CAPÍTULO V CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES E RECOMENDAÇÕES
5.3. Implicações e Recomendações
Após a análise do desempenho dos alunos pode-se concluir que as dificuldades por eles reveladas também advêm de os professores privilegiarem nas suas aulas apenas alguns registos de representação semiótica, sendo o mais privilegiado o registo simbólico. Melo (2007), na sua
investigação, verificou que os professores utilizaram vários registos de representação semiótica, mas nas situações de conversão entre registos, alguns professores, só convertiam num sentido, privilegiando assim um único sentido na conversão. É, portanto, fundamental que os professores percebam a importância dos diferentes registos de representação semiótica e da sua mobilização, sendo que se o aluno conseguir relacionar corretamente os vários registos durante a resolução de uma tarefa, referente a um conceito dado, significa que este apreendeu em maior profundidade esse mesmo conceito.
Tal como já foi referido antes, a variedade dos registos de representação semiótica de um determinado conceito é muito importante (Duval, 2006), mas no ensino os professores não dão importância suficiente a esse aspeto. Como consequência, os alunos não conhecem todas as representações de um mesmo objeto e, por sua vez, não permite que os alunos conheçam todas as informações acerca de um determinado objeto, uma vez que cada tipo de representação acrescenta alguma informação acerca do mesmo.
Para preparar as suas aulas, é fundamental que o professor conheça as dificuldades dos seus alunos acerca do conceito que pretende abordar e quais os registos que deverão ser trabalhados de modo a proporcionar uma boa aprendizagem ao aluno. Assim, o professor na posse dessas informações consegue planear uma estratégia de ensino adequada à aprendizagem dos conceitos pelos seus alunos. Neste processo, é fundamental que os professores tenham consciência da importância da avaliação diagnóstica, a qual lhes permite detetar as dificuldades e as conceções erróneas dos alunos acerca de um determinado conceito. Para além disso, é importante, segundo Bezuienhout (2001), que o professor construa tarefas que exijam tanto a utilização de símbolos matemáticos como a sua interpretação.
Não menos importante, é o facto de os professores se deverem consciencializar que os tempos mudaram, pois “Temos escolas do século XIX, com professores do século XX para alunos do século XXI” (Almeida, 2017, n.p.). Por esse motivo, é necessário que as suas atitudes também mudem relativamente às estratégias de ensino e à utilização de novas tecnologias. Assim, concordando com o ensino exploratório, pensa-se que um ensino centrado no aluno e na resolução de tarefas exploratórias, que envolvam os vários registos de representação semiótica, poderá aumentar a motivação dos alunos e, em consequência, melhorar o desempenho dos alunos na disciplina de Matemática. Para isso, é fundamental que os professores reconheçam que esta mudança é necessária e que consigam vencer suas as inseguranças.
102
O professor também não deve descurar o uso das novas tecnologias, pois estas, para além de motivar os alunos para a disciplina de Matemática, também facilitam a aprendizagem e permitem que o registo gráfico seja mais explorado. Vários autores (Cornu, 1994; Fernandes & Vaz, 1998; Jordaan, 2005) referem que as tecnologias poderão trazer vantagens aquando a aprendizagem do conceito de limite. Como já foi referido anteriormente, segundo Dullius e Haetinger (2005), embora as novas tecnologias tragam muitas vantagens para a exploração de conceitos, há professores que ainda as continuam a rejeitar. Deste modo, é também importante que os professores vejam as novas tecnologias como um auxílio e não como uma ameaça de distração dos alunos. Fernandes e Vaz (1998) justificam o uso da tecnologia nas aulas de Matemática na medida em que tem potencial para desenvolver uma aprendizagem mais profunda e significativa, favorecer uma abordagem indutiva ou experimental da matemática e desenvolver as aplicações. No caso da aprendizagem mais profunda e significativa, defende-se que tal “pode resultar de muitas abordagens de uma mesma situação e/ou do recurso a diferentes formas de representação matemática” (Fernandes & Vaz, 1998, p. 45). É claro que o uso das tecnologias deve ser explicado e controlado, de modo a que os alunos percebam como as podem usar, dentro da sala de aula, para explorarem determinadas situações.
No que diz respeito às recomendações, sugere-se um estudo acerca das conceções dos alunos acerca do conceito de limite de uma função antes e depois de uma abordagem baseada na exploração dos diferentes registos de representação semiótica e uma análise aos atuais manuais escolares de modo a perceber se estes englobam todos os registos de representação utilizados e quais os mais frequentes, assim como se apresentam tarefas focadas nos erros e dificuldades dos alunos que têm sido investigadas.
5.4. Limitações
A principal limitação à execução deste projeto foi o tempo das aulas, uma vez que, ao todo, se tiveram seis aulas de noventa minutos e duas de quarenta e cinco minutos. Pensa-se que este tempo foi muito curto tendo em conta a exploração de um tema que envolvia conceitos complexos e a abordagem que se pretendia aplicar.
Uma outra limitação deste projeto deveu-se também à falta de bases dos alunos em relação a outros conceitos que eram propedêuticos à compreensão do tema em questão. Especificamente, o conceito de limite de uma sucessão assume-se como um conteúdo muito importante, tendo os alunos revelado muitas dificuldades na sua aprendizagem.
Um outro fator que condicionou este projeto prende-se com o facto de os alunos não estarem habituados a trabalhar com o registo gráfico. Na intervenção pedagógica o registo gráfico foi desenvolvido durante as duas semanas de lecionação, o que é muito pouco para que os alunos saibam utilizar corretamente esse registo.
Talvez, se o tempo de lecionação fosse mais longo, fosse possível explorar todos os registos e as dificuldades dos alunos de modo a se obterem melhores resultados.
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ANEXO 1
Exmo. Senhor Diretor do Agrupamento de Escolas de Barcelos Eu, Ana Sofia Fernandes Lomar, professora estagiária de Matemática da Escola Secundária de Barcelos, encontro-me na fase de preparação do meu projeto de intervenção pedagógica supervisionada, no âmbito de Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, da Universidade do Minho.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar uma recolha de dados que, nestes estudos, impõe gravações audiovisuais de algumas aulas de Matemática. Estas gravações servirão apenas como objeto de estudo para um projeto no âmbito do estágio profissional, e não serão usadas para nada além disso mesmo. Salvaguardo ainda que a identidade de qualquer aluno será sempre preservada, nunca referindo nomes nem qualquer tipo de identificação no trabalho que será efetuado.
De forma a viabilizar este estudo, solicitamos a V. Exa. autorização para realizar as gravações nas aulas de Matemática na turma F do 11º ano. Comprometo-me igualmente a solicitar autorização aos Encarregados de Educação.
Desde já agradeço a sua atenção. Com os melhores cumprimentos, Barcelos, 27 de Fevereiro de 2018.
A professora estagiária de Matemática _________________________________ (Ana Sofia Fernandes Lomar)
Autorização
Barcelos, ____ de Fevereiro de 2018. O Diretor do AEB
____________________________________ (Jorge Manuel Fernandes Vaz Saleiro)
ANEXO 2
Exmo(a) Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a) _________________________________ n.º _____ da turma F do 11.º ano.
Eu, Ana Sofia Fernandes Lomar, professora estagiária de Matemática da Escola Secundária de Barcelos, encontro-me na fase de preparação do meu projeto de intervenção pedagógica supervisionada, no âmbito de Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, da Universidade do Minho.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar uma recolha de dados que, nestes estudos, impõe gravações audiovisuais de algumas aulas de Matemática. Para tal, depois de obtida a necessária autorização do Diretor do Agrupamento de Escolas de Barcelos, venho também solicitar-lhe que autorize o seu educando a participar nessa recolha de dados.
Pela minha parte, enquanto única pessoa com acesso aos dados, comprometo-me a utilizar os dados recolhidos apenas para os propósitos do estudo e garantir sempre a confidencialidade dos alunos.
De forma a viabilizar este projeto, solicito autorização a V. Ex.a para efetuar as gravações audiovisuais das minhas aulas.
Desde já, agradeço a sua colaboração.
Barcelos, _____ de Fevereiro de 2018.
A professora estagiária de Matemática _________________________________________
(Ana Sofia Fernandes Lomar)
Autorização
Barcelos, __ de Fevereiro de 2018.
Assinatura do(a) Encarregado(a) de Educação ________________________________________
ANEXO 3
Nome:__________________________________________________________________________
1. Sabe-se que o limite da sucessão (𝑢𝑛) é 10, isto é, que lim𝑢𝑛= 10.
a) Explica por palavras o que significa o limite da sucessão (𝑢𝑛) ser 10.
b) Desenha um possível esboço gráfico para a sucessão (𝑢𝑛).
2. Observa com atenção a seguinte figura.
a) Observando o gráfico acima, explica por palavras o que acontece à sucessão quando a
ordem dos seus termos, 𝑛, aumenta indefinidamente.
b) Exprime a conclusão que obtiveste na alínea anterior em linguagem matemática.
3. Considera a sucessão (𝑎𝑛) definida por 𝑎𝑛=
1
𝑛 e a função 𝑓, real de variável real, definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2.
Partindo dos valores de 𝑛 indicados na tabela abaixo, completa-a determinando os correspondentes valores de 𝑎𝑛 e 𝑓(𝑎𝑛). 𝒏 𝒂𝒏 𝒇(𝒂𝒏) 1 2 3 4 5 TESTEDIGNÓSTICO 11º ANO 2/3/2018
118
a) O que acontece à sucessão (𝑎𝑛) quando 𝑛 aumenta indefinidamente?
b) O que acontece à sucessão 𝑓(𝑎𝑛) quando 𝑛 aumenta indefinidamente?
10 … … … 100 … … … 1000 … … … 1000000
ANEXO 4
Considera a função real de variável real 𝑓 definida em ℝ por 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 e as sucessões definidas por 𝑎𝑛 = 1 +
1 𝑛, 𝑏𝑛 = 1 − 1 𝑛 e 𝑐𝑛 = 1 + 1 𝑛2.
Partindo dos valores de 𝑛 indicados, completa as tabelas abaixo.
c) O que acontece às sucessões de termos gerais 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛 quando 𝑛 aumenta
indefinidamente?
d) O que acontece às sucessões de termos gerais 𝑓(𝑎𝑛), 𝑓(𝑏𝑛) e 𝑓(𝑐𝑛), imagens das sucessões de
termos gerais 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛, quando 𝑛 aumenta indefinidamente?
𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 1 2 ⋮ 10 ⋮ 100 ⋮ 1 000 ⋮ 10 000 𝑛 𝑓(𝑎𝑛) 𝑓(𝑏𝑛) 𝑓(𝑐𝑛) 1 2 ⋮ 10 ⋮ 100 ⋮ 1 000 ⋮ 10 000 FICHADEEXPLORAÇÃONº 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO SEGUNDO HEINE
ANEXO 5
1. Lê com atenção o seguinte teorema e observa o seguinte exemplo.
Exemplo
Como lim
𝑥→1−𝑓(𝑥) = 0 ≠ lim𝑥→1+𝑓(𝑥) = 1, então não existe lim
𝑥→1𝑓(𝑥).
Como lim
𝑥→1−𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+𝑓(𝑥) = 1, então existe lim
𝑥→1 𝑓(𝑥) e lim𝑥→1𝑓(𝑥) = 1
2. Depois de explorares o teorema e o exemplo com os teus colegas, resolve o exercício 1. Exercício 1. Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑓 de domínio
ℝ\{−2, −1}.
FICHADEEXPLORAÇÃONº 2 LIMITE LATERAIS
Teorema
Dada uma função real de variável real 𝑓 e dado um ponto 𝑎 aderente ao respetivo domínio, 𝐷𝑓, e 𝑎 ∉ 𝐷𝑓 se os limites lim
𝑥→𝑎+𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥) existirem e forem iguais, então existe o limite lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) e, nesse caso, lim
122
3. Lê com atenção o seguinte teorema e observa o exemplo.
Exemplo
Exercício 2. Observa a seguinte figura, onde está representado parte do gráfico da função 𝑔.
Indica, se existir, lim
𝑥→−4 𝑓(𝑥), lim𝑥→4𝑓(𝑥), lim𝑥→6𝑓(𝑥) e lim𝑥→8𝑓(𝑥).
Como lim
𝑥→2−𝑓(𝑥) = 1 ≠ lim𝑥→2+𝑓(𝑥) = 2, então
não existe lim
𝑥→2𝑓(𝑥).
Como lim
𝑥→2−𝑓(𝑥) = 1 ≠ lim𝑥→2+𝑓(𝑥) = 1,5, então
não existe lim
𝑥→2 𝑓(𝑥).
Como lim
𝑥→2−𝑓(𝑥) = 1,5 ≠ lim𝑥→2+𝑓(𝑥) = 2,
então não existe lim
𝑥→2𝑓(𝑥).
Como lim
𝑥→2−𝑓(𝑥) = lim𝑥→2+𝑓(𝑥) = 1 ≠ 𝑓(2) = 1,5, então não existe
lim
𝑥→2𝑓(𝑥).
Como lim
𝑥→2−𝑓(𝑥) = lim𝑥→2+𝑓(𝑥) = 𝑓(2) = 2, então existe lim𝑥→2𝑓(𝑥).
Teorema
Dada uma função real de variável real 𝑓 e dado um ponto 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, se os limites lim
𝑥→𝑎+𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎+𝑓(𝑥) existirem e forem ambos iguais a 𝑓(𝑎), então existe o limite lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) e, nesse caso, lim
ANEXO 6
1. De uma certa função sabe-se que lim𝑓(𝑥𝑛) = 3, para qualquer sucessão (𝑥𝑛) convergente
para 2. Indica, justificando, o valor de lim
𝑥→2𝑓(𝑥).
2. Considera a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 2 +1
𝑛 e a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.
Indica, justificando, o valor de: a) lim𝑓(𝑢𝑛) b) lim
𝑥→2𝑓(𝑥)
3. Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑓.
Calcula: a. lim
𝑥→−4−𝑓(𝑥) = b. lim𝑥→−4+𝑓(𝑥) = c. lim𝑥→1−𝑓(𝑥) =
d. lim
𝑥→1+𝑓(𝑥) = e. lim𝑥→4−𝑓(𝑥) = f. lim𝑥→4+𝑓(𝑥) =
4. Considera a função real de variável real 𝑔 definida por: 𝑔(𝑥) = {𝑥2− 2 𝑠𝑒 𝑥 < 3
7 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 Recorrendo à definição de limite segundo Heine, calcula lim
𝑥→3−𝑔(𝑥).
FICHADETRABALHO Nº 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO SEGUNDO HEINE
124
5. Na figura está representado parte do gráfico de uma função 𝑔, de domínio ℝ.
Sabendo que (𝑥𝑛) é uma sucessão tal que lim𝑔(𝑥𝑛) = +∞, indica, justificando, um possível termo geral da sucessão (𝑥𝑛).
6. Seja 𝑓 uma função real de variável real. Sabe-se que:
• O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 por valores superiores a 1 é 3; • O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 por valores inferiores a 1 é +∞;
• Para qualquer sucessão que converge para 6, as imagens da sucessão convergem para 0. Desenha um possível gráfico para a função 𝑓.
ANEXO 7
1. Na figura está representado parte do gráfico de uma função ℎ cujo domínio é ℝ\{−3}.
Considera a sucessão de termo geral 𝑥𝑛 = −3 +1
𝑛. O que podes concluir acerca de
limℎ(𝑥𝑛) ?
2. De uma função 𝑓 cujo domínio é ℝ\{1}, sabe-se que: • o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 não existe; • lim
𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 5.
Desenha um possível esboço do gráfico da função 𝑓.
3. Seja 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓(𝑥) = {3 −
25
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < −5
1 +5
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > −5
e sejam (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) duas sucessões definidas por 𝑢𝑛 = −5 + 1
𝑛−1 e 𝑣𝑛 = −5 − 1 𝑛2.
a) Calcula o valor de lim𝑓(𝑢𝑛) e de lim𝑓(𝑣𝑛).
b) O que podes concluir acerca de lim
𝑥→−5𝑓(𝑥)?
c) Recorrendo à definição de limite segundo Heine, calcula lim