˜ao 6 (Ideal principal)

SejaI ideal de um anel comutativo com unidade. Dizemos que I ´eprincipal se, e somente se, existea∈A tal que I=I(a).

Exemplo 10

Dados 2, 3 ∈ Z, consideremos o ideal de Z gerado por 2 e 3 definido no Exemplo 8, a saber,

I(2, 3) ={2x+3y; x, y∈Z}.

Comx =1 ey=0vemos que 2=2·1+3·0∈I(2, 3). Analogamente, com x=0e y=1, temos 3∈I(2, 3).

Portanto, 1=3−2=2·(−1) +3·1∈I(2, 3). Pela propriedade (iii) de um ideal, para todoa ∈ Z, temos a =a·1 ∈ I(2, 3). Logo, Z ⊂ I(2, 3). Como I(2, 3)⊂Z, obtemos que I(2, 3) = Z=I(1)´e um ideal principal.

Na verdade, todo ideal deZé principal, conforme veremos no próximo Teorema. No entanto, há anéis que têm ideais que não são principais.

Exemplo 11

SejaA=Z[x] o dom´ınio dos polinˆomios com coeficientes inteiros.

Z[x] ={a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ; a_j∈Z, j=0, . . . , n, en∈N}. SejaI=I(2, x), o ideal gerado por 2 ex.

Afirmamos que I n˜ao ´e principal.

2=2·1+x·0e x=2·0+x·1, com 0, 1∈Z⊂Z[x].

Com efeito, suponhamos, por absurdo, que I seja principal. Tomamos f(x) ∈ Z[x] um gerador de I. Pela defini¸c˜ao de I(2, x), temos que 2 ∈ I e x ∈ I. Como I(2, x) = I(f(x)), ent˜ao existem g(x), h(x) ∈ Z[x]

tais que 2 = f(x)·g(x) e x = f(x)· h(x). Pela propriedade do grau, temos: na primeira igualdade grau(f(x)) = grau(g(x)) = 0 e na segunda, grau(h(x)) = 1. Portanto,f(x) =±1,g(x) =±2 eh(x) =±x. Em qualquer dos casos,I=I(f(x)) =Z[x], mas isto contradiz o fato de que16∈I=I(2, x).

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Teorema 1

Todo ideal I de Z é principal. Mais ainda, se I é um ideal não-nulo de Z, então I=I(d), onded=min{x∈I; x > 0}.

Demonstra¸cão: Se I={0}, é claro que é principal.

Seja I 6= {0} um ideal de Z. Consideremos S = {x ∈ I ; x > 0}. Afirmamos que S6=∅.

De fato, existe a ∈ I tal que a 6= 0. Como a e −a estão em I, então um deles é positivo e está em S⊂N. Logo,S6=∅.

Pelo princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao,Stem menor elemento, digamos minS= d6=0.

Lembre que . . . SeB, Cs˜ao conjuntos, ent˜ao B=C⇐⇒B⊂CeC⊂B.

Afirmamos que I=I(d).

Com efeito, d∈S⊂I, logo temos queI(d) ={d·x ; x∈Z}⊂I. Falta mostrar queI⊂I(d). Sejaa∈I. Pela divis˜ao euclidiana deapord, existem q, r∈Z, tais que a=q·d+r, com 0≤r < d. Portanto, r=a−q·d∈I.

Pela escolha de d, temos que r=0, assim a=q·d∈I(d).

Defini¸c˜ao 7 (Dom´ınio Principal)

Um dom´ınio ´e chamado dom´ınio principal se, e somente se, todo ideal ´e principal.

Corol´ario 4

Z´e um dom´ınio principal.

Exemplo 12

Outros exemplos de dom´ınios principais s˜ao: K[x], o anel de polinˆomios com coeficientes no corpoK, e Z[i], o anel dos inteiros de Gauss.

Exemplo 13

Não são dom´ınios principais: Z[x], o anel de polinômios com coeficientes inteiros e K[x, y], o anel de polinômios em duas variáveis com coeficientes no corpo K.

O nosso objetivo agora é mostrar a rela¸cão entre ideais e o máximo divisor comum em um dom´ınio principal.

Vamos, primeiramente, aprender mais algumas propriedades de ideais.

Proposi¸c˜ao 5

Sejam a, b elementos n˜ao-nulos de um anel A comutativo com unidade.

Ent˜ao,

I(a) = I(b)se, e somente se, a|b e b|a.

(13)

Demonstra¸c˜ao: Sejam a, b∈A n˜ao-nulos.

(=⇒:) Suponhamos que I(a) = I(b).

Como a∈ I(a) =I(b) e b∈I(b) =I(a), ent˜ao existem u, v∈A, tais quea=u·b eb=v·a, mostrando que b|a ea|b.

Lembre que . . .

I(a), I(b)s˜ao conjuntos.

Logo,

I(a) =I(b)⇐⇒I(a)⊂I(b) eI(b)⊂I(a).

(⇐=:) Suponhamos que a | b e b| a. Precisamos mostrar a igualdade dos ideaisI(a)eI(b). Seja x∈I(a). Ent˜ao,x =y·a, para algumy∈A. Como b | a, existe u ∈ A tal que a = u·b, assim x = y·(u·b) = (y·u)·b, mostrando que x ∈ I(b) e logo, I(a) ⊂ I(b). Tomando agora x ∈ I(b), usando quea|be procedendo de maneira an´aloga, mostramos que x∈ I(a) e conclu´ımos que I(b)⊂I(a).

Corol´ario 5

Sejam a, b elementos não-nulos de um dom´ınio A. Então, I(a) = I(b) se, e somente se,aebsão associados. Em particular, emZtemosI(a) = I(b)se,

e somente se, a=±b. Segue da Proposi¸c˜ao 2 da

Se¸c˜ao 1.

Proposi¸c˜ao 6

Sejam A um dom´ınio principal e a₁, . . . , a_s ∈ A nem todos nulos. Ent˜ao, existe d ∈ A um m´aximo divisor comum de a₁, . . . , a_s ∈ A. Mais ainda, d=x₁·a₁+· · ·+x_s·a_s, para elementos x₁, . . . , x_s∈A.

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o ideal de A gerado por a₁, . . . , a_s. Como A

é um dom´ınio principal, existe d ∈ A tal que I(a₁, . . . , a_s) =I(d). Primei- ramente, observamos que d 6= 0, pois a_j ∈ I(a₁, . . . , a_s) = I(d), para todo j=1, . . . , s, e um deles é não-nulo, logo I(d)6={0} ed6=0.

Vamos mostrar que d´e um mdc de a₁, . . . , a_s.

Obtivemos ao lado que existemx1, . . . , xs∈Atais qued=

Xs

j=1

x_j·a_j.

Comoa_j∈I(a₁, . . . , a_s) =I(d), ent˜ao existe λ_j∈Atal que a_j=λ_j·d.

Assim, d | a_j, para j = 1, . . . , s. Seja agora c ∈ A tal que c | a₁, . . . , c|a_s. Ent˜ao, para cada j=1, . . . , s existe y_j∈A tal que a_j=y_j·c. Como d∈I(a₁, . . . , a_s), existem x₁, . . . , x_s∈A tais que d=x₁·a₁+· · ·+x_s·a_s.

Logo, d=

Xs

j=1

x_j·a_j= Xs

j=1

x_j·(y_j·c) = Xs

j=1

(x_j·y_j)·c= Xs

j=1

x_j·y_j

!

·c, mostrando quec|d. Portanto,d ´e um mdc de a₁, . . . , a_s.

Corol´ario 6

Dadosa₁, . . . , a_s∈Znem todos nulos existe mdc(a1, . . . , a_s).

(14)

Exerc´ıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam I e Jideais de A.

(a) Mostre que I∩J ´e um ideal deA.

(b) Mostre que I+J´e um ideal de A, onde

I+J={x+y; x∈Iey∈J}.

(c) Mostre que I+J=I se, e somente se, J⊂I.

(d) Mostre que I·J ´e um ideal deA, onde

Na express˜ao ao lado,n varia, podendo ter os valores

1,2,3, . . . I·J={x₁·y₁+· · ·+x_n·y_n; x_j∈I, y_j∈J, j=1, . . . , n, en≥1}.

2. Sejam 24, 30, 20∈Z. Determine:

(a) I(24, 30) (b) I(24)∩I(30)

(c) I(24)·I(30)

(d) I(20, 30) (e) I(20)∩I(30) (f) I(20)·I(30)

(g) I(20) +I(24) (h) I(20)∩I(24) (i) I(20)·I(24) 3. Vamos generalizar o exerc´ıcio anterior. Sejam a, b ∈ Z n˜ao-nulos.

Mostre que:

(a) I(a, b) =I(d), onde d=mdc(a, b).

(b) I(a, b) =I(a) +I(b).

(c) I(a)∩I(b) =I(m), ondem =mmc(a, b).

(d) I(a·b) =I(a)·I(b).

4. Sejam a₁, . . . , a_s∈Z. Mostre que I(a₁, . . . , a_s) = I(a₁) +· · ·+I(a_s).

5. Sejam A um anel comutativo com unidade eI um ideal de A.

Mostre que I = A se, e somente se, existe invert´ıvel u ∈ A tal que u∈I.

6. Seja A um anel comutativo com unidade.

Mostre queAé um corpo se, e somente se, seus únicos ideais são {0} e A.

7. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam a₁, . . . , a_s∈ A nem todos nulos, tais que I(a₁, . . . , a_s) =I(d). Mostre que d´e um mdc de a₁, . . . , a_s.

(15)

8. Sejam Aum anel comutativo com unidade e a₁, . . . , a_s∈A.

(a) Dado J ideal de A, mostre que:

I(a1, . . . , a_s)⊂J se, e somente se,a₁, . . . , a_s∈J. (b) Sejamu₁, . . . , u_sinvert´ıveis de A. Mostre que

I(a₁, . . . , a_s) =I(u₁·a₁, . . . , u_s·a_s).

(c) Seja t∈A. Mostre que

I(a1, . . . , a_s−1, a_s) =I(a1, . . . , a_s−1, b_s), ondeb_s=a_s−t·a_s−1.

(16)

(17)

Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ao ´unica

Dom´ınios Principais e a fatora¸ c˜ ao ´ unica

Nosso objetivo é demonstrar o Teorema Fundamental da Aritmética, nosso velho conhecido, que diz que todo número inteiro a > 1 se escreve de modo único, a menos da ordem dos fatores, como

a=p₁ⁿ¹·p₂ⁿ²·. . .·p_sⁿ^s,

ondep₁, . . . , p_ss˜ao n´umeros naturais primos e n₁ ≥1, . . . , n_s≥1.

Para atingir nosso objetivo, vamos aprofundar os nossos conhecimen- tos dos dom´ınios principais introduzindo, em an´eis comutativos com unidade, os conceitos de: elementos irredut´ıveis, elementos primos e fatora¸c˜ao

´

unica. Mostraremos que os dom´ınios principais têm a propriedade da fatora¸cão única, portanto valendo para Z.

Em um anel comutativo com unidade, os elementos invert´ıveis são divisores de quaisquer elementos do anel. Dado um elemento não-nulo e não-invert´ıvel, o interessante é determinar quais são os seus divisores não- invert´ıveis. Não devemos esquecer que, encontrado um divisora debentão, para todo invert´ıvelu,u·atambém é um divisor deb, isto é, todo associado de um divisor também é divisor.

Para refletir sobre as observa¸c˜oes ao lado, fa¸ca o Exerc´ıcio 1.

Defini¸c˜ao 8 (Elementos irredut´ıveis ou redut´ıveis)

Seja A um anel comutativo com unidade e seja a ∈ A, não-nulo e não- invert´ıvel. O elemento aé dito irredut´ıvelse, e somente se, os seus divisores são invert´ıveis ou seus associados. Caso contrário, a é dito redut´ıvel, nesse caso, atem algum divisor que não é invert´ıvel e não é associado de a.

Observa¸cão: Seja a6=0 e a∈A\A^∗. A defini¸cão anterior é equivalente a:

Esse ou ´e excludente, apenas um dos fatores ´e invert´ıvel.

a´e irredut´ıvel ⇐⇒ seb|a, ent˜ao b∈A^∗ oub=u·a, com u∈A^∗

⇐⇒ sea=b·c, ent˜ao bou c´e invert´ıvel.

a´e redut´ıvel ⇐⇒ existem be cn˜ao-invert´ıveis tais que a=b·c.

Exemplo 14

Consideremos o dom´ınio Z. Temos Z^∗ ={−1, 1}. (a)3 ´e irredut´ıvel.

De fato, os associados de 3 s˜ao −3 e 3. Os divisores de 3 s˜ao −1, 1,−3 e 3.

Portanto, os divisores de 3 s˜ao invert´ıveis ou associados de 3. Escrevendo 3=b·c, temos b=1 ec=3 oub= −1 e c= −3.

(18)

(b)−24´e redut´ıvel.

De fato,−24=4·(−6), onde4 e −6 s˜ao n˜ao-invert´ıveis em Z.

A fatora¸cão dos elementos deK[x]em produto de irredut´ıveis será estudada em Álgebra II, nos corpos

Q,RouC.

Exemplo 15

(a) SejaK um corpo e K[x] o anel de polinˆomios com coeficientes emK.

Todo polinˆomio de grau1 ´e irredut´ıvel em K[x].

De fato, se f(x) = ax+b, onde a, b ∈ K e a 6= 0, e f(x) = g(x)·h(x) então grau(g(x)) +grau(h(x)) = grau(f(x)) = 1 assim, grau(g(x)) = 1 e grau(h(x)) = 0 ou grau(g(x)) = 0 e grau(h(x)) = 1. Portanto, grau(g(x)) ou grau(h(x)) é 0. Logo, g(x) = u ∈ K\{0} ou h(x) = u ∈ K\{0}. Assim, g(x) ou h(x)é um invert´ıvel de K[x].

Lembre que . . . K[x]^∗=K^∗=K\{0}.

(b)Seja Z[x] o anel de polinˆomios com coeficientes em Z.

Há polinômios de grau1é redut´ıveis emZ[x], por exemplo,2x+4 =2·(x+2), com 2 ex+2 não-invert´ıveis em Z[x].

Lembre que . . . Z[x]^∗=Z^∗={−1, 1}.

Veremos que em um dom´ınio principal todo elemento n˜ao-nulo e n˜ao- invert´ıvel tem um divisor irredut´ıvel. Para isto, precisamos do seguinte resultado.

Lema 1

SejaA um dom´ınio principal. Toda cadeia crescente de ideais I₁⊂I₂⊂ · · · ⊂I_n⊂ · · ·

é estacionária, isto é, existe m tal que

I_m=I_m+1=· · ·. Demonstra¸c˜ao: Seja I = [

j≥1

I_j. Primeiramente, vamos mostrar que I ´e um ideal de A.

Com efeito, como 0∈I_j, para todo j≥1, ent˜ao 0∈ I. Sejam a, b∈I.

Então existem j₁, j₂ ∈ Z, tais que a ∈ I_j₁ e b ∈ I_j₂. Temos 1 ≤ j₁ ≤ j₂ ou 1≤ j₂ ≤j₁, digamos que j₁ ≤ j₂. Logo, I_j₁ ⊂ I_j₂ e a, b∈I_j₂. Sendo I_j₂ um ideal temos a+b ∈ I_j₂ ⊂ I. Tomando a∈ A e b∈ I, existe j₁ ∈ Z tal que b∈I_j₁. Como I_j₁ é um ideal, a·b∈I_j₁ ⊂I, mostrando que I é um ideal de A.

Como A´e um dom´ınio principal, existe d∈ Atal que I=I(d). Logo, d∈ I =[

j≥1

Ij. Portanto, existe m ≥ 1 tal que d ∈Im. Como Im⊂ Ij, para todoj≥m, temos que d∈I_j, para todo j≥m. Ent˜ao,

(19)

I(d)⊂I_m⊂Im+1⊂ · · · ⊂I=[

j≥1

I_j=I(d).

Sed∈JeJ´e ideal, ent˜ao I(d)⊂J.

Portanto, I(d) =I_m=I_m+1=· · ·. Proposi¸c˜ao 7

Todo elemento n˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel de um dom´ınio principal tem pelo menos um divisor irredut´ıvel.

Comoa1|a, temos que a∈I(a₁), logoI(a)⊂I(a₁).

Além disso,I(a)6=I(a₁), poisa1não é associado dea.

J´a resolveu o Exerc´ıcio 5 da Se¸c˜ao 2?

Usamos esse resultado na segunda inclus˜ao, isto ´e:

a1n˜ao ´e invert´ıvel

⇐⇒I(a1)(A.

Demonstra¸cão: Sejam A um dom´ınio principal, a ∈ A, a 6= 0 e a não- invert´ıvel. Se a é irredut´ıvel, nada temos a demonstrar, pois a | a. Supo- nhamos que aé redut´ıvel. Pela defini¸cão 8, a tem um divisor a1, tal quea1

não é invert´ıvel e não é associado de a. Assim, I(a)(I(a₁)(A,

onde a primeira inclusão é conseqüência da Proposi¸cão 5.

Se a₁ é irredut´ıvel, terminamos, pois a₁ | a. Se a₁ não é irredut´ıvel, então a₁ tem divisor a₂ em A, coma₂ não-invert´ıvel e não-associado de a₁. Logo,

I(a)(I(a₁)(I(a₂)(A.

Assim, sucessivamente, até que para algumntemosa_nirredut´ıvel e portanto, a_né um divisor de a irredut´ıvel ou, caso contrário, ter´ıamos uma seqüência a_n, com n ≥ 1, a_n₊₁ divisor de a_n, a_n+1 não-invert´ıvel e não-associado de ane obter´ıamos uma cadeia infinita crescente de ideais

I(a)(I(a₁)(I(a₂)(· · ·(I(a_n)(· · ·(A, que ´e imposs´ıvel pelo Lema anterior.

Defini¸cão 9 (Dom´ınio de fatora¸cão única)

Um dom´ınio A é dito de fatora¸cão única se, e somente se, todo elemento não-nulo e não-invert´ıvel se fatora como um produto finito de elementos irredut´ıveis. Mais ainda, sep₁, . . . , p_m eq₁, . . . , q_nsão irredut´ıveis em Ae

p₁·p₂·. . .·p_m=q₁·q₂·. . .·q_n,

então n = m e, após uma reordena¸cão, p_j e q_j são associados, para todo j=1, . . . , n. Dizemos que a fatora¸cão é única, a menos da ordem dos fatores e de elementos associados.

(20)

Exemplo 16

(a)Todo corpo é um dom´ınio de fatora¸cão única, pois todo elemento não-nulo

´e invert´ıvel.

(b)Zé um dom´ınio de fatora¸cão única (vamos demonstrar, como conseqüência de todo dom´ınio principal ser um dom´ınio de fatora¸cão única).

(c) K[x], ondeK´e um corpo.

(d)Em geral, seAé um dom´ınio de fatora¸cão única, entãoA[x]é um dom´ınio de fatora¸cão única. Portanto,Z[x],Q[x],R[x]eC[x]são exemplos de dom´ınios de fatora¸cão única, além de Z[x, y],Q[x, y],R[x, y] eC[x, y].

Os dom´ınios de fatora¸c˜ao

´

unica dos itens (c) e (d) s˜ao estudados em ´Algebra II.

Defini¸c˜ao 10 (Elemento primo)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um elemento a ∈ A, não-nulo e não-invert´ıvel é ditoprimo se, e somente se,

se a|b·c, ent˜ao a|bou a|c.

Exemplo 17

(a) 2´e primo em Z.

Lembre que . . . P=⇒QouR

´

e equivalente a

∼Qe∼R=⇒∼P, onde

∼Q´e a nega¸c˜ao deQe

∼(QouR) =∼Qe∼R.

De fato, suponhamos que b, c ∈ Z e 2 não divide b nem c. Pela divisão euclidiana, temos b = 2m+1 e c = 2n+1, com m, n ∈ Z. Logo, b·c = (2m+1)·(2n+1) =4m·n+2m+2n+1=2·(2m·n+m+n) +1 e 2 não divide b·c.

(b)3 ´e primo em Z.

Sejam b, c∈Z, tais que 3|b·c.

Pela divis˜ao euclidiana, escrevemos b=3m+r ec=3n+s, comm, n ∈Z e 0 ≤ r, s≤ 2. Assim, b·c =9m·n+3m·s+3n·r+rs. Como 3 | b·c temos que 3|r·s, com r·s∈{0, 1, 2, 4}. Portanto, r·s=0. Como Z ´e um dom´ınio, r=0 ou s=0, significando que 3|bou 3|c.

(c) 4 n˜ao ´e primo em Z, pois4|2·6 mas 4∤2 e4∤6.

Há uma rela¸cão entre primos e irredut´ıveis quando o anel é especial, conforme veremos nas duas seguintes proposi¸cões.

Proposi¸c˜ao 8

SejaA um dom´ınio. Se pé primo, então pé irredut´ıvel.

Nesse caso,a=λ⁻¹·p´e associado dep.

Demonstra¸cão: Sejap∈A um elemento primo. Escrevap=λ·a, comλe a em A. Como p|λ·a e pé primo, então p|λ oup| a. Digamos que p|a.

Logo,a=λ^′·pep=λ·a=λ·(λ^′·p) = (λ·λ^′)·p. Pela lei do cancelamento no dom´ınio A, temos que 1_A = λ·λ^′. Portanto, λ ´e um invert´ıvel de A, mostrando quep´e irredut´ıvel.

(21)

Há exemplos de dom´ınios com elementos irredut´ıveis que não são primos.

Exemplo 18

SejaA={a+b√

5i ; a, b∈Z}. A´e um subanel de C. Temos que 2·3= (1+√

5i)(1−√ 5i), onde2, 3,1+√

5i e1−√

5i s˜ao irredut´ıveis emA, 2|(1+√

5i)·(1−√ 5i), mas 2∤(1+√

5i)e 2∤(1−√ 5i).

Para verificar as afirma¸cões acima você precisa saber quem são os elementos invert´ıveis deA, isto é, quem

´ eA^∗.

E facil verificar que´ A^∗ ={−1, 1}, pois o inverso de a+b√

5i6=0 em C´e (a+b√

5i)⁻¹= _a+b¹^√

5i = _(a+b^√^a−b_5i)^√⁵ⁱ

·(a−b√

5i) = ^a−b_a2+5b^√⁵ⁱ². Logo, (a+b√

Proposi¸c˜ao 9

SejaAum dom´ınio principal. Seja p∈Aum elemento irredut´ıvel. Ent˜ao, p

´e primo.

Demonstra¸c˜ao: Seja A um dom´ınio principal e seja p ∈ A um elemento irredut´ıvel. Suponhamos que b, c∈ A, p|b·c e p∤ b. Vamos mostrar que p|c.

Seja I = I(b, p). Temos que p ∈ I, logo I 6= {0}. Como Aé principal, então existe d ∈ A, d 6= 0, tal que I =I(d). Temos que d | b e d | p, pois b, p∈I. Comopé irredut´ıvel, os divisores depsão invert´ıveis ou associados dep, logodé invert´ıvel emAoud=u·p, para algum invert´ıveluem A. Se d=u·p, entãob∈I=I(d) = I(u·p) e assimb=λ·(u·p), contradizendo a hipótese que p ∤ b. Portanto, d é um invert´ıvel de A, pelo Exerc´ıcio 5 da Se¸cão anterior, temos A = I(d) = I(b, p), logo 1_A ∈ I(b, p). Portanto, existem x, y∈A, tais que 1_A=x·b+y·p. Multiplicando por c, temos

c=1_A·c= (x·b+y·p)·c=x·b·c+y·p·c.

Comop|b·c, então pdivide a primeira parcela acima à direita. É claro que pdivide a segunda parcela. Portanto, p divide a soma dessas parcelas, isto

´e, p|c.

(22)

Corol´ario 7

No dom´ınio Z um elemento ´e primo se, e somente se, ´e irredut´ıvel.

Agora estamos a um passo de obter a fatora¸cão única dos inteiros não- nulos e não-invert´ıveis, isto é, diferentes de0, 1e−1, em produto de números inteiros primos, a partir da propriedade mais geral dos dom´ınios principais.

Para isto, precisamos de algumas propriedades relevantes dos elementos primos em um dom´ınio.

Proposi¸c˜ao 10

Sejamp, p₁, . . . , p_nelementos primos do dom´ınioA. Sep|p₁·. . .·p_n, ent˜ao p´e associado de p_j, para algumj.

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão é por indu¸cão sobre n. Seja n =1 e suponhamos quep, p₁são primos ep|p₁. Então,p₁=λ·p, compnão-invert´ıvel ep₁ irredut´ıvel, implica que λé invert´ıvel. Logo pé associado dep₁.

Sejam n ≥ 1, p, p₁, . . . , p_n, pn+1 elementos primos do dom´ınio A e suponhamos que se p | p₁·. . .·p_n, então p é associado de p_j, para algum j = 1, . . . , n. Digamos que p | p₁·. . .· p_n·pn+1 = (p₁·. . . ·p_n)·p_n+1. Da defini¸cão de elemento primo, temos que p | p₁· . . .· p_n ou p | p_n+1. No primeiro caso, por hipótese de indu¸cão, pé associado de p_j, para algum j =1, . . . , n. No segundo caso, pé associado de pn+1. Logo, p é associado dep_j, para algumj=1, . . . , n+1.

Teorema 2 (Fatora¸c˜ao ´unica em dom´ınios principais)

Todo dom´ınio principal é um dom´ınio de fatora¸cão única.

Demonstra¸cão: Seja A um dom´ınio principal e seja a ∈ A um elemento não-nulo e não-invert´ıvel. Pela Proposi¸cão 7, a tem pelo menos um divisor irredut´ıvel, digamos p₁∈A. Logo, existe a₁∈A, tal que

a=a₁·p₁.

Como a₁6=0, se a₁não é invert´ıvel, novamente, pela Proposi¸cão 7,a₁ tem um divisor irredut´ıvel p₂, logo a₁=a₂·p₂ e

a=a₂·p₂·p₁.

Assim, sucessivamente, determinamos uma seq¨uˆencia de pares (a_j, p_j) com p_j irredut´ıvel e tais que

a_j=aj+1·pj+1, para j≥1. (⋆)

(23)

Vamos mostrar que esse processo tem que parar após um número finito de passos, isto é, existe n≥1 tal que a_né invert´ıvel.

De fato, se a₁, . . . , a_n, . . . fossem não-invert´ıveis, como a_j+1 | a_j, por (⋆), a_j e a_j+1 não seriam associados. Pela Proposi¸cão 5 da Se¸cão anterior, ter´ıamos que

Nesse caso,I(a_j)(I(aj+1).

I(a)(I(a1)(I(a2)(· · ·(I(an)(· · ·(A,

seria uma cadeia crescente infinita de ideais, contradizendo o Lema 1.

Portanto, para algum n≥1, a_n=u´e invert´ıvel e a= (upn)·p_n−1·. . .·p₁,

com up_n, p_n₋₁, . . . , p₁ irredut´ıveis, logo, pela Proposi¸c˜ao 9, primos. Falta

Fa¸ca o Exerc´ıcio 1 (e), que mostra que seué invert´ıvel epé irredut´ıvel, entãou·p

´

e irredut´ıvel.

provar a unicidade, que faremos por indu¸c˜ao sobren.

Suponhamos que n=1 ep₁=q₁·. . .·q_m, com p₁, q₁, . . . , q_m irredu- dut´ıveis, logo primos.

Como p₁ |q₁·. . .·q_m, pela Proposi¸cão anterior, p₁ é associado de q_j para algum j = 1, . . . , m. Após uma reordena¸cão dos q_j^′s, podemos supor

que j = 1, p₁ | q₁ e p₁ = wq₁, com w invert´ıvel. Se m > 1, ent˜ao Veja o Exerc´ıcio 1 (b) que mostra que os divisores de um invert´ıvel s˜ao invert´ıveis.

w·q₁ = q₁ · . . .· q_m, cancelando q₁, ter´ıamos w = q₂ · . . .·q_m, que ´e imposs´ıvel. Portanto,m =1 e p₁=w·q₁ ´e associado deq₁.

Seja n ≥ 2 e suponhamos a unicidade da fatora¸cão válida para n−1 e p₁ ·. . .·p_n = q₁ ·. . .·q_m, com p₁, . . . , p_n, q₁, . . . , q_m irredut´ıveis (logo primos). Segue que p_n | q₁·. . .·q_m e, novamente, para algum j temos p_n associado de q_j. Após uma reordena¸cão dos q_i^′s, podemos supor que j=m ep_né associado de q_m, isto é, p_n=w·q_m, com winvert´ıvel. Então,

A equivalˆencia segue da Lei do Cancelamento.

p₁·. . .·pn−1·(w·q_m) =q₁·. . .·q_m−1·q_m⇐⇒(w·p₁)·. . .·pn−1 =q₁·. . .·qm−1. Pela hipótese de indu¸cão,n−1=m−1, logon=m. Após uma reordena¸cão dosq_j^′s, podemos supor quep_jé associado deq_j, para cadaj=1, . . . , n−1.

Como j´a mostramos que p_n´e associado de q_n, obtemos o resultado.

Corol´ario 8

Zé um dom´ınio de fatora¸cão única.

(24)

Corol´ario 9 (Teorema Fundamental da Aritm´etica)

Todo n´umero inteiroa diferente de 0, 1,−1 pode ser escrito como

Na rela¸cão de associa¸cão, cada classe de equivalência dep∈Z,pirredut´ıvel (primo), tem um elemento positivo e um elemento negativo. Escolhemos um representante positivo em cada classe. Trabalhamos com os naturais primos na fatora¸cão, que é única a menos da ordem dos fatores.

a=±p^α₁¹ ·. . .·p^α_nⁿ,

onde p₁, . . . , p_n s˜ao n´umeros primos positivos distintos, p₁ < · · · < p_n e α₁> 0, . . . , α_n> 0.

Exerc´ıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que:

(a) Se a|1, ent˜ao a ´e invert´ıvel.

(b) Se a|u, com uinvert´ıvel, ent˜ao a´e invert´ıvel.

(c) Se aé invert´ıvel, então a|b, para todo b∈A. (d) Se a|b, então u·a|b, para todo invert´ıvel u∈A.

(e) Se p é irredut´ıvel, então u·p é irredut´ıvel, para todo invert´ıvel u∈A.

2. Seja A=Z.

(a) Mostre que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17s˜ao irredut´ıveis em Z.

(b) Mostre que 4, 6, 8, 9, 10, 12s˜ao redut´ıveis.

3. Mostre que:

(a) x²+1´e irredut´ıvel em R[x].

(b) x²+3x+2´e redut´ıvel emR[x].

(c) 3x+1 ´e irredut´ıvel em Z[x].

(d) 3x+6 ´e redut´ıvel emZ[x].

4. Seja p um natural primo. Mostre que:

(a) Se j∈N´e tal que 1≤j < p, ent˜ao p divide ^p_j

; (b) Se a, b∈Z, ent˜ao pdivide (a+b)^p− (a^p+b^p);

(c) (Pequeno Teorema de Fermat) p divide a^p−a, para todo a∈Z.

Sugest˜ao: Fa¸ca por indu¸c˜ao sobre a.

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Propriedades do Dom´ınio PrincipalZ

Propriedades do Dom´ınio Principal Z

A partir da fatora¸cão única de inteiros em produto de potências de primos positivos, podemos determinar o máximo divisor comum e o m´ınimo múltiplo comum de dois inteiros não-nulos.

Observa¸cão: Sejam a, b inteiros não-nulos. Sejam p₁ <· · · < p_n os primos positivos distintos que ocorrem na fatora¸cão dea ou de b. Então, podemos escrever

a=±p^α₁¹·. . .·p^α_nⁿ e b=±p^β₁¹ ·. . .·p^β_nⁿ, com αj≥0, βj≥0, para j=1, . . . , n.

mdc(a, b) = p^γ₁¹ ·. . .·p^γ_nⁿ, onde γ_j=min{α_j, β_j}, para cadaj=1, . . . , n; mmc(a, b) =p^δ₁¹·. . .·p^δ_nⁿ, onde δ_j=max{αj, β_j}, para cadaj=1, . . . , n.

Exemplo 19

75=3·5·5=3·5² e 70=2·5·7.

Portanto, os naturais primos que ocorrem na fatora¸c˜ao de 75 ou 70 s˜ao 2, 3, 5, 7. Escrevendo

75=2⁰·3¹·5²·7⁰ e 70=2¹·3⁰·5¹·7¹, obtemos

mdc(75, 70) =2⁰·3⁰·5¹·7⁰ =5 e mmc(75, 70) =2¹·3¹·5²·7¹=1050.

Defini¸c˜ao 11 (Primos entre si)

Seja A um dom´ınio principal. Os elementos a, b ∈ A, não ambos iguais a zero, são chamadosprimos entre sise, e somente se, têm um máximo divisor comum invert´ıvel. Em particular, os inteiros a, b, não ambos iguais a zero, são ditosprimos entre si se, e somente se, mdc(a, b) =1.

Exemplo 20

Os inteiros 75=3·5²e 539=7²·11 s˜ao primos entre si. Observe que como

mdc(75, 539) =1, ent˜ao mmc(75, 539) =3·5²·7²·11=75·539. Veja o Exerc´ıcio 1, dessa Se¸c˜ao.

Teorema 3 (Euclides)

H´a uma infinidade de n´umeros naturais primos.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por absurdo, que haja um n´umero finito de