Padr˜ oes na in´ ercia
5.1 In´ ercia diferente para estados diferentes
At´e o momento analisamos diversos resultados para um sistema com in´ercia igual para todas as c´elulas do sistema e constante no tempo. Por´em, podemos modificar essa in´ercia e observar a mudan¸ca ocorrida na dinˆamica do sistema. Inicialmente, analisamos a dinˆamica evolutiva de um sistema em que a in´ercia n˜ao varia no tempo, entretanto, ´e diferente para cada estado. Mostraremos os dois casos em que obtivemos os resultados mais interessantes.
No primeiro, mantivemos a in´ercia do estado zero igual a 2, pois a sobrevivˆencia de c´elulas no estado zero em fronteiras entre os estados +1 e -1 ´e m´axima. Para aumentar ou diminuir uma diferen¸ca entre as densidades dos estados +1 e -1 que possa surgir durante
a evolu¸c˜ao dinˆamica do sistema, tornamos a in´ercia maior para um estado e menor para o outro. Entretanto, se a in´ercia ´e muito alta, o sistema, na configura¸c˜ao estacion´aria, muda pouco em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao inicial. Mantemos ent˜ao, a in´ercia igual `a no m´aximo 2.
Faremos a an´alise apenas de uma matriz, mostrada na figura 5.1. Como abordaremos o assunto atrav´es de apenas uma matriz, veremos o efeito que a mudan¸ca na in´ercia causa sobre a dinˆamica espacial em nosso sistema. Al´em disso, faremos a compara¸c˜ao entre os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico, a qual n˜ao havia sido feita at´e o momento. Essa matriz inicial tem tamanho N=100 e densidades iniciaisρ+ = 0,17,ρ− = 0,16 eρ0 = 0,67.
Tornar a densidade inicial do estado zero deixa a dinˆamica evolutiva mais rica, pois os estados +1 e -1 poder˜ao se expandir espacialmente mais livremente, sem tanta competi¸c˜ao territorial com outro estado n˜ao neutro. Podemos tamb´em fazer uma analogia para essa densidade inicial do estado zero maior com um fato que ocorre na natureza. Por exemplo, quando ocorre um desmatamento, um novo tipo de floresta poder´a aparecer, sendo que, a floresta antiga (antes do desmatamento) ter´a apenas alguns focos de sua existˆencia nessa nova ´area. Na verdade, mencionamos que uma ´area desmatada ´e suscept´ıvel ao aparecimento de v´arios outras esp´ecies n˜ao aut´octones. Portanto, uma regi˜ao desmatada
´e equivalente `as regi˜oes com c´elulas no estado zero.
Figura 5.1: Distribui¸c˜ao espacial inicial dos estados +1 (preto), -1 (cinza) e 0 (branco).
Antes de iniciar a fase de an´alises de resultados, vamos relembrar as regras do modelo probabil´ıstico. Nesse modelo, todas as regras determin´ısticas (regra dinˆamica e condi¸c˜ao inercial) s˜ao aplicadas, da mesma maneira que s˜ao aplicadas no modelo determin´ıstico, por´em, adicionamos um termo probabil´ıstico. Esse termo prevˆe uma probabilidade n˜ao nula de qualquer c´elula, que contenha, em sua vizinhan¸ca, uma c´elula no estado zero, mude espontaneamente para o estado zero. Esse termo acaba mudando bastante a dinˆamica
evolutiva do sistema. Sendo assim, podemos ent˜ao fazer a compara¸c˜ao entre os dois modelos, determin´ıstico e probabil´ıstico.
Para primeira an´alise, as in´ercias dos estados s˜ao mantidas da seguinte forma: I0 = 2 (in´ercia do estado zero), I+ = 1 (in´ercia do estado +1), I− = 0 (in´ercia do estado −1).
Com esses valores, tendemos a tornar o estado +1 com maior densidade na configura¸c˜ao estacion´aria, ou seja, esse estado tende a dominar um espa¸co territorial maior ao longo do tempo, comparando com a in´ercia igual para todos os elementos. Podemos corroborar essa tendˆencia a partir da figura 5.2, a qual mostra os gr´aficos das densidades dos estados +1, -1 e zero para os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico com probabilidadep1 = 5%, 10%
e 15%. Vemos, nessa figura, que aparece uma diferen¸ca bem grande entre as densidades dos estados +1 e -1, principalmente quando as densidades se estabilizam.
Tamb´em podemos notar que a densidade do estado zero n˜ao se anula com o tempo, pois sua in´ercia ´e igual a 2, fazendo com que v´arios elementos desse estado sobrevivam durante bastante tempo. ´E interessante ver que os dois modelos apresentam resultados parecidos.
Por´em, para o modelo probabil´ıstico, `a medida que aumentamos a probabilidade de c´elulas mudarem para o estado zero, notamos que a densidade do estado -1 e zero diminuem e a do estado +1 aumenta numa taxa maior. Isso acontece porque quando aumentamos p1, varias c´elulas tendem a mudar para o estado zero, por´em, como a densidade do estado +1 ´e muito grande, esses zeros tendem a serem absorvidos pelo estado +1. Al´em disso, essa probabilidade torna o estado zero em um novo competidor na dinˆamica do sistema.
Como o estado +1 tem mais for¸ca na competi¸c˜ao dinˆamica (in´ercia maior), o estado -1 perder´a mais elementos do que consegue conquistar no sistema, enquanto o estado zero tende a n˜ao perder muitos elementos, pois sua in´ercia ´e a maior entre todos os estados.
0 5 10 15 20 25 30
Densidade dos estados (ρα)
ρ+
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 50 100
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 25 50 75 100 125
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.2: Densidade dos estados +1, -1 e zero versus gera¸c˜ao com I+ = 1, I− = 0 e I0 = 2 para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico com p1 = 5%, (c) probabil´ıstico com p1 = 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
0 5 10 15 20 25 30
Tamanho médio dos clusters
+1
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 10 20 30 40 50 60
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 50 100
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.3: Tamanho m´edio dos clusters versus gera¸c˜ao comI+ = 1,I−= 0 eI0= 2, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico comp1 = 5%, (c) probabil´ıstico comp1 = 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
0 5 10 15 20 25 30
Quantidade média de clusters
+1
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 10 20 30 40 50 60
Quantidade média de clusters
+1 -1 0
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 50 100
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.4: Quantidade de clusters versus gera¸c˜ao comI+ = 1,I− = 0 eI0= 2, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico com p1= 5%, (c) probabil´ıstico comp1= 10%, (d) probabil´ıstico com p1= 15%.
Outro fator interessante que podemos analisar ´e a forma¸c˜ao de clusters. Podemos ver, na figura 5.3, como o tamanho m´edio dos clusters evolui no tempo. Nela notamos que o tamanho m´edio dos clusters +1 aumenta na mesma propor¸c˜ao que a densidade, o que j´a era esperado, pois, ao se aumenta a densidade ρ+, o tamanho dos clusters deve aumen-tar tamb´em. Na figura 5.4 vemos a quantidade de clusters pelo tempo. A partir desta figura percebemos que a quantidade de clusters +1 diminui, e olhando juntamente com o aumento na densidade desse estado, conclu´ımos que s˜ao formados um n´umero menor clusters, por´em, de tamanhos maiores. Os clusters do estado -1 seguem o mesmo com-portamento, mas s˜ao menores e menos numerosos que os do estado +1. J´a os clusters do estado zero se comportam de maneira diferente, eles diminuem rapidamente de tamanho,
aumentando em quantidade. Entretanto, eles inicialmente aumentam at´e um m´aximo e ent˜ao diminuem lentamente em quantidade, formando um pico. Isso acontece porque os clusters diminuem em tamanho numa taxa maior que a taxa de crescimento da densidade desse estado. Assim, o n´umero de clusters aumenta, chegando a um ponto em que o tamanho dos clusters se estabiliza e a densidade continua diminuindo, diminuindo assim a quantidade de clusters. Quando comparamos o modelo determin´ıstico com o probabi-l´ıstico vemos que o comportamento ´e o mesmo, por´em, o modelo probabiprobabi-l´ıstico tem mais flutua¸c˜oes, uma vez que h´a uma probabilidade das c´elulas mudarem para o estado zero espontaneamente. Al´em disso, vemos que h´a uma diferen¸ca na quantidade e no tamanho dos clusters quando variamosp1, mas isso ser´a explicado adiante.
Figura 5.5: Primeiras 8 gera¸c˜oes para o modelo determin´ıstico comI+= 1,I−= 0 eI0= 2.
As figuras 5.5 e 5.6 mostram as 8 primeiras gera¸c˜oes do sistema com I+ = 1, I− = 0 e I0 = 2, tanto para o modelo determin´ıstico, quanto para o probabil´ıstico. A partir delas podemos ver espacialmente todos os resultados discutidos anteriormente. Vemos que o estado +1 se expande mais rapidamente que o estado -1. Notamos tamb´em que temos muitos clusters dos estados +1 e -1 inicialmente, por´em eles v˜ao se fundindo for-mando poucos clusters, mas com tamanhos maiores. Tamb´em podemos ver que o estado zero est´a inicialmente distribu´ıdo por todo o sistema, onde as c´elulas est˜ao quase que totalmente conectadas umas as outras, mas rapidamente esses clusters s˜ao quebrados, formando diversos outros menores. Inicialmente vemos que essa quebra de clusters acon-tece rapidamente, por´em, a partir da 3ªe 4ªgera¸c˜oes, as c´elulas do estado zero come¸cam a ser consumidas pelos outros estados, diminuindo assim seu n´umero. Esse fato explica o pico que aparece na quantidade de clusters. Tamb´em vemos que o estado zero sobrevive apenas nas fronteiras entre os estados +1 e -1. Al´em de tudo isso, quando comparamos as
Figura 5.6: Primeiras 8 gera¸c˜oes para o modelo probabil´ıstico (com p1 = 10%) comI+ = 1,I− = 0 e I0= 2.
figuras dos modelos determin´ıstico e probabil´ıstico, vemos que eles se comportam inicial-mente de forma parecida, entretanto, mais c´elulas do estado zero sobrevivem no modelo probabil´ıstico. Essas c´elulas zero que sobrevivem se localizam tanto nas fronteiras entre clusters de diferentes estados, quanto dentro dos pr´oprios clusters. Isso ocorre porque elas conseguem penetrar no cluster, por´em, como a in´ercia dos estados +1 e -1 (que formam os clusters) ´e baixa, essas c´elulas zero que tentam penetrar nos cluster n˜ao conseguem sobreviver por muito tempo nessas situa¸c˜oes.
Figura 5.7: Configura¸c˜oes estacion´arias para os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico (comp1= 5%, 10% e 15%) comI+= 1, I−= 0 eI0= 2.
Na figura 5.7 vemos as configura¸c˜oes estacion´arias dos dois modelos utilizados. Nota-mos que eles tˆem configura¸c˜oes estacion´arias distintas, o que se ´e de esperar, pois como a in´ercia do estado zero ´e igual a dois, maximizamos a sobrevivˆencia de zeros nas fronteiras entre os estados. Com isso, no modelo probabil´ıstico, as c´elulas pr´oximas `as fronteiras podem espontaneamente virar uma c´elula zero, fazendo com que alguns clusters desapa-re¸cam. Nesse caso s˜ao principalmente os clusters do estado -1 que desaparecem, pois este
´e o estado que tem menor in´ercia, ou seja, tem a menor for¸ca na competi¸c˜ao dinˆamica e acaba perdendo “territ´orio” para o estado +1.
0 5 10 15 20
Densidade dos estados (ρα)
ρ+
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 50 100
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 50 100
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.8: Densidade dos estados +1, -1 e zero versus gera¸c˜ao com I+ = 0, I− = 1 e I0 = 2, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico com p1 = 5%, (c) probabil´ıstico com p1 = 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
Como j´a utilizamos a in´ercia para aumentar a predominˆancia do estado +1, tentaremos ent˜ao aumentar a predominˆancia do estado -1, fazendo com que este possua a maior in´ercia. A in´ercia fica da seguinte forma: I0 = 2 (in´ercia do estado zero), I+= 0 (in´ercia do estado +1),I−= 1 (in´ercia do estado -1). Na figura 5.8 podemos ver como a densidade de elementos em cada estado varia no tempo. A partir dela podemos ver que o estado -1 predomina no sistema praticamente desde o in´ıcio da evolu¸c˜ao, pois os dois estados
tem densidades muito parecidas. Al´em disso, a forma da predominˆancia do estado -1 ´e praticamente idˆentica `a predominˆancia do estado +1 no caso anterior. Portanto podemos ver que ao alternar o valor da in´ercia, deixando-a maior para um certo estado (+1 ou -1), fazemos com que esse estado predomine. Devemos lembrar que os resultados aqui mostrados s˜ao v´alidos para as densidades escolhidas. Entretanto, outras configura¸c˜oes iniciais apresentam resultados muito semelhantes.
0 5 10 15 20
Tamanho médio dos clusters
+1
Tamanho médio dos clusters
+1 -1 0
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 25 50 75 100
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 20 40 60 80 100 120
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.9: Tamanho m´edio dos clusters versus gera¸c˜ao comI+ = 0,I−= 1 eI0= 2, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico comp1 = 5%, (c) probabil´ıstico comp1 = 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
J´a nas figuras 5.9 e 5.10 encontramos o tamanho m´edio dos clusters e a quantidade de clusters de cada estado existentes no sistema, em fun¸c˜ao do tempo, respectivamente.
Podemos ver que o tamanho m´edio dos clusters -1 aumenta com o tempo, enquanto a quantidade destes diminui, sendo que temos menos clusters -1, por´em maiores, quando comparados com os clusters +1. Isso acontece pois a in´ercia do estado -1 ´e maior. ´E interessante ver que nos instantes iniciais, a quantidade de clusters de c´elulas no estado zero aumenta rapidamente, atingindo um m´aximo e ent˜ao come¸ca a decair. O mesmo fenˆomeno j´a aconteceu no exemplo anterior e o motivo para que ele ocorra ´e o mesmo.
Inicialmente os clusters diminuem em tamanho numa taxa menor que o aumento de sua densidade. Entretanto, em um momento, o tamanho dos clusters do estado zero se estabi-liza, mas sua densidade continua a diminuir, diminuindo assim, a quantidade de clusters.
Comparando os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico, vemos que, qualitativamente, o comportamento das curvas ´e bem parecido, tendo a predominˆancia do estado -1. Con-tudo, no modelo probabil´ıstico, o estado +1 continua a diminuir em densidade, pois, as c´elulas zero que se encontram nas fronteiras entre os clusters +1 e -1 conseguem penetrar nos clusters +1 com maior eficiˆencia, destruindo esses clusters.
0 5 10 15 20
Quantidade média de clusters
+1
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 25 50 75 100
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 25 50 75 100
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.10: Quantidade de clusters versus gera¸c˜ao comI+= 0,I− = 1 eI0= 2, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico com p1= 5%, (c) probabil´ıstico comp1= 10%, (d) probabil´ıstico com p1= 15%.
As figuras 5.11 e 5.12 mostram as 8 primeiras gera¸c˜oes do sistema com I+ = 0, I− = 1 eI0 = 2, para os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico, respectivamente. A partir delas podemos notar a predominˆancia do estado -1. Vemos que o estado -1 se expande com maior eficiˆencia que o estado +1, pois a in´ercia do estado +1 ´e menor que do estado -1. Tamb´em vemos aqui a fus˜ao dos pequenos clusters -1 para formar clusters maiores.
Os resultados aqui observados s˜ao os mesmos comparado ao padr˜ao de in´ercia anterior, por´em estes est˜ao invertidos para os estados +1 e -1. ´E interessante notar que realmente o estado zero tem maior predominˆancia nas fronteiras formadas pelos outros estados.
Figura 5.11: Primeiras 8 gera¸c˜oes para o modelo determin´ıstico comI+= 0,I− = 1 eI0= 2.
Na figura 5.13 vemos as configura¸c˜oes estacion´arias para os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico. Vemos que o estado -1 domina praticamente todo o sistema, enquanto o estado +1 forma alguns clusters e o estado zero praticamente sobrevive somente nas fronteiras entre os outros estados. Se compararmos essa figura com a 5.7, que mostra as configura¸c˜oes estacion´arias do exemplo anterior, vemos que, qualitativamente, as configu-ra¸c˜oes estacion´arias s˜ao bem parecidas, por´em, com a predominˆancia dos estados +1 e -1 invertida.
Figura 5.12: Primeiras 8 gera¸c˜oes para o modelo probabil´ıstico (com p1= 10%) comI+= 0,I−= 1 e I0= 2.
Figura 5.13: Configura¸c˜oes estacion´arias para os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico (comp1= 5%, 10% e 15%) comI+= 0, I−= 1 eI0= 2.