Influência das perturbações no plasma

É interessante notar que devido à existência de superfícies magnéticas as variáveis relacionadas na teoria MHD podem ser consideradas como funções apenas da posição radial. Desta forma, um deslocamento arbitrário ξ (r, t) das superfícies magnéticas causam perturbações nessas quantidades quando observadas em uma posição fixa no referencial do laboratório. As perturbações de densidade e temperatura associadas à perturbação radial das superfícies magnéticas são dadas por [26, 27, 28]:

δTe Te ∼ = − (γ − 1) ∇ξ − ξ · ∇T_T e e (2.20) δne ne ∼ = −∇ξ − ξ ·∇n_n e e (2.21) onde γ = 5/3 é o coeficiente de expansão adiabática [1]. Expressões semelhantes podem ser obtidas para as demais variáveis do plasma como pressão e densidade de corrente. Exemplos de derivações para estas variáveis estão em [29, 30].

Para perturbações radiais de pequena amplitude, as expressões (2.20) e (2.21) podem ser aproximadas por:

δTe ∼= −ξ · ∇Te (2.22)

δne ∼= −ξ · ∇ne (2.23)

De modo geral, as expressões acima indicam que as perturbações terão efeito mais significativo nas posições radiais onde o perfil de equilíbrio das variáveis apresenta maior variação. A figura 11 mostra um perfil de temperatura aproximado por uma parábola em (a) e um deslocamento ξ em forma de degrau em (b). Próximo ao centro da coluna de plasma o gradiente da temperatura é pequeno e desta forma o deslocamento radial causa pouca variação da temperatura. Porém em regiões da periferia, o gradiente de temperatura é mais alto e as perturbações torna-se significativas, como visto em (c). Acima da linha tracejada o deslocamento decai rapidamente e a perturbação deixa de existir e o perfil da temperatura a partir deste ponto segue o mesmo valor do perfil de equilíbrio (d).

2.3. Perturbações e ilhas magnéticas 19

Figura 11 – Exemplo da influência das perturbações nas grandezas de equilíbrio do plasma. Perfil de equilíbrio da temperatura em (a), deslocamento em degrau em (b), valor da perturbação da temperatura devido ao deslocamento em (c) e perfil perturbado da temperatura sobreposto ao perfil original (d).

2.3.3.1 Rotação e modelo de perturbação

A ideia básica da dinâmica do plasma é bem descrita na literatura [21, 1, 14,31]. Foi discutido anteriormente que a configuração magnética num tokamak é composta por superfícies de fluxo constante. A velocidade do plasma visto como fluído pode ser decomposta nas componentes perpendicular (v⊥) e paralela (vk) às superfícies de fluxo.

Normalmente a velocidade paralela é identificada como a rotação do plasma, de forma que pode ser decomposta nas componentes na direção toroidal e poloidal, sendo comum expressa-las em termos das frequências angulares Ωφ= vφ/R e Ωθ = vθ/r, respectivamente

para a a rotação toroidal e poloidal.

Adicionalmente as componentes vφ e vθ podem ser expressas pelas componentes

perpendicular e paralelas às linhas do campo B que estão contidas nas superfícies de fluxo. Neste ponto, utilizando a conservação de momento da teoria MHD, pode concluir que ambas as componentes dependem da viscosidade do plasma [32]. Por conseguinte, a viscosidade influencia no perfil de rotação do plasma.

Um estudo bastante completo sobre rotação do plasma em tokamaks pode ser encontrado em [32]. Para o caso da rotação de perturbações e ilhas magnéticas é usual admitir que elas rotam conjuntamente com o plasma. É possível assumir esta hipótese tendo em vista que uma rotação da ilha ou perturbação em relação ao plasma circundante seria rapidamente amortecida devido a efeitos viscosos que agem como uma força restauradora tendendo contra o movimento de rotação relativo da ilha com o vizinhança [33,34].

Portanto, admitindo que não há escorregamento da perturbação, elas rotam conjun- tamente com a superfície e podemos considerar um modelo para uma perturbação genérica

como:

ξ(r, t) = ξ0(r)e−i(mθ+nϕ−ωt) (2.24)

onde ω é a frequência associada ao modo com números de onda poloidal e torioidal (m, n) e ξ0(r) é a amplitude da perturbação em função da posição radial. Este modelo

de perturbação mostra-se útil pois para qualquer outro tipo de perturbação ressonante considerada, pode ser decomposta em série de Fourier e obter uma soma de expressões semelhantes à (2.24), com um conjunto de modos e frequências características.

2.3.3.2 Componente espacial da perturbação (ξ0(r))

A parcela espacial ξ0(r) da auto-função de deslocamento desempenha um papel

importante na modelagem dos diversos tipos de instabilidades encontradas no plasma. Para ilustrar as diferentes formas de instabilidades, a figura12 apresenta o aspecto dos tipos comuns de instabilidades tearing e kink, juntamente com os gráficos das respectivas componentes espaciais do modelo de perturbação.

No caso apresentado na figura 12(a) vê-se um modo tearing, que apresentam reconexões magnéticas, com número de onda poloidal m = 3. Para este tipo de instabilidade a parte radial da perturbação apresenta uma inversão de sinal e o cruzamento pelo zero é precisamente sobre o eixo magnético da ilha. Já no caso da figura12(b) é mostrado um modo kink (m = 1), onde a parte radial da perturbação é dada simplesmente por uma função degrau e não há reconexões do campo magnético. A existência (ou não) de inversão de sinal de ξ0(r) é importante na identificação do tipo de instabilidade, visto que é uma

característica das instabilidades MHD resistivas, em contraste com as instabilidades MHD ideais que não apresentam inversão.

(a) (b)

Figura 12 –Exemplos de instabilidades MHD: (a) modo tearing e (b) modo kink. Para o modo tearing a perturbação radial ξ0(r) apresenta inversão do sinal enquanto que para o

2.3. Perturbações e ilhas magnéticas 21

Estes são dois tipos de instabilidades MHD muito comuns em plasmas de tokamaks, encontrados em todas as máquinas.

As instabilidades do tipo tearing, se originam da ruptura e reconexões das linhas do campo B no caso MHD não ideal, onde é considerado uma resistividade não nula (η 6= 0), surgindo a partir de mudanças na topologia do campo B, como explorado na seção 2.3.1. Elas apresentam taxa de crescimento baixo mas nas superfícies racionais os efeitos da resistividade permitem que as ilhas evoluam e se estabilizem e, desta forma, podemos identificar as ilhas pelo par (m, n) da superfície racional onde ela habita.

Uma explicação mais completa das ilhas magnéticas deve considerar os processos de ruptura e reconexão, mas esta análise teórica é demasiadamente longa e complicada, sendo assim não será considerada neste trabalho e é deixado como referência para consulta em [35, 30, 11].

2.3.3.3 Métodos de detecção

As perturbações descritas pela equação (2.24) são propagadas para as demais grandezas do plasma como densidade, temperatura, pressão e campo magnético como explicitado pelas equações (2.20) e (2.21). É importante ressaltar que as perturbações carregam as informações dos modos (m, n) e das respectivas frequências de oscilação. Apesar da simplicidade do modelo apresentado em (2.24), ele captura as características mais importantes dos fenômenos associados à atividade MHD num plasma de tokamak.

Utilizando diagnósticos sensíveis às variações destas grandezas, com resolução espacial e temporal, é possível determinar a posição, frequência e estrutura espacial das perturbações.