Injetividade - Injetividade de Aplicações de classe C 1 no Plano e a Conjectura de Markus-Yamab

Provaremos nesta se¸c˜ao o principal resultado deste trabalho:

Teorema 2.2.1. Seja X = (f, g) :R2 _{→ R}2 _{uma aplica¸c˜ao de classe C}1_{. Se para algum}

² > 0, Spec(X) ∩ [0, ²) = ∅, ent˜ao X ´e injetiva.

Primeiramente, provaremos a seguinte vers˜ao mais fraca deste Teorema: Teorema 2.2.2. Seja X = (f, g) :R2

→ R2 uma aplica¸cão de classe C1. Se para algum ² > 0, Spec(X) ∩ (−², ²) = ∅, então X é injetiva.

Antes porém, serão necessários alguns resultados importantes. No que segue, X = (f, g) é uma aplica¸cão satisfazendo as hipóteses do Teorema 2.2.2. Além disso, Xθ :=

(fθ, gθ) = Rθ◦ X ◦ R−θ, onde θ é um número real diferente de qualquer múltiplo inteiro

de π₂, e Rθ :R2 → R2 ´e a rota¸c˜ao representada pela matriz

  cos θ − sin θ sin θ cos θ  . A aplicã¸cão π :_R2 _{→ R é a proje¸cão (x, y) 7→ x.}

PSfrag replacements

p1 p2

T p p

γ1 γ2

Figura 2.10: Obten¸cao de folhas insepar´aveis. Observa¸c˜ao 2.2.1. Seja γ+

p a semi-trajet´oria positiva de Xf partindo de p ∈ R2. Supon-

hamos que π(γ+

p ) seja um intevalo de comprimento finito. Tomemos uma sequˆencia

tn → +∞. Como γp s´o se acumula no infinito, kφp(tn))k → ∞. Existe uma subsequˆencia

qk de π(φp(tn)) tal que qk → q. Como rota¸cões são isometrias, segue que π(Rθ(γp+)) é um

intervalo de comprimento infinito (ver Figura 2.11). PSfrag replacements p q θ qk Figura 2.11: Rota¸c˜ao

Lema 2.2.1. Fixe p ∈ R2_{, e sejam φ(t, p) e ϕ(t, p) trajet´orias de X}

f e Xg respectiva-

mente. As fun¸c˜oes

fθ(Rθ◦ φ(t, p)) e fθ(Rθ◦ ϕ(t, p))

Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao, temos que

fθ = cos θ · f ◦ R−θ− sin θ · g ◦ R−θ e gθ = sin θ · f ◦ R−θ+ cos θ · g ◦ R−θ.

Logo,

fθ(Rθ◦ φ(t, p)) = cos θ · a − sin θ · g ◦ φ(t, p)

fθ(Rθ◦ ϕ(t, p)) = sin θ · f ◦ ϕ(t, p) + cos θ · b,

onde a e b s˜ao constantes. Como θ 6= mπ

2, o resultado segue do Lema 2.1.1.

Lema 2.2.2. Seja K um subconjunto compacto de R2_{. Dado ² > 0, existe um δ > 0 tal}

que, se |θ| < δ, |f(x) − fθ(Rθ(x))| < ², para todo x ∈ K.

Demonstra¸c˜ao. Temos que fθ = cos θ · f ◦ R−θ− sin θ · g ◦ R−θ. O resultado segue do fato

de que limθ→0| sin θ| = 0 e limθ→0| cos θ| = 1.

Lema 2.2.3. Suponha que X n˜ao seja injetiva. Existe um θ ∈ R tal que, Xfθ possui

uma semi-componente de Reeb cuja proje¸c˜ao no eixo das abscissas ´e um intervalo de comprimento infinito.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 2.1.1, F(f) possui duas folhas insepar´aveis, γ1e γ2. Tomemos

um caminho β : (−a, 1 + a) de classe C1_{, onde 0 < a < 1, tal que}

1. η = β|[0,1] seja a fronteira compacta de uma semi-componente de Reeb A definida

por γ1 e γ2.

2. As imagens de γ|(−a,a) e γ|(1−a,1+a) estejam contidas em folhas de F(g).

Se a proje¸cão de alguma das fronteiras não compactas de A sobre o eixo das abscissas for um intervalo de comprimento infinito, não há o que demonstrar. Suponhamos que isto não ocorra. Pelo Lema 2.1.1, as fun¸cões cont´ınuas h1 = f ◦ β|(−a,a) e h2 = f ◦ β|(1−a,1+a)

são estritamente monótonas. Além disso, por uma questão de orienta¸cões, uma delas é crescente e a outra decrescente. Como h1(0) = h2(1), existe um 0 < δ < a suficientemente

pequeno tal que a fun¸c˜ao

ϕ : [−δ, δ] → (1 − a, 1 + a) s 7→ h−12 ◦ h1(s)

está bem definida. Tal fun¸cão é cont´ınua, injetiva, inverte orienta¸cões, e satisfaz: (a1) ϕ(0) = 1.

(a2) para s ∈ (−δ, δ), f(β(s)) = f(β(ϕ(s))).

(a3) para s ∈ (0, δ), existe um arco de trajet´oria de Xf partindo de β(s) e intersectando

a imagem de β|(1−a,1) exatamente em β(ϕ(s)).

Considere o conjunto Rθ(A). Como β([−δ, δ]) e β([ϕ(δ), ϕ(−δ)]) s˜ao compactos, podemos

utilizar o Lema 2.2.2, e a Figura 2.12, para verificar que existe um α > 0 tal que, se |θ| < α, a rela¸c˜ao de ordem entre as imagens de fθ exibida na Figura 2.13 ocorre. Pelo

PSfrag replacements f (β(−δ)) f (β(δ)) f (β(δ₂)) f (β(0)) f (β(1)) f (β(1 + a)) f (β(1 − a)) Figura 2.12: Imagem de β por f

Lema 2.2.1, se |θ| < α, podemos proceder como acima, e garantir que existe uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕθ : [−δ, δ] → (1 − a, 1 + a) que inverte orienta¸c˜oes, e satisfaz:

(b1) fθ(Rθ(β(s))) = fθ(Rθ(β(ϕθ(s))))

(b2) ϕθ(δ₂) ∈ Rθ(β((1 − a, 1))).

PSfrag replacements fθ(Rθ(β(−δ))) fθ(Rθ(β(δ))) fθ(Rθ(β(δ₂))) fθ(Rθ(β(1))) fθ(Rθ(β(1 + a))) fθ(Rθ(β(1 − a)))

Figura 2.13: Imagem de Rθ(γ) por fθ

Sejam s ⊂ γ1 e r ⊂ γ2 as fronteiras n˜ao compactas de A. Podemos tomar um valor

conveniente para θ de modo que π(Rθ(s)) e π(Rθ(r)) contenham um intervalo de compri-

mento infinito [b, +∞). Com isto, se Γ ´e uma semi-trajet´oria de Xfθ contida em Rθ(A),

´e f´acil verificar que

(c1) π(Γ) ´e um intervalo de comprimento infinito.

Agora dividimos em dois casos: Suponhamos primeiramente que Rθ(β(δ₂)) e Rθ(β(ϕθ(₂δ)))

perten¸cam a folhas distintas de F(fθ). Procedendo como no Teorema 2.1.1, obtemos duas

folhas inseparáveis Γ1 e Γ2 de F(fθ) cruzando η. Utilizando o Lema 2.2.1, é fácil verificar

que isto n˜ao pode ocorrer. Suponhamos agora que Rθ(β(δ₂)) e Rθ(β(ϕθ(₂δ))) perten¸cam

`a mesma folha de F(fθ). Utilizando o Teorema 1.3.4, existe um σθ ∈ [−δ,δ₂) tal que

(d1) para todo s ∈ (σθ,δ₂], existe um arco de trajet´oria Tθ(s) de Xfθ que cruza Rθ(β([−δ, 1+

a))) exatamente em Rθ(γ(s)) e Rθ(β(ϕθ(s))).

Podemos tomar o menor σθ com esta propriedade. De (b3) segue que σθ ≥ −δ. De fato,

se existisse um arco Tθ(−δ) chegar´ıamos a um absurdo pelo Lema 2.2.1 (ver Figura 2.14).

Portanto, obtemos duas folhas insepar´aveis Γ1 e Γ2 de F(fθ) que cruzam a imagem de

PSfrag replacements Rθ(γ1) R_θ(γ₂)

Rθ(γ)

γ(−δ)

folha de F(fθ)

Figura 2.14: N˜ao ocorre.

se Aθ ´e uma semi-componente de Reeb de F(fθ) definida por Γ1 e Γ2, a proje¸c˜ao de

uma das fronteiras n˜ao-compactas de Aθ sobre o eixo das abscissas ´e um intervalo de

comprimento infinito.

Observa¸c˜_{ao 2.2.2. Seja p ∈ R}2_{. Como rota¸cões são transforma¸cões lineares, segue da}

regra da cadeia que

DXθ(p) = Rθ◦ DX(R−θ(p)) ◦ R−θ.

Logo, se v ´e um autovetor de DXθ(p) associado a um autovalor real λ, temos que R−θv

´e um autovetor de DX(R−θ(p)) associado ao autovalor λ. Portanto, para cada θ ∈ R,

Spec(Xθ) ∩ (−², ²) = ∅.

Demonstra¸cão do Teorema 2.2.2. Suponhamos por contradi¸cão que X não seja injetiva. Pelo Teorema 2.1.1, F(f) possui duas folhas inseparáveis, γ0 e γ1. Consideremos uma

semi-componente de Reeb A definida por um caminho ideal η e estas duas folhas in- separáveis, conforme o mencionado na Observa¸cão 2.1.4. Sem perda de generalidade, assumiremos que η(0) ∈ γ0 e η(1) ∈ γ1. Pela Proposi¸cão 2.2.3, podemos supor que π(A)

é um intervalo de comprimento infinito (ver Observa¸cão 2.2.2). Em particular, se r é a fronteira não compacta de A contida em γ1, podemos assumir, sem perda de generali-

dade, que π(r) cont´em um intervalo [b, +∞). Sejam Σ0 := η|[0,w] e Σ1 := η|[1−w,1] duas

se¸cões transversais compactas de F(f) contidas em folhas de F(g). Pelos Lemas 2.1.1 e 2.2.1, a fun¸cão f ◦ η|[1−w,1] é estritamente monótona. Trataremos do caso crescente,

Se s ∈ [1 − w, 1), denotaremos por γsa trajetória de Xf que contém η(s). Além disso,

φs : [As, Bs] → R2 denota a parametriza¸c˜ao obtida atrav´es do fluxo para o arco de γs com

extremos em Σ0 e Σ1. Sem perda de generalidade, podemos supor que φs(As) = η(s) e

φs(Bs) ´e o ponto de interse¸c˜ao entre γse Σ0. Pela compacidade, temos que π(Σ0) e π(Σ1)

est˜ao contidos em um intervalo compacto [c, d]. Se a > d, existe um ξ ∈ (1 − w, 1) tal que a trajet´oria γξ intersecta a reta vertical x = a (ver Figura 2.15). Para cada s ∈ [ξ, 1),

PSfrag replacements γξ γ1 η(ξ) Σ0 Σ1 a d Figura 2.15: Esquematiza¸c˜ao

a aplica¸c˜ao π ◦ φs : [As, Bs] → R possui ao menos um ponto de m´aximo. Denotamos

por ψ(s) o valor m´aximo de π ◦ φs. Se s1, s2 ∈ (ξ, 1), s1 < s2, ent˜ao ψ(s1) < ψ(s2) (ver

Figura 2.16). Al´em disso, se t ∈ (ψ(ξ), +∞), existe um s ∈ [ξ, 1) tal que ψ(s) = t. De PSfrag replacements γξ γ1 Γ(ξ) γs1 η(s1) η(s2) ψ(s1) t ψ(ξ) Figura 2.16: monotonicidade

(ξ, 1) tal que a órbita γs toca a reta vertical x = t, é fácil ver que ψ(s) = t. Com isto,

conclu´ımos que ψ : [ξ, 1) → [ψ(ξ), +∞) ´e uma fun¸c˜ao bijetiva e estritamente crescente. Para cada t ∈ [ψ(ξ), +∞), consideremos o conjunto

Mt = {φs(z); ψ(s) = t e z ´e um ponto de m´aximo de π ◦ φs}.

Observamos que Mt ´e composto pelos pontos de interse¸c˜ao entre γs e a reta vertical

x = ψ(s) = t. Além disso, Mt é obviamente compacto. Definimos, portanto, a fun¸cão

(ver Figura 2.17)

H : [ψ(ξ), +∞) → R

t 7→ sup{y; (x, y) ∈ Mt}.

Pela estrutura da semi-componente A, é fácil concluir que H restrita a qualquer intervalo PSfrag replacements γξ γ1 η(ξ) γs eixo y H(t) t = ψ(s) η(s) ψ(ξ) Figura 2.17: Fun¸cão H

limitado é limitada. Como ψ e f ◦ η|[ξ,1) são estritamente crescentes, a fun¸cão

ϕ : [ψ(ξ), +∞) → R

t 7→ f(t, H(t))

é estritamente crescente. Portanto, pelo Teorema 1.4.3, ϕ é diferenciável em quase todo ponto. Mais precisamente, existe um conjunto de medida total E ⊂ [ψ(ξ), +∞) tal que ϕ

é diferenciável em todo t ∈ E. Afirmamos que a fun¸cão H é semi-cont´ınua superiormente em todo t ∈ E. Suponhamos por contradi¸cão que H não seja semi-cont´ınua superiormente em algum t0 ∈ E. Neste caso, existe uma sequência tn→ t0, e um α > 0 tais que

H(tn) > H(t0) + α, ∀n ∈ N. (2.1)

Como H restrita a (ψ(ξ), t0 + 1) é limitada, passando a uma sequência se necessário,

temos que H(tn) converge para algum valor c. Pela equa¸c˜ao 2.1, c > H(t0). Como ϕ ´e

cont´ınua em t0, temos que

f (t0, c) = lim

n→∞f (tn, H(tn)) = limn→∞ϕ(tn) = ϕ(t0) = f (t0, H(t0)).

Portanto, (t0, c) ∈ Mt0. Neste caso, por defini¸c˜ao, H(to) n˜ao pode ser menor do que c.

Isto prova que H ´e semi-cont´ınua superiormente em t0. Segue do Lema 1.4.1, que H ´e

uma fun¸cão mensurável. Como H restrita a um intervalo [ψ(ξ), b] é limitada, utilizando o Teorema 1.4.3, e o Corolário 1.4.1, concluimos que existe um conjunto de medida total F tal que, para todo t ∈ F ,

i. ϕ ´e diferenci´avel em t.

ii. Existe uma sequência hnde números reais não nulos convergindo para zero, tal que

lim

n→∞

H(t + hn) − H(t)

hn = σ ∈ R.

Vamos provar agora que, para todo t ∈ F , ϕ0_{(t) = f}

x(t, H(t)) ≥ ². Primeiramente,

afirmamos que fy(t, H(t)) = 0. De fato, se t = ψ(s) > ψ(ξ), ent˜ao (t, H(t)) = φs(z) onde

z ´e algum ponto de m´aximo de π ◦ φs em (As, Bs). Logo,

[π ◦ φs(z)]0 = π(−fy(φs(z)), fx(φs(z))) = −fy(φs(z)) = 0.

Isto prova a afirma¸c˜ao. Por (ii), existe uma sequˆencia hn → 0 tal que limn→∞_hkn_n = σ ∈ R,

onde kn= H(t + hn) − H(t). Como f é diferenciável em (t, H(t)), existem fun¸cões ²1, ²2

definidas em uma vizinhan¸ca de (0, 0) tais que

e limn→∞²1(hn, kn) = limn→∞²2(hn, kn) = 0. Temos então que ϕ(x + hn) − ϕ(x) hn = fx(t, H(t)) + ²1(hn, kn) + ²2(hn, kn) kn hn . Como ϕ é diferenciável em t, temos que

ϕ0(t) = lim

n→∞

ϕ(x + hn) − ϕ(x)

= fx(t, H(t)).

Assim, a matriz jacobiana de X em (t, H(t)) tem a forma   ϕ0_(t) ₀ gx(t, H(t)) gy(t, H(t))  .

Conclu´ımos que ϕ0_{(t) ´e um auto-valor de DX(t, H(t)). Como ϕ ´e crescente, temos que}

ϕ(t)0 _{≥ ², pois , por hip´otese, Spec(X) ∩ (−², ²) = ∅.}

Seja K := sup{f ◦ η(s); s ∈ [ξ, 1]}. Tomando t0 suficientemente grande, e utilizando

a segunda parte do Teorema 1.4.3, chegamos ao seguinte absurdo: K − ϕ(ψ(ξ) < ² · (t0− ψ(ξ)) ≤

Z t0

ψ(ξ)

ϕ0_{(t)dt ≤ ϕ(t}0) − ϕ(ψ(ξ)).

Lema 2.2.4. Seja X :_Rm _{→ R}m _{uma aplica¸c˜ao de classe C}1 _{tal que 0 /}_{∈ Spec(X). Para}

cada t ∈ R definimos a aplica¸c˜ao

Xt:Rm → Rm

x 7→ X(x) − tx.

Se existe uma sequência {tm} de números reais convergindo para zero, tal que Xtm é

injetiva, ent˜ao X ´e injetiva.

Demonstra¸c˜ao. Sejam p1 e p2 tais que X(p1) = X(p2) = q. Considere a aplica¸c˜ao

H :Rm

× R → R2

Temos que ∂1H(p1, 0) = DX(p1). Pelo Teorema 1.2.2 (Ap. Impl´ıcita), obtemos um

intervalo aberto (−δ, δ) e aplica¸c˜oes C1 _ξ

1 : (−δ, δ) → Rm e ξ2 : (−δ, δ) → Rm tais que

ξ1(0) = p1, ξ2(0) = p2, e para todo s ∈ (−δ, δ),

H(ξ1(s), s) = q = H(ξ2(s), s).

Como tn→ 0, a partir de um n suficientemente grande, temos que

Xtn(ξ1(tn)) = H(ξ1(tn), tn) = H(ξ2(tn), tn) = Xtn(ξ2(tn)).

Pela injetividade de Xn, concluimos que ξ1(tn) = ξ2(tn). Logo,

p1 = lim

n→∞ξ1(tn) = limn→∞ξ2(tn) = p2.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.1. Para cada t ∈ [0, ²), considere a aplica¸c˜ao Xt(x) =

X(x) − t · x. Seja a = min{t, ² − t}. Se x ∈ R2_{, DX}

t(x) = DX(x) − t · Id. Logo, se λ

é raiz do polinômio caracter´ıstico associado a DXt(x), então λ + t é raiz do polinômio

caracter´ıstico associado a DX(x). Isto implica que λ /_{∈ (−a, a). De fato, supondo o} contr´ario, obtemos

−t ≤ −a < λ < a ≤ ² − t ou, equivalentemente,

0 < λ + t < ².

Concluimos assim que Spec(Xt) ∩ (−a, a) = ∅. Pelo Teorema 2.2.1, Xt ´e injetiva para

Cap´ıtulo 3

Estabilidade assint´otica global de

campos no plano

Neste cap´ıtulo, utilizaremos o Teorema 2.2.1, para demonstrar a conjectura de Markus e Yamabe em dimens˜ao dois:

Teorema 3.0.3. Se X = (f, g) : _R2 _{→ R}2 _{´e um campo vetorial de classe C}1 _{tal que}

X(0) = 0 e Spec(X) ⊂ {z ∈ C; Re(z) < 0}, ent˜ao Ws_{(0) =}_R2_.

No que segue, X ´e um campo em _R2 _{satisfazendo as hip´oteses do Teorema 3.0.3.}

Além disso, Ws_{(0) denota a variedade estável da origem com respeito à X.}

Lema 3.0.5. Existe um aberto U tal que 0 ∈ U ⊂ Ws_(0).

Demonstra¸cão. Por hipótese, o campo linear DX(0) tem ´ındice dois. Portanto, pela Proposi¸cão 1.1.3, a origem é um atrator global para DX(0). Pelo Teorema 1.1.8 (Grobman- Hartman), existem abertos U, V 3 0 e uma conjuga¸cão topológica h : U → V entre X|U

e DX(0)|V. Isto ´e suficiente.

Lema 3.0.6. O conjunto Ws_{(0) ´e aberto e n˜ao vazio.}

Demonstra¸c˜ao. Seja U o aberto determinado pelo Lema 3.0.5. Se p ∈ Ws_{(0), existe}

algum t > 0 tal que φt(p) = q ∈ U. Pelo Teorema 1.1.6 (fluxo tubular longo), existe

X|L e e1|R. Reduzindo as dimensões do retângulo se necessário, podemos considerar que

a imagem por h da se¸c˜ao s indicada na Figura ?? est´a contida em U . Concluimos que L ⊂ Ws_(0).PSfrag replacements U h 0 p U _p L s

Figura 3.1: Fluxo Tubular Longo Lema 3.0.7. O campo X n˜ao possui trajet´orias fechadas.

Demonstra¸c˜ao. O tra¸co da matriz de um operador linear independe da escolha das bases. Como Spec(X) ⊂ {z ∈ C; Re(z) < 0}, segue do Lema 1.1.5 que a fun¸c˜ao

Tr(DX) :R2

→ R2

p 7→ fx(p) + gy(p).

é estritamente negativa. Supondo por absurdo que X possui uma trajetória fechada γ limitando uma região S do plano, aplicamos o Teorema ?? (Fórmula de Green) e obtemos

0 = Z γ−gdx + fdy = Z Z S Tr(DX)dxdy < 0. Lema 3.0.8. Seja p ∈ R2_\Ws_{(0). Se (t}

n) é uma sequência de números reais tal que

tn → ω+(p), ent˜ao limn→+∞kφp(tn)k = +∞

Demonstra¸cão. Considere um campo Y equivalente a X pela identidade, e que define um fluxo completo (ver Lema 1.1.2). Pelo Teorema 2.2.1, X é uma aplica¸cão injetiva.

Logo, a origem é a única singularidade dos campos X e Y . Como a origem é um atrator local, ela não pode pertencer ao conjunto α-limite de ponto algum. Pelo Lema 3.0.7, Y não possui trajetórias fechadas. Segue do Lema 1.1.3 que o conjunto ω-limite de p com respeito a Y é vazio. Isto é suficiente.

Considere o campo X∗ _{= (−g, f) : R}2 _{→ R}2_{. Observe que X}∗ _{´e ortogonal a X.}

Utilizaremos a nota¸c˜ao de intervalos reais [p, q] (resp [p, q]∗_{) para um arco de trajet´oria}

de X (resp. X∗_{) conectando pontos p e q, e orientado pelo pr´oprio campo. Neste mesmo}

contexto, [p, +∞) (resp. [p, +∞)∗_{) denota a semi-trajet´oria positiva de X (resp. X}∗₎

partindo de p. Trabalharemos com o seguinte funcional: L(p, q) =

[p,q]∗

kXk2ds,

onde ds representa o elemento de comprimento de arco. Os fluxos associados a X e X∗

ser˜ao denotados por φ e φ∗ _{respectivamente.}

Lema 3.0.9. Se A é uma região cujo bordo é formado por arcos [p1, q1], [p2, q2], [p1, p2]∗

e [q1, q2]∗, ent˜ao

L(q1, q2) − L(p1, p2) < 0.

Demonstra¸cão. Trata-se de uma aplica¸cão direta do Teorema ?? (Fórmula de Green). Orientando ∂A no sentido anti-horário, é fácil concluir que

L(q1, q2) − L(p1, p2) = Z [q1,q2]∗ kX(s)k2ds − Z [p1,p2]∗ kX(s)k2ds = Z ∂A−gdx + fdy = Z Z A T r(DX)dxdy < 0.

Defini¸c˜ao 3.0.1. Sejam δ > 0, e V um subconjunto de Rm_{. O conjunto}

Oδ(V ) =

[

p∈V

{x; kx − pk < δ} recebe o nome de δ-vizinhan¸ca de V .

Lema 3.0.10. O conjunto Ws_{(0) ´e fechado.}

Demonstra¸c˜ao. Seja A uma vizinhan¸ca da origem tal que A ⊂ Ws_{(0). Seja p ∈ R}2_\Ws_(0).

Pelo Lema 3.0.7, a semi-trajet´oria positiva γ+

p de X partindo de p ´e um subconjunto

fechado de R2 _{que tem interse¸c˜ao vazia com A. Seja δ = d(γ}+

p, A) > 0. Como X ´e

injetiva, e X(0) = 0, existe um ρ > 0 tal que kX(x)k e kX∗_{(x)k s˜ao maiores do que ρ,}

para todo x ∈ R2_{\A. Pelo Teorema 1.1.5, existe um fluxo tubular (L, h) de X}∗ _{tal que}

p ∈ L, h ´e uma conjuga¸c˜ao de classe C1_{, e h(p) = 0. Como podemos tomar L limitada,}

existe uma constante k > 0 tal que kX(x)k e kX∗_{(x)k s˜ao menores do que k, para todo}

x ∈ L. Sabemos que o comprimento de um arco parametrizado α : [a, b] → R2 _{´e dado}

por

Z b

a k ˙α(s)kds.

Portanto, podemos reduzir L at´e que

i. a trajet´oria de X que passa por p toque todas as trajet´orias de X∗ _{em L (ver Figura}

3.2).

ii. L esteja contida na bola de centro p e raio δ/2.

iii. um arco de X∗ _{contido em L tenha comprimento menor do que δρ/2k}2_.

PSfrag replacements p q Q(t) P (t) L Bδ 2(p)

Figura 3.2: Fluxo Tubular

Para provarmos o resultado desejado, basta verificarmos que a semi-trajet´oria positiva de qualquer ponto de L est´a contida na δ-vizinhan¸ca Oδ(γp+). Fixemos q ∈ L. Seja Q(t) :=

φ(t, q). Utilizando o fluxo tubular (ver Figura 3.2), verificamos facilmente que existe um intervalo [0, tq) onde está definida uma fun¸cão cont´ınua que preserva orienta¸cões P :

[0, tq) → γp tal que a trajet´oria de X∗ que passa por P (t) cruza γ+q em Q(t). Obviamente

tq é menor ou igual ao extremo direito ω+(q) do intervalo máximo de defini¸cão de φq.

Dependendo da posi¸c˜ao do ponto q, teremos [P (t), Q(t)]∗ _{ou [Q(t), P (t)]}∗_{. Trabalharemos}

com o primeiro caso, sendo o segundo totalmente an´alogo. Podemos tomar o intervalo [0, tq) maximal com a prorpiedade mencionada. A aplica¸c˜ao

ϕ : [0, tq) → R

t 7→ L(P (t), Q(t))

é claramente cont´ınua. Segue do Lema 3.0.9 que ϕ é decrescente. Afirmamos que o arco [P (t), Q(t)]∗ _{não pode sair de O}

δ/2(γp+). Se isto acontecesse, tomar´ıamos o valor

Z∗ _{= sup{z; [P (t), z]}∗ _{⊂ ([P (t), Q(t)]}∗_{∩ O}

δ/2(γp+))}

e, utilizando o item (iii), obter´ıamos δρ/2 ≤

[P (t),Z∗_]

kXk2ds ≤ L(P (t), Q(t)) ≤ L(P (0), q) < k2· δρ/2k2.

Afirmamos ainda que |P (t) − Q(t)| < δ/2. De fato, suponhamos que |P (t) − Q(t)| ≥ δ/2. Utilizando a afirma¸c˜ao anterior, obtemos o seguinte absurdo:

δρ/2 ≤ |P (t) − Q(t)| · ρ < L(P (t), Q(t)) ≤ L(P (0), q) < δρ/2. (3.1) Com isto, garantimos que φq([0, tq)) ⊂ Oδ

2(γ

p ). Resta-nos garantir que tq = ω+(q)

Suponhamos que tq < ω+(q). Seja Q(tq) = limt→tqQ(t) = φq(tq). Tomemos uma

sequˆencia tn → tq. Como |P (t) − Q(t)| < δ/2, para todo t ∈ [0, tq), podemos assumir

que a sequência P (tn) converge, passando a uma subsequência se necessário. Denotamos

P (tq) := limn→∞P (tn). Segue do Lema 3.0.8 que P (tq) pertence `a γp+. Se t ∈ [0, tq),

existe um s > 0 tal que φ∗

P (t)(s) = Q(t). Se l ´e o comprimento do arco [P (t), Q(t)]∗,

temos que ρ2_{· s ≤ ρ ·} Z s 0 kX ∗_(φ∗ P (t)(u))kdu = ρl ≤ Z [P (t),Q(t)]∗ kXk2ds ≤ δρ/2. (3.2)

Seja sn> 0 a sequˆencia que satisfaz

φ∗(P (tn), sn) = Q(tn) ∈ γq+.

Pela equa¸cão 3.2, sné uma sequência limitada. Substituindo-a por alguma subsequência,

e mantendo a nota¸c˜ao, existe um w > 0 tal que sn → w. Pela continuidade de φ∗, temos

que φ∗(P (tq), w) = lim n→∞φ ∗_{(P (t} n), sn) = lim n→∞Q(tn) = Q(tq).

Com isto, garantimos que a semi-trajet´oria de X∗ que parte de P (tq) atravessa Q(tq).

Isto contradiz a maximalidade de [0, tq). Concluimos que tq = ω+(q), ou seja , que a

semi-trajet´oria positiva de X que passa por q est´a contida na δ-vizinhan¸ca de γ+ p.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.0.3. Como _R2 _{´e conexo, o resultado segue dos Lemas 3.0.6}

e 3.0.10.

3.1 Contra-exemplo

Nesta se¸cão, exibiremos o contra-exemplo constru´ıdo por Cima et al em [20], que prova que a conjectura de Markus-Yamabe falha em dimensões maiores do que dois, não sendo válida sequer para campos vetoriais polinomiais.

Teorema 3.1.1. Seja n ≥ 3. O campo X :_Rn _{→ R}n (x1, . . . , xn) 7→ (−x1+ x3¡d(x)¢ 2 , −x2−¡d(x)¢ 2 , −x3, . . . , −xn),

onde d(x) = x1+ x3x2, ´e um contra-exemplo para a conjectura de Markus-Yamabe. Mais

precisamente, existe uma solu¸c˜ao ˙α = X(α) tal que lim

t→∞kα(t)k = +∞

Demonstra¸c˜ao. Se p ∈ Rn_{, verifica-se por um c´alculo direto que todos os auto-valores de}

DX(p) são iguais a −1. Também é fácil verificar que

α(t) = (18et_{, −12e}2t, e−t, . . . , e−t) ´e a solu¸c˜ao procurada.

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´Indice Remissivo

α-limite, 9 ω-limite, 9 σ-álgebra, 20 σ-álgebra de Lebesgue, 22 álgebra, 20 ´ındice de um campo linear, 11 aplica¸cão de n-planos, 17 atrator, 10 caminho de placas, 14 simples, 18 ideal, 32 campo linear hiperbólico, 11 carta trivializadora, 14 cobertura

subordinada a um caminho simples, 19 complexifica¸cão, 10 conjuga¸cão, 5 equivalência, 5 espa¸co de folhas, 14 espa¸co de medida, 21 espectro complexo, 11 fluxo de um campo, 4 fluxo tubular, 8 folha, 14 folhea¸cão, 13 folhea¸cão planar, 18

Forma local da submersões, 13 fun¸cão caracter´ıstica de E, 24 integrável à Lebesgue, 26 mensurável, 23 semi-cont´ınua superiormente, 23 simples, 24 fun¸cão de conjunto, 21 inseparáveis, 35 medida, 21 completa, 21 de Lebesgue, 22

medida exterior de Lebesgue, 21 orientabilidade, 17

per´ıodo de uma trajet´aria fechada, 5 placa, 14

quase todo ponto, 21 saturado de um conjunto, 14 se¸c˜a transversal compacta, 16 se¸c˜ao transversal, 15

se¸cões admiss´ıveis para um par de folhas, 34 semi-componente de Reeb, 36 singularidade, 4 singularidade hiperbólica, 12 Teorema da Aplica¸cão Impl´ıcita, 12 da Aplica¸cão Inversa, 12 teorema de Grobman-Hartman, 12 de Poincaré-Bendixson, 9 do fluxo tubular, 8 trajetória, 4 variedade estável, 10

No documento Injetividade de Aplicações de classe C 1 no Plano e a Conjectura de Markus-Yamabe (páginas 45-67)