Sejam z e w n´umeros complexos tais que:
w2
− z2= 4 + 12i z− w = 2 + 4i
onde z e w representam, respectivamente, os n´umeros complexos conjugados de z e w. O valor de z + w ´e: Solu¸c˜ao: (D) 2− 2i
Desenvolvendo o sistema, tem-se
w2− z2= (w− z)(w + z) = 4 + 12i z− w = z − w = 2 + 4i = 2 − 4i e assim z + w = 4 + 12i −(2 − 4i)= (4 + 12i)(−2 − 4i) (−2 + 4i)(−2 − 4i)= 2− 2i 2a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Seja N um n´umero inteiro de 5 algarismos. O n´umero P ´e constru´ıdo agregando-se o algarismo 1 `a direita de N e o n´umero Q ´e constru´ıdo agregando-se o algarismo 1 `a esquerda de N . Sabendo-se que P ´e o triplo de Q, o algarismo das centenas do n´umero N ´e:
Solu¸c˜ao: (E) 8 Do enunciado P = 10N + 1 Q = 100.000 + N e como P = 3Q, ent˜ao 10N + 1 = 3(100.000 + N )⇒ 7N = 299.999
Logo, N = 42.857, cujo algoritmo da centena ´e 8.
3a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Um quadrado de lado igual a um metro ´e dividido em quatro quadrados idˆenticos. Repete-se esta divis˜ao com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n ve- zes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando n → ∞, a soma em metros dos per´ımetros dos quadrados hachurados em todas as etapas ´e:
Primeira etapa Segunda etapa
Terceira etapa Quarta etapa
1m
Solu¸c˜ao: (C) 8
Da figura, a soma desejada ´e dada por S = 4(1 +1 2+ 1 4 + 1 8 + . . .) = 8 4a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Se r1e r2 s˜ao ra´ızes reais distintas de x2+ px + 8 = 0, ´e correto afirmar que:
Solu¸c˜ao: (A)|r1+ r2| > 4√2
Por Girard, (r1+ r2) =−p. Como as ra´ızes s˜ao reais e distintas o discriminante da equa¸c˜ao ´e positivo, ou seja
p2
− 4 × 8 > 0 ⇒ p2> 32
⇒ |p| > 4√2 e assim|r1+ r2| > 4√2.
5a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Considere o sistema de equa¸c˜oes dado por: x + y + 2z = b1
2x− y + 3z = b2 5x− y + az = b3
Sendo b1, b2 e b3 valores reais quaisquer, a condi¸c˜ao para que o sistema possua solu¸c˜ao ´unica ´e:
Solu¸c˜ao: (C) a= 8
Para solu¸c˜ao ´unica, o determinante da matriz carac- ter´ıstica do sistema deve ser n˜ao nulo, ou seja
6a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Seja f : R→ R, onde R ´e o conjunto dos n´umeros reais, tal que: f (4) = 5 f (x + 4) = f (x).f (4) O valor de f (−4) ´e: Solu¸c˜ao: (D) 1 5
Para x = 0 e x =−4, tem-se, respectivamente, que f (0 + 4) = f (0).f (4) f (−4 + 4) = f(−4).f(4) ⇒ f (0) = 1 f (−4) = f (0)f (4) = 1 5 7a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irm˜aos, dever´a formar trˆes equipes, com respectivamente dois, trˆes e quatro integrantes. Sabendo-se que os dois irm˜aos n˜ao podem ficar na mesma equipe, o n´umero de equipes que podem ser organizadas ´e:
Solu¸c˜ao: (D) 910
Determinando as equipes de 2 e 3 pessoas, a outra equipe fica automaticamente determinada.
Se os irm˜aos est˜ao nos grupos de 2 e 3 pessoas, tˆem- se 2× C1
7 formas de compor a equipe de 2 pessoas e C2
6 formas de compor a equipe de 3 pessoas (j´a que o irm˜ao fica determinado e sobram apenas 6 pessoas das demais). Logo, neste caso, h´a 2× 7 × 6!
2!4! = 210 possibilidades.
Se os irm˜aos est˜ao nos grupos de 2 e 4 pessoas, tˆem- se 2× C1
7 formas de compor a equipe de 2 pessoas, C63 formas de compor a equipe de 3 pessoas (j´a que sobram apenas 6 pessoas das demais). Logo, neste caso, h´a 2× 7 ×3!3!6! = 280 possibilidades.
Se os irm˜aos est˜ao nos grupos de 3 e 4 pessoas, tˆem- se C2
7 formas de compor a equipe de 2 pessoas, 2× C52 formas de compor a equipe de 3 pessoas (j´a que sobram apenas 5 pessoas das demais). Logo, neste caso, h´a
7! 2!5!× 2 ×
5!
2!3! = 420 possibilidades.
Assim, o total de possibilidades distintas ´e 910. 8a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Seja a matriz D dada por:
D =
1 1 1 p q r sen( ˆP ) sen( ˆQ) sen( ˆR)
na qual p, q e r s˜ao lados de um triˆangulo cujos ˆangulos opostos s˜ao, respectivamente, ˆP , ˆQ e ˆR. O valor do determinante de D ´e:
Solu¸c˜ao: (B) 0 Pela Lei dos Senos,
p sen( ˆP ) = q sen( ˆQ)= r sen( ˆR)
Assim, a matriz D tem duas linhas proporcionais, e com isto seu determinante ´e nulo.
9a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o menor n´umero entre as alternativas abaixo ´e: Solu¸c˜ao: (A) 430
430= 260 924= 348 2540= 580> 260 8120= 380> 260 62515= 560> 260 ⇒ log 430= 60 log 2 = 18,06 log 924= 48 log 3 = 22,9008 10a Quest˜ao [Valor: 0,25] Considere os conjuntos A ={(1, 2), (1, 3), (2, 3)} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, e seja a fun¸c˜ao f : A → B tal que:
f (x, y) = x + y ´
E poss´ıvel afirmar que f ´e uma fun¸c˜ao: Solu¸c˜ao: (A) injetora
f(1, 2) = 3 f (1, 3) = 4 f (2, 3) = 5
Logo, cada elemento do dom´ınio de f (x, y) ´e mape- ado em um elemento distinto do contra-dom´ınio desta fun¸c˜ao. Apesar disto, o conjunto imagem ´e apenas uma parte do contra-dom´ınio. Assim, f (x, y) ´e injetora. 11a Quest˜ao [Valor: 0,25]
O volume do octaedro cujos v´ertices s˜ao os pontos m´edios das arestas de um tetraedro regular de volume V ´e:
Solu¸c˜ao: (A) V 2
O volume V do tetraedro de lado ℓ ´e V = S3× h
3 = ℓ2√3
4 × h 3
onde a altura h ´e o outro cateto de um triˆangulo retˆangulo de hipotenusa ℓ e cateto 23ℓ√23. Assim,
h2= ℓ2−ℓ 2 3 ⇒ h = ℓ√6 3 de forma que V = ℓ3√2 12 .
O volume V′ do octaedro de lado ℓ′´e V′= 2×S4× h3 ′ = 2×ℓ′2× h3 ′
onde a altura h′ ´e o outro cateto de um triˆangulo retˆangulo de hipotenusa ℓ′ e cateto ℓ′√2
2 . Assim, h′2 = ℓ′2−ℓ2′2 ⇒ h′ =ℓ′ √ 2 2 de forma que V′=ℓ′3√2 3 .
Do conceito de base m´edia, o lado ℓ′ do octaedro ´e igual `a metade do lado ℓ do tetraedro. Logo,
V′= ℓ 3√2
24 = V
12a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Seja p(x) = αx3+ βx2+ γx + δ um polinˆomio do ter- ceiro grau cujas ra´ızes s˜ao termos de uma progress˜ao aritm´etica de raz˜ao 2. Sabendo que p(−1) = −1, p(0) = 0 e p(1) = 1, os valores de α e γ s˜ao, respecti- vamente:
Solu¸c˜ao: (D)−13 e 43
Sejam as ra´ızes (r− 2), r e (r + 2). Pelas condi¸c˜oes do enunciado, tˆem-se
−α + β − γ + δ = −1 δ = 0
α + β + γ + δ = 1 ⇒ β = 0 Al´em disto, por Girard
(r− 2) + r + (r + 2) = −βα= 0 (r− 2)r + (r − 2)(r + 2) + r(r + 2) = γα (r− 2)r(r + 2) = −αδ = 0 Logo, r = 0 e assim, γ =−4α α + γ = 1 ⇒ α =−13 γ = 43 13a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Seja p(x) = x5+ bx4+ cx3+ dx2+ ex + f um polinˆomio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as cinco ra´ızes de p(x) s˜ao n´umeros inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um ´ımpar. O n´umero de coeficientes pares de p(x) ´e:
Solu¸c˜ao: (E) 4
Por Girard,−b ´e a soma das ra´ızes, c ´e a soma dos pro- dutos dois-a-dois das ra´ızes,−d ´e a soma dos produtos trˆes-a-trˆes, e ´e a soma dos produtos quatro-a-quatro e f ´e o produto das cinco ra´ızes. Como h´a apenas uma raiz ´ımpar, b deve ser ´ımpar, enquanto que c, d, e e f devem ser pares, pois todos os produtos parciais s˜ao pares por terem cada um pelo menos um fator par. Assim, h´a 4 coeficientes pares de p(x).
14a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Considere uma circunferˆencia C fixa de raio R. A partir de dois pontos A e B pertencentes a C, tra¸cam-se retas tangentes a C que se interceptam num ponto P , tal que P A = P B = k. Sendo k um valor constante, o lugar geom´etrico de P ´e uma:
Solu¸c˜ao: (B) circunferˆencia
Seja O o centro de C. Por Pit´agoras,
P O2= P A2+ AO2= k2+ R2
P O2= P B2+ BO2= k2+ R2 ⇒ P O =
k2+ R2
Logo, o lugar geom´etrico de P ´e a circunferˆencia de centro O e raio√k2+ R2.
15a Quest˜ao [Valor: 0,25]
Um homem nascido no s´eculo XX diz a seguinte frase para o filho: “seu avˆo paterno, que nasceu trinta anos antes de mim, tinha x anos no ano x2”. Em con- seq¨uˆencia, conclui-se que o avˆo paterno nasceu no ano de:
Solu¸c˜ao: (A) 1892
O avˆo nasceu no ano de (x2 − x) e o pai nasceu no ano de (x2
− x + 30). Determinando estes valores para diferentes valores inteiros de x, tˆem-se
x x2 − x x2 − x + 30 40 1560 1590 41 1640 1670 42 1722 1752 43 1806 1836 44 1892 1922 45 1980 2010
Assim, o ´unico valor de (x2
− x + 30) no s´eculo XX ´e 1922 que corresponde ao ano de nascimento do avˆo igual a 1892.