Identificação de Sistemas – Conceitos Básicos

A Identificação de Sistemas (ou de processos10) é o campo da modelagem matemática de sistemas dinâmicos que utiliza dados experimentais para a construção de modelos. Em uma visão macroscópica, os métodos de identificação utilizados nessa área do conhecimento podem ser classificados em três grandes categorias:

C1. Métodos de erro de predição (LJUNG, 1999).

C2. Métodos de subespaço (VAN OVERSCHEE; DE MOOR, 1996).

C3. Métodos de identificação não-paramétricos: análise de correlação e

análise espectral (BRILLINGER, 2001).

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Nesta tese, os termos sistema e processo serão tratados como sinônimos. Alguns autores, como Zhu (2001), aplicam o termo processo exclusivamente às plantas de processamento industriais.

Neste trabalho, atenção exclusiva é dada à categoria C1. Além disso, considera-se que o sistema dinâmico sob análise opere em malha fechada, como discutido na seção 2.3. A seguir, são estabelecidas as bases sob as quais se sustenta a Identificação de Sistemas.

2.1.1. Definições

Seja u(t) o sinal aplicado à entrada do sistema sob análise no instante t e y(t) o

sinal de saída coletado no mesmo instante de tempo11. A abordagem típica da Identificação de Sistemas consiste em descrever os valores futuros da saída como função das entradas e saídas passadas. Para atingir esse objetivo utiliza-se o preditor







 

ˆ | 1

y t t  f  t . (2.1) Em (2.1), (t) simboliza o vetor de regressão constituído pelas entradas e saídas passadas, ou seja,

 

















 _     _ . (2.2)

Estabelecida essa base, enuncia-se o Problema da Identificação de Sistemas (FORSSELL, 1997) como a determinação de uma função f adequada [equação (2.1)]

de forma que os erros de predição

 

 





    (2.3)

sejam pequenos, segundo algum critério de qualidade bem definido. Os erros de predição decorrem do fato de que nenhum modelo matemático, por mais sofisticado que possa ser, explica o comportamento de um sistema dinâmico em sua totalidade. Além disso, as perturbações atuantes – tais como ruído de medição ou distúrbios não-modelados – e também dinâmicas não-modeladas associadas ao processo

11 _{O texto dessa subseção admite, implicitamente, que os sistemas analisados possuem uma única}

entrada e uma única saída. Não há perda de generalidade quando o objeto de análise é um sistema MIMO. De fato, basta admitir a existência de vetores de sinais de entrada e saída e, por consequência, matrizes de regressores.

contribuem para o desvio observado entre o comportamento real e aquele reproduzido pelo modelo.

De fato, um critério adequado para a escolha da função f que define o preditor

determina que os erros de predição sejam brancos no sentido estatístico (FORSSELL, 1997). Tal característica implica em que todo o conteúdo relevante dos dados coletados foi utilizado no processo de identificação e, portanto, os erros de predição sejam descorrelacionados com os sinais u(t) e y(t).

Caso a identificação seja realizada no domínio do tempo, costuma-se adotar f

como uma função paramétrica para a minimização de um funcional (norma) dos erros de predição com respeito aos parâmetros adotados. Essa é a abordagem considerada em diversos métodos de identificação que recebem a denominação geral de Métodos de Erro de Predição. O presente trabalho lida exclusivamente com tais métodos.

2.1.2. O Ciclo da Identificação de Sistemas

Zadeh (1962 apud ZHU, 2001) fornece uma definição rigorosa para esta área do conhecimento. Segundo o autor, “com base na coleta de dados experimentais de

entrada e saída, a Identificação de Sistemas consiste na determinação de um modelo matemático – inserido em determinada estrutura pré-definida – que seja equivalente

ao sistema sob análise dentro de certos critérios de qualidade”.

Segue diretamente da definição anterior que as entidades básicas envolvidas no procedimento de Identificação de Sistemas são (LJUNG, 1999):

E1. Um conjunto de dados experimentais coletados segundo um planejamento

prévio que inclui, entre outros aspectos, o projeto dos sinais de excitação, a determinação de quais sinais serão medidos, o intervalo de amostragem adequado, a relação sinal-ruído presente na coleta e também a duração do experimento. O objetivo principal desta etapa é a obtenção de um conjunto de dados informativo, ou seja, um registro experimental cujo estudo seja capaz de captar as principais características da dinâmica do sistema sob análise.

E2. Uma estrutura adequada de modelo matemático, capaz de reproduzir

(com fidelidade) o comportamento dinâmico presente nos dados coletados. A escolha de tal estrutura é tarefa difícil e, sempre que possível, deve utilizar o conhecimento prévio acerca da dinâmica do sistema e dos fenômenos nele inseridos. Essa medida pode ser fator conclusivo para o sucesso de um procedimento de identificação. Nesta etapa, o projetista deve responder questões como:

 Que tipo de modelo deve ser utilizado (linear, não-linear, SISO,

MIMO, etc)?

 O modelo deve ser parametrizado?  Qual o número adequado de parâmetros?

Neste contexto, a classe de estrutura de modelos cujos parâmetros encerram significado físico é denominada “caixa cinza”. Em contrapartida, os modelos em que os parâmetros são meros veículos utilizados em sua construção e, portanto, não guardam significado físico algum, são chamados modelos

“caixa preta”.

E3. Um critério, denominado método de estimação, segundo o qual o modelo

será construído. Neste cenário, a qualidade de um modelo fundamenta-se em sua capacidade de reproduzir os dados coletados.

Após a obtenção de um modelo, o próximo passo consiste em sua validação. Em linhas gerais, o objetivo do processo de validação resume-se a verificar se o modelo estimado é suficientemente adequado para a aplicação a que se destina. Em um primeiro momento, é aconselhável verificar se o comportamento do modelo está em concordância com as características conhecidas do sistema. Posteriormente, investiga-se em que grau o modelo explica os dados experimentais, ou seja, com que fidelidade o modelo reproduz os dados coletados. Nesta etapa, é prudente utilizar um conjunto de dados que não seja parte integrante do processo de estimação dos parâmetros do modelo. A escolha do critério de validação deve contemplar o fato de

que diferentes usos do modelo construído impõem diferentes requisitos de desempenho e qualidade ao modelo identificado (FORSSELL, 1997).

Em concordância com o exposto até o momento, Ljung (1999) sugere um fluxo lógico natural para o processo de identificação de um sistema: coleta de dados; escolha da estrutura de modelo; determinação do “melhor”12 modelo inserido em tal estrutura. Entretanto, a prática demonstra que este fluxo não é inteiramente sequencial. De fato, é bastante provável que um primeiro modelo estimado não satisfaça os critérios de desempenho estabelecidos no processo de validação. A partir daí, deve-se retornar ao início e aprimorar (ou mesmo modificar completamente) os diversos passos da identificação. O procedimento completo é visto na Figura 2.1 (LJUNG, 1999). Projeto do experimento Coleta de dados Escolha da estrutura de modelos Escolha do critério de desempenho Determinação do modelo Validação do modelo Validação bem sucedida Validação mal sucedida Utilização do modelo Conhecimento prévio

Figura 2.1: O ciclo da Identificação de Sistemas

12 _{O termo melhor é colocado entre aspas de forma proposital: a escolha do modelo deve ser realizada}

de acordo com um critério formal pré-estabelecido. Este critério depende, entre outros fatores, da aplicação a que se destina o modelo (FORSSELL, 1997).

As deficiências que culminam na recusa do modelo pelos testes de validação podem ocorrer por diversas razões (LJUNG, 1999; ZHU, 2001):

D1. O procedimento numérico adotado na estimação dos parâmetros do

modelo falha ao determinar o melhor candidato segundo o critério de desempenho adotado.

D2. A escolha do critério de desempenho não é adequada.

D3. A estrutura de modelos adotada no processo de identificação não é a que

melhor representa as características do sistema.

D4. O conjunto de dados experimentais não é informativo o suficiente para

garantir a obtenção de bons modelos.

A deficiência D4 está intimamente ligada ao projeto do experimento de identificação. Tratamentos detalhados sobre o assunto são encontrados em Garcia (2010), Ljung et al. (1974), Söderstrom et al. (1976) e Zhu (2001).

Vale ressaltar que, à primeira vista, a Identificação de Sistemas opera em contraste ao campo da Modelagem Fenomenológica de Sistemas que, por sua vez, adota como ferramentas primordiais as leis físicas, químicas e biológicas que regem o comportamento do sistema sob estudo13. Esta impressão torna-se ainda mais

pronunciada quando são adotados modelos “caixa preta”14

. No entanto, não é conveniente – e muito menos prudente – tratar as duas ciências como assuntos isolados, fato ressaltado na alínea E2.