Na metodologia adotada após o teste de Rank de Dominância, três indicadores de qua- lidade são aplicados: hipervolume, ε-unário aditivo e R2(ZITZLER et al., 2008). Foi utilizado o
frameworkPISA (BLEULER et al., 2003) para calcular estes indicadores, o qual está disponível em http://www.tik.ee.ethz.ch/pisa.
O indicador hipervolume, proposto por Zitzler e Thiele (1999), mede o hipervolume da porção do espaço objetivo que é fracamente dominada por um conjunto de aproximação A. O objetivo é maximizar este indicador. Para que o cálculo do hipervolume possa ser feito, o espaço de objetivos deve ser limitado por um ponto limitante, chamado ponto nadir, dominado por todos os outros pontos. Formalmente, o hipervolume pode ser calculado por meio da Equação 16.
IH(A, nadir) = Z
RT111H(A,nadir)(z)dz (16)
tal que IH(A, nadir) é o hipervolume da aproximação obtida pelo conjunto A considerando
o ponto nadir, RT é o espaço real de dimensão T, 111H(A,nadir)(z) é a função característica de H(A, nadir) a qual é igual a 1 se z ∈ H(A, nadir) e 0 caso contrário, e H(A, nadir) é definido de acordo com a Equação 17, tal que
H(A, nadir) = {z ∈ Z | ∃a ∈ A : a z nadir} (17)
Uma das desvantagens do indicador IH é o tempo computacional para seu cálculo,
que cresce exponencialmente com o número de objetivos e polinomialmente com relação a quantidade de pontos do conjunto de aproximação (WHILE et al., 2005).
Um exemplo do indicador IH pode ser visto na Figura 22. Neste exemplo, ambos os
objetivos devem ser minimizados. As linhas tracejadas representam a fronteira de Pareto real. Pode-se observar que a porção do espaço objetivo que é fracamente dominada pelo conjunto de aproximação A é maior do que a que é fracamente dominada pelo conjunto de aproximação B. Neste caso, o hipervolume associado a aproximação A seria maior do que o hipervolume associado ao conjunto de aproximação B.
Figura 22: Exemplo do Indicador Hipervolume (KNOWLES et al., 2006).
Cabe observar que algumas implementações deste indicador consideram a diferença do hipervolume com relação a um conjunto de referência (R), neste caso o valor resultante deve ser minimizado. Voltando ao exemplo da Figura 22, poderia adotar-se a fronteira real como sendo o conjunto. Neste caso, pode-se observar que a diferença entre o hipervolume do conjunto R e o hipervolume do conjunto A é menor que a diferença entre o hipervolume do conjunto R e o hipervolume do conjunto B, o que demonstra que, de acordo com o indicador hipervolume, a aproximação da fronteira de Pareto encontrada pelo conjunto A é melhor que a encontrada pelo
conjunto B.
Neste trabalho adotou-se o uso do conjunto de referência para cálculo do hipervo- lume e o conjunto de referência é definido como sendo o conjunto formado pelas soluções não-dominadas encontradas durante todas as execuções de todos os algoritmos. O conjunto de referência é obtido por meio da execução do comando filter do framework PISA. Desde modo, todos os indicadores utilizados neste trabalho devem ser minimizados.
Cabe salientar que o conjunto de referência, R, nem sempre corresponde a um conjunto melhor do que os conjuntos de aproximação encontrados pelos algoritmos sendo avaliados, ou seja, o conjunto de referência considerado pode corresponder a um conjunto de aproximação da fronteira de Pareto pior do que aqueles encontrados pelos algoritmos sendo avaliados. Neste caso o valor do indicador poderia ser negativo. Com a metodologia adotada para encontrar o conjunto de referência isto nunca ocorre.
O cálculo exato do valor do hipervolume foi realizado por meio do comando hyp_ind do framework PISA, o qual utiliza o algoritmo HSO (Hypervolume by Slicing Objectives).
Como o cálculo do valor exato do hipervolume é muito custoso computacionalmente, ele torna-se inviável em alguns casos (BADER; ZITZLER, 2011). Por isso, nesta tese, em alguns casos (mPQA com cinco ou mais objetivos) o valor do hipervolume foi aproximado. Para se aproximar o valor do hipervolume obtêm-se N amostras aleatórias (geradas com distribuição uniforme) (X1, . . . , XN) no espaço dos objetivos e calcula-se a fração destas amostras que são
dominadas pelo conjunto de aproximação sendo mensurado. Esta fração é uma aproximação do hipervolume por um método de Monte Carlo (ROBERT; CASELLA, 2010). Definindo- se a função αA(Xi) como sendo igual a 1 quando o ponto Xi é dominado pelo conjunto de
aproximação A e 0 caso contrário; o hipervolume do conjunto A é aproximado por: IH(A) ≈
1/N ∑Ni=1αA(Xi) (BADER; ZITZLER, 2011). Mesmo no caso do cálculo aproximado do valor
do indicador de hipervolume, um conjunto de referência foi utilizado.
Os indicadores ε-Unário multiplicativo (Iε) e ε-Unário aditivo (Iε +) foram propostos
por Zitzler et al. (2003). O indicador calcula o menor valor ε que, quando multiplicado/adiciona- do a todas as soluções do conjunto de referência R, faz com que este passe a ser fracamente dominado. Assim, deseja-se que a saída deste indicador seja minimizada. Este indicador possui um custo computacional baixo.
Neste trabalho foi adotado o indicador ε-Unário aditivo, o qual é definido de acordo com a Equação 18 onde a relação ε +é definida de acordo com a Equação 19 e R é o conjunto de referência.
Iε +(A, R) = inf
ε +∈R
{∀z2∈ R ∃ z1∈ A : z1ε +z2} (18)
z1ε +z2⇔ ∀i ∈ 1 . . . n : z1i ≤ ε + z2i (19)
Na Figura 23 é ilustrado o funcionamento do indicador ε-Unário. Para que os pontos do conjunto de aproximação A dominem fracamente todos os pontos do conjunto de referência R é necessário subtrair um valor ε em todas as dimensões de todos os pontos pertencentes ao conjunto A, deslocando todos os pontos de A para o final da região cinza (o que é equivalente a adicionar um valor ε aos pontos do conjunto de referência R).
Figura 23: Exemplo do Indicador ε-Unário (KNOWLES et al., 2006).
O cálculo do ε-Unário foi realizado utilizando o comando eps_ind do PISA.
Os indicadores (IR2) e (IR3), propostos por Hansen e Jaszkiewicz (1998), se utilizam de
uma série de funções de utilidade (utility functions) para calcular várias possíveis preferências do tomador de decisão e analisar quão bem elas estão sendo atingidas. Para isso, são utilizados vetores de decomposição (escalarização) que parametrizam as funções de utilidade. A utilidade u( ˜λ , R) do conjunto de aproximação R, no vetor de pontos escalarizados ˜λ é a distância mínima entre um ponto do conjunto R e um ponto de referência (geralmente, o ponto ideal). Esta distância é medida por meio da projeção do ponto de R no vetor de escalarização. O cálculo da utilidade do conjunto A é realizado de maneira análoga, apenas substituindo o conjunto R pelo conjunto A. Neste trabalho, é utilizado apenas o indicador IR2, o qual é definido de acordo com
a Equação 20.
IR2 =∑ ˜λ ∈Vu( ˜λ ,R)−u( ˜λ ,A)
tal que R é o conjunto de referência, A é conjunto para o qual deseja-se encontrar o valor do indicador IR2, V é o conjunto de todos os vetores de escalarização utilizados, ˜λ é um
dos vetores do conjunto V e |V | é a quantidade de vetores de escalarização, ou seja, o indicador IR2 pode ser definido como a média das diferenças entre as utilidades dos pontos do conjunto de
referência e as utilidades dos pontos do conjunto de aproximação considerando todos os vetores de escalarização pertencentes a V .
A Figura 24 ilustra o funcionamento do indicador IR2. O ponto zre f representa o ponto
ideal, as setas direcionadas representam os vetores de pesos, as circunferências marcadas em preto os pontos obtidos pelo conjunto de aproximação A e as cinzas os pontos do conjunto de referência R. O valor do indicador é a soma das utilidades para cada um dos vetores de pesos. A Figura 24b) ilustra o cálculo da utilidade do conjunto A e do conjunto R para um único vetor de pesos. Observa-se que apenas o ponto com menor distância de acordo com a métrica adotada entra no cálculo da utilidade para cada um dos conjuntos de pontos. Para este vetor em particular a utilidade de A é melhor do que a utilidade de R, visto que a distância medida no ponto pertencente a A é menor do que a distância medida no ponto pertencente a R (perímetro dos retângulos na Figura 24b)).
Figura 24: Exemplo do Indicador R2(KNOWLES et al., 2006).
O valor do indicador IR2 foi obtido por meio do comando r_ind do framework PISA.
A função de utilidade adotada nesta tese foi a função de Tchebycheff (descrita na Equação 12, Capítulo 4)e foram utilizados 500 vetores de escalarização para o cálculo do indicador.
Um ponto importante a ser observado é que os indicadores foram calculados nas fron- teiras de aproximação normalizadas (obtidas pelos comandos bound e normalize do PISA). A normalização teve dois objetivos: evitar o desvio provocado pelas diferenças nas grandezas dos diferentes objetivos e permitir que a comparação nas diferentes instâncias ocorra na mesma escala, permitindo os testes classe a classe e problema a problema.
Como os testes de normalidade dos valores dos indicadores sempre teve a hipótese nula rejeitada, todos os testes sobre os indicadores foram não-paramétricos. Para verificar se os indicadores gerados pelos algoritmos diferem estatísticamente entre si, os testes Kruskal- Wallis e o Mack-Skillings (MACK; SKILLINGS, 1980), uma variação do teste de Friedman (FRIEDMAN, 1937, 1940; HOLLANDER; WOLFE, 1999) para o caso de múltiplas obser- vações (replicações), foram aplicados.