4.3 Espaço de Hilbert da LQG
4.3.3 Implementação dos difeomorfismos do espaço
Idealmente os estados invariantes de difeomorfismos são aqueles que resolvem os vínculos vetoriais, “ ˆV ”Ψ = 0, onde ˆV é a versão quântica de (4.2). Estes estados deveriam formar um subespaço de HGauss. Mas a perda da continuidade na LQG faz com que esta equação seja indefinida. Na verdade o único estado invariante de difeomorfismos no HGauss é o vetor nulo Ψ∅ = 1, que correspondente à ausência de “geometria”. No entanto, segundo a definição do produto escalar (4.24) entre os vetores base, não importa quanto infinitesimal seja a deformação δΓ de um grafo, os vetores |Γi e |Γ + δΓi são automaticamente ortogonais. Pior ainda, quando δΓ → 0, o produto escalar hΓ|Γ + δΓi se anula, enquanto que hΓ|Γi = 1. Claramente um sinal da descontinuidade do espaço. Assim, é impossível obter estados invariantes de difeomorfismos além de Ψ∅ = 1. Isto mostra que os estados invariantes de difeo- morfismos não podem estar contidos no HGauss. Se não estão contidos no HGauss eles têm que estar contidos num espaço maior.
A solução para implementar os difeomorfismos se baseia num método conhecido como “média do grupo” (group averaging method) [11, 70, 32, 31]. Trata-se de um aperfeiçoamento do algoritmo de Dirac, razão pela qual é conhecida na literatura como “quantização refinada” (refined quantization).
Lembre que Hkin foi obtido como o completamento de Cauchy do espaço das funções cilíndricas Cyl, portanto Cyl ⊂ Hkin. O espaço dual de Cyl, denotado Cyl0, é o espaço das formas lineares Φ que atuam sob as funções cilíndricas Ψ tal que Φ(Ψ) ∈ C. O “triplo de Gel’fand” é a estrutura definida como Cyl ⊂ Hkin ⊂ Cyl0.
Seja agora o triplo de Gel’fand
S◦ ⊂ HGauss ⊂ S◦0, (4.28)
onde S◦ é o espaço das funções cilíndricas invariantes de calibre tal que seu com- pletamento de Cauchy é HGauss = S◦. S◦0 é o espaço dual de S◦. Vamos ver que os estados invariantes de difeomorfismos pertencem à S◦.0
Considere agora a “média do grupo” do estado |Ψ1i ∈ S◦ (o valor médio de |Ψ1i),
Pdiff|Ψ1i ≡ ˆ
diff
“dφ”Uφ|Ψ1i, (4.29)
onde Uφ é uma representação unitária dos difeomorfismos, e “dφ” é uma medida de integração no grupo. Pdiff, é chamado de “projetor”, mas na verdade ele não projeta os estados sobre um subespaço de S◦, mas os tira fora dele. Pdiff|Ψ1i é por construção invariante sob difeomorfismos,
Uφ0Pdiff|Ψ1i= ˆ diff “dφ”Uφ0Uφ|Ψ1i= ˆ diff “dφ”Uφ0◦φ|Ψ1i= Pdiff|Ψ1i. (4.30)
Definamos agora o produto escalar. Sejam as formas lineares Φ1, Φ2 no S◦. Defi-0 nimos o produto escalar como
onde estamos utilizando a notação de Schwartz’s hΦ , Ψi para denotar a ação da forma linear Φ ∈ S0
◦ sob o vetor “teste” Ψ ∈ S◦. Mais concretamente, sejam Γ e Γ0 dos grafos dados, então temos que
hPdiffΨΓ,ΨΓ0i=
ˆ
diff
“dφ”hUφΨΓ|ΨΓ0i.
Para calcular a integral notamos que uma grande parte da integração é aniquilada pelo fato que dois estados são ortogonais se eles estão baseados em diferentes grafos. Então só um subconjunto dos difeomorfismos que levam Γ para Γ0 sobrevivem. A integral se escreve então
hPdiffΨΓ,ΨΓ0i= X k ˆ diff “dφ” δΓΓ0hUφ kΨΓ|ΨΓ0i= X k ˆ diff∗ “dφ” hUφkΨΓ0|ΨΓ0i
onde δΓΓ0 é 1 se Γ = Γ0 e zero se Γ 6= Γ0, Uφ
k são os difeomorfismos discretos que só
intercambiam os links ou a orientação do grafo, e diff∗e subgrupo dos difeomorfismos que levam Γ para Γ0. Podemos tirar o produto escalar fora da integral, desde que Γ é levado para Γ0 de tal forma que não depende mais de φ, sobrando simplesmente a integral da medida do grupo, ´diff“dφ”, que é assumida finita. Temos finalmente
hPdiffΨΓ,ΨΓ0i= X
k
hUφkΨΓ0|ΨΓ0i. (4.32)
Os estados invariantes de difeomorfismos assim construídos formam um espaço de Hilbert separável, Hdiff, uma vez que a enorme redundância de difeomorfismos foi eliminada.
A dedução apresenta é formal, em particular, repare que não temos um argumento convincente que garanta que ´diff“dφ” seja finito. No seguinte capítulo considera-se uma definição alternativa que fornece o mesmo resultado final.
Vetores s-knot. Da mesma forma que as redes de spin formam uma base no espaço
HGauss, desejamos construir agora uma base invariante de difeomorfismos no espaço físico Hdiff. Considere então a definição (4.32) aplicada à base das redes de spin
hs , s0i= hS|Pdiff|S0i= 0 if Γ0 6= [Γ] P khS|UφkS 0i if Γ0 = [Γ] , (4.33) onde Uφk|S
0i é a rede de spin obtida a partir de |S0i por uma troca na orientação ou ordem dos links, e [Γ] denota a classe de equivalência do grafo Γ sob a ação do grupo discreto finito de difeomorfismos Uφk de Γ. Então os estados |si são baseados
em grafos não orientados K ≡ [Γ] chamados “knots”. Escrevemos |si = |K,~ci, onde
~crepresenta a “cor” do knot. Dois estados s-knot são equivalentes se eles estão “ata-
dos” e coloridos da mesma forma, quer dizer, tem a mesma topologia e os mesmos números quânticos. Tudo agora é contável numerável. A invariância de difeomorfis- mos conserta a não separabilidade do espaço HGauss.
Até este ponto temos desenvolvido o formalismo da LQG para resolver os víncu- los de Gauss e de difeomorfismos espaciais. O restante vínculo a aplicar é o vínculo escalar (4.3). Este vínculo permanece sendo um desafio na gravitação em 4D. Não discutimos neste trabalho a resolução deste vínculo. Como referências citamos por exemplos os trabalhos nos modelos “espumas de spin” (spin foams) e o “programa do vínculo maestro” (master constraint programe).
gravitação Lorentziana em 3D
Vimos que a gravitação Lorentziana em 3D com constante cosmológica positiva e pa- râmetro de Barbero–Immirzi pode se refórmular como uma teoria de Chern–Simons com grupo de calibre SU(2). Neste capítulo aplicamos um esquema de quantização já existente da teoria de Chern–Simons inspirada na LQG [39]. Naseção 5.1.1 estu- damos a representação da conexão, onde é assumido que o espaço tem a topologia de um cilindro. Esta topologia induz uma polarização na qual a componente x da conexão representa a variável de configuração, enquanto que a componente y rep- resenta o momento canônico. Existe uma solução física particular da teoria nesta representação [62]. A solução geral é obtida como o produto entre a solução particu- lar e um funcional invariante de calibre, esta última é construída, seção 5.1.2, usando as ferramentas da LQG. O vínculo de Gauss seleciona funções das holonomias in- variantes de calibre, resultando ser estas “ciclos” com coordenada y constante. A invariância de difeomorfismos ao longo de y, que foi quebrada pela escolha da po- larização do espaço de fase, é restaurada aplicando a técnica da média do grupo. O resultado final é um espaço de Hilbert físico separável, cuja base é representada por classes de equivalência de grafos não orientados independentes da coordenada y. Para enriquecer o modelo, na seção 5.2, é construído um observável parcial definido a partir de uma regularização apropriada de um observável clássico invariante de calibre. Este observável é local. Para exportar este observável ao espaço físico, ele deve ser “deslocalizado”. O limite clássico deste observável é estudado na seção 5.3, onde descobrimos com surpresa que ele é identicamente nulo, mesmo que seu es- pectro quântico seja, em geral, diferente de zero. Fechamos este capítulo com a
seção 5.4, onde se mostra, por argumentos topológicos, que as constantes fundamen- tais da teoria, i.e. GN, Λ e γ se combinam de tal forma que o resultado é um número
inteiro.