Padr˜ oes na in´ ercia
5.3 In´ ercia variando no tempo
At´e o momento fizemos simula¸c˜oes com in´ercia igual para todos os estados, diferente para cada estado e variando em fun¸c˜ao da densidade de cada estado. O que acontecer´a se a in´ercia for fun¸c˜ao do tempo? Para testar essa hip´otese, vamos variar a in´ercia numa forma senoidal. Isso se justifica porque na natureza, as resistˆencias `as mudan¸cas de v´arios elementos depende de v´arios fatores, e alguns deles s˜ao sazonais, como, por exemplo, o crescimento da vegeta¸c˜ao em fun¸c˜ao da esta¸c˜ao do ano. A in´ercia, ent˜ao, ir´a mudar a cada 2 gera¸c˜oes, aumentando ou diminuindo em uma unidade. A in´ercia inicialmente aumenta at´e atingir um valor igual a 8. A partir da in´ercia 8, ela come¸ca a diminuir at´e
atingir o valor de zero, onde ent˜ao aumenta novamente, sempre seguindo esse ciclo. Para obter resultados mais interessantes, mantivemos as in´ercias de cada estado com valores diferentes, equivalente a uma diferen¸ca de fase na in´ercia de cada estado. Primeiramente analisamos o caso em que as in´ercias iniciais ficassem da seguinte maneira: I+= 1, I− = 3 eI0 = 5. Dessa forma maximizamos a sobrevivˆencia do estado zero, pois inicialmente sua in´ercia ´e maior .
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 100 200 300 400
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 75 150 225 300
Densidade dos estados (ρα)
ρ+ ρ− ρ0
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.22: Densidade dos estados +1, -1 e zero versus gera¸c˜ao com in´ercia oscilando no tempo, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico com p1 = 5%, (c) probabil´ıstico com p1 = 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
Na figura 5.22 encontramos a densidade de cada estado em fun¸c˜ao do tempo para esse padr˜ao oscilante de in´ercia. A partir dessas figuras podemos ver as grandes diferen¸cas que surgem entre os modelos determin´ıstico e probabil´ıstico. Inicialmente vamos analisar os
modelos separados. Para o modelo determin´ıstico, n˜ao encontramos oscila¸c˜oes peri´odicas nas densidades, elas apenas aumentam ou diminuem at´e atingir um estado estacion´ario.
Como a in´ercia do estado zero ´e inicialmente igual a 5 e ir´a aumentar at´e 8 para ent˜ao diminuir, ent˜ao, as primeiras 16 gera¸c˜oes ter˜ao in´ercias altas para o estado zero, portanto n˜ao haver´a muitas mudan¸cas em sua densidade. Nessas primeiras gera¸c˜oes veremos mu-dan¸cas apenas para os estados +1 e -1, que disputar˜ao territ´orio entre si. Como o estado -1 tem maior in´ercia inicialmente, este aumentar´a sua densidade. Por´em, no decorrer do tempo, a in´ercia do estado +1 tamb´em aumenta, ocasionando uma densidade constante durante per´ıodo onde a in´ercia para de todos os estados ´e alta. A partir da 17ªitera¸c˜ao, a in´ercia do estado zero j´a ´e igual a 2, e ir´a diminuindo at´e zero. Com isso, os estados +1 e -1 conseguem se expandir rapidamente sobre o estado zero, fazendo com que sua densidade diminua. Quando atingimos a 24ª itera¸c˜ao, a in´ercia do estado zero novamente se torna alta, tornando esse estado com densidade constante, ou seja, os poucos elementos zero que sobreviveram n˜ao mudam de estado durante algum tempo. Logo ap´os isso, os estados +1 e -1 voltam a competir apenas entre si por territ´orio, por´em a in´ercia do estado -1 ´e menor que a do estado +1, fazendo com que o estado +1 consiga ganhar territ´orio sobre o estado -1. Isso faz com que hajam mais clusters do estado +1 do que do -1 (podemos ver isso na figura 5.24a). Por´em, com o passar do tempo, o estado -1 aumenta sua in´ercia, ficando com uma in´ercia maior que a do +1, voltando novamente a ganhar territ´orio sobre +1. Depois disso, n˜ao h´a uma grande varia¸c˜ao nas densidades dos estados. Apenas entre as 60ªe 70ªitera¸c˜oes, nas quais h´a uma pequena varia¸c˜ao nas densidades dos estados +1 e -1, mas que ocorre pelos mesmos motivos descritos anteriormente.
Agora se olharmos para o modelo probabil´ıstico, vemos que h´a uma maior oscila¸c˜ao nas densidades. Elas s˜ao explicadas da mesma forma que no modelo determin´ıstico, por´em com a diferen¸ca de que, quando a in´ercia ´e mais alta para o estado zero do que para os outros estados, este tende a se expandir sobre o sistema. Devido `a probabilidade p1, c´elulas vizinhas aos zeros, podem mudar para o estado zero, aumentando ainda mais sua densidade. Dessa forma, o aumento do n´umero de c´elulas zero realimenta o sistema, deixando regi˜oes que poder˜ao ser dominadas pelos estados +1 e -1, o que leva `as oscila¸c˜oes na densidade. Na verdade podemos reparar que os picos das oscila¸c˜oes da densidade do estado zero correspondem aos menores valores deρ+ e ρ− e vice-versa.
0 30 60 90 120 150
Tamanho médio dos clusters
+1
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 100 200 300 400
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 75 150 225 300
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.23: Tamanho m´edio dos clusters versus gera¸c˜ao com in´ercia oscilando no tempo, para os mode-los (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico comp1= 5%, (c) probabil´ıstico comp1= 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
0 30 60 90 120 150
(b) Modelo probabil´ıstico (p1= 5%)
0 75 150 225 300 375
(c) Modelo probabil´ıstico (p1= 10%)
0 75 150 225 300
(d) Modelo probabil´ıstico (p1= 15%)
Figura 5.24: Quantidade de clusters versus gera¸c˜ao com in´ercia oscilando no tempo, para os modelos (a) determin´ıstico, (b) probabil´ıstico comp1 = 5%, (c) probabil´ıstico com p1 = 10%, (d) probabil´ıstico comp1= 15%.
Nas figuras 5.23 e 5.24 encontramos o tamanho m´edio e a quantidade de clusters para cada estado, respectivamente. Inicialmente vemos que o tamanho m´edio dos clusters +1 diminuem e dos clusters -1 aumentam Notamos tamb´em que a quantidade de clusters +1 decresce, pois o estado -1 se expande sobre o +1. Um ponto bastante importante que analisamos em todos os sistemas ´e a sobrevivˆencia de c´elulas zero nas fronteiras entre os estados +1 e -1. Tal fenˆomeno, para esse padr˜ao de in´ercia, ´e bastante evidenciado, j´a que, no modelo probabil´ıstico, a forma¸c˜ao dessas fronteiras com o estado zero ´e essencial para que a densidade do estado zero aumente, realimentando o sistema, de forma a manter as oscila¸c˜oes. Na figura 5.25 encontramos um ciclo de 4 gera¸c˜oes (intervalo de 9 itera¸c˜oes entre cada gera¸c˜ao) que se repetem (n˜ao exatamente da mesma forma, mas de maneira
similar), formando as oscila¸c˜oes encontradas nos gr´aficos do modelo probabil´ıstico. Esse ciclo mostra que as c´elulas zero tendem a sobreviver nas fronteiras e isso faz com que, quando sua in´ercia ´e alta, consigam se expandir a partir das fronteira. Contudo, quando a in´ercia torna a diminuir, essas c´elulas tornam a desaparecer, sobrevivendo novamente nas fronteiras. Esse fenˆomeno ocorre para todos os valores de p1.
Figura 5.25: 4 gera¸c˜oes que mostram a importˆancia da forma¸c˜ao de ec´otonos em sistema com in´ercia oscilante. Modelo probabil´ıstico comp1= 10%.