Modelos sazonais autorregressivos, integrados e de m´edias m´oveis (SARIM A) buscam representar uma s´erie diferenciada por um modelo SARM A.
3.5.2
Identifica¸c˜ao do modelo
´E importante pontuar que um modelo SARIMA ´e diferente do modelo ARIMA, sendo assim se faz necess´ario entender como funciona este modelo. O modelo SARIMA, al´em de ajustar os dados com rela¸c˜ao a tendˆencia e estacionariedade (como o ARIMA), tamb´em leva em considera¸c˜ao a parte sazonal dos dados. De forma geral, escreve-se o modelo da seguinte forma:
φ(B)Φ(Ba)(1 − Ba)D(1 − B)dZt = θ(B)Θ(Ba)et,
onde:
• B ´e o operador de retardo, definido como BmZ
t= Zt−m;
• φ(B) = (1 − φ1B − . . . − φpBp) ´e o polinˆomio auto-regressivo n˜ao sazonal ou esta-
cion´aria de ordem p;
• Φ(Ba) = (1 − Φ
1Ba− . . . − ΦPBP a) ´e o polinˆomio auto-regressivo sazonal de ordem
P e periodicidade a;
• (1 − Ba5)D ´e a parte de integra¸c˜ao sazonal de ordem D e periodicidade a;
• (1 − B)d ´e o polinˆomio de integra¸c˜ao n˜ao sazonal de ordem d;
• θ(B) = (1 − θ1B − . . . − θqBq) ´e o polinˆomio n˜ao sazonal de m´edias m´oveis de ordem
q;
• Θ(Ba) = (1 − Θ
1Ba− . . . − ΘqBQa) ´e o polinˆomio sazonal de m´edias m´oveis de
ordem Q;
Dessa forma, denota-se por SARIMA(p, d, q) × (P, D, Q)ao modelo identificado. Para
encontrar os parˆametros desconhecidos, deve-se seguir os seguintes passos:
1. Analisar se a s´erie ´e estacion´aria. Caso isso aconte¸ca, o parˆametro d ser´a igual a zero. Caso contr´ario, deve-se diferenciar a s´erie quantas vezes forem necess´arias, at´e atingir a estacionariedade. Feito isso, tem-se o parˆametro d.
3.5 Modelos de Box & Jenkins 50
2. Ap´os atingir a estacionariedade, deve-se identificar os parˆametros p e q. Para isso, devemos analisar os gr´aficos da FACP e da FAC, respectivamente.
3. Encontrar o parˆametro a, a partir da periodicidade da s´erie (por exemplo, se a s´erie for mensal, temos a = 12).
4. Analisar se a s´erie possui sazonalidade. Caso n˜ao possua, o parˆametro D ser´a igual a zero. Caso contr´ario, deve-se diferenciar a s´erie quantas vezes forem necess´arias, at´e n˜ao haver mais sazonalidade. No entanto, nesse caso devemos diferenciar a s´erie em rela¸c˜ao ao instante t − a, e n˜ao ao instante imediatamente anterior. Feito isso, temos o parˆametro D.
5. Ap´os retirar a sazonalidade, devemos identificar os parˆametros P e Q. Para isso, devemos analisar os gr´aficos da FACP e da FAC, respectivamente.
3.5.2.1 Diagn´ostico do modelo
Ap´os identificar e estimar o modelo que ajusta as observa¸c˜oes para a s´erie temporal, precisamos verificar se ele representa (ou n˜ao) adequadamente os dados. A verifica¸c˜ao do modelo pode ser feita analisando os res´ıduos. Suponha que o modelo ajustado seja da forma
φ(B)Wt= θ(B)at,
onde Wt = ∆dZt representando que tomamos d diferen¸cas nas s´eries, φ(B) e θ(B) s˜ao os
polinˆomios utilizando o operador de retardo B que garantem que o processo ´e estacion´ario e invers´ıvel.
Podemos ent˜ao descrever os res´ıduos por
at= θ−1(B)φ(B)Wt.
Se o modelo estiver correto, os res´ıduos exatos at devem ser i.i.d. com distribui¸c˜ao
N (0, 1). Um m´etodo de verificar esta hip´otese ´e verificar se os res´ıduos estimados do modelo s˜ao n˜ao-correlacionados. Um teste recomendado para essa verifica¸c˜ao ´e o teste de Ljung-Box.
3.5 Modelos de Box & Jenkins 51
´
E um teste para verificar se as autocorrela¸c˜oes dos res´ıduos estimados est˜ao assumindo valores muito altos. Suas hip´oteses s˜ao:
(
H0 : Os res´ıduos s˜ao i.i.d.
H1 : Os res´ıduos n˜ao s˜ao i.i.d.
Calculamos as estimativas de autocorrela¸c˜oes por
ˆ τk = n P t=k+1 ˆ atˆat−k n P t=1 ˆ a2 t . ´
E poss´ıvel mostrar que ˆτk ∼ N (0,1n).
Se o modelo for apropriado, a estat´ıstica do teste
Q(k) = n(n − 2) K X j=1 ˆ τ2 j (n − j),
ter´a aproximadamente uma distribui¸c˜ao χ2 com (K − p − q) graus de liberdade, onde K ´e o n´umero de defasagens tomadas na fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, e p e q s˜ao as ordens do modelo ajustado. Portanto, rejeitamos a hip´otese nula se Q > χ2
1−α,K−p−q, com n´ıvel de
significˆancia α.
No cap´ıtulo seguinte, ser´a aplicado os conceitos te´oricos abordados anteriormente junto com a estrutura pr´atica do R em um t´ıpico estudo de caso utilizando a s´erie temporal de produ¸c˜ao f´ısica da ind´ustria. Ficar´a claro o qu˜ao pr´atico o BETS ´e.
52
4
Estudo de caso
Nesse cap´ıtulo, ser´a mostrado um t´ıpico caso de uso do pacote BETS passando por todas as fun¸c˜oes abordadas anteriormente.
O dado que ser´a utilizado ´e a Produ¸c˜ao F´ısica Industrial. Se trata de um indicador de curto prazo relativo ao comportamento do produto real das ind´ustrias extrativas e de tranforma¸c˜ao.
4.1
Preliminares
Vamos trabalhar com a s´erie de c´odigo 3653, a Produ¸c˜ao F´ısica Industrial sem ajuste sazonal com ano base 2012 disponibilizada pelo IBGE.
A pesquisa Industrial Mensal da Produ¸c˜ao F´ısica - Brasil tem como objetivos:
• Servir como medida da evolu¸c˜ao de curto prazo do valor adicionado da ind´ustria, dado um determinado per´ıodo de referˆencia;
• Refletir rapidamente a trajet´oria da atividade fabril no curto prazo; • Compor o PIB (Produto Interno Bruto).
O primeiro passo ´e encontr´a-la na base de dados do BETS. Como mostrado no cap´ıtulo 3 de materiais e m´etodos, isso pode ser feito com a fun¸c˜ao sidraSearch. O comando e parte de sua sa´ıda s˜ao mostrados no Algoritimo 4.1.
#Busca em p o r t u g u e s p e l a s e r i e de p ro du c ao de b e n s i n t e r m e d i a r i o s
metadados pim <− BETS : : s i d r a S e a r c h (d e s c r i p t i o n = ’ Producao f i s i c a ’
, view = F) ; metadados pim
/T/ Tabela : 3653 −
4.1 Preliminares 53 Producao F i s i c a I n d u s t r i a l , po r s e c o e s e a t i v i d a d e s i n d u s t r i a i s P e s q u i s a : P e s q u i s a I n d u s t r i a l Mensal − Producao F i s i c a Assunto : I n d u s t r i a . . . . . . . N i v e i s T e r r i t o r i a i s : /N1/ B r a s i l ( 1 ) L i s t a r u n i d a d e s t e r r i t o r i a i s /N2/ Grande R e g i a o ( 1 ) L i s t a r u n i d a d e s t e r r i t o r i a i s /N3/ Unidade da F e d e r a c a o ( 1 4 ) L i s t a r u n i d a d e s t e r r i t o r i a i s Nota : Fonte :
IBGE − P e s q u i s a I n d u s t r i a l Mensal − Producao F i s i c a
Algoritmo 4.1: Obtendo informa¸c˜oes sobre a s´erie de Producao Fisica Industrial atrav´es do BETS
Agora, carregamos a s´erie atrav´es da fun¸c˜ao sidraGet e guardamos alguns valores para posteriormente comparar com as previs˜oes do modelo que ser´a estabelecido. Tamb´em ser´a criado um gr´afico 14, pois ele ajuda a formular hitp´oteses sobre o comportamento do processo estoc´astico subjacente.
# Obtencao da s e r i e de c o d i g o 3653 ( Producao F i s i c a I n d u s t r i a l , ano b a s e 2 0 1 2 , IBGE)
d a t a <− BETS : : s i d r a G e t ( x = c( 3 6 5 3 ) , from = c(” 200201 ”) , t o = c(” 201710 ”) , t e r r i t o r y = ” b r a z i l ”,v a r i a b l e = 3 1 3 5 , s e c t i o n s = c( 1 2 9 3 1 6 ) , c l = 5 4 4 )
d a t a <− t s(d a t a $s e r i e 3653$Valor ,s t a r t = c( 2 0 0 2 , 0 1 ) ,f r e q u e n c y = 1 2 )
Algoritmo 4.2: Obtendo a s´erie de Producao Fisica Industrial atrav´es do BETS
4.1 Preliminares 54
d a t a t e s t <− window(data, s t a r t = c( 2 0 1 7 , 1 1 ) , end = c( 2 0 1 8 , 4 ) ,
f r e q u e n c y = 1 2 )
d a t a compara <− window(data, s t a r t = c( 2 0 0 2 , 1 ) , end = c( 2 0 1 7 , 1 0 ) ,
f r e q u e n c y = 1 2 )
Algoritmo 4.3: Separando dados para compara¸c˜ao
Podemos visualizar o gr´afico (Figura 14) da s´erie com o seguinte c´odigo:
p l o t(data , main = ” ” , c o l = ” r o y a l b l u e ”, y l a b = ”PBI ( Numero I n d i c e ) ”)
a b l i n e( v = s e q( 2 0 0 2 , 2 0 1 7 , 1 ) , c o l = ” g r a y 6 0 ”, l t y = 3 )
Algoritmo 4.4: Gr´afico da s´erie em estudo (Producao Fisica Industrial)
Figura 14: Produ¸c˜ao f´ısica da ind´ustria, IBGE
Algumas caracter´ısticas ficam evidentes. Primeiramente, trata-se de uma s´erie homo- ced´astica (comportamento regular) e sazonal na frequˆencia mensal. Este fato ´e compro- vado pelo gr´afico mensal da s´erie (Figura 14), que mostra o n´ıvel de produ¸c˜ao por mˆes (a m´edia ´e a linha tracejada). Que pode ser reproduzido pelo Algoritmo 4.5
monthplot (data, l a b e s l = month . abb , l t y . b a s e = 2 , c o l = ” r e d ”, y l a b = ” PIM ( pr o du ca o f i s i c a da i n d u s t r i a ) ”, x l a b = ”Month”)
4.2 Identifica¸c˜ao 55
Figura 15: Gr´afico mensal da s´erie em estudo
Seguindo, o aspecto marcante da s´erie ´e a quebra estrutural em 2008, quando ocorreu a crise financeira internacional. A quebra impactou diretamente na tendˆencia. Inicialmente, a tendˆencia era claramente crescente, mas n˜ao explosiva. A partir de novembro de 2008, por´em, parece que o n´ıvel da s´erie se manteve constante ou at´e mesmo descresceu. Em um primeiro momento, a quebra estrutural ser´a desconsiderada na estima¸c˜ao dos modelos, mas logo o benef´ıcio de lev´a-la em conta ficar´a claro.
A seguir, ser´a criado um modelo para a s´erie escolhida.