4.2 Modelo
4.2.3 Implementac¸ ˜ao e Resultados
Para a implementac¸ ˜ao do modelo desenvolveu-se um algoritmo de MCMC. O al- goritmo utilizado ´e o algoritmo de Metropolis-Hastings dentro de Gibbs. Esse al- goritmo foi desenvolvimento atrav ´es da combinac¸ ˜ao da linguagem de programac¸ ˜ao R e C++. O trabalho foi sempre desenvolvido no ambiente de desenvolvimento integrado (IDE) RStudio.
A combinac¸ ˜ao do R com o C++ apresenta grandes vantagens e ´e feita atrav ´es do pacote RCPP1 e RCPPArmadillo2. A principal raz ˜ao para a combinac¸ ˜ao das
linguagens ´e aproveitar a rapidez do C++, uma vez que se ir ´a simular uma grande quantidade de n ´umeros pseudo-aleat ´orios, e ao mesmo tempo ser pr ´atico criar gr ´aficos e utilizar pacotes de diagn ´ostico de MCMC, como o CODA. O algoritmo pode ser visto no anexo C.
Uma etapa crucial em MCMC ´e a escolha das distribuic¸ ˜oes propostas.
1Faz a ligac¸ ˜ao entre o C++ e o R 2Biblioteca em C++ de ´Algebra Linear
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Para p (θ1
n) foi escolhida uma distribuic¸ ˜ao beta que toma como valor esperado o
valor anterior da cadeia: θ1
n|θn−11 ∼ B(cθ1n−1, c(1−θ1n−1)). O valor c e θ1-inicial foram
escolhidos para que a distribuic¸ ˜ao inicial fosse a distribuic¸ ˜ao a priori (c = 107 e θ10 = 0.023).
A escolha da func¸ ˜ao beta ´e adequada uma vez que tem o mesmo suporte de p, [0, 1].
Para a vari ´avel τ escolheu-se a distribuic¸ ˜ao U[−1,1]. A escolha deve-se ao facto
de n ˜ao existir qualquer informac¸ ˜ao sobre o seu valor. Assim, neste passo ir ´a ser usado um algoritmo de Metropolis-Hastings independente.
As vari ´aveis zt foram simuladas atrav ´es do algoritmo de Metropolis utilizando
uma distribuic¸ ˜ao N (0, 1) para definir o salto.
Foi gerada uma cadeia de 1e6 valores aleat ´orios e um ”burn-in”de 1000. No anexo D.1 pode-se observar os testes aplicados ao resultado da simulac¸ ˜ao de Markov.
No anexo D.1.2 ´e apresentado o teste de Raftery que mostra que o ”burn-in” utilizado ´e superior ao necess ´ario, no entanto ´e utilizado por uma quest ˜ao de aumentar a seguranc¸a.
O tamanho de cada ”batch” foi de 250. No anexo D.2 pode-se observar a auto-correlac¸ ˜ao.
Quanto `a converg ˆencia, n ˜ao existe qualquer evid ˆencia que aponte para que esta n ˜ao tenha sido atingida (ver anexo D.1).
As taxas de aceitac¸ ˜ao foram as seguintes: (θ1, θ2, ..., θ6)= (.262, .504, .565, .505, .331, .278)
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realizada ´e bastante semelhante `a feita por (Geyer 2012).
O valor esperado da PD e τ , bem como o MCSE s ˜ao dados na seguinte ta- bela:
p τ z1 z2 z3 z4
Estimac¸ ˜ao 0.01994 0.26851 1.47956 1.09970 -0.42610 -1.03491 MCSE 6.851e-05 7.801e-04 3.114e-03 3.752e-03 3.944e-03 3.609e-03
Tabela 4.2: M ´edias das vari ´aveis a posteriori
Quanto `a forma da func¸ ˜ao da densidade da PD ´e a seguinte:
Figura 4.2: Func¸ ˜ao π(p|y)
Ao observar a figura 4.2 pode-se tirar a conclus ˜ao de que apesar de o valor esperado de incumprimento ser bastante semelhante ao definido pelo perito, a func¸ ˜ao a posterior ´e mais informativa, uma vez que se encontra mais concen-
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trada. Diminui-se, portanto, a dispers ˜ao de valores da probabilidade de incum- primento.
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
0.0
0.4
0.8
τ
Densidade
Figura 4.3: Func¸ ˜ao π(τ |y)
Quanto `a correlac¸ ˜ao temporal observa-se que ´e positiva, como seria de es- perar. Ou seja, a per´ıodos em que o risco sist ´emico ´e mais elevado seguem-se per´ıodos de elevado risco sist ´emico.
A tabela 4.2 mostra que o fator sist ´emico ´e positivo quando n ˜ao existem in- cumprimentos e `a medida que os incumprimentos aumentam o fator sist ´emico piora, como seria de esperar.
Por fim, definida a func¸ ˜ao a posteriori da PD da carteira de empr ´estimos seria poss´ıvel calcular o capital econ ´omico necess ´ario, utilizando a LGD definida por Basileia para este tipo de carteiras. No entanto, essa an ´alise fica fora do ˆambito do projeto.
5. Conclus ˜oes
Este trabalho teve como principal objetivo calcular a probabilidade de incum- primento atrav ´es da incorporac¸ ˜ao da informac¸ ˜ao hist ´orica, de uma carteira de cr ´edito real, com informac¸ ˜ao fornecida por um perito de an ´alise de risco de cr ´edito.
Ao longo do projeto ficou explicitado a import ˆancia da introduc¸ ˜ao da opini ˜ao de peritos, principalmente quando a informac¸ ˜ao hist ´orica ´e insuficiente ou pouco fi ´avel.
No entanto, a utilizac¸ ˜ao de apenas um perito pode ter desvantagens principal- mente se existirem interesses pessoais em causa. Por isso recomenda-se que se desenvolva uma metodologia com um maior n ´umero de peritos, caso se de- seje aplicar este modelo na realidade. Para tal, recomenda-se o modelo cl ´assico de Cooke (1991).
Foi tamb ´em desenvolvido um algoritmo de simulac¸ ˜ao para determinar a func¸ ˜ao a posteriori. ´E de facto crucial o conhecimento de Monte Carlo via cadeias de Markov quando se estuda estat´ıstica Bayesiana.
Seria tamb ´em interessante realizar um estudo comparativo, de m ´edio prazo, entre a abordagem aqui apresentada e a abordagem utilizada pelos bancos de forma a perceber qual a mais adequada.
No que toca `a correlac¸ ˜ao temporal do fator econ ´omico denota-se que existe uma correlac¸ ˜ao positiva, apesar de n ˜ao ser muito forte ( ≈ .269).
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modelos que combinem o c ´alculo da LGD com PD. J ´a existe, pelo menos, um estudo sobre o tema (Shevchenko & Luo 2012), no entanto ainda ´e uma ´area a investigar.
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A. Esquema Cl ´assico e Bayesiano
Modelo Experi- mental Dados Amostra Racioc´ınio Indutivo Infer ˆencia Estat´ıstica Figura A.1: Esquema Cl ´assico (Paulino et al. 2003)Modelo Experi- mental Dados Amostra Teorema de Bayes Distribuic¸ ˜ao a priori Racioc´ınio Dedutivo Infer ˆencia Estat´ıstica
B. Distribuic¸ ˜ao a priori
0.02 0.04 0.06 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Beta (shape1= 2.5, shape2= 104.98)
fit.weights=c(1, 1, 1, 1, 1)Quantiles
Probability
Figura B.1: Desfasamento dos quantis da distribuic¸ ˜ao a priori beta e dos quantis do especialista
C. Algoritmo M-H dentro de Gibbs
Algoritmo 4 Metropolis-Hastings dentro de Gibbs Utilizado
1: Escolher (θ1
1, θ21, ..., θ61)
2: para t ← 2 at ´e n fac¸a 3: Simular Y ∼ B(c(θ1 t−1), c(1 − θ1t−1))e U ∼ U[0,1] 4: Calcular α(θ1 t−1, Y )= min{ q(θ1 t−1)π(Y |θ−1) q(Y )π(θ1 t−1|θ−1) , 1} 5: se U ≤ α(θ1 t−1, Y )ent ˜ao 6: θ1 t = Y 7: sen ˜ao 8: θt1 = θt−11 9: fim se 10: Simular Y ∼ U[−1,1] e U ∼ U[0,1] 11: Calcular α(θ2 t−1, Y )= min{ π(Y |θ−2) π(θ2 t−1|θ−2), 1} 12: se U ≤ α(θt−11 , Y )ent ˜ao 13: θt2 = Y 14: sen ˜ao 15: θ2 t = θt−12 16: fim se
17: para j ← 3 at ´e 6 fac¸a
18: Simular Y ∼ θjt−1+ N (0, 1)e U ∼ U[0,1]
19: Calcular α(θjt−1, Y )= min{ π(Y |θ−j)
π(θjt−1|θ−j), 1} 20: se U ≤ α(θjt−1, Y )ent ˜ao 21: θjt = Y 22: sen ˜ao 23: θjt = θjt−1 24: fim se 25: fim para 26: fim para θ−j = (θt1, ..., θ j−1 t , θ j+1 t−1, ..., θt−1J )