IME,ProvasdeMatematica(1949-2007).pdf

(1)

Vestibular do IME

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2006, Sergio Lima Netto

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_ps.ufrj.br

(2)

A origem deste material talvez remonte a 1984/1985, quando fiz o vestibular do IME sem a prepara¸cão adequada e fui reprovado, como seria de se esperar. Particularmente, a prova de Geometria do IME sempre foi um grande desafio, me atraindo pela beleza e dificuldade de seus problemas e principalmente pela elegância e plasticidade das respectivas solu¸cões.

Em 2004, me deparei com a lista de discussão da Sociedade da OBM (Olimp´ıada Brasileira de Ma-temática). Nesta lista, moderada pelo Prof. Nicolau C. Saldanha da PUC-RJ, algumas pessoas que sempre admirei colabora(va)m com curiosos, amadores e estudantes na solu¸cão de problemas de Matemática. Fiquei surpreso como alguns conhecidos matemáticos participavam ativamente e apaixonadamente das discussões. Observei também um grande interesse da comunidade pelos problemas de Matemática do vestibular do IME, principalmente os mais antigos. Foi neste contexto que resolvi dar minha contribui¸cão, organizando este material com as provas antigas que tinha, disponibilizando-as para todos os interessados da lista.

A primeira versão tinha apenas alguns enunciados de provas, mas a resposta inicial foi bastante positiva. Usando este interesse como motiva¸cão, novas versões vieram, corrigindo e complementando as versões anterio-res. Passei a receber significativo material (solu¸cões alternativas, corre¸cões para algumas das minhas solu¸cões, novos enunciados de provas, por exemplo) de diversos colaboradores. Em algum momento, o material passou a ter vida própria, requerendo cada vez mais aten¸cão para continuar crescendo de forma saudável. Algumas versões intermediárias representaram grandes avan¸cos na incorpora¸cão das solu¸cões das provas de Álgebra, numa primeira fase, e, posteriormente, de Geometria. Para a versão 9, foi feita uma grande pesquisa junto aos arquivos do próprio IME. Conseguimos, com a ajuda do sub-tenente Petrenko e sua equipe, complementar bastante o material. Infelizmente, porém, alguns anos ficaram faltando. Nesta versão 10, temos um total de 97 provas, sendo que 46 delas com solu¸cões.

Cabe dizer que este material não tem a pretensão de ensinar Matemática. É, talvez, um bom apoio no exerc´ıcio desta disciplina, para que se apliquem os conhecimentos adquiridos em bons livros e principalmente com a ajuda de bons professores. Como sempre, realimenta¸cões positivas são bem-vindas. Você pode entrar em contato comigo pelo email sergioℓ_n@ℓ_{ps.ufrj.br. ´}_{E poss´ıvel que uma versão mais nova deste material possa}

ser encontrada no endere¸co eletrˆonico www.lps.ufrj.br/˜sergioln/ime.

(3)

• As figuras dos enunciados foram mantidas como no original. Assim, a nota¸c˜ao destoa da nota¸c˜ao usada no texto que foi uniformizada.

• Em rela¸cão a algumas solu¸cões, crédito é devido a:

– Col´egio Impacto: [1977/1978 (´algebra), 9a_{], [1980/1981 (´}_{algebra), 8}a_{] e [1982/1983 (´}_{algebra), 6}a_];

– Prof. Nicolau C. Saldanha e Claudio Buﬀara (lema): [1980/1981 (´algebra), 9a_];

– Paulo Santa Rita: [1982/1983 (geometria), 7a_{] e [1986/1987 (geometria), 9}a_];

– Col´egio Princesa Isabel: [1983/1984 (geometria), 2a_{, item (b)] e [1983/1984 (geometria), 8}a_{, item} (a)];

– Jean-Pierre, Eric e Francisco Javier Garc´ıa Capit´an, via Lu´ıs Lopes: [1985/1986 (geometria), 6a, item (b)];

– Guilherme Augusto: [1986/1987 (´algebra), 10a_{, item (b)];}

– Caio S. Guimar˜aes: [1994/1995, 9a_{, (2}a_{resposta)] e [1995/1996, 4}a_];

– Prof. Bruno Fraga: [2002/2003, 10a_];

– Ces´ario J. Ferreira: [2003/2004, 2a_];

– Col´egio Poliedro: [2006/2007 (matem´atica), 7a_];

– Algumas corre¸cões das solu¸cões me foram apontadas por Caio S. Guimarães (diversas!), Douglas Ribeiro, Jair Nunes, Arthur Duarte, Estude+ e Cesário J. Ferreira.

Nesta décima versão, foram feitas as seguintes modifica¸cões:

• Os enunciados das provas de ´algebra de 1975/1976 e 1976/1977 foram inclu´ıdos, cortesia de Claudio Gomes.

• Os enunciados e solu¸c˜oes das provas de 2006/2007 foram inclu´ıdos.

• Como sempre, in´umeras corre¸c˜oes do texto foram implementadas.

Na nona vers˜ao, foram feitas as seguintes modifica¸c˜oes:

• Os enunciados das provas de 1949/1950 a 1959/1960 e de 1963/1964 a 1972/1973 foram inclu´ıdos e/ou corrigidas.

• As solu¸c˜oes das provas de geometria 1977/1978 e 1978/1979 foram inclu´ıdas.

Na oitava vers˜ao, foram feitas as seguintes modifica¸c˜oes:

• O enunciado da prova de geometria de 1978/1979 foi inclu´ıdo, cortesia de Paulo Abreu.

• A solu¸c˜ao da prova de ´algebra de 1978/1979 foi inclu´ıda.

Na sétima.(b) versão, foram feitas as seguintes modifica¸cões:

• As solu¸c˜oes das provas de geometria de 1979/1980 a 1990/1991 foram inclu´ıdas.

• A solu¸c˜ao da prova de ´algebra de 1978/1979 foi inclu´ıda.

• As provas de 1994/1995 (militar) e 2005/2006 foram inclu´ıdas com solu¸c˜ao.

• A separa¸c˜ao das s´ılabas foi feita para a l´ıngua portuguesa.

Na sexta vers˜ao, foram feitas as seguintes modifica¸c˜oes:

• A prova de 1979/1980 (´algebra) foi inclu´ıda.

• As solu¸c˜oes das provas de ´algebra de 1979/1980 a 1990/1991 foram inclu´ıdas.

• A nota¸c˜ao foi uniformizada.

Na quinta vers˜ao, foram feitas as seguintes modifica¸c˜oes:

• As provas de 1977/1978 (álgebra), 1978/1979 (álgebra), 1981/1982 (álgebra) foram inclu´ıdas.

• A prova de 1988/1989 (´algebra) foi completada.

Na quarta vers˜ao, foram feitas as seguintes modifica¸c˜oes:

• As provas de 1888/1889 (´algebra e geometria) foram inclu´ıdas.

(4)

Enunciados

´

Algebra Geometria 1949/1950 X X 1950/1951 X X 1951/1952 X X 1952/1953 X X 1953/1954(∗1)(∗2) _X _X

1954/1955(∗1)(∗2) _X _X

1955/1956 X X 1956/1957(∗1)(∗2) _X _X

1957/1958 X X 1958/1959 X X 1959/1960(∗1)(∗2) _X _X

1960/1961 - -1961/1962 - -1962/1963 - -1963/1964(∗3) _X _X

1964/1965(∗3)(∗4) _X _X

1965/1966(∗4) _X _X

1966/1967(∗4) _X _X

1967/1968(∗4) _X _X

1968/1969(∗4) _X _X 1969/1970(∗4) _X _X

1970/1971(∗4) _X _X

1971/1972(∗4) _X _X

1972/1973 X X 1973/1974 X -1974/1975 - -1975/1976 X -1976/1977 X -1977/1978 X X

1978/1979 X X

1979/1980 X X

1980/1981 X X

1981/1982 X X

1982/1983 X X

1983/1984 X X

1984/1985 X X

1985/1986 X X

1986/1987 X X

1987/1988 X X

1988/1989 X X

1989/1990 X X

1990/1991 X X

Matem´atica 1991/1992 X

1992/1993 X

1993/1994 X

1994/1995(∗5) _X

1995/1996 X

1996/1997 X

1997/1998 X

1998/1999 X

1999/2000 X

2000/2001 X

2001/2002 X

2002/2003 X

2003/2004 X

2004/2005 X

2005/2006 X

Objetiva Matem´atica 2006/2007 X X

(*1): As provas de Álgebra e Cálculo foram realizadas separadamente. (*2): Houve prova de Desenho Técnico, não inclu´ıda neste material.

(*3): As provas de Geometria e Trigonometria foram realizadas separadamente. (*4): Houve prova de Desenho Geom´etrico, n˜ao inclu´ıda neste material.

(5)

IME 2006/2007 - Objetiva

1a _Quest˜_{ao [Valor: 0,25]}

Sejamz ew n´umeros complexos tais que:

w2

−z2_{= 4 + 12}_i

z₋w= 2 + 4i

ondez ew representam, respectivamente, os n´umeros complexos conjugados dez ew. O valor dez+w´e: (A) 1₋i

(B) 2 +i

(C) ₋1 + 2i

(D) 2₋2i

(E) ₋2 + 2i

SejaN um n´umero inteiro de 5 algarismos. O n´umero

P ´e constru´ıdo agregando-se o algarismo 1 `a direita de

N e o númeroQé constru´ıdo agregando-se o algarismo 1 à esquerda deN. Sabendo-se queP é o triplo deQ, o algarismo das centenas do númeroN é:

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente porn ve-zes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando n _{→ ∞}, a soma em metros dos per´ımetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:

Primeira etapa Segunda etapa

Terceira etapa Quarta etapa

1m

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12

Ser1er2 s˜ao ra´ızes reais distintas de x2+px+ 8 = 0,

´e correto afirmar que:

(A) _|r1+r2|>4

√

2 (B) _|r1+r2|<

√

2 (C) _|r1| ≥2 e |r2| ≥2

(D) |r1| ≥3 e |r2| ≤1

(E) _|r1|<1 e |r2|<2

Considere o sistema de equa¸c˜oes dado por:

_x₊_y_{+ 2}_z₌_b 1

2x₋y+ 3z=b2

5x₋y+az=b3

Sendo b1, b2 e b3 valores reais quaisquer, a condi¸c˜ao

para que o sistema possua solu¸cão única é: (A) a= 0

(B) a= 2 (C) a= 8

(D) a=b1+b2−b3

(E) a= 2b1−b2+ 3b3

Sejaf :R_→R, ondeR´e o conjunto dos n´umeros reais, tal que:

f(4) = 5

f(x+ 4) =f(x).f(4)

O valor def(₋4) ´e:

(A) ₋4 5

(B) ₋1 4

(C) ₋1 5

(D) 1 5

(E) 4 5

Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãos, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo-se que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é:

(6)

Seja a matrizDdada por:

D=





1 1 1

p q r

sen( ˆP) sen( ˆQ) sen( ˆR)





na qualp,qersão lados de um triângulo cujos ângulos opostos são, respectivamente, ˆP, ˆQ e ˆR. O valor do determinante deDé:

(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) π

(E) p+q+r

Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o menor n´umero entre as alternativas abaixo ´e: (A) 430

(B) 924

(C) 2540

(D) 8120

(E) 62515

Considere os conjuntosA=_{(1,2),(1,3),(2,3)_}eB=

{1,2,3,4,5_}, e seja a fun¸c˜aof :A_→B tal que:

f(x, y) =x+y

´

E poss´ıvel afirmar quef ´e uma fun¸c˜ao: (A) injetora

(B) sobrejetora (C) bijetora (D) par (E) ´ımpar

O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular de volume

V ´e:

(A) V 2

(B) V 4

(C) V 8

(D) V √

2 2

(E) V √

3 2

Sejap(x) =αx3₊_βx2₊_γx₊_δ _{um polinˆ}_{omio do}

ter-ceiro grau cujas ra´ızes são termos de uma progressão aritmética de razão 2. Sabendo que p(₋1) = ₋1,

p(0) = 0 ep(1) = 1, os valores de α eγ s˜ao, respecti-vamente:

(A) 2 e ₋1 (B) 3 e₋2 (C) ₋1 e 2 (D) ₋1

3 e 4 3

(E) 1₂ e 1₂

Sejap(x) =x5₊_bx4₊_cx3₊_dx2₊_ex₊_f _{um polinˆ}_omio

com coeficientes inteiros. Sabe-se que as cinco ra´ızes de

p(x) são números inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um ´ımpar. O número de coeficientes pares de

p(x) ´e: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Considere uma circunferˆenciaCfixa de raioR. A partir de dois pontosAeB pertencentes aC, tra¸cam-se retas tangentes aCque se interceptam num pontoP, tal que

P A =P B = k. Sendok um valor constante, o lugar geom´etrico deP ´e uma:

(A) reta

(B) circunferência (C) parábola (D) hipérbole (E) elipse

15a Quest˜ao [Valor: 0,25]

Um homem nascido no s´eculo XX diz a seguinte frase para o filho: “seu avˆo paterno, que nasceu trinta anos antes de mim, tinha x anos no ano x2_”. _Em

con-seqüência, conclui-se que o avô paterno nasceu no ano de:

(7)

IME 2006/2007 - Matem´

atica

Considere as matrizesA=

₃ 4

1 4 1 4

3 4

eB =

1 0

0 1₂

,

e seja P uma matriz invers´ıvel tal que B = P−1_AP_.

Sendonum n´umero natural, calcule o determinante da matrizAn_.

Considere uma seqüência de triângulos retângulos cuja lei de forma¸cão é dada por

aK+1= 2

3aK

bK+1=4

5bK

ondeaK ebK, para K ≥1, são os comprimentos dos catetos doK-ésimo triângulo retângulo. Sea1= 30 cm

eb1 = 42 cm, determine o valor da soma das ´areas de

todos os triˆangulos quandoK→ ∞.

Considere o sistema de equa¸c˜oes dado por

3 log3α+ log9β = 10

log9α−2 log3β = 10

onde αe β s˜ao n´umeros reais positivos. Determine o valor deP =αβ.

SejamCeC∗_{dois c´ırculos tangentes exteriores de raios}

rer∗ _{e centros}_O _e_O∗_{, respectivamente, e seja}_t _uma reta tangente comum aC eC∗ _{nos pontos n˜}_ao coinci-dentesAeA∗_{. Considere o sólido de revolu¸cão gerado} a partir da rota¸cão do segmentoAA∗ _{em torno do eixo}

OO∗_{, e seja} _S _{a sua correspondente ´}_{area lateral.} De-termineS em fun¸c˜ao der er∗_.

Resolva a equa¸c˜ao

log(senx+cosx)(1 + sen 2x) = 2, x∈[−

π

2,

π

2].

O quadril´atero BRAS, de coordenadas A(1,0),

B(₋2,0), R(x1, y1) e S(x2, y2) ´e constru´ıdo tal que

RASˆ =RBSˆ = 90o. Sabendo que o ponto R pertence `

a reta t de equa¸cão y = x+ 1, determine a equa¸cão algébrica do lugar geométrico descrito pelo pontoS ao se deslocarR sobret.

Sejamx1ex2as ra´ızes da equa¸c˜aox2+(m−15)x+m=

0. Sabendo quex1ex2s˜ao n´umeros inteiros, determine

o conjunto de valores poss´ıveis param.

Considere o conjunto formado por m bolas pretas e

n bolas brancas. Determine o número de seqüências simétricas que podem ser formadas utilizando-se todas asm+nbolas.

Obs: Uma seqüência é ditasimétrica_{quando ela possui}

a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita.

Sejam a, b ec n´umeros reais n˜ao nulos. Sabendo que

a+b c =

b+c a =

a+c

b , determine o valor num´erico de a+b

c .

Seja f : N _→ R uma fun¸c˜ao tal que n

k=0

f(k) =

2008(n+ 1)

(n+ 2), ondeN eRsão, respectivamente, o con-junto dos números naturais e o dos números reais. De-termine o valor numérico de 1

(8)

IME 2005/2006

Sejama1= 1−i,an=r+siean+1= (r−s) + (r+s)i

(n > 1) termos de uma seqüência. Determine, em fun¸cão de n, os valores de r e s que tornam esta seqüência uma progressão aritmética, sabendo que re

ss˜ao n´umeros reais ei=√₋1.

Considere o polinˆomio

p(x) =x5

−3x4

−3x3_{+ 27}_x2

−44x+ 30

Sabendo que o produto de duas de suas ra´ızes comple-xas é igual a 3₋ie que as partes reais e imaginárias de todas as suas ra´ızes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as ra´ızes do polinômio.

Um trap´ezioABCD, de base menor AB e base maior

CD, possui base média M N. Os pontos M′ _e _N′ di-videm a base média em três segmentos iguais, na or-dem M M′_N′_N_{. Ao se tra¸car as retas} _AM′ _e _BN′_, verificou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado

CD no pontoP. Calcule a área do trapézioM′_N′_CD em fun¸cão da área de ABCD.

SejaDn= det(An), onde

An=



    

2 ₋1 0 0 . . . 0 0

−1 2 ₋1 0 . . . 0 0 0 ₋1 2 ₋1 . . . 0 0

. . . .

0 0 0 0 . . . 2 −1 0 0 0 0 . . . −1 2



    

n×n

DetermineDn em fun¸c˜ao den(n∈N, n≥1).

Determine os valores de x, y, z e r que satisfazem o sistema

Cr

r+y= logyx log_yz= 4 + log_xz

Cry+y= logxz+ logzz

ondeCp

m representa a combina¸c˜ao dem elementos to-mados pa pe logcB representa o logaritmo de B na basec.

Os ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética e um deles é solu¸cão da equa¸cão trigo-nométrica

(senx+ cosx)(sen2_x

−senxcosx+ cos2x) = 1

Determine os valores destes ˆangulos (em radianos).

Considere os pontos A(−1,0) e B(2,0) e seja C uma circunferência de raioRtangente ao eixo das abscissas na origem. A retar1é tangente aC e contém o ponto

Ae a retar2também é tangente aCe contém o ponto

B. Sabendo que a origem n˜ao pertence `as retas r1 e

r2, determine a equa¸c˜ao do lugar geom´etrico descrito

pelo ponto de interse¸c˜ao de r1 e r2 ao se variar R no

intervalo (0,∞).

Considere um tetraedro regular de arestas de compri-mento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em fun¸c˜ao dea, calcule:

a) O volume total da esfera.

b) O volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro.

Determine o conjunto solu¸c˜ao S =_{(x, y)_|x_∧y _∈ Z_}

da equa¸c˜ao

(x+y)k=xy

sabendo quek´e um n´umero primo.

Sejam as somasS0 eS1definidas por

S0 =Cn0+Cn3+Cn6+Cn9+. . .+Cn3[n/3]

S1 =Cn1+Cn4+Cn7+Cn10+. . .+Cn3[(n−1)/3]+1

Calcule os valores deS0 eS1em fun¸c˜ao den, sabendo

que [r] representa o maior inteiro menor ou igual ao n´umeror.

(9)

IME 2004/2005

Dada a fun¸c˜aof(x) =(156x+156₂ −x), demonstre que:

f(x+y) +f(x₋y) = 2f(x)f(y)

O sistema de seguran¸ca de uma casa utiliza um teclado num´erico, conforme ilustrado na figura. Um ladr˜ao ob-serva de longe e percebe que:

• A senha utilizada possui 4 d´ıgitos.

• O primeiro e o ´ultimo d´ıgitos encontram-se numa mesma linha.

• O segundo e o terceito d´ıgitos encontram-se na li-nha imediatamente superior.

Calcule o número de senhas que deverão ser experi-mentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa.

0 2

1 3

6

9 8 5 4

7

Teclado numerico

Sejam a, b, c, e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que log_ad, log_bd e log_cd são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que:

c2= (ac)logad

sln: Esta quest˜ao foi anulada por erro no enunciado.

Determine o valor das ra´ızes comuns das equa¸c˜oesx4

−

2x3

−11x2₊₁₈_x_{+18 = 0 e}_x4

−12x3

−44x2

−32x₋52 = 0. 5a _Quest˜_{ao [Valor: 1,0]}

Resolva a equa¸c˜ao 2 sen 11x+ cos 3x+√3 sen 3x= 0.

Considere um triângulo ABC de área S. Marca-se o ponto P sobre o lado AC tal que P A/P C = q, e o pontoQsobre o ladoBC de maneira queQB/QC=r. As cevianas AQ e BP encontram-se em T, conforme ilustrado na figura. Determine a área do triânguloAT P

em fun¸c˜ao deS,qer.

T P A

Q

B C

Considere uma elipse de focos F eF′_{, e} _M _{um ponto} qualquer dessa curva. Tra¸ca-se por M duas secantes

M F e M F′_{, que interceptam a elipse em}_P _e_P′_, res-pectivamente. Demonstre que a soma (M F /F P) + (M F′_/F′_P′_{) ´e constante.}

Obs: Calcule inicialmente a soma (1/M F)+(1/F P).

Sejama,b, ecas ra´ızes do polinômiop(x) =x3+rx−t, onderet são números reais não nulos.

a) Determine o valor da express˜aoa3₊_b3₊_c3_{em fun¸c˜ao}

deret.

b) Demonstre queSn+1₊_rSn−1₋_tSn−2_{= 0 para todo}

n´umero naturaln≥2, ondeSk₌_ak₊_bk₊_ck _para qualqure n´umero natural k.

Calcule o determinante da matrix n_×n em fun¸c˜ao de

b, ondeb´e um n´umero real tal queb2

= 1.

b2₊₁ _b ₀ ₀ _{. . .} ₀ ₀

b b2+1 b 0 . . . 0 0 0 b b2+1 b . . . 0 0 0 0 b b2₊₁ _{. . .} ₀ ₀

..

. ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 . . . b2₊₁ _b

0 0 0 0 . . . b b2₊₁

           

          

nlinhas

ncolunas

Considere os pontosP eQsobre as faces adjacentes de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superf´ıcie do cubo, a menor distˆancia entreP eQ, cruzando a aresta

BCemM e a arestaCDemN, conforme ilustrado na figura abaixo. ´E dado que os pontos P, Q,M eN s˜ao coplanares.

a) Demonstre queM N ´e perpendicular a AC.

b) Calcule a área da se¸cão do cubo determinada pelo plano que contémP, QeM em fun¸cão deBC=a

eBM =b.

A

B

M

N

D

Q

P

(10)

IME 2003/2004

Calcule o n´umero naturaln que torna o determinante abaixo igual a 5.

1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 ₋1 log2(n−1) log2(n+1) log2(n−1) log2(n−1)

Considere o polinˆomioP(x) =x3₊_ax₊_b_{de coeficientes}

reais, com b = 0. Sabendo que suas ra´ızes s˜ao reais, demonstre quea <0.

Considere uma pirâmide regular de alturah, cuja base é um hexágonoABCDEF de ladoa. Um plano perpen-dicular à base e contendo os pontos médios das arestas

ABeBCdivide a pirˆamide em dois poliedros. Calcule a raz˜ao entre os volumes destes dois poliedros.

Calcule sen (x+y) em fun¸c˜ao deaeb, sabendo que o produto ab = 0, que senx+ seny = a e que cosx+ cosy=b.

Seja uma fun¸cãof :_{ℜ − {}0_{} → ℜ}, onde_ℜrepresenta o conjunto dos números reais, tal quef(a/b) =f(a)−f(b) para a e b pertencentes ao dom´ınio de f. Demonstre quef é uma fun¸cão par.

Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética ezum número complexo de módulo unitário, determine um valor para cada um dos númerosa,b,c

ez de forma que eles satisfa¸cam a igualdade:

1

za + 1

zb + 1

zc =z

9

Considere a par´abolaPde equa¸c˜aoy=ax2_{, com}_{a >}₀

e um ponto A de coordenadas (x0, y0) satisfazendo a

y0 < ax20. Seja S a ´area do triˆangulo AT T′, ondeT e

T′_{s˜ao os pontos de contato das tangentes a}_P _passando porA.

a) Calcule o valor da ´areaS em fun¸c˜ao dea,x0ey0.

b) Calcule a equa¸cão do lugar geométrico do pontoA, admitindo que a áreaS seja constante.

c) Identifique a cˆonica representada pela equa¸c˜ao ob-tida no item anterior.

Demonstre que o n´umero 11. . .1

(n−1)

vezes

222. . .2

nvezes

5 ´e um

qua-drado perfeito.

Ao final de um campeonato de futebol, somaram-se as pontua¸cões das equipes, obtendo-se um total de 35 pon-tos. Cada equipe jogou com todos os outros adversários apenas uma vez. Determine quantos empates houve no campeonato, sabendo que cada vitória valia 3 pontos, cada empate valia 1 ponto e que derrotas não pontua-vam.

Um quadrilátero convexoABCD está inscrito em um c´ırculo de diâmetro d. Sabe-se que AB = BC = a,

AD=deCD=b, coma,beddiferentes de zero. a) Demonstre qued2₌_bd_{+ 2}_a2_.

(11)

IME 2002/2003

Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condi¸cão z2n

= ₋1, onde n ´e um n´umero

inteiro positivo. Demonstre que z n

1 +z2n ´e um n´umero real.

Determine todos os valores reais dexque satisfazem a equa¸c˜ao:

log12x3−19x2+ 8x= log12x3−19x2+ 8x,

onde log(y) e|y|representam, respectivamente, o loga-ritmo na base 10 e o m´odulo dey.

Dada numa circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado. A seguir, increve-se uma circunferência neste quadrado. Este processo se repete indefinida-mente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em fun¸cão deR, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os circuns-crevem, conforme mostra a figura.

0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00000 00000 11111 11111 000000 000000 111111 111111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11 0000 0000 0000 1111 1111 1111 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 00000 00000 00000 11111 11111 11111 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 000

11100

0 0 0 1 1 1 1 1 0000 1111 00 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 000 111

11100

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 10 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 101₀0₁1

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

R

Resolva a equa¸c˜ao tgα+tg (2α) = 2 tg (3α), sabendo-se queα_∈[0, π/2).

Sobre uma retarsão marcados os pontosA,B,CeD. São constru´ıdos os triângulos equiláteros ABE, BCF

eCDG, de forma que os pontos E e G se encontram do mesmo lado da reta r, enquanto que o ponto F se encontra do lado oposto, conforme mostra a figura. Cal-cule a ´area do triˆangulo formado pelos baricentros de

ABE, BCF e CDGem fun¸c˜ao dos comprimentos dos segmentosAB,BC eCD.

A

B

E

D

G

F

C

Considere um hexágono regular de 6 cm de lado. De-termine o valor máximo da área de um triânguloXY Z, sabendo-se que:

a) Os pontos X, Y eZ est˜ao situados sobre lados do hex´agono.

b) A reta que une os pontosX eY ´e paralela a um dos lados do hex´agono.

Sejam A e B dois subconjuntos de N. Por defini¸cão, uma fun¸cão f : A → B é crescente se a1 > a2 ⇒

f(a1)≥f(a2), para quaisquera1ea2∈A.

a) ParaA=_{1,2_} eB =_{1,2,3,4_}, quantas fun¸c˜oes deAparaB s˜ao crescentes?

b) Para A = _{1,2,3_} e B = _{1,2, . . . , n_}, quantas fun¸cões de A para B são crescentes, onde n é um número inteiro maior que zero?

Seja uma pirâmide regular de vértice V e base qua-drangularABCD. O lado da base da pirâmide medel

e a aresta laterall√2. Corta-se essa pirâmide por um plano que contém o vérticeA, é paralelo à retaBD, e contém o ponto médio da aresta V C. Calcule a área da se¸cão determinada pela interse¸cão do plano com a pirâmide.

Demonstre que 3 20 + 14√2 + 3 20₋14√2 é um número inteiro múltiplo de quatro.

Considere uma matriz A, n_×n, de coeficientes reais, e k um n´umero real diferente de 1. Sabendo-se que

A3₌_kA_{, prove que a matriz}_A₊_I_{´e invert´ıvel, onde}_I

(12)

IME 2001/2002

Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14, mas não simultaneamente múltiplos de ambos.

Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta defini¸cão, determine se a matriz [R], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se quené um número inteiro eαé um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.

[R] =

_{cos (}_nα₎ ₋_sen(_nα_{) 0}

sen(nα) cos (nα) 0 0 0 1

Considere uma par´abola de eixo focal OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto

P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo pontoP e o eixo focal. Determine a equa¸cão e identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola.

Sabe-se que logab=X, logqb =Y e n >0, onde né um número natural. Sendoc o produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razãoq, calcule o valor de logcb em fun¸cão deX, Y e

n.

a) Encontre as condi¸c˜oes a que devem satisfazer os coe-ficientes de um polinˆomioP(x) de quarto grau para queP(x) =P(1₋x).

b) Considere o polinˆomioP(x) = 16x4

−32x3

−56x2₊

72x+ 77. Determine todas as suas ra´ızes sabendo-se que o mesmo satisfaz a condi¸c˜ao do item acima.

Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4.

Quatro cidades, A, B, C e D, s˜ao conectadas por es-tradas conforme a figura abaixo. Quantos percursos di-ferentes come¸cam e terminam na cidadeA, e possuem:

a) Exatamente 50 km?

b) n×10 km?

B

A

10 km

10 km 10 km 10 km

10 km

D

C

a) Sejamx,y ez n´umeros reais positivos. Prove que:

x+y+z

3 ≥

3 √_x.y.z

Em que condi¸c˜oes a igualdade se verifica?

b) Considere um paralelep´ıpedo de ladosa,b,c, e ´area totalS0. Determine o volume m´aximo desse

parale-lep´ıpedo em fun¸c˜ao deS0. Qual a rela¸c˜ao entrea,b

ec para que esse volume seja m´aximo? Demonstre seu resultado.

Resolva a equa¸c˜ao5−√5−x = x, sabendo-se que

x >0.

Considere um quadradoXY ZW de ladoa. Dividindo-se cada ângulo desDividindo-se quadrado em quatro partes iguais, obtém-se o octógono regular representado na figura abaixo. Determine o lado e área desse octógono em fun¸cão dea. As respostas finais não podem conter ex-pressões trigonométricas.

A

C

D

E G

B H

W Z

Y

(13)

IME 2000/2001

Considere a figura abaixo, ondeAB=AD= 1,BC=

x, AC = y, DE = z e AE = w. Os ˆangulos DEAˆ ,

BCAˆ eBF Aˆ s˜ao retos.

a) Determine o comprimento deAFe deBF em fun¸c˜ao dex,y,z ew.

b) Determine a tangente do ˆanguloαem fun¸c˜ao dex,

y, zew.

A

B

C D

E F

α

Considere o polinômio de grau m´ınimo, cuja re-presenta¸cão gráfica passa pelos pontos P1(−2,−11),

P2(−1,0),P3(1,4) eP4(2,9).

a) Determine os coeficientes do polinˆomio.

b) Calcule todas as ra´ızes do polinˆomio.

Determine todos os números inteiros m e n para os quais o polinômio 2xm₊_a3n_xm−3n₋_am_{é divis´ıvel por}

x+a.

Sejam a eb n´umeros reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema abaixo:

ax_{. b}1/y ₌ √_ab

2.logax = log1/by . log√ab

determine os valores dexey.

Dois números complexos são ortogonais se suas repre-senta¸cões gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexosZ1eZ2 são ortogonais se

e somente se:

Z1Z2+Z1Z2= 0

Obs: Z indica o conjugado de um n´umero complexo

Z.

Considere a matrixA= (akj), onde:

akj =k-´esimo termo do desenvolvimento de (1 +ji)54, comk= 1, . . . ,55; j= 1, . . . ,55 ei=√−1.

a) Calculea3,2+a54,1.

b) Determine o somat´orio dos elementos da coluna 55. c) Obtenha uma f´ormula geral para os elementos da

diagonal principal.

Um comandante de companhia convocou voluntários para a constitui¸cão de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada ho-mem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas têm somente um homem em comum. Determine o número de voluntários e o de integrantes de uma patrulha.

Calcule o valor exato de:

sen

2 arc cotg

4 3

+ cos

2 arc cossec

5 4

Prove que para qualquer n´umero inteirok, os n´umeros

kek5_{terminam sempre com o mesmo algarismo}

(alga-rismo das unidades).

Sejam r,s ettrês retas paralelas não coplanares. São marcados sobrerdois pontosAeA′, sobresos pontos

B e B′ _{e sobre} _t _{os pontos} _C _e _C′ _{de modo que os} segmentos AA′ ₌ _a_, _BB′ ₌ _b _e _CC′ ₌ _c _{tenham o} mesmo sentido.

a) Mostre que se G e G′ _{são os baricentros dos} triângulos ABC e A′_B′_C′_{, respectivamente, então}

GG′ _{é paralelo às três retas.}

(14)

IME 1999/2000

Calcule o determinante:

D=

1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 13

Considere a, b, e c números reais tais que a < b < c. Prove que a equa¸cão abaixo possui exatamente duas ra´ızes, x1 e x2, que satisfazem a condi¸cão: a < x1 <

b < x2< c.

1

x−a+

1

x−b+

1

x−c = 0

Represente graficamente a fun¸c˜ao:

F(θ) = 1 1+sen2_θ+

1 1+cos2_θ+

1 1+sec2_θ+

1 1+cossec2_θ

Calcule as coordenadas dos pontos de interse¸c˜ao da elipse com a hip´erbole, representadas na figura abaixo, sabendo-se que:

i) Os pontosCeC′ _{s˜ao os focos da elipse e os pontos}

A eA′ _{s˜ao os focos da hip´erbole.}

ii) BB′ _{´e o eixo conjugado da hip´erbole.}

iii) OB=OB′_{= 3 m e} _OC₌_OC′ _{= 4 m.}

E’

E

B’

Y

D

A’

C’

C

A

D’

B

O

_X

Determine o polinômio em n, com no máximo 4 ter-mos, que representa o somatório dos quadrados dosn

primeiros n´umeros naturais ( n

k=1

k2).

Seja o conjunto:

D=_{(k1, k2)|1≤k1≤13; 1≤k2≤4;k1, k2∈N}.

Determine quantos subconjuntos L =

{(x1, x2),(y1, y2),(z1, z2),(t1, t2),(r1, r2)}, L ⊂ D,

existem com 5 (cinco) elementos distintos, que satisfazem simultaneamente as seguintes condi¸c˜oes:

i) x1=y1=z1.

ii) x1=t1,x1= r1, t1=r1.

As arestas laterais de uma pirˆamide regular comnfaces tˆem medidal. Determine:

a) A expressão do raio do c´ırculo circunscrito à base, em fun¸cão del, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo.

b) A expressão desse produto máximo, em fun¸cão del

en.

As medianasBEeCF de um triˆanguloABCse cortam em G. Demonstre que tgBGCˆ = 12S

b2₊_c2₋₅_a2, onde

S é a área do triângulo ABC; AC = b; AB = c e

BC=a.

Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lan¸camentos simultâneos. Essa opera¸cão foi repetida cinquenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes:

i) Em 28 saiu uma face preta para o jogador I. ii) Em 25 saiu uma face branca para o jogador II. iii) Em 27 saiu uma face branca para o jogador III. iv) Em 8 sa´ıram faces pretas para os jogadores I e III

e branca para o jogador II.

v) Em 7 sa´ıram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I.

vi) Em 4 sa´ıram faces pretas para os trˆes jogadores. vii) Em 11 sa´ıram faces pretas para os jogadores II e

III.

Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador.

Considere quatro n´umeros inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:

(a₋b)(c₋a)(d₋a)(d₋c)(d₋b)(c₋b)

(15)

IME 1998/1999

Determine as ra´ızes dez2_{+ 2}_iz_{+ 2}

−4i= 0 e localize-as no plano complexo, sendoi=√₋1.

Sejam as fun¸c˜oesg(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x₋4; h(x) = f(g(x)) = 9x2

−6x+ 1. Determine a fun¸c˜aof(x) e fa¸ca seu gr´afico.

Calcule o valor de (1,02)−10_{, com dois algarismos}

signi-ficativos, empregando a expans˜ao do binˆomio de New-ton.

Determineθsabendo-se que:

i) 1−cos

4_θ

1₋sen4_θ.

1 + cotg2θ

1 + tg2_θ =

2 3;

ii) 0< θ_≤2πradianos.

Determineαpara que seja imposs´ıvel o sistema:

_x ₊ ₂_y ₋ ₃_z _{= 4}

3x − y + 5z = 2 4x + y + (α2₋₁₄₎_z ₌_α_{+ 2}

Determine as poss´ıveis progressões aritméticas para as quais o resultado da divisão da soma dos seusn primei-ros termos pela soma dos seus 2nprimeiros termos seja independente do valor den.

Determine uma matriz n˜ao singular P que satisfa¸ca

a equa¸c˜ao matricial P−1_A ₌

6 0 0 ₋1

, onde A =

1 2 5 4

.

Seja o polinˆomioP(x) de grau (2n+1) com todos os seus coeficientes positivos e unit´arios. Dividindo-seP(x) por

D(x), de grau 3, obt´em-se o resto R(x). Determine

R(x), sabendo-se que as ra´ızes de D(x) s˜ao ra´ızes de

A(x) =x4₋_{1 e que}_D₍₁₎_{= 0.}

Uma piscina de base retangular tem, em metros, as se-guintes dimensões: base, 5×6 e altura, 3. Dois ter¸cos do volume da piscina são ocupados por água. Na su-perf´ıcie superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha de ar está eqüidistante das paredes de 5m da base. Em rela¸cão às paredes de 6m de base, sua posi¸cão é tal que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra. Estabele¸ca um sistema de coordenadas retangulares que tenha como origem um dos cantos interiores da piscina e como um dos planos coordenados a parede de base de 6m mais próxima da bolha. Em rela¸cão a este sistema, determine as coorde-nadas retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar.

ABCD é um quadrado de lado ℓ, conforme figura abaixo. Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por

ABCD aos v´ertices deABCD, determine:

a) O valor m´ınimo de K e a posi¸c˜ao do ponto P na qual ocorre este m´ınimo.

b) O lugar geom´etrico do pontoP paraK= 4ℓ2_.

A

C D

(16)

IME 1997/1998

Determine a solu¸cão da equa¸cão trigonométrica, senx+

√

3 cosx= 1, x_∈R.

Resolva e interprete, geometricamente, o sistema ma-tricial abaixo, em fun¸c˜ao deαeβ.

₁

−2 3 5 ₋6 7 6 8 α

x y z

=

−4

−8

β

Determine os valores deλque satisfa¸cam a inequa¸c˜ao, 272λ₋4

9.27

λ_{+ 27}−1_>_{0, e represente, graficamente, a}

fun¸c˜ao,y= 272x

−4₉.27x_{+ 27}−1_.

Determine os parˆametrosα,β,γ eδ da transforma¸c˜ao

complexa, W = αZ+β

γZ+δ, que leva os pontos Z =

0;₋i;₋1 paraW =i; 1; 0, respectivamente, bem como,

Z paraW =₋2₋i, ondei=√₋1.

Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na ori-gem,O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coin-cidente com o eixoOX. Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. Dados os eixos da elipse como 10 cm e 20

3 cm, determine as equa¸cões das parábolas, que passam pelas interse¸cões da elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixoOY na origem.

Uma embarca¸cão deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripula¸cão pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens.

Obs: A ordem dos homens de cada lado distingue a tripula¸c˜ao.

Determineα,β eγde modo que o polinˆomio,αxγ+1₊

βxγ_{+1, racional inteiro em}_x_{, seja divis´ıvel por (}_x

−1)2_e

que o valor num´erico do quociente seja igual a 120 para

x= 1.

Uma soma finita de n´umeros inteiros consecutivos, ´ımpares, positivos ou negativos, ´e igual a 73_.

Deter-mine os termos desta soma.

Considere o cubo de facesABCD eEF GH, e arestas

AE, BF, CG eDH. Sejam as arestas iguais a 3 m e os pontosM,N eP marcados de forma que:

M ∈AD, tal queAM = 2 m,

N ∈AB, tal queAN = 2 m, e

P ∈BF, tal queBP= 0,5 m.

Calcule o per´ımetro da se¸c˜ao que o planoM N P deter-mina no cubo.

(17)

IME 1996/1997

Resolva o sistema abaixo:

xy₌_yx

y=ax ondea= 1 ea >0

Determine o termo m´aximo do desenvolvimento da ex-press˜ao:

1 +1 3

65

Dados os pontosAeB do plano, determine a equa¸cão do lugar geométrico dos pontosPdo plano, de tal modo que a razão entre as distâncias dePaAe deP aBseja dada por uma constante k. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para

k.

Em cada uma das 6 (seis) faces de um cubo, construiu-se uma circunferência, onde foram marcadosnpontos. Considerando que 4 (quatro) pontos não pertencentes à mesma face, não sejam coplanares, quantas retas e triângulos, não contidos nas faces desse cubo, são de-terminados pelos pontos.

Considere a fun¸c˜aoy =f(x) = Ln(x+√x2_{+ 1) onde}

Ln denota o logaritmo neperiano. Responder aos itens a seguir, justificando sua resposta.

a) Se g(x) = Ln(2x), que rela¸c˜ao existe entre os gr´aficos das curvasf eg?

b) Pode-se afirmar que a fun¸c˜ao definida por H(x) =

f(x)

2 ´e uma primitiva para a fun¸c˜ao T(x) =

f(x)

√

x2_{+ 1}?

Se tga e tgb s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao x2₊_px₊_q _{= 0,}

calcule, em fun¸c˜ao de p e q, o valor simplificado da express˜ao:

y= sen2(a+b) +psen (a+b) cos (a+b) +qcos2(a+b)

Considerep, q∈ ℜcomq= 1.

Considere os números ´ımpares escritos sucessivamente, como mostra a figura abaixo, onde an-ésima linha com-preende n números. Encontre em fun¸cão de n, nesta linha, a soma de todos os números escritos, bem como o primeiro e o último.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

..

. ... ... ... ... . ..

Determine o resto da divis˜ao do polinˆomio (cosϕ+

xsenϕ)n _{por (}_x2_{+ 1), onde} _n_{´e um n´}_{umero natural.}

Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolu¸cão. Um cilindro está circunscrito à es-fera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone. Seja V1 o volume do cone eV2 o

vo-lume do cilindro. Encontre o menor valor da constante

kpara o qualV1=kV2.

Obs: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extermidades deste diâmetro.

Em uma parábola (P), com focoF e parâmetrop, con-sidere uma cordaM M′ _{normal `}_{a par´}_{abola em}_M_. Sa-bendo que o ânguloMF Mˆ ′_{= 90}o_{, calcule os segmentos}

(18)

IME 1995/1996

Considerando log 2 =ae log 3 =b, encontre, em fun¸c˜ao deaeb, o logaritmo do n´umero √5₁₁_,_{25 no sistema de}

base 15.

Encontre todas as solu¸cões reais da equa¸cão apresen-tada abaixo, ondené um número natural.

cosn_x

− senn_x_{= 1}

Um triânguloABCtem baseABfixa sobre uma retar. O vérticeCdesloca-se ao longo de uma retas, paralela are a uma distânciahda mesma. Determine a equa¸cão da curva descrita pelo ortocentro do triângulo ABC.

Sejaf uma fun¸c˜ao real tal que_∀x, a_{∈ ℜ}: f(x+a) = 1

2+

f(x)₋[f(x)]2_. _f _{´e peri´}_{odica? Justifique.}

Calcule a soma abaixo:

1 1×4 +

1 4×7 +

1

7×10+. . .+ 1 2998×3001

´

E dado um tabuleiro quadrado 4×4. Deseja-se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrado superior esquerdo. Os movimentos permitidos s˜ao os represen-tados pelas setas:

De quantas maneiras isto ´e poss´ıvel?

Sejam 5 (cinco) pontosAOBO′_A′_{, nesta ordem,} perten-centes a uma reta gen´ericar tal queAO =OB = 3a;

BO′ ₌ _O′_A′ _{= 2}_a_{, onde} _a _{é um comprimento dado.} Tra¸cam-se os c´ırculos (O), com diâmetro AB, e (O′_), com diâmetroBA′_{. Sejam}_C_e_D_{dois pontos quaisquer} do c´ırculo (O); as retasBCeBDcortam o c´ırculo (O′₎ respectivamente emC′ _e_D′_.

a) Calcule BC′

BC.

b) Calcule C ′_D′

CD .

c) Seja o ˆanguloCBDˆ igual a 30o_{. Calcule, em fun¸c˜ao}

dea, a raz˜ao entre as ´areas dos segmentos circulares

S, no c´ırculo (O) limitado pela cordaCD, eS′_{, no} c´ırculo (O′_{) limitado pela corda}_C′_D′_.

Determine os n´umeros naturaisnpara os quais existem poliedros convexos denarestas.

Sejamw0= 1,w1=j,w2=j2as ra´ızes c´ubicas da

uni-dade no plano complexo (considerew1 o n´umero

com-plexo de módulo 1 e argumento 2π/3). Sabendo-se que sec_∈C, a rota¸cãoRem torno do pontoce amplitude igual aπ/3 é dada porR(z) =₋j2_z

−jc,_∀z_∈C_{− {}c_}, pede-se:

a) Determinar as rela¸c˜oes existentes entrea,b,c,j,j2_,

ondea, b_∈C, de modo que o triˆangulo a,b, c seja equil´atero.

b) Determinar z para que o triˆangulo i, z, iz seja equil´atero.

Obs: Dado: i=√−1.

Dados dois trinˆomios do segundo grau:

y=ax2₊_bx₊_c _(I)

y=a′_x2₊_b′_x₊_c′ _(II)

Considere, sobre o eixoOx, os pontosAeB cujas abs-cissas são as ra´ızes do trinômio (I) eA′ _e_B′ _{os pontos} cujas abscissas são as ra´ızes do trinômio (II). Deter-mine a rela¸cão que deve existir entre os coeficientesa,

(19)

IME 1994/1995

Determine a condi¸c˜ao que o inteiro m deve satisfazer para que exista termo independente dexno

desenvol-vimento de

x4−_x18 m

.

SejaABC um triˆangulo qualquer no qual os v´erticesB

e C são fixos. Determine o lugar geométrico descrito pelo pontoA, variável, sabendo que os ângulos B eC

satisfazem a rela¸c˜ao tgBtgC = k, k constante real. Discuta a solu¸c˜ao para os diversos valores dek. Obs: Considere como eixos coordenados as retasBCe a mediatriz do segmentoBC.

DadoZ=_√ 1

7 + 24i, calcule as partes real e imagin´aria

deZ.

Sabendo-se que a fun¸c˜aoh(x) possui a seguinte propri-edade _dd_xh(x) =₋h(x), pedem-se:

a) A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao: tf(t) =xh(x) +h(x) + 1.

b) Os valores deceh(x), de tal forma que: ₀ctf(t) =

2−e e .

Resolva a equa¸c˜ao trigonom´etrica:

senx+ cosx+ 2√2 senxcosx= 0

Use o teorema do valor m´edio para derivadas e prove que a equa¸c˜ao:

ln(x+ 1)5+ 3 ln(x+ 1)3+ 2 ln(x+ 1)−2 = 0,

tem uma ´unica raiz real no intervalo (0,1). Obs: A nota¸c˜ao ln significa logaritmo neperiano.

Três c´ırculos de raioRse interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o per´ımetro do trevo e sua área em fun¸cão de R e da área S do triânguloIJK.

00 00

11

11000

000 000 000

111 111 111 111

000 000 000 000

111 111 111 111

I

J

K

SejaABC um triângulo qualquer. PorB′ _e_C′ _pontos médios dos ladosAB e AC, respectivamente, tra¸cam-se duas retas que tra¸cam-se cortam em um ponto M, situado sobre o lado BC, e que fazem com esse lado ângulos iguaisθ conforme a figura abaixo. Demonstre que:

cotgθ=1

2(cotgB+ cotgC)

.

A

C

B

θ θ

B’

C’

P

M

Seis esferas idˆenticas de raio R encontram-se posicio-nadas no espa¸co de tal forma que cada uma delas seja tangente a quatro esferas. Dessa forma, determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas.

Prove que o polinˆomioP(x) =x999₊_x888₊_x777₊_{. . .}₊

(20)

IME 1994/1995 - Militares

Resolva a equa¸c˜aox4

−5x3₊₅_x2₊₂₅_x

−26 = 0 sabendo que uma das ra´ızes ´e 3 + 2i, ondei=√₋1.

Sabendo quei=√₋1, calcule: 1 + 2i+ 3i2_{+ 4}_i3₊_{. . .}₊

21i20_.

Sejaf a fun¸c˜ao definida por

f(x) =

senx, sex_≤π/3

ax+b, sex > π/3

a) Encontre os valores de a eb de modo que f′(π/3) exista.

b) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao obtida.

Sejam dois c´ırculos, com mesmo raioR, tais que o cen-tro de um esteja situado sobre a circunferˆencia do oucen-tro. Determine:

a) As equa¸c˜oes das tangentes aos dois c´ırculos nos pon-tos de interse¸c˜ao.

b) O ˆangulo entre essas tangentes nos pontos de in-terse¸c˜ao.

Determine a ´area limitada pelo eixo das abscissas, pela curvay=x4

−2x2 _{e pelas retas}_x₌

±2√2.

Determine se a s´erie ∞

n=3

1

n2₋₄ converge ou n˜ao e, em

caso de convergˆencia, calcule sua soma.

Sabendo quexé o ângulo interno de um triânguloABC, dê todas as solu¸cões poss´ıveis da seguinte equa¸cão:

senx+ sen 2x+ sen 3x= 0

Calcule o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da figura plana abaixo em torno do eixoα.

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 00000000 11111111 000000000

11111111100 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0000000 1111111 000000 111111 000000 111111 000 111 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 00 11 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 00 00 11 11 00 11 00 11 00 11 0 1 00 00 11 11 0 1 00 11 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 00 00 11 11 10 40 60 10 10 10 20 50 10 10 5 15 40 20 α

a) São dados um ângulo de vérticeA e um ponto fixo

P no seu interior. Uma reta vari´avel contendo P

intercepta os lados do ânguloA nos pontosB eE, conforme mostrado na figura abaixo. Prove que a soma dos inversos das áreas dos triângulos AP B e

AP E´e constante.

A

B

P

E

b) Num triˆangulo ABC trˆes cevianas AD, BE e CF

concorrem num ponto interiorP. Prove que a soma dos inversos das ´areas dos triˆangulos AP E, P CD

e P BF é igual à soma dos inversos das áreas dos triângulos P CE,P BD eP AF.

Determine o maior termo do desenvolvimento de

1 +3 4

18

, utilizando os conceitos do binˆomio de

(21)

IME 1993/1994

Determine o termo independente dexde

√ x−√1_x

10

Sejaf :R_→Ruma fun¸c˜ao quadr´atica tal que f(x) =

ax2₊_bx₊_c_, _a_{= 0,} _∀_x_∈_R_{. Sabendo que} _x

1 =−1 e

x2= 5 s˜ao ra´ızes e quef(1) =−8, pede-se:

a) Determinara,b,c. b) Calcularf(0).

c) Verificar sef(x) apresenta m´aximo ou m´ınimo, jus-tificando a resposta.

d) As coordenadas do ponto extremo. e) O esbo¸co do gr´afico.

Seja um octógono convexo. Suponha que quando todas as suas diagonais são tra¸cadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. Quan-tos ponQuan-tos de interse¸cão (de diagonais) existem neste octógono?

Considere os n´umeros complexos z = x+y.i e w =

y₋x.i, cujos m´odulos s˜ao tais que_|z_|=e|w|.√3

x e|w|=

e|z|.y1_{, onde}_e_{´e base dos logaritmos neperianos. Obter} a forma polar dez2_.

Um aluno, ao inverter a matriz

A=

₁ _a _b

0 c d

4 e f

= [aij], 1≤i, j≤3

cometeu um engano, e considerou o elementoa13igual

a 3, de forma que acabou invertendo a matriz

B=

₁ _a _b

0 c d

3 e f

= [bij]

Com esse engano o aluno encontrou

B−1=

₅_/₂ ₀ ₋₁_/₂

3 1 ₋1

−5/2 0 1/2

DeterminarA−1_.

Obs: O elemento (3,1) deB−1_{deve ser}

−32.

Seja y = x

2

2 uma par´abola com foco F e diretriz d. Uma reta, cujo coeficiente angular ´em= 0, passa por

F e corta a par´abola em dois pontos M1 e M2,

res-pectivamente. SejaGo conjugado harmˆonico deF em rela¸c˜ao aM1eM2. Pedem-se:

a) As coordenadas deGem fun¸c˜ao dem.

b) O lugar geom´etrico do pontoGquandom varia.

Sabendo que Â , ˆB e ˆC são os ângulos internos de um triângulo, escreva as restri¸cões que devem ser satisfei-tas por este triângulo para que se verifique a igualdade abaixo.

sen ˆA+ sen ˆB+ sen ˆC= 4 cosAˆ 2.cos

ˆ

B

2.cos ˆ

C

2

Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num c´ırculo e seja I o ponto de interse¸cão de suas diago-nais. As proje¸cões ortogonais deI sobre os ladosAB,

BC, CD e DA são, respectivamente, M, N, P e Q. Prove que o quadriláteroM N P Qé circunscrit´ıvel a um c´ırculo com centro emI.

SejaCum semi-c´ırculo com centroOe diˆametroP Q= 2r. Sobre o segmento OP, toma-se um ponto N tal que ON = x, 0 ≤ x ≤ r. Por N tra¸ca-se uma reta perpendicular aP Qque encontre o semi-c´ırculo emM. A reta tangente ao semi-c´ırculo emM corta a retaP Q

em um pontoT:

a) Calcule, em fun¸c˜ao de r e x, o volume V1 gerado

pela rota¸cão do triânguloM P Qem torno deP Q. b) Calcule, em fun¸cão de r e x, o volume V2 gerado

pela rota¸c˜ao do triˆanguloM P T em torno deP Q.

c) Considerando a raz˜ao y = V2

V1

, quando x varia no

intervalo [0, r], fa¸ca o esbo¸co do respectivo gr´afico.

Na explora¸c˜ao de uma mina foi feito o corte indicado na figura abaixo. Para calcular o volume do min´erio extra´ıdo do corte, foram medidos: CD= 10√3 dm,CD

´e perpendicular ao planoABC, ADCˆ =ADBˆ = 60o_e

BDCˆ = 30o_.

A

C

D

B

(22)

IME 1992/1993

Considere a fun¸c˜aof(x) =x3₊_ax2₊_bx₊_c_{, onde}_a_,_b_e

csão inteiros positivos. Sabendo-se que uma das ra´ızes dessa fun¸cão é igual a 2i, calcular os menores valores de

a,bec para que exista um ponto m´aximo e um ponto m´ınimo de reais.

Numa escola há 15 comissões, todas com igual número de alunos. Cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro em comum. Todos os alunos participam.

a) Quantos alunos tem a escola?

b) Quantos alunos participam de cada comiss˜ao?

Prove, por indu¸c˜ao, que:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+. . .+Cnnbn, paran∈N.

Indique se ´e verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta.

a) O conjunto dos n´umeros reais n˜ao tem pontos extre-mos reais.

b) Existe um n´umero em Q(racionais) cujo quadrado ´e 2.

c) O ponto correspondente a66

77 na escala dos n´umeros reaisRest´a situado entre os pontos 55

66 e 77 88.

Determine os valores dexpara que:

x 2 4 6

x x+ 2 0 10

x2 ₀ ₄_x ₄

x 4 10 x₋2

= 0

Fa¸ca o que se pede:

a) Calcule o argumento do seguinte n´umero complexo

i(1 +i).

b) Escreva sob forma trigonom´etrica o n´umero com-plexoZ= 1 +i√3.

Considere uma fun¸c˜aoL:Q+

→Qque satisfaz: 1. L´e crescente, isto ´e, para quaisquer 0< x < y

tem-seL(x)< L(y).

2. L(x.y) =L(x) +L(y) para quaisquerx, y >0.

Mostre que: a) L(1) = 0.

b) L(1/x) =₋L(x) para todox >0.

c) L(x/y) =L(x)₋L(y) para quaisquerx, y >0. d) L(xn_{) =}_nL₍_x_{) para todo}_{x >}_{0 e natural}_n_.

e) L(√n_x_{) =} 1

nL(x) para todo x >0 e naturaln.

f) L(x)<0< L(y) sempre que 0< x <1< y.

Demonstrar analiticamente que se uma reta, perpendi-cular a uma corda de uma circunferência, passa pelo seu centro, então ela divide a corda no seu ponto médio.

Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer interior a um triângulo equilátero aos lados é constante.

Resolva a equa¸c˜ao:

(23)

IME 1991/1992

Prove queZ1+Z2=Z1+Z2, ondeZ1 eZ2∈C.

Encontre todas as solu¸c˜oes de secx₋2 cosx = 1 em [0,2π].

Dado o quadril´atero ABCD, inscrito num c´ırculo de raior, conforme a figura abaixo, prove que:

AC BD =

AB.AD+BC.CD AB.BC+CD.AD

A

D

M

C

B

Calcule quantos n´umeros naturais de 3 algarismos dis-tintos existem no sistema de base 7.

Determine a equa¸c˜ao da reta que passa por um dos v´ertices da curva definida por 4y2_{+ 8}_y₋_x2 _{= 4,}

for-mando um ˆangulo de 45o_{com o eixo horizontal.}

Dados:

(1) Um cone de revolu¸cão com vértice S e cuja base circular está situada num planoπ.

(2) Um ponto P exterior ao cone e n˜ao pertencente a

π.

Pede-se: determinar, pelo pontoP, os planos tangentes ao cone.

A partir da fun¸c˜ao

R(t) =e−At+ A

B₋A

e−At−e−Bt

ondeté a variável (tempo) eAeBsão constantes reais, encontre a expressão de R(t), para o caso em que A

tende aBde modo queR(t) seja uma fun¸c˜ao cont´ınua.

Sejaf : [0,_∞[_→Ruma fun¸c˜ao cont´ınua tal que: (1) f(0) = 0.

(2) f′_{(x) =} x2−1

(x2_{+ 1)}2, ∀x∈]0,∞[.

(3) lim

x→∞f(x) = 0. Pedem-se:

a) Os intervalos onde f ´e crescente (respectivamente, descrescente).

b) Os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima (respectivamente, para baixo).

c) Onde ocorrem os pontos de m´aximo e m´ınimo abso-lutos e de inflex˜ao?

Definag:R_→Rpor:

g(x) =

f(x), x_≥0

−f(x), x <0

Esboce o gr´afico deg.

Calcule o valor do determinante abaixo:

Dn =

m+x m m m . . . m m m+x m m . . . m m m m+x m . . . m

m m m m+x m m

..

. ... ... ... . .. ...

m m m m . . . m+x

Sejam E0 = [0,1] e f1, f2: E0 → E0 fun¸c˜oes

defini-das porf1(x) = 1

3x ef2(x) = 1 3x+

2

3. Se P(E0) ´e o conjunto das partes de E0, seja F :P(E0)→P(E0) a

fun¸c˜ao definida porF(A) =f1(A)∪f2(A), ondefi(A) ´e a imagem de A por fi, i = 1,2. Agora, para cada

n_≥1 definimosEn=F(En−1).

a) Esboce graficamente E0, E1, E2 eE3. Mostre que

En⊂En−1.

b) Calcule lim