Definiremos inflação como um regime em que o universo se expande acele-radamente, quer dizer, quando a segunda derivada do fator de escala a(t) é positiva. Esta definição pode ser escrita dentro do MP lembrando a equação de Raychaudhuri (1.27), como a violação da condição de energia forte de um fluido perfeito:
¨
a(t) > 0 → ρ + 3P < 0 , (2.1) sendo ρ e P a densidade e a pressão do fluido, respectivamente.
Uma grandeza importante na dinâmica do regime inflacionário é o raio co-móvel de Hubble ou horizonte coco-móvel de Hubble, definido como
RCH ≡ RH a = (aH) −1 , (2.2) sendo RH = H−1, (2.3)
o raio de Hubble, também chamado de horizonte de Hubble. Quando o universo é dominado por um fluido com uma densidade de energia aproxi-madamente constante, da equação de Friedman (1.26) com K = 0, vê–se que o parâmetro de Hubble H definido em (1.12) também é aproximada-mente constante pela relação de proporcionalidade que existe entres essas duas grandezas. Como consequência desse comportamento quase constante do parâmetro de Hubble H e a definição (2.3), o raio de Hubble também per-manece quase constante durante o regime inflacionário enquanto que o fator de escala, da definição do parâmetro de Hubble (1.12), cresce exponencial-mente. Nota–se então, que durante a inflação o raio comóvel de Hubble (2.2) decresce com o tempo cósmico. Assim, a inflação pode ser definida como um período em que o horizonte comóvel de Hubble decresce, quer dizer,
dRCH
= d(aH) −1
Em um sistema de coordenadas comóvel as distâncias comóveis não de-pendem do tempo cósmico, quer dizer, permanecem constantes. Contudo, observa–se da equação (2.4) que durante o regime inflacionário o horizonte comóvel de Hubble não é constante senão que diminui com o tempo cósmico. Na figura (2.1) se ilustra a evolução das escalas durante o regime inflacioná-rio. Uma linha reta e horizontal representa uma distância comóvel L e uma curva que desce e sobe quando o tempo se incrementa representa o horizonte comóvel de Hubble RCH. No primeiro ramo da figura RCH começa acima de L mas devido ao seu comportamento decrescente (2.4) durante o regime inflacionário atinge um valor mínimo menor que L. Após a expansão acele-rada do regime inflacionário o universo entra no cenário descrito pelo MP e continua se expandindo, mas com o horizonte comóvel de Hubble crescendo até ultrapassar a escala comóvel L.
Fig. 2.1: Evolução das escalas durante o regime inflacionário. Figura da
referência [75].
Discutimos na Seção (1.5) que uma época inflacionária anterior ao cenário Big Bang pode resolver alguns problemas do MP com sucesso. Porém, nada foi dito sobre os processos físicos que poderiam produzir essa inflação. Nota–se que um fluido tipo constante cosmológica (w = −1) não pode ser responsá-vel por esta aceleração porque se o universo tivesse sido dominado por uma componente com uma densidade de energia constante nessa época, o universo ainda estaria dominado por essa componente de energia: a matéria e a radi-ação são diluídas exponencialmente (ver equradi-ação (1.36)) no contexto do MP. Assim, conclui–se que para atingir uma etapa de transição entre o período
inflacionário e o equilíbrio térmico — característico do MP — a energia do vácuo, suposta responsável pela etapa inflacionária, deve ser dependente do tempo [46]. Um regime com energia do vácuo dependente do tempo pode ser obtido usando um campo escalar. No contexto inflacionário esse campo escalar é usualmente chamado de inflaton.3
Para descrever a dinâmica do inflaton, usa–se a teoria de campos. Uma forma geral da ação com acoplamento mínimo4 entre o inflaton ϕ(x, t) e a métrica do espaço–tempo gµν pode ser expressa por
Stotal= Z d4x√ −g 1 2κ2f (R) + Lϕ ; κ2 ≡ 8πG , (2.5) e Lϕ = F (ϕ, gµν∂µϕ∂νϕ) − V (ϕ) , (2.6) e f (R) é uma função do escalar de Ricci R, F (ϕ, gµν∂µϕ∂νϕ) é uma função do inflaton e das suas derivadas, V (ϕ) é o potencial do inflaton5, d4x é o elemento de volume na variedade quadridimensional e g é o determinante da métrica. Contudo, neste capítulo vamos tratar apenas a abordagem mais simples, quer dizer, aquela em que a função
f (R) = R , (2.7)
e
F (ϕ, gµν∂µϕ∂νϕ) = −1 2g
µν∂µϕ∂νϕ , (2.8)
3Os campos escalares desempenham um papel fundamental nos mecanismos de quebra espontânea de simetria entre as interações fundamentais. Contudo, não foram detectados campos escalares na natureza até hoje [75].
4Quer dizer, não existem termos do tipo Rϕ, Rµν∂µϕ∂νϕ que misturam termos
relaci-onados à curvatura com termos relacirelaci-onados ao campo escalar na ação.
5O potencial descreve as auto–interações do campo escalar. Como será visto depois neste capítulo, toda a física de interesse para a inflação está contida na forma do potencial. Alguns potenciais típicos dos modelos inflacionários são V (ϕ) = 12m2ϕ2, V (ϕ) = 12λ(ϕ2−
de tal forma que a ação (2.5) fica6 Stotal= Z d4x√ −g 1 2κ2R − 1 2g µν ∂µϕ∂νϕ − V (ϕ) . (2.9)
Com o princípio de mínima ação e a equação (2.9) se obtém a equação de movimento para o inflaton,7 também chamada na literatura de equação de Klein–Gordon. Considera–se um campo escalar homogêneo ϕ(x, t) = ϕ(t) de tal forma que a equação de Klein–Gordon pode ser expressa por
¨
ϕ + 3H ˙ϕ + dV
dϕ = 0 , (2.10)
de onde se observa que um campo escalar sob a ação de um potencial satis-faz uma equação de movimento semelhante à equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido
¨
x + β ˙x + ω02x = 0 , (2.11) sendo x a posição do oscilador, β a constante de amortecimento e ω0 a frequência natural do oscilador. Em analogia com a equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido (2.11), nota–se da equação (2.10) que o movimento do campo escalar ϕ sob a ação do potencial V (ϕ) contém um termo de “ fricção ”
3H ˙ϕ , (2.12)
associado com a expansão do universo.
No paradigma inflacionário, considera–se que o universo é dominado por um campo escalar descrito como um fluido perfeito. Como a matéria, a radiação, e a constante cosmológica, este campo escalar deve ter associada uma equação de estado, quer dizer, uma expressão para a densidade de energia e a pressão.
6O primeiro termo da ação (2.9) é chamado também de ação de Einstein–Hilbert. 7Ver apêndice (B) para detalhes da derivação das equações de movimento e do tensor energia–momentum para o inflaton.
Estas grandezas são fornecidas pelo tensor energia–momentum do inflaton. Da ação (2.9) temos Tµν = ∂µϕ∂νϕ − gµν 1 2g αβ∂αϕ∂βϕ + V (ϕ) . (2.13)
Usando a métrica FLRW (1.1) em (2.13) para obter o tensor energia–momentum misto Tµ
ν = gµσTσν encontramos que a densidade do inflaton (1.16) é T00 = −ρϕ ; ρϕ = 1 2ϕ˙ 2+ V (ϕ) , (2.14) e a pressão T11 = Pϕ ; Pϕ = 1 2ϕ˙ 2 − V (ϕ) . (2.15) Das equações (2.14) e (2.15) é simples ver que a equação de estado do inflaton pode ser expressa por
wϕ ≡ Pϕ ρϕ = ˙ ϕ2 − 2V (ϕ) ˙ ϕ2+ 2V (ϕ). (2.16)
Na próxima seção vamos estudar quais são as condições que deve satisfazer o potencial do inflaton V (ϕ) de tal forma que o regime inflacionário possa ser atingido.