Aplicação da estatística bayesiana ao risco de crédito

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MESTRADO

MATEMÁTICA FINANCEIRA

TRABALHO FINAL DE MESTRADO

RELATÓRIO

APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA BAYESIANA AO

RISCO DE CRÉDITO

ADRIANO DINIS OLIVEIRA

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MESTRADO

MATEMÁTICA FINANCEIRA

TRABALHO FINAL DE MESTRADO

RELATÓRIO

APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA BAYESIANA AO

RISCO DE CRÉDITO

ADRIANO DINIS OLIVEIRA

ORIENTAÇÃO:

NOME: DOUTOR FILIPE CORREIA PACCETTI

NOME: PROFESSOR DOUTOR JOÃO AFONSO BASTOS

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Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer `a Deloitte, em especial ao Dr. Filipe Pacetti, pela disponibilidade e apoio que sempre demonstrou para esclarecer todas as minhas d ´uvidas.

Agradeço tamb ém ao meu orientador acad émico, Professor Doutor Jo ão Afonso Bastos, pela disponibilidade demonstrada no desenvolvimento deste trabalho.

Por fim, gostaria de agradecer à minha fam´ılia, pai, m ãe, irm ão e irm ã, que sempre estiveram ao meu lado. Sem eles seria imposs´ıvel.

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Resumo

O c álculo de probabilidade de incumprimento de uma carteira de cr édito é es-sencial para o c álculo dos requisitos de fundos m´ınimos dos bancos. No entanto, existem diversas circunst âncias em que a informaç ão banc ária n ão é suficiente, ou fi ável, fazendo com que uma an álise baseada apenas em dados hist óricos n ão seja apropriada.

O objetivo principal deste projeto é o de desenvolver e implementar um mo-delo que seja capaz de incorporar a informaç ão fornecida por um perito com a informaç ão hist órica de uma carteira de cr édito.

Para atingir o objetivo recorreu-se à estat´ıstica Bayesiana que permite incor-porar, de forma coerente, as duas fontes de informaç ão.

O estudo recai sobre uma carteira de cr ´edito de empresas de um banco por-tugu ˆes.

Os resultados do projeto apontam para que o valor m édio da probabilidade de incumprimento da funç ão a priori e a posteriori sejam semelhantes, no entanto a funç ão a posteriori tem uma menor dispers ão. É tamb ém constatado que existe uma correlaç ão temporal positiva apesar de n ão ser muito forte.

Palavras-chave:

Risco de Cr ´edito, Estat´ıstica Bayesiana, Monte Carlo via cadeias de Markov

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Abstract

The calculation of probability of default of a loan portfolio is essential for compu-ting the minimum capital requirements that banks need to keep. However, there are several circumstances in which bank data is scarce or not reliable, making historical data analysis not appropriate.

The main goal of this project is to develop and implement a model able to incorporate information given by an expert and historical data.

To pursue the main goal, we have used Bayesian statistics which allows cohe-rent incorporation of both kinds of information (subjective and objective).

This study analyses a commercial loan portfolio of a portuguese bank.

The results indicate that the expected probability of default given by the ex-pert is similar to the expected probability of default computed using the posteriori function. However, the posteriori function has lower dispersion than the priori. It is also found a weak positive correlation between time periods.

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Conte ´

udo

1 Introduc¸ ˜ao 1

2 Risco de Cr ´edito 5

3 Estat´ıstica Bayesiana 8

3.1 Teorema de Bayes . . . 8

3.2 Func¸ ˜ao a priori . . . 9

3.2.1 Recolha de Informac¸ ˜ao . . . 10

3.3 Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . 12

3.3.1 Cadeias de Markov . . . 12

3.3.2 Algoritmo Metropolis-Hastings . . . 16

3.3.3 Algoritmo de Gibbs . . . 19

3.3.4 Algoritmo de Metropolis-Hastings dentro de Gibbs . . . 19

3.3.5 An ´alise de resultados das cadeias de Markov . . . 20

4 Metodologia e Resultados 23 4.1 Dados . . . 23

4.2 Modelo . . . 25

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Adriano Oliveira

Aplicac¸ ˜ao da Estat´ıstica Bayesiana

ao Risco de Cr ´edito vii

4.2.2 Func¸ ˜ao a posteriori . . . 29

4.2.3 Implementac¸ ˜ao e Resultados . . . 30

5 Conclus ões 34 Refer ências Bibliogr áficas 39 A Esquema Cl ássico e Bayesiano 40 B Distribuiç ão a priori 41 C Algoritmo M-H dentro de Gibbs 42 D Diagn óstico Metropolis-Hastings 43 D.1 Converg ência . . . 43

D.1.1 M ´edias e Teste Geweke . . . 43

D.1.2 Teste Raftery e Lewis . . . 44

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Lista de Tabelas

4.1 Dados da carteira Grandes Empresas . . . 24

4.2 M ´edias das vari ´aveis a posteriori . . . 32

D.1 Teste Geweke . . . 43

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Lista de Figuras

2.1 Func¸ ˜ao densidade de probabilidade da perda . . . 6

4.1 Distribuic¸ ˜ao a priori . . . 28

4.2 Func¸ ˜ao π(p|y) . . . . 32

4.3 Func¸ ˜ao π(τ |y) . . . 33

A.1 Esquema Cl ´assico (Paulino et al. 2003) . . . 40

A.2 Esquema Bayesiano (Paulino et al. 2003) . . . 40

B.1 Desfasamento dos quantis da distribuic¸ ˜ao a priori beta e dos quan-tis do especialista . . . 41

D.1 Evoluç ão da M édia da vari ável p . . . 43

D.2 Evoluç ão da M édia da vari ável τ . . . 43

D.3 Correlac¸ ˜ao dos resultados . . . 44

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Lista de Algoritmos

1 Metropolis-Hastings . . . 17

2 Gibbs . . . 19

3 Metropolis-Hastings dentro de Gibbs . . . 20

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Abreviaturas

EAD valor da exposic¸ ˜ao dado incumprimento.

EL perda esperada.

IDE ambiente de desenvolvimento integrado.

IRB m ´etodos dos ratings internos.

LGD perda dado incumprimento.

MCMC Monte Carlo Via cadeias de Markov.

MCSE erro standard de Monte Carlo.

PD probabilidade de incumprimento.

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1. Introduc¸ ˜ao

Nas últimas duas d écadas a gest ão de risco tem vindo a ser alvo de uma cres-cente preocupaç ão, tanto por parte dos bancos como por parte da supervis ão.

Em 1988, é apresentado o primeiro acordo de Basileia, que tinha como ob-jetivos a harmonizaç ão global da supervis ão banc ária em diversos pa´ıses bem como fortalecer a estabilidade e solidez do sistema banc ário. O acordo focava-se, principalmente, no risco de cr édito e tinha como principal preocupaç ão ga-rantir que o r ácio entre o capital eleg´ıvel e os ativos ponderados pelo risco fosse superior ou igual a 8% .

No entanto, devido à metodologia simples de mensuraç ão do risco descrita no acordo e à inovaç ão do sistema financeiro e da tecnol ógica, que ocorreu prin-cipalmente ao longo da d écada de 90, tornou-se necess ário atualizar o acordo de Basileia I. É assim que surge, em 2004, a vers ão final do Basileia II e em 2010 o acordo de Basileia III.

O acordo de Basileia III, à semelhança do segundo acordo, baseia-se em tr ês pilares: Pilar I - Requisitos m´ınimos de capital; Pilar II - Processo de Supervis ão; Pilar III - Disciplina de Mercado. O estudo realizado centra-se no Pilar I, mais precisamente na área de risco de cr édito, sendo as restantes áreas o risco de mercado e operacional.

O acordo prop õem dois tipos de modalidades de mensuraç ão do risco de cr édito: A abordagem ”Padr ão” e a abordagem de m étodos dos ratings internos (IRB) que por sua vez se subdivide em duas: ”Foundation” e ”Advanced ”.

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Adriano Oliveira

ao Risco de Cr ´edito 2

A abordagem Padr ão est á sobretudo dependente das cotaç ões de rating e de ponderadores de risco definidos pelo Comit é de Basileia.

A abordagem IRB pretende promover o desenvolvimento, pelos bancos, de metodologias de mensuraç ão do risco. No entanto, estas est ão sujeitas à validaç ão do regulador.

Desde que foi introduzida, a abordagem IRB que as carteiras de cr édito com um hist órico de poucos incumprimentos t êm sido alvo de estudo devido à difi-culdade de calcular a probabilidade de incumprimento (PD). De facto, na pro-blem ática da mensuraç ão do risco de carteiras com poucos incumprimentos, le-vou mesmo à divulgaç ão de uma carta explicativa pelo Comit é de Basileia de Supervis ão Banc ária, em resposta às preocupaç ões levantadas pelos bancos.

A principal preocupaç ão demonstrada era com a falta de dados de incumpri-mento, o que levava a que tais carteiras fossem exclu´ıdos da an álise avançada (Basel Committe on Banking Supervision 2005b).

Apesar de a carta n ão sugerir especificamente a abordagem Bayesiana, prop õe que se utilizem outras fontes de informaç ão. No entanto, a abordagem Bayesi-ana parece ser a melhor opç ão para resolver o problema, uma vez que permite a inserç ão de opini ões de peritos no c álculo das probabilidades de incumprimento (Kiefer 2011).

O objetivo do est ágio, realizado na Deloitte Consultores, é o de desenvolver e implementar uma metodologia de c álculo das probabilidades de incumprimento para carteiras que tenham registado poucos incumprimentos.

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Adriano Oliveira

de informaç ão de dados, uma vez que tamb ém pode ser utilizada quando: o custo de recolha de informaç ão é demasiado elevado ou quando a qualidade dos dados é question ável (Jacobs & Kiefer 2010).

O problema de investigaç ão proposto reside no c álculo de probabilidades de incumprimento atrav és da combinaç ão da informaç ão fornecida por dados hist óricos com a informaç ão de um perito.

O estudo realizado tem por base dados de uma carteira de empr éstimos a empresas com um rating elevado de um banco portugu ês, que ir á ser mencio-nado por Banco A. O nome do perito tamb ém ser á omitido, sendo referido como Perito A.

Tendo por base o problema de investigaç ão, neste trabalho ir ão ser estuda-das metodologias de eliciaç ão da opini ão de peritos, algo a que n ão tem sido dado suficiente atenç ão na literatura (Jacobs & Kiefer 2010). A eliciaç ão é um processo pelo qual se formula uma funç ão de distribuiç ão que represente o co-nhecimento e expectativas de uma pessoa sobre um dado evento aleat ório. Os processos de eliciaç ão s ão bastante frequentes em projetos que envolvam a es-tat´ıstica Baysesiana para criar as funç ões de distribuiç ão a priori (Garthwaite et al. 2005).

O relat ório est á estruturado da seguinte forma. No cap´ıtulo 2 é feita uma introduç ão ao risco de cr édito. No capitulo 3 apresenta-se a estat´ıstica Bayesi-ana, metodologias de eliciaç ão e, fundamentalmente, Monte Carlo via cadeias de Markov. De seguida, é descrita a metodologia utilizada para o c álculo da probabi-lidade de incumprimento e a sua implementaç ão, bem como os dados utilizados

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Adriano Oliveira

no estudo. Neste mesmo cap´ıtulo s ão tamb ém apresentados os resultados. Por fim, ser ão apresentadas as conclus ões do relat ório.

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2. Risco de Cr ´edito

Como seria de esperar, o cr édito representa grande parte dos ativos de um banco. Em 2013, o cr édito representava aproximadamente 68% dos ativos do sistema banc ário portugu ês, valor que tem vindo a decrescer desde 2010 (Banco de Portugal 2014).

A gest ão do risco de cr édito é inerente à atividade banc ária e tem o objetivo de gerir a possibilidade de o devedor n ão cumprir com as obrigaç ões estipuladas no contrato, maximizando a taxa de retorno e mantendo uma exposiç ão ao risco de cr édito dentro de par âmetros razo áveis (Basel Committe on Banking Supervision 2000).

Um aspeto essencial na an álise de risco de cr édito é a definiç ão de incum-primento. Segundo Basel Committe on Banking Supervision (2006), o incumpri-mento ocorre quando uma das duas situaç ões seguintes se verifica:

1. existe uma atraso no pagamento superior a 90 dias, ou

2. o banco reconhece que o devedor n ão tem qualquer intenç ão de cumprir com as suas obrigaç ões.

´

E ent ão de extrema import ância que os bancos utilizem e desenvolvam me-todologias de mensuraç ão de risco de cr édito adequadas a cada devedor ou a cada carteira. Na atividade banc ária é sempre incerto o volume das perdas dos bancos, no entanto espera-se que os bancos sejam capazes de calcular uma previs ão anual da perda esperada (EL).Tais perdas devem ser

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provisiona-Adriano Oliveira

das pelos bancos. No entanto, para al ém da perda esperada, existe tamb ém a perda inesperada (UL) que se espera que n ão aconteça todos os anos, mas quando acontece tem um grande impacto no banco. Tendo como objetivo prote-ger os bancos de perdas que possam por em risco a sua exist ência surge, assim, legislaç ão com base nos acordos de Basileia. É imposto o c álculo de requisitos de capital que sirva para cobrir essas perdas inesperadas.

Figura 2.1: Func¸ ˜ao densidade de probabilidade da perda

O risco de cr édito foi alvo de grande preocupaç ão no acordo de Basileia II, uma vez que a metodologia proposta por Basileia I, em 2004, j á se encontrava ultrapassada.

O acordo de Basileia II e III n ão diferem nas metodologias apresentadas para o risco de cr édito. A metodologia Standard é baseada em notaç ões de rating atribu´ıdas pelas ag ências. A diferenciaç ão entre a ponderaç ão de riso a atribuir aos cr éditos depende da área de atuaç ão do devedor e do tipo de exposiç ão.

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Adriano Oliveira

A abordagem IRB promove o desenvolvimento por parte dos bancos de meto-dologias de mensurac¸ ˜ao do risco e divide-se em duas: Foundation e Advanced.

A abordagem foca-se em tr ˆes fatores:

1. A probabilidade de incumprimento de um dado devedor (PD);

2. A perda ocorrida dado que existe incumprimento (perda dado incumpri-mento (LGD));

3. O valor da exposic¸ ˜ao dado incumprimento (EAD).

Na abordagem Foundation os bancos podem, havendo aprovaç ão do super-visor nacional, calcular a PD enquanto que os outros par âmetros s ão fixados externamente. Na abordagem Advanced os bancos, obtendo aprovaç ão, podem calcular para al ém da PD, tamb ém a LGD.

´

E natural que os bancos optem por desenvolver metodologias internas, uma vez que, normalmente, estas levam a que os requisitos de capital sejam menos elevados em relaç ão à abordagem Standard. Tal deve-se à exist ência de um maior crit ério no c álculo (Ant ão & Lacerda 2008).

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3. Estat´ıstica Bayesiana

Em estat´ıstica existem duas grandes filosofias. A mais conhecida é a abordagem frequentista. Esta abordagem interpreta o conceito de probabilidade atrav és da frequ ência relativa de um acontecimento, quando a amostra tende para infinito, ou o simples r ácio entre os casos favor áveis e os casos poss´ıveis. Esta abor-dagem tem como objetivo utilizar a informaç ão recolhida atrav és de experi ências passadas para determinar um, ou v ários, par âmetros desconhecidos, que s ão tidos como constantes.

A abordagem Bayesiana toma como vari áveis aleat órias os par âmetros a es-timar, uma vez que se desconhece seu valor. Assim, o conceito de probabili-dade é interpretado como grau de credibiliprobabili-dade. Passa a ser necess ário definir uma distribuiç ão para o par âmetro (funç ão a priori) uma vez que o par âmetro é incerto e, segundo a estat´ıstica Bayesiana, toda a incerteza deve ser quantifi-cada em termos de probabilidades. A definiç ão da funç ão a priori introduz assim uma componente subjetiva ao problema. No anexo A est á representada uma esquema l ógico que representa as diferenças entre as duas abordagens.

3.1 Teorema de Bayes

O teorema de Bayes assume um papel fundamental uma vez que é a partir dele que se combina a funç ão de verosimilhança, que cont ém a informaç ão da amos-tra, com a informaç ão a priori do par âmetro que é agora uma vari ável aleat ória.

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Adriano Oliveira

Teorema de Bayes 1. Sendo x uma realizaç ão de X, a distribuiç ão a posteriori,

com θ ∈ Θ, ´e dada por:

f (θ|x) = R f (x|θ) f (θ)

Θf (x|θ) f (θ)dθ

(3.1)

Observando o numerador constata-se que existe uma junç ão entre a informaç ão fornecida pela funç ão de verosimilhança e a funç ão a priori. Nota-se tamb ém que o denominador faz parte da constante de normalizaç ão, ficando assim o nume-rador com toda a informaç ão relevante sobre o par âmetro a estimar.

3.2 Func¸ ˜ao a priori

A escolha da funç ão a priori é a principal força e fraqueza da estat´ıstica Bayesi-ana. Para os Bayesianos ela permite introduzir informaç ão que pode ser sub-jetiva, mas que se justifica pelo problema em quest ão. Para os estat´ısticos cl ássicos essa fonte de subjetividade é o problema, uma vez que introduz informaç ão que n ão pode ser replicada.

Dependendo do problema que se pretende estudar, a funç ão a priori pode ser definida/representada como n ão-informativa ou informativa. A primeira situaç ão surge quando o nosso conhecimento sobre o problema é demasiado limitado e n ão é poss´ıvel fazer qualquer tipo de suposiç ão sobre o par âmetro a estimar. Na segunda abordagem é normalmente utilizado conhecimento de dados hist óricos, de peritos ou uma combinaç ão dos dois para fazer representar o conhecimento atrav és de uma funç ão de densidade.

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Adriano Oliveira

3.2.1 Recolha de Informac¸ ˜ao

O processo de eliciaç ão é fundamental para a utilizaç ão de estat´ıstica Bayesiana e acrescenta grande valor aos projetos estat´ısticos, pois aproxima os trabalhos estat´ısticos dos seus clientes, incorporando a informaç ão que estes possuem sobre o seu neg ócio, área de estudo ou problema especifico (Garthwaite et al. 2005).

Apesar de extremamente útil, a opini ão de peritos pode ser bastante dif´ıcil de obter, devido à complexidade envolvida e demora que um bom processo de eliciaç ão requer.

Segundo Garthwaite et al. (2005) o processo de eliciac¸ ˜ao deve ser composto por 4 fases:

1. Definiç ão dos aspetos do problema que devem ser objeto de elicaç ão; es-colher o perito; treinar o perito para o processo, este passo é crucial caso o perito n ão esteja familiarizado com probabilidades.

2. Elaboraç ão do m étodo de eliciaç ão, ou seja define-se que perguntas ser ão feitas ,e de que forma, para obter informaç ão que permita a construç ão de uma funç ão de distribuiç ão.

3. Representaç ão da informaç ão atrav és de uma distribuiç ão de probabili-dade.

4. Avaliaç ão por parte de perito da eliciaç ão. O processo t êm de ser interativo, ou seja, é necess ário confirmar que a funç ão representa bem as opini ões do perito, caso contr ário ser á necess ário voltar ao segundo passo.

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Adriano Oliveira

Um dos principais obst áculos para que a fase dois do processo seja bem sucedida s ão as heur´ısticas mentais que os seres humanos utilizam quando s ão questionados sobre probabilidades de um evento. Por isso, este tem sido um campo que tamb ém tem sido investigado por psic ólogos.

Para realizar a terceira fase, existem diversos m ´etodos e a escolha depende do problema que se est ´a a estudar e do perito.

Um dos primeiros fatores a ter em consideraç ão é se a recolha de informaç ão é feita com um ou mais peritos. O caso de v ários peritos n ão vai ser abordado, uma vez que neste trabalho s ó ser á utilizado um . No entanto, é necess ário frisar que t écnicas de eliciaç ão com o recurso a v ários peritos, como o m étodo cl ássico de Cooke (1991), t êm vindo a ser estudas, principalmente na área de risco ope-racional, onde o regulador exige que se utilize informaç ão de especialistas para o c álculo dos requisitos de capital. Tal deve-se ao facto de nessa área muito poucos, ou mesmo nenhuns, dados hist óricos existirem (Bakker 2004).

Recorrendo a um perito existem, ainda assim, v árias t écnicas que podem ser utilizadas. Neste trabalho v ão ser referidas apenas duas. Na primeira assume-se que o conhecimento do perito pode ser representado por uma distribuiç ão de pro-babilidades espec´ıfica. Kiefer (2009) usa a funç ão de distribuiç ão beta uma vez que esta est á suportada entre 0 e 1, num trabalho ainda muito preliminar sobre a aplicaç ão Bayesiana ao risco de cr édito. Nesse caso o perito é inquirido so-bre quantis que o autor considerou importantes. O mesmo autor, posteriormente (Jacobs & Kiefer 2010), utiliza uma abordagem diferente utilizando um conceito da f´ısica, a Entropia. Neste artigo o autor questiona o perito sobre os quantis da

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Adriano Oliveira

distribuiç ão da probabilidade de incumprimento. No entanto, uma vez que n ão quer introduzir suposiç ões sobre a forma da funç ão j á definida, decide maximi-zar a entropia, tendo como restriç ões os quantis que recebeu. De seguida, para alisar o resultado utiliza o kernel de Epanechnikov.

3.3 Monte Carlo via Cadeias de Markov

Um das desvantagens, iniciais, da abordagem Bayesiana perante a Cl ássica é o facto de, na maior parte dos problemas de interesse, o c álculo da funç ão a posteriori de forma anal´ıtica e num érica n ão ser uma opç ão, principalmente em casos multi-dimensionais. No entanto, a partir da d écada de 90 , devido aos avanços computacionais, passou a ser mais f ácil e r ápido o c álculo da funç ão a posteriori atrav és de m étodos de simulaç ão como Monte Carlo e Monte Carlo Via cadeias de Markov (MCMC). É sobre o último m étodo que vai recair a an álise nesta secç ão. Ir á ser apresentada uma breve introduç ão às cadeias de Markov e a m étodos de Monte Carlo, pois uma abordagem mais profunda iria consumir muito espaço. O leitor interessado poder á ler sobre estes assuntos em: Tierney (1994), Robert & Casella (2005) e Gamerman & Lopes (2006).

3.3.1 Cadeias de Markov

Nesta secç ão ser ão apresentados os conceitos fundamentais sobre cadeias de Markov necess ários para se compreender os algoritmos de simulaç ão que ser ão expostos.

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Adriano Oliveira

Seja X um conjunto, F uma σ- álgebra em X e π uma distribuiç ão de probabi-lidade definida em (X, F).

Uma cadeia de Markov {θn} = {θn, n = 0, 1, ...}em X diz-se homog ´enea se a

sua funç ão de transiç ão P tiver as seguintes caracter´ısticas:

• Para qualquer conjunto fixo A ∈ F a funç ão P (., A) é mensur ável

• Para qualquer x ∈ X , fixo , P (x, .) ´e uma medida de probabilidade em ( X, F )

• para todo o n ≥ 0

P (θn+1 ∈ A|θn = x) = P (x, A)

para todo x ∈ X e A ∈ F.

A funç ão transiç ão ao fim de i passos é dada pela seguinte formula:

P (θi ∈ A|θ0 = x) = Pi(x, A) (3.2)

O problema que a construç ão de algoritmos de MCMC induz é o de criar valo-res correlacionados. Isso levanta o problema do c álculo do valor esperado, uma vez que a lei forte dos grandes n úmeros s ó se aplica a valores independentes. A resposta a este problema ser á dada no fim da secç ão, mas primeiro é necess ário apresentar algumas definiç ões.

Definiç ão 1. A funç ão π é estacion ária tendo em conta a funç ão de transiç ão P

se:

πP (A) = Z

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Adriano Oliveira

Em MCMC é constru´ıda uma cadeia estacion ária, no entanto é necess ário garantir que ela é única, caso contr ário n ão tem utilidade.

Definiç ão 2. A distribuiç ão π é revers´ıvel tendo em conta a funç ão de transiç ão

P se:

π(dx)P (x, dy) = P (y, dx)π(dx)∀x, y ∈ X (3.4)

A reversibilidade é bastante importante uma vez que se uma cadeia é re-vers´ıvel ent ão é estacion ária. É atrav és da reversibilidade que se prova que o algoritmo Metropolis-Hastings gera uma distribuiç ão estacion ária.

Definiç ão 3. Uma cadeia de Markov é π-irredut´ıvel para um distribuiç ão π em X

se π(A) > 0, com A ⊂ X, implica que:

P (inf{n ≥ 1 : θn ∈ A} < ∞|θ0 = x) > 0 (3.5)

para todo x ∈ X

Ou seja, uma cadeia ´e irredut´ıvel se partindo de qualquer estado se consegue chegar a qualquer outro estado.

Definiç ão 4. Uma cadeia de Markov θn é π-irredut´ıvel com distribuiç ão

esta-cion ´aria π ´e recorrente se para cada A ⊂ X com π(A) > 0 se verifica que:

P (θn∈ Ai.o|θ0 = x) > 0para todo o x,

P (θn∈ Ai.o|θ0 = x) = 1para quase todo o x.

(3.6)

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Adriano Oliveira

Teorema 1. Supondo que a cadeia de Markov θn é irredut´ıvel e tem uma distribuiç ão

estacion ária π, ent ão a cadeia é π-irredut´ıvel, π é a única distribuiç ão estacion ária da cadeia e a cadeia é recorrente positiva.

J á estamos em condiç ões de definir quando a lei forte dos grandes n úmeros se aplica às cadeias de Markov.

Teorema 2. Supondo que (θn) ´e uma cadeia de Markov irredut´ıvel com uma

funç ão de transiç ão P e tem uma distribuiç ão estacion ária π. Sendo1_:

Pn(x, A) = 1 n + 1 n X i=0 Pi(x, A) (3.7) ∀ x ∈ A ⊂ X. Ent ˜ao kPn(x, .) − π(.)k → 0 (3.8)

para π em quase todo x.

Teorema 3. Supondo que θn é uma cadeia de Markov irredut´ıvel com uma funç ão

de transiç ão K, distribuiç ão estacion ária π e seja f uma funç ão real integr ável. Ent ão: P " 1 N + 1 N X n=0 f (θn) −−−→ N →∞ Z f (x)π(dx)|θ0 = x # = 1 (3.9)

para quase todos os valores iniciais x.

Os dois teoremas acima mostram que a proporc¸ ˜ao observada e esperada do tempo passado no conjunto A converge para π(A).

Uma funç ão de transiç ão diz-se peri ódica se existir um d ≥ 2 e uma sequ ência {E0, ..., Ed−1} composta por conjuntos n ão vazios e disjuntos em F tal que, para

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Adriano Oliveira

todo i = 0, ..., d − 1 e para todo x ∈ Ei,

P (x, Ei = 1) para j = i + 1(mod d) (3.10)

como d = 1 a funç ão de transiç ão diz-se aperi ódica (Tierney 1994).

O resultado do teorema 2 pode ser fortalecido caso se considere uma cadeia aperi ´odica.

Teorema 4. Supondo que θn ´e uma cadeia de Markov irredut´ıvel, aperi ´odica com

uma funç ão de transiç ão K e com uma distribuiç ão estacion ária π. Ent ão

kPn_{(x, .) − π(.)k → 0} _(3.11)

para π quase todo x

Com esta pequena introduç ão às definiç ões e teoremas aplicados a cadeias de Markov tem-se agora condiç ões para a expor os algoritmos de simulaç ão que utilizam cadeias de Markov.

3.3.2 Algoritmo Metropolis-Hastings

O algoritmo Metropolis-Hastings faz com que ao gerar n úmeros pseudo-aleat órios da distribuiç ão q(.|.), normalmente f ácil de simular, se corrijam os valores de forma a que estes se aproximem da distribuiç ão objetivo π . Ou seja, j á é sa-bido qual é a distribuiç ão estacion ária, assim o problema reside em encontrar a funç ão de transiç ão apropriada.

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Adriano Oliveira

A ideia base dos algoritmos de cadeias de Markov é a de, atrav és de uma funç ão de transiç ão P (x, .) gerar uma cadeia que tenha como distribuiç ão esta-cionaria a funç ão que se quer conhecer π (Robert et al. 2010).

O algoritmo tem a seguinte forma:

Algoritmo 1 Metropolis-Hastings

1: Escolher a func¸ ˜ao q(.|.)

2: Escolher θ1

3: para t ← 2 at ´e n fac¸a

4: Simular Y ∼ q(y|θt−1)e U ∼ U[0,1]

5: Calcular α(θt−1, Y )= min{_{q(Y |θt−1)π(θt−1)}q(θt−1|Y )π(Y ) , 1}

6: se U ≤ α(θt−1, Y )ent ˜ao 7: θt= Y 8: sen ˜ao 9: θt= θt−1 10: fim se 11: fim para Aqui α(θt−1, Y )= min{ q(θt−1|Y )π(Y )

q(Y |θt−1)π(θt−1), 1}representa a probabilidade de aceitac¸ ˜ao

do valor proposto. A principal preocupaç ão a ter com o algoritmo é que ele res-peite as restriç ões necess árias para que possa ser usada a lei Forte dos Gran-des N úmeros. Para tal é necess ário que se consiga provar que atrav és da funç ão proposta se gera uma funç ão estacion ária. Neste ponto entra a condiç ão de re-versibilidade que é muito útil para provar a estacionariedade. A prova pode ser encontrada em Geyer (2005).

(29)

Adriano Oliveira

Outra propriedade importante é a irredutibilidade e aperiodicidade da cadeia. Estas podem ser satisfeitas caso a funç ão q consiga gerar o espaço da funç ão que se quer reproduzir. Ou seja, tem que ter o mesmo suporte.

Por fim, é tamb ém necess ário que se conheça o r ácio _q(y|x)π(y) a menos de uma constante.

O algoritmo Metropolis é um caso particular muito importante. Neste algo-ritmo utiliza-se uma funç ão q(y|x) que é sim étrica.Essa funç ão proposta simpli-fica a probabilidade de aceitaç ão, que passa a ser:

α(θt−1, Y ) = min{

π(Y ) π(θt−1)

, 1} (3.12)

A proposta normalmente utilizada é y = x + e em que e tem uma distribuiç ão normal de m édia 0 e vari ância σ2_{. A escolha da vari ância tem implicaç ões na}

taxa de aceitac¸ ˜ao.

Est á demonstrado por Tierney (1994) que a funç ão de transiç ão do algoritmo é irredut´ıvel e Harris recorrente, logo gera uma cadeia estacion ária única π.

Outro caso importante encontra-se a proposta é independente do valor ante-rior da cadeia. Esse tipo de algoritmos pode ser muito útil na estat´ıstica Bayesi-ana caso a funç ão a priori se assemelhe à distribuiç ão que se quer inferir (Ga-merman & Lopes 2006).

(30)

Adriano Oliveira

3.3.3 Algoritmo de Gibbs

O algoritmo de Gibbs permite simular distribuiç ões multivariadas e é um caso especial do algoritmo Metropolis-Hastings com uma probabilidade de aceitaç ão igual a 1. O algoritmo gera uma cadeia de Markov atrav és das distribuiç ões con-dicionais completas (”full conditionals”) das vari áveis. Assim, é requerido, n ão s ó, que se conheçam as distribuiç ões condicionais completas, mas que tamb ém seja poss´ıvel gerar n úmeros pseudo-aleat ório dessas mesmas distribuiç ões (Robert et al. 2010).

Em baixo est ´a representado o algoritmo:

Algoritmo 2 Gibbs

1: Escolher (θ1

1, ..., θ1J)

3: Simular θ1 t ∼ p1(θt1|θ2t−1, ..., θJt−1) 4: Simular θ2 t ∼ p2(θt2|θ1t, θ3t−1, ..., θJt−1) 5: ... 6: Simular θJ t ∼ pJ(θJt|θt1, ..., θ J −1 t ) 7: fim para

3.3.4 Algoritmo de Metropolis-Hastings dentro de Gibbs

Este algoritmo é apenas a inserç ão do algoritmo de Metropolis-Hastings den-tro de cada passo de Gibbs. O algoritmo revela-se de grande utilidade quando é dif´ıcil simular as distribuiç ões condicionais completas (Gamerman & Lopes 2006).

(31)

Adriano Oliveira

Algoritmo 3 Metropolis-Hastings dentro de Gibbs

1: Escolher (θ1

1, ..., θ1J)

3: para j ← 1 at ´e J fac¸a

4: Simular Y ∼ qj(y|θjt−1)e U ∼ U[0,1]

5: Calcular α(θj_t−1, Y )= min{_{qj(Y |θt−1}qj(θt−1|Y )π(Y |θ−j_)π(θ1 )

t−1|θ−j)} 6: se U ≤ α(θj_t−1, Y )ent ˜ao 7: θj_t = Y 8: sen ˜ao 9: θj_t = θt−1 10: fim se 11: fim para 12: fim para θ−j = (θ_t1, ..., θtj−1, θ j+1 t−1, ..., θt−1J )

Este m étodo é bastante geral e útil, sem impor mais restriç ões para al ém das impostas pelos algoritmos anteriores (Paulino et al. 2003).

Uma an ´alise mais aprofundada sobre este tipo de algoritmos ´e feita por Chan & Geyer (1994).

3.3.5 An ´alise de resultados das cadeias de Markov

A construç ão do algoritmo de MCMC é apenas a primeira parte da soluç ão de um problema. De seguida, é necess ário analisar de forma cuidada os resultados.

´

(32)

Adriano Oliveira

1. Se o resultado converge para distribuiç ão estacion ária,

2. Se a cadeia percorre todo o espaço da funç ão que se quer estimar,

3. Ao contr ´ario dos m ´etodos de Monte Carlo, os algoritmos de MCMC criam amostras correlacionadas.

Para a an álise do diagn óstico da converg ência pode-se utilizar o m étodo de Geweke et al. (1991) que tem como base o teste da diferença das m édias. O m étodo utiliza os primeiros 10% dos valores da cadeia e os últimos 50%. O que se pretende investigar é se as duas partes da cadeia adv êm da mesma distribuiç ão (Hip ótese nula). A estat´ıstica de Geweke é um Z-score normalizado em que os desvios padr ão s ão ajustados para a auto-correlaç ão.

Raftery & Lewis (1996) apresentaram um m étodo para encontrar o n úmero de valores a serem descartados do in´ıcio da cadeia (”burn-in” ). Este m étodo consiste em estimar o quantil q com um erro de +/ − r com uma probabilidade de pro. O q, r e pro, normalmente utilizados s ão, .025, .005 e .95 respetivamente. Quanto ao segundo ponto, nunca se pode garantir que a simulaç ão visita todo o espaço, no entanto existem t écnicas para minimizar esse erro.

Uma regra utilizada na literatura é a escolha de distribuiç ões propostas que gerem uma taxa de aceitaç ão perto de 25% para problemas com muitos par âmetros a estimar e 50% para problemas com um ou dois par âmetros Robert et al. (2010).

Por fim, pode-se optar pelo m étodo ”batch means”utilizado por Geyer (1992), para tratar a correlaç ão. O m étodo consiste em separar a amostra em b amos-tras e fazer a m édia das mesmas e utilizar o erro standard de Monte Carlo (MCSE) como crit ério de paragem. Ou seja, quanto mais elevado o MCSE

(33)

me-Adriano Oliveira

nos confi ável é o resultado. Sendo N o n úmero de simulaç ões e b a quantidade de n úmeros em cada ”batch”:

b µb,k= 1 b bk+b X i=bk+1 g(Xi) (3.13) em que k = 1, ..., N/b.

A escolha de b adv ém de uma an álise à correlaç ão da cadeia. Escolhe-se ent ão um valor b que faça com que n ão exista correlaç ão entre diferentesµ_bb,k. A

vantagem deste m ´etodo ´e a capacidade de, utilizando µb,k, se poder aplicar o t −

testee obter um intervalo de confiança da m édia. Como cada _bµb,k é aproximada

por uma distribuiç ão normal de m édia µ e vari ância σ2_{/b. A a vari ância emp´ırica}

´e: σ2 = b N N/b X k=1 (µb,k−µbN) 2 _(3.14) O MCSE ´e _√σ N.

(34)

4. Metodologia e Resultados

Neste cap´ıtulo ser ão analisados, em primeiro lugar, os dados. De seguida, é necess ário definir um modelo econ ómico a utilizar para representar a funç ão de verosimilhança. Na terceira fase constr ói-se a distribuiç ão a priori, esco-lhendo o especialista e definindo, neste caso, os quantis a eliciar. Tendo a informaç ão do perito representada passa-se para a construç ão da funç ão a pos-teriori atrav és de cadeias de Markov. A implementaç ão do algoritmo foi feita atrav és da combinaç ão das linguagens R e C++. Por fim, é realizada uma an álise dos resultados da simulaç ão utilizando as metodologias descritas em 3.3.5.

4.1 Dados

Neste estudo foi utilizada uma carteira que cont ém grandes empresas portugue-sas. Em baixo é feita a descriç ão dos dados:

• Per´ıodo Hist órico: Setembro de 2010 at é Setembro de 2013. Ou seja dados de 4 anos (por conveni ência utiliza-se o m ês de setembro como final).

• A carteira ´e composta por 2032 empresas.

• Os empr éstimos s ão classificados atrav és de uma escala de rating de 1 a 100, sendo 1 o rating mais baixo e 100 o mais elevado (o que apresenta menos risco).

(35)

Adriano Oliveira

que 1 representa incumprimento e 0 uma situac¸ ˜ao regular.

Os dados possuem alguns problemas evidenciados atrav és de uma an álise de-talhada que justificam a escolha de uma abordagem Bayesiana. Por exemplo existem empr éstimos com falta de acompanhamento da sua situaç ão (regular ou em incumprimento). Ou seja, existem meses em que n ão h á qualquer tipo de informaç ão sobre se o cr édito esteve regular ou n ão. Por outro lado, o hist órico da carteira é demasiado curto, apenas 4 anos.

Assim, apesar de os dados hist óricos continuarem ser importantes justifica-se a introduç ão de informaç ão de um perito na an álise do risco da carteira.

Na tabela abaixo pode-se observar algumas caracter´ısticas da carteira. Rating ≤ 50 >50

No_Total ₁₃₁₉ ₇₁₃

Contratos com 46 meses 911 477 Tabela 4.1: Dados da carteira Grandes Empresas

O estudo ir ´a focar-se nas grandes empresas com um rating superior a 50, uma vez que a abordagem Bayesiana ´e mais relevante precisamente para car-teiras com poucos dados de incumprimento. Assim, a carteira final tem 477 empresas.

Os dados sobre o incumprimento s ˜ao os seguintes: em 2010 n ˜ao existiram contratos em incumprimento; em 2011 existiu 1; em 2012 houve 10; em 2013 observaram-se 18.

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Adriano Oliveira

4.2 Modelo

O modelo escolhido para representar a informaç ão de dados hist óricos é uma extens ão do modelo estrutural de um único fator de Vasicek.

A extens ão ao modelo original de Vasicek é feita atrav és da introduç ão de uma an álise a v ários per´ıodos de tempo que est ão correlacionados atrav és do risco sist émico.

O modelo pode ser visto em Lamb & Perraudin (2008) e Jacobs & Kiefer (2010), com poucas diferenças. A única diferença est á na representaç ão da correlaç ão temporal. Apesar de o modelo que ir á ser utilizado ser o de Lamb & Perraudin (2008), para uma melhor compreens ão da intuiç ão econ ómica do modelo deve-se ler Jacobs & Kiefer (2010), uma vez que apresenta gradualmente a derivaç ão do modelo e o artigo tem uma como ambiç ão ser um guia para a utilizaç ão de estat´ıstica bayesiana na modelaç ão do risco de cr édito.

O modelo assume que numa carteira diversificada o risco idiossincr ´atico et ´e

neutralizado e s ´o o risco sist ´emico ztafeta o valor da empresa.

Supondo que o valor de uma empresa (vt), no momento t, ´e representado por:

vt = √ ρzt+ p 1 − ρet zt = τ zt−1+ √ 1 − τ2_w t (4.1) onde t = 1,...,T e |τ | < 1.

A correlaç ão temporal (τ ), feita atrav és do fator de risco sist émico, respeita o facto de o valor da empresa ser representado por uma distribuiç ão normal standard.

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Adriano Oliveira

A vari ável ρ é interpretada como a correlaç ão entre o valor da empresa e o risco sist émico. As vari áveis e1, ..., eT e w1, ..., wT s ão i.i.d. N (0, 1).

Normalmente a vari ável zt (”o shock da economia”) tem vari ância unit ária. O

modelo assim respeita essa suposiç ão, uma vez que a distribuiç ão n ão condi-cional de zt tem vari ância 1. Esta é a diferença entre o modelo representado

em Lamb & Perraudin (2008) e Jacobs & Kiefer (2010). A escolha do modelo autoregressivo de Jacobs & Kiefer (2010) n ão respeitava esta condiç ão.

Sendo um modelo estrutural, o incumprimento acontece quando o valor da empresa ´e inferior a um determinado limite c.

Sendo Y uma funç ão indicadora do incumprimento, ent ão:

Yt= I(vt < c)

p = P (Yt= 1) = P (vt < c) = Φ(c)

(4.2)

A probabilidade de incumprimento ´e representada por:

gt(p, ρ, zt) = P (Yt = 1|p, ρ, zt) = P (vt < c|p, ρ, zt) = Φ Φ −1_{(p) −}√_ρz t √ 1 − ρ ! (4.3)

No modelo existe tamb ém a simplificaç ão de que quando se est á a estu-dar uma carteira em que os empr éstimos possuem o mesmo risco, carteira ho-mog énea, o n úmero de incumprimentos pode ser modelado por uma distribuiç ão binomial.

(38)

Adriano Oliveira

{n1, n2, ..., nT} o tamanho da carteira, a func¸ ˜ao de densidade de yt dado zt, p, ρ

´e: f (yt|p, ρ, zt) = yy nt gt(p, ρ, zt)yt(1 − gt(p, ρ, zt))nt−yt (4.4) ondey = (y1, ..., yT)ez = (z1, ..., zT).

Consequentemente a funç ão de verosimilhança que ir á ser utilizada na funç ão a posteriori é dada por:

f (y|p, ρ, z) = T Y t=1 y_y nt gt(p, ρ, zt)yt(1 − gt(p, ρ, zt))nt−yt (4.5)

4.2.1 Func¸ ˜ao a priori

Tendo o modelo v árias vari áveis, p, ρ, τ,Z é necess ário introduzir funç ões a priori

para cada uma. Para a funç ão de p decidiu-se recorrer a um perito. A abor-dagem utilizada foi semelhante à de Kiefer (2009). O que se pretende eliciar é ent ão a funç ão de probabilidade da probabilidade de incumprimento tendo como horizonte temporal 1 ano. O perito est á bastante familiarizado com estat´ıstica, o que facilitou muito o processo.

Foram inquiridos os quantis: 25%, 50%, 75%, 90%, 95%. A resposta obtida foi: 1.3%, 2%, 3%, 4.5%, 7%.

De seguida, modelou-se a funç ão assumindo que ela correspondia a uma distribuiç ão beta. A modelaç ão é feita atrav és da minimizaç ão da soma dos erros quadr áticos entre os a quantis da distribuiç ão beta e os quantis fornecidos. Para tal foi utilizado a funç ão ”get.beta.par” do pacote ”rrsikDistributions”. O resultado foi uma distribuiç ão beta com α = 2.5 e β = 104.98, ou seja uma distribuiç ão beta

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Adriano Oliveira

com valor esperado ≈ 0.0233 e vari ˆancia ≈ 0.000209.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0 5 10 15 20 25 30 p π ( p )

Figura 4.1: Distribuic¸ ˜ao a priori

No anexo B pode ver-se que o desfasamento entre os quantis da distribuiç ão beta definida e os quantis do perito n ão é significativo.

Quanto ao par âmetro ρ, seria muito dif´ıcil conseguir utilizar a informaç ão do especialista, uma vez que tem muito pouca sensibilidade para conseguir definir uma funç ão para a vari ável. Decidiu-se optar por ”eliminar a vari ável” utilizando a funç ão definida por Kiefer (2011):

ρ(p) = .24 − .12(1 − e−50p) (4.6)

Esta f órmula adv ém da eliminaç ão do fator 1

1−e−50 da f ´ormula definida em Basileia

II, uma vez que apenas difere em 1 na 22acasa decimal.

Na base da f órmula est ão factos emp´ıricos, bem como intuiç ão econ ómica. Ela sup õe que quanto maior a PD menor a correlaç ão com o fator sist émico. A raz ão é simples, se a empresa tem uma probabilidade de incumprimento elevada

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Adriano Oliveira

significa que est á mais exposta ao seu pr óprio risco do que ao risco sist émico (Basel Committe on Banking Supervision 2005a).

Devido ao facto de existir muito pouca informaç ão sobre o par âmetro τ , optou-se por utilizar o princ´ıpio da raz ão insuficiente de Laplace escolhendo a distribuiç ão

U]−1,1[, ou seja uma distribuiç ão n ão-informativa.

4.2.2 Func¸ ˜ao a posteriori

A funç ão a posteriori é a seguinte:

π(p,z, τ |y) = f (y|p, z)π(p)π(z|τ )π(τ )

f (y) (4.7)

onde π representa a funç ão a priori. Sendo as vari áveis independentes t êm-se as seguintes distribuiç ões condicionais completas:

Func¸ ˜ao condicionada da probabilidade de incumprimento:

π(p|y, z, τ ) ∝ f (y|p, z)π(p) ∝ " _T Y t=1 gt(p, zt)yt(1 − gt(p, zt))nt−yt # pα(1 − p)β−1 (4.8)

Funç ão condicionada da correlaç ão temporal τ :

π(τ |y, z, p) ∝ f (z|τ )π(z) ∝ (1 − τ2₎−T −1 2 exp _XT t=2 −(zt− τ zt−1) 2 2(1 − τ2₎ (4.9)

(41)

Adriano Oliveira

Funç ão condicionada do fator sist émico no momento 1:

π(z1|y, z−1, τ ) ∝ f (y|p, z1)π(z1) ∝ g1(p, z1)y1(1 − g1(p, z1))n1−y1exp −z2 1 2 (4.10)

Funç ão condicionada do fator sist émico no momento > 1:

π(zt|y, z−t, τ ) ∝ f (y|p, z)π(zt|zt−1, τ ) ∝ gt(p, zt)yt(1 − gt(p, zt))nt−ytexp − (zt− τ zt−1) 2 2(1 − τ2₎ (4.11)

4.2.3 Implementac¸ ˜ao e Resultados

Para a implementaç ão do modelo desenvolveu-se um algoritmo de MCMC. O goritmo utilizado é o algoritmo de Metropolis-Hastings dentro de Gibbs. Esse al-goritmo foi desenvolvimento atrav és da combinaç ão da linguagem de programaç ão R e C++. O trabalho foi sempre desenvolvido no ambiente de desenvolvimento integrado (IDE) RStudio.

A combinaç ão do R com o C++ apresenta grandes vantagens e é feita atrav és do pacote RCPP1 _{e RCPPArmadillo}2_{. A principal raz ão para a combinaç ão das}

linguagens é aproveitar a rapidez do C++, uma vez que se ir á simular uma grande quantidade de n úmeros pseudo-aleat órios, e ao mesmo tempo ser pr ático criar gr áficos e utilizar pacotes de diagn óstico de MCMC, como o CODA. O algoritmo pode ser visto no anexo C.

Uma etapa crucial em MCMC é a escolha das distribuiç ões propostas.

1_{Faz a ligac¸ ˜ao entre o C++ e o R} 2_{Biblioteca em C++ de ´}_{Algebra Linear}

(42)

Adriano Oliveira

Para p (θ1

n) foi escolhida uma distribuic¸ ˜ao beta que toma como valor esperado o

valor anterior da cadeia: θ1

n|θn−11 ∼ B(cθ1n−1, c(1−θ1n−1)). O valor c e θ1-inicial foram

escolhidos para que a distribuiç ão inicial fosse a distribuiç ão a priori (c = 107 e θ1₀ = 0.023).

A escolha da funç ão beta é adequada uma vez que tem o mesmo suporte de p, [0, 1].

Para a vari ável τ escolheu-se a distribuiç ão U[−1,1]. A escolha deve-se ao facto

de n ão existir qualquer informaç ão sobre o seu valor. Assim, neste passo ir á ser usado um algoritmo de Metropolis-Hastings independente.

As vari ´aveis zt foram simuladas atrav ´es do algoritmo de Metropolis utilizando

uma distribuic¸ ˜ao N (0, 1) para definir o salto.

Foi gerada uma cadeia de 1e6 valores aleat órios e um ”burn-in”de 1000. No anexo D.1 pode-se observar os testes aplicados ao resultado da simulaç ão de Markov.

No anexo D.1.2 é apresentado o teste de Raftery que mostra que o ”burn-in” utilizado é superior ao necess ário, no entanto é utilizado por uma quest ão de aumentar a segurança.

O tamanho de cada ”batch” foi de 250. No anexo D.2 pode-se observar a auto-correlac¸ ˜ao.

Quanto à converg ência, n ão existe qualquer evid ência que aponte para que esta n ão tenha sido atingida (ver anexo D.1).

As taxas de aceitac¸ ˜ao foram as seguintes: (θ1_{, θ}2_{, ..., θ}6₎_{= (.262, .504, .565, .505, .331, .278)}

(43)

Adriano Oliveira

realizada ´e bastante semelhante `a feita por (Geyer 2012).

O valor esperado da PD e τ , bem como o MCSE s ˜ao dados na seguinte ta-bela:

p τ z1 z2 z3 z4

Estimac¸ ˜ao 0.01994 0.26851 1.47956 1.09970 -0.42610 -1.03491 MCSE 6.851e-05 7.801e-04 3.114e-03 3.752e-03 3.944e-03 3.609e-03

Tabela 4.2: M ´edias das vari ´aveis a posteriori

Quanto à forma da funç ão da densidade da PD é a seguinte:

Figura 4.2: Func¸ ˜ao π(p|y)

Ao observar a figura 4.2 pode-se tirar a conclus ão de que apesar de o valor esperado de incumprimento ser bastante semelhante ao definido pelo perito, a funç ão a posterior é mais informativa, uma vez que se encontra mais

(44)

concen-Adriano Oliveira

trada. Diminui-se, portanto, a dispers ˜ao de valores da probabilidade de incum-primento.

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

0.0

0.4

0.8 τ

Densidade

Figura 4.3: Func¸ ˜ao π(τ |y)

Quanto à correlaç ão temporal observa-se que é positiva, como seria de es-perar. Ou seja, a per´ıodos em que o risco sist émico é mais elevado seguem-se per´ıodos de elevado risco sist émico.

A tabela 4.2 mostra que o fator sist émico é positivo quando n ão existem in-cumprimentos e à medida que os inin-cumprimentos aumentam o fator sist émico piora, como seria de esperar.

Por fim, definida a funç ão a posteriori da PD da carteira de empr éstimos seria poss´ıvel calcular o capital econ ómico necess ário, utilizando a LGD definida por Basileia para este tipo de carteiras. No entanto, essa an álise fica fora do âmbito do projeto.

(45)

5. Conclus ˜

oes

Este trabalho teve como principal objetivo calcular a probabilidade de incum-primento atrav és da incorporaç ão da informaç ão hist órica, de uma carteira de cr édito real, com informaç ão fornecida por um perito de an álise de risco de cr édito.

Ao longo do projeto ficou explicitado a import ância da introduç ão da opini ão de peritos, principalmente quando a informaç ão hist órica é insuficiente ou pouco fi ável.

No entanto, a utilizaç ão de apenas um perito pode ter desvantagens principal-mente se existirem interesses pessoais em causa. Por isso recomenda-se que se desenvolva uma metodologia com um maior n úmero de peritos, caso se de-seje aplicar este modelo na realidade. Para tal, recomenda-se o modelo cl ássico de Cooke (1991).

Foi tamb ém desenvolvido um algoritmo de simulaç ão para determinar a funç ão a posteriori. É de facto crucial o conhecimento de Monte Carlo via cadeias de Markov quando se estuda estat´ıstica Bayesiana.

Seria tamb ´em interessante realizar um estudo comparativo, de m ´edio prazo, entre a abordagem aqui apresentada e a abordagem utilizada pelos bancos de forma a perceber qual a mais adequada.

No que toca à correlaç ão temporal do fator econ ómico denota-se que existe uma correlaç ão positiva, apesar de n ão ser muito forte ( ≈ .269).

(46)

Adriano Oliveira

modelos que combinem o c álculo da LGD com PD. J á existe, pelo menos, um estudo sobre o tema (Shevchenko & Luo 2012), no entanto ainda é uma área a investigar.

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Shevchenko, P. V. & Luo, X. (2012), ‘Dependent default and recovery: Markov chain monte carlo study of downturn loss given default credit risk model’, AN-ZIAM Journal53, C185–C202.

(50)

Adriano Oliveira

Tierney, L. (1994), ‘Markov chains for exploring posterior distributions’, the Annals of Statistics pp. 1701–1728.

(51)

A. Esquema Cl ´assico e Bayesiano

Modelo Experi-mental Dados Amostra Racioc´ınio Indutivo Infer ˆencia Estat´ıstica Figura A.1: Esquema Cl ´assico (Paulino et al. 2003)

Modelo Experi-mental Dados Amostra Teorema de Bayes Distribuiç ão a priori Racioc´ınio Dedutivo Infer ência Estat´ıstica

(52)

B. Distribuic¸ ˜ao a priori

0.02 0.04 0.06 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Beta (shape1= 2.5, shape2= 104.98)

fit.weights=c(1, 1, 1, 1, 1)Quantiles

Probability

Figura B.1: Desfasamento dos quantis da distribuic¸ ˜ao a priori beta e dos quantis do especialista

(53)

C. Algoritmo M-H dentro de Gibbs

Algoritmo 4 Metropolis-Hastings dentro de Gibbs Utilizado

1: Escolher (θ1

1, θ21, ..., θ61)

2: para t ← 2 at é n faça 3: Simular Y ∼ B(c(θ1 t−1), c(1 − θ1t−1))e U ∼ U[0,1] 4: Calcular α(θ1 t−1, Y )= min{ q(θ1 t−1)π(Y |θ−1) q(Y )π(θ1 t−1|θ−1) , 1} 5: se U ≤ α(θ1 t−1, Y )ent ão 6: θ1 t = Y 7: sen ão 8: θ_t1 = θ_t−11 9: fim se 10: Simular Y ∼ U[−1,1] e U ∼ U[0,1] 11: Calcular α(θ2 t−1, Y )= min{ π(Y |θ−2) π(θ2 t−1|θ−2), 1} 12: se U ≤ α(θ_t−11 , Y )ent ão 13: θ_t2 = Y 14: sen ão 15: θ2 t = θt−12 16: fim se

17: para j ← 3 at ´e 6 fac¸a

18: Simular Y ∼ θjt−1+ N (0, 1)e U ∼ U[0,1]

19: Calcular α(θj_t−1, Y )= min{ π(Y |θ−j)

π(θj_t−1|θ−j), 1} 20: se U ≤ α(θj_t−1, Y )ent ˜ao 21: θj_t = Y 22: sen ˜ao 23: θj_t = θj_t−1 24: fim se 25: fim para 26: fim para θ−j = (θt1, ..., θ j−1 t , θ j+1 t−1, ..., θt−1J )

(54)

D. Diagn ´

ostico Metropolis-Hastings

D.1 Converg ˆencia

D.1.1 M ´edias e Teste Geweke

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06

0.014

0.020

N_Simulações

p

Figura D.1: Evoluç ão da M édia da vari ável p

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06

−0.2 0.0 0.2 0.4 N_Simulações τ

Figura D.2: Evoluç ão da M édia da vari ável τ

p τ z1 z2 z3 z4

Resultados -0.154 1.045 0.055 -0.363 -.264 -.462 Tabela D.1: Teste Geweke

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Adriano Oliveira

confinaç ão de 95% n ão se rejeita a hip ótese nula (as m édias s ão iguais).

D.1.2 Teste Raftery e Lewis

Burn-in Total Lower bound Dependence factor p 140 170324 3746 45.50 τ 8 15888 3746 4.24 z1 51 69615 3746 18.60 z2 66 89738 3746 24.00 z3 124 141856 3746 37.90 z4 124 154473 3746 41.20

Tabela D.2: Teste Raftery e Lewis

D.2 Correlac¸ ˜ao

0 10 20 30 40 50 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation p 0 10 20 30 40 50 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation tau 0 10 20 30 40 50 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation Z1 0 10 20 30 40 50 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation Z2 0 10 20 30 40 50 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation Z3 0 10 20 30 40 50 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation Z4

(56)

Adriano Oliveira

ao Risco de Cr ´edito 45 0 5 10 15 20 25 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation 0 5 10 15 20 25 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation 0 5 10 15 20 25 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation 0 5 10 15 20 25 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation 0 5 10 15 20 25 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation 0 5 10 15 20 25 −1.0 0.5 Lag A utocorrelation