Indutância e indutor

Quando um pedaço de ferro é aproximado de um ímã nota-se que há uma força de atração entre o ímã e o pedaço de ferro. Isto ocorre devido ao campo magnético ao redor do ímã, sendo que a força de atração vai ficando mais intensa quando a distância entre eles diminui. Outra característica dos ímãs é serem bipolares, ou seja, eles possuem duas polaridades, que são chamadas de polo norte e de polo sul. Se dois polos iguais estão próximos a força nos dois ímãs é de repulsão e se dois polos distintos estão próximos a força é de atração. Estas forças de repulsão e de atração descritas são utilizadas em muitos dispositivos eletromagnéticos, como, por exemplo, motores elétricos, disjuntores, contatores etc.

É usual que para operar adequadamente um dispositivo tenha a intensidade do seu campo mag-nético alterado; isto pode ser feito com um ímã ao aproximá-lo (aumentando o campo magmag-nético) ou afastá-lo (diminuindo o campo magnético). Uma maneira mais adequada de se alterar a intensidade do campo magnético é utilizando umeletroímã, que é um dispositivo cuja construção é mostrada na figura 9.1, na qual pode ser observado que há uma bobina (fios enrolados) e uma parte maciça cuja forma é cilíndrica. Cada vez que o fio é enrolado de maneira que forme uma volta completa diz-se que foi feita uma espira. Portanto, uma bobina é formada por várias espiras. É necessário que o(a) estudante saiba que quando há corrente elétrica circulando em um fio surge nas proximidades um campo magnético. Quanto maior for a intensidade da corrente elétrica maior será a intensidade do campo magnético e vice-versa. Uma outra forma de se encontrar um valor maior do campo magnético é aumentar a quantidade de espiras desta bobina pela qual a corrente circula.

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polo sul polo norte

i

Figura 9.1: Eletroímã e as indicações dos seus polos e linhas de força magnéticas. É indicado como norte o polo no qual as linhas de força magnéticas saem do eletroímã e sul é o polo no qual as linhas entram no eletroímã.

Pode-se avaliar os efeitos do campo magnético identificando-se a quantidade de linhas de força magnéticas, pois nas regiões em que elas estão mais próximas uma das outras é mais significativo o efeito do magnetismo, mas estas linhas não são visíveis a olho nu. Na figura 9.1 nota-se que nos extremos e no interior do eletroímã a densidade de linhas de força é alta (linhas próximas uma das outras) e quanto mais afasta-se do eletroímã, menor é a densidade das linhas de força (linhas mais afastadas uma das outras). O mesmo ocorre em um ímã, quanto mais próximo dele, maior será a quantidade de linhas de força magnéticas. A grandeza que permite mensurar a quantidade de linhas de força magnéticas em uma certa região é o fluxo magnético φ e a sua unidade é o weber, cuja representação mais compacta é Wb¹. Quanto maior o fluxo magnético, maior é a quantidade de linhas de força magnéticas.

As linhas de força magnéticas atravessam mais facilmente uns materiais do que outros. Assim como materiais condutores facilitam a passagem da corrente elétrica e os isolantes dificultam a passagem da mesma, há os materiais que facilitam o confinamento destas linhas de força magnéticas. Estes são chamados de materiais magnéticos, sendo o tipo mais usual para fins de equipamentos elétrico os do tipo ferromagnéticos; os materiais que dificultam o confinamento das linhas de força magnéticas são chamados de não magnéticos. O ferro e o aço são bons materiais ferromagnéticos enquanto que o cobre e o alumínio não são materiais magnéticos, ainda que estes dois últimos sejam excelentes condutores de corrente elétrica. O ar, a borracha, a madeira, entre outros, são não magnéticos. O eletroímã mostrado na figura 9.1 possui a parte maciça cilíndrica feita de material magnético e esta parte maciça é chamada de núcleo magnético.

A medida de quanto um dispositivo é adequado ou não para fins de confinamento do campo magnético pode ser avaliada por uma grandeza chamada relutância magnética, ou simplesmente relu-tância; esta grandeza é representada pelo símbolo R. Pode-se fazer uma analogia entre resistência e relutância. A resistência alta indica que o meio (um resistor, por exemplo) dificulta a passagem de corrente elétrica. Uma relutância alta indica que o meio (por exemplo, um núcleo de metal) dificulta o confinamento de linhas de força magnéticas. A relutância é dada por:

R= l

µA (9.1)

Sendo:

• l o comprimento do meio que se está avaliando a relutância;

1Respeite as maiúsculas e minúsculas. Não é wb, WB ou wB: é Wb.

Capítulo 9. Circuitos indutivos e capacitivos 185

• A a área que é atravessada pelas linhas de campo magnéticas;

• µa permeabilidade magnética, que é um valor característico dos materiais. Quanto maior o seu valor menor será a relutância, portanto, em dispositivos magnéticos deseja-se materiais com alto valor de permeabilidade.

Pode-se dizer que em dois dispositivos construídos de materiais distintos e com formas (área e comprimento) diferentes, um com relutância elevada e outro com relutância baixa, é mais fácil impor um certo valor de fluxo magnético naquele cuja relutância possui menor valor. No eletroímã ilustrado na figura 9.1, a áreaA é circular e o comprimentolé comprimento total do cilindro. Este dispositivo ferromagnético, instalado para que a região tenha baixa relutância, é chamado denúcleo ferromagnético ou simplesmentenúcleo.

Toda a teoria descrita até agora nesta seção foi para que o(a) estudante adquirisse conhecimento suficiente para entender o princípio de funcionamento do indutor, que é o principal objeto de estudo desta seção. O indutor é basicamente um fio enrolado (a bobina) em um núcleo ferromagnético como é mostrado na figura 9.2. Fotos de indutores reais podem ser vistas na figura 9.3. Idealmente, se o material ferromagnético é perfeito, nenhuma das linhas de força magnéticas sai do núcleo.

Figura 9.2: Ilustração de um indutor.

Só haverá campo magnético dentro do núcleo do indutor enquanto houver corrente elétrica circu-lando nos fios do eletroímã. As linhas de força se concentrarão no interior do núcleo e passando por dentro da bobina. Para compreender exatamente o motivo pelo qual o indutor é empregado, é neces-sário que o(a) estudante entenda os efeitos de um campo magnético no interior do núcleo do indutor.

Como descrito no decorrer desta seção, a corrente elétrica pode gerar campo magnético, porém, será que o campo magnético pode gerar algum efeito elétrico? A resposta é sim, no entanto, há algumas peculiaridade sobre isto que são descritas a partir de agora.

A lei de Fadaray, nome dado a lei em homenagem ao seu descobridor, diz que se o núcleo de um indutor é atravessado por campo magnético de valor variável isto fará com que surja uma tensão na sua bobina. Note que foi dada destaque a palavra variável na sentença anterior, pois só haverá tensão nos terminais da bobina do indutor se houver variação no valor do campo magnético. Algumas questões precisam ser destacadas:

• À d.d.p. medida nos terminais da bobina do indutor devido ao efeito do campo magnético é dada o nome detensão induzida;

• Só há tensão induzida se o campo magnético que flui por dentro da bobina possuir valor variá-vel. Dessa maneira, deve circular uma corrente elétrica de intensidade variável (por exemplo, senoidal) na bobina do indutor, que fará surgir um fluxo magnético variável dentro do núcleo e como o fluxo magnético varia dentro da bobina, então haverá uma tensão induzida;

• Se os terminais do fio em que foi induzida a tensão não estiverem conectados a nenhum dispo-sitivo, então não haverá nenhuma corrente elétrica circulando. Porém, se os terminais do fio

(a) Indutor com núcleo toroidal.

(b) Indutor para potências em torno de 300 W.

(c) Indutores empregados em pla-cas eletrônipla-cas.

Figura 9.3: Fotos de indutores.

em que há tensão induzida estiverem conectados a uma carga haverá um caminho fechado para circulação de corrente elétrica²;

• No caso do indutor, o campo magnético é gerado pela corrente da bobina e, portanto, o indutor tem de estar sempre ligado a um circuito que possua alguma fonte de tensão ou de corrente elétrica. A corrente elétrica que circula na bobina deve ser de valor variável para que surja nos terminais do indutor uma tensão induzida. Se uma corrente contínua circula nos terminais do indutor não haverá tensão induzida. Percebe-se, então, que os indutores não foram estudados nos capítulos anteriores que tratavam de circuitos elétricos com tensões e correntes elétricas contínuas pelo fato de que nesta situação eles não fazem diferença. Já em circuitos elétricos cujas tensões e correntes elétricas variam no tempo (por exemplo, na forma de onda senoidal) é relevante a avaliação dos efeitos do indutor.

A lei de Faraday, que trata da tensão induzida, pode ser ser escrita matematicamente como:

e=Ndφ

dt ≈N∆φ

∆t (9.2)

Sendo que:

• edenota a tensão induzida nos terminais da bobina;

2Alguns livros chamam esta corrente elétrica decorrente elétrica induzida, pois se dá devido a tensão induzida pelo campo magnético variável. A rigor, a tensão é sempre induzida no fenômeno em destaque, porém a corrente elétrica só existe se houver caminho fechado no circuito. Portanto, não é adequado dizer simplesmente que campo magnético variável gera corrente induzida, pois isto nem sempre será verdadeiro.

Capítulo 9. Circuitos indutivos e capacitivos 187

• N é o número de espiras da bobina;

• φo fluxo magnético, que é uma medida da quantidade de linhas de força magnéticas que atra-vessam o interior da bobina;

• té o tempo;

• dφedtsão respectivamente os diferenciais de fluxo magnético e de tempo. Se a taxa de variação do fluxo no tempo pode ser considerada constante num tempo, então pode-se realizar a aproxi-mação retirando o diferencial e fazendo a variação com base nos valores inicial e final, como é descrito a seguir;

• ∆ representa a variação de uma grandeza. Assim ∆φé a variação do valor do fluxo magnético de um valor inicial φi até um valor finalφf: matematicamente escreve-se ∆φ=φf −φi. O mesmo se dá em relação ao tempo. ∆t é o tempo decorrido entre desde a mudança do fluxo magnético do valor inicial até o valor final, ou seja, ∆t=tf−ti.

Nota-se da equação (9.2) que a tensão induzida em um indutor dependerá do fluxo magnético que atravessa o núcleo ferromagnético e este valor depende da relutância do núcleo (para o mesmo valor de corrente elétrica circulando no fio da bobina, quanto maior for a relutância, menor será o fluxo magnético e vice-versa). Além do mais, o valor da tensão induzida depende da quantidade de espiras da bobina do indutor. O propósito deste livro é realizar a modelagem empregando circuitos elétricos e isto não está sendo feito quando grandezas magnéticas são utilizadas. Por isso é introduzido agora o conceito deindutância, que é o elemento de circuito que permite obter a relação entre a tensão e a corrente elétrica em um indutor, sem recorrer ao uso de grandezas magnéticas.

A indutância é representada pela letra Le sua unidade é o henry ou simplesmente H. É necessário que o(a) estudante perceba que indutor é um dispositivo físico (que é construído com um núcleo e bobina) e indutância é uma propriedade física. O(A) estudante deve relembrar a diferença entre resistor (dispositivo) e resistência (propriedade de um dispositivo em se opor a passagem de corrente elétrica). Assim pode-se dizer que um indutor possui um valor de indutância. É necessário salientar que vários dispositivos que operam com corrente elétrica variável, por exemplo, senoidal, são modelados por uma indutância, ainda que não seja indutores. Por exemplo, os fios de linhas de transmissão de energia possuem indutâncias, pois um fio é percorrido por corrente elétrica senoidal e gera um campo magnético senoidal, que induz uma tensão no fio ao lado. A indutância também está presente na modelagem de outros dispositivos eletromagnéticos como motor e gerador elétricos. No caso de um indutor, a indutância é dada por:

L= N²

R (9.3)

A equação (9.3) evidencia que a indutância de um indutor depende da quantidade de espiras que formam a bobina e da relutância (esta depende das dimensões e do material do núcleo). Como é mostrado no exemplo 9.1, pode-se realizar medições da tensão induzida e da corrente elétrica e se obter o valor de L, sem precisar saber os valores deN eR.

Voltando ao uso da indutância para modelar a relação entre a tensão induzida e a corrente elétrica, pode-se dizer que um indutor L ao ter sua bobina percorrida por uma corrente elétrica i de valor variável, gerará um fluxo magnético variável e que induzirá nos fios da própria bobina do indutor uma tensão e, cujo valor é dado por:

e=Ldi

dt ≈L∆i

∆t (9.4)

A equação (9.4) está como desejado, pois possui apenas os valores de tensão, corrente elétrica e um elemento de circuito, enquanto que a equação (9.2) não é conveniente para estudos de circuitos elétricos, já que é necessário saber o valor da grandeza fluxo magnético, que depende da quantidade de fios, do material de que é feito o núcleo e das dimensões deste mesmo núcleo.

É necessário salientar que a equação (9.4) só é válida na parte que se refere à aproximação se a corrente elétrica tiver uma variação que puder ser aproximada por uma variação linear.

Quanto a aplicação de indutores, o(a) estudante deve ter conhecimento de que ele é usado para limitar o valor da corrente elétrica em caso de curto-circuito ou são empregados na confecção de placas eletrônicas que filtram sinais³, entre outras aplicações.

Exemplo 9.1. Um técnico possui um indutor e deseja saber o valor da sua indutância. Por isso fez o seguinte teste: elevou o valor da corrente elétrica que flui no indutor de 0 A para 5 A em um intervalo de tempo de 40µs e mediu o valor da tensão induzida durante o período em que a corrente elétrica era elevada de valor, no qual encontrou 400 V. Qual é o valor da indutância deste indutor?

Solução:

Basta empregar diretamente a equação (9.4). A variação de corrente elétrica é ∆i = i_f −ii = 5−0 = 5 A que é variada em um intervalo de tempo de ∆t= 40µs = 40×10⁻⁶s e a tensão induzida nos terminais do indutor foi dee= 400 V. A seguir os cálculos são feitos:

e=L∆i

∆t L=e∆t

∆i L= 400 40×10⁻⁶

5

!

L= 4×10² 40×10⁻⁶ 5

!

L= 160×10⁻⁴ 5 L= 32×10⁻⁴ L= 3,2×10⁻³H

L= 3,2 mH

Note-se que foi considerado que a corrente aumentou linearmente e neste intervalo que ela estava aumentando a tensão induzida estava constante no valor dado. Quando a corrente para de variar, então a tensão induzida vai a zero.

✷