Injetividade de Aplicações de classe C 1 no Plano e a Conjectura de Markus-Yamabe

(1)

Injetividade de Aplica¸c˜

oes de classe

C

1 no Plano e a

Conjectura de Markus-Yamabe

Marcelo Tavares Ramos Luiz

UFRJ

Rio de Janeiro

2006

(2)

Injetividade de Aplica¸c˜

oes de classe C

1

no plano e a

Conjectura de Markus-Yamabe

Marcelo Tavares Ramos Luiz

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Bruno Sc´ardua

Rio de Janeiro Dezembro de 2006

(3)

Luiz, Marcelo Tavares Ramos

L953i Injetividade de aplica¸c˜oes de classe C1 _{no plano}

2006 e a conjectura de Markus-Yamabe / Marcelo Tavares Ramos Luiz. - Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2006.

v,60p.; 29 cm

Disserta¸cão(Mestrado) - UFRJ/IM. Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática, 2006.

Orientador: Bruno Sc´ardua Referˆencias: p.56.

1. Sistemas Dinˆamicos-tese. I. Scardua, Bruno Cesar Azevedo (orientador). II.Universidade

Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co à minha fam´ılia, aos meus amigos e aos professores da Universidade Federal do Rio de Janeiro por terem me permitido chegar até aqui. Especialmente ao meu professor e orientador Bruno Scárdua.

(5)

Resumo

Neste trabalho, apresentamos um resultado que garante a injetividade de uma aplica¸c˜ao X : R2 _{→ R}2 _{de classe C}1 _{a partir de uma hip´otese no espectro do campo X, ou seja,}

no conjunto formado por todos os auto-valores de DX(p), quando p varia em _R2_{. Tal}

resultado é suficiente para demonstrar a conjectura de Markus-Yamabe em dimensão dois, que versa sobre a estabilidade assintótica de um campo vetorial a partir de uma hipótese feita no seu espectro.

(6)

Abstract

In the text, we present a result that guarantees the injectivity of a C1 _{map X :}_R2 _{→ R}2

from a hypothesis on the spectrum of X, that is, on the set of all eigenvalues of DX(p), when p varies in _R2_{. This result is sufficient to prove the 2-dimensional Markus-Yamabe}

conjecture, which tells about asymptotic stability of a vector field from a hypothesis on its spectrum.

(7)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 E.D.O. e Sistemas Dinˆamicos . . . 3

1.2 Resultados cl´assicos em an´alise . . . 12

1.3 Folhea¸c˜oes . . . 13

1.4 Integra¸c˜ao e Medida de Lebesgue . . . 20

2 Injetividade de Aplica¸c˜oes no Plano 30 2.1 N˜ao-injetividade . . . 30

2.2 Injetividade . . . 38

3 Estabilidade assint´otica global de campos no plano 49 3.1 Contra-exemplo . . . 54

(8)

Introdu¸c˜

ao

Iniciamos este trabalho enunciando a famosa conjectura proposta por Markus e Yamabe em [9].

Problema 1 (Conjectura de Markus-Yamabe, 1960). Seja X :_Rn _{→ R}n_{um campo}

vetorial de classe C1 _{tal que X(0) = 0. Se para cada p ∈ R}n_{, os autovalores complexos}

de DX(p) tem parte real negativa, ent˜ao a origem ´e um atrator global.

Em [17], Olech demonstra que o caso bidimensional desta conjectura ´e equivalente ao problema enunciado abaixo.

Problema 2. Seja X = (f, g) : _R2 _{→ R}2 _{uma aplica¸c˜ao de classe C}1_{. Se para cada}

p ∈ Rn_{, os autovalores complexos de DX(p) tem parte real negativa, ent˜ao X ´e injetiva.}

Diversos matemáticos tentaram arduamente demonstrar esses resultados. No fim da década de oitenta, Meisters e Olech demonstram em [10] uma versão mais fraca da conjectura bidimensional, considerando campos vetoriais polinomiais. Na primeira metade da década de noventa, foram exibidas três demonstra¸cões independentes para o Problema 2. Estava, portanto, resolvida a conjectura de Markus-Yamabe no plano. Em [21], Glutsyuk demonstra exatamente o Problema 2. Já Fessler e Gutierrez provam resultados mais gerais em [13] e [8] respectivamete. Em ambos os trabalhos está contido o seguinte resultado:

Teorema 0.0.1. Uma aplica¸c˜ao X : R2 _{→ R}2 _{de classe C}1 _{´e injetiva se existe um}

compacto K tal que, para cada p ∈ R2_{\K, os autovalores reais de DX(p) s˜ao negativos.}

Em [11] Bernat e Llibre constroem contra-exemplos para a conjectura em dimensões maiores do que três. Assim, o Problema 1 permanecia aberto apenas para o caso tridi-mensional. Existia ainda interesse no caso de campos polinomiais em dimensão n. No

(9)

ano de 1997, Cima et al exibem em [20] um contra-exemplo polinomial simples e supreen-dente para dimens˜oes maiores do que dois, resolvendo definitivamente a Conjectura de Markus-Yamabe.

Em [19], Gutierrez, Fernandes e Rabanal provam o seguinte resultado:

Teorema 0.0.2. Uma aplica¸c˜ao X :R2 _{→ R}2 _{de classe C}1 _{´e injetiva se existe um ² > 0}

tal que, para cada p ∈ R2_{, DX(p) n˜ao possui autovalores em [0, ²).}

O contra-exemplo exibido por Pinchuck em [12] garante que um difeomorfismo local no plano não é necessariamente injetivo, mesmo no caso polinomial. Nesse sentido, o Teorema 0.0.2 possui um caráter optimal. Em [19], discute-se a versão n-dimensional do Problema 2, conhecida como conjectura fraca de Markus-Yamabe. Em [16], Smith e Xavier provam que para algum inteiro n > 2, existe uma aplica¸cão polinomial X :Rn_→

Rn _{n˜ao injetiva, tal que, para cada p ∈ R}n_{, os autovalores reais de DX(p) s˜ao negativos.}

´

E exibido ainda um teorema que garante a injetividade com condi¸cões mais fortes. Em [18], Gutierrez, Fernandes e Rabanal provam que o Teorema 0.0.2 e a conjectura de Markus-Yamabe no plano possuem uma generaliza¸cão para aplica¸cões diferenciáveis, não necessariamente de classe C1_.

Nesta disserta¸c˜ao, seguindo [19] e [18], provaremos o Teorema 0.0.2 e o caso bidimen-sional da conjectura de Markus Yamabe. O trabalho apresenta-se na seguinte ordem:

No cap´ıtulo 2, exibiremos resultados clássicos e importantes em análise real, equa¸cões diferenciais, sistemas dinâmicos e folhea¸cões reais.

No cap´ıtulo 3, provaremos o Teorema 0.0.2. Primeiramente, demons-traremos que a não-injetividade da aplica¸cão X = (f, g) : _R2 _{→ R}2 _{garante que a folhea¸cão definida}

por f possui uma semi-componente de Reeb. Em seguida, provaremos um lema que nos permitirá assumir que a proje¸cão sobre o eixo das abscissas desta semi-componte é um intervalo de comprimento infinito. Com isto, e algumas ferramentas de análise, concluiremos o resultado desejado.

Com a injetividade, demonstraremos no cap´ıtulo 4 a conjectura de Markus-Yamabe para n = 2, seguindo o trabalho de Olech em [17].

(10)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 E.D.O. e Sistemas Dinˆ

amicos

Todos os resultados não demonstrados desta se¸cão podem ser encontrados em [2], [4] ou [5]. Daqui por diante, U e V são abertos de Rm_.

Teorema 1.1.1 (Teorema de Peano). Se X : U → Rm _{´e um campo vetorial cont´ınuo,}

e p ∈ U, existe um intervalo aberto I 3 0 onde est´a definida alguma solu¸c˜ao do seguinte problema de valor inicial:

   ˙α(t) = X(α(t)) α(0) = p. (1.1) Teorema 1.1.2 (Teorema de Picard). Seja X : U → Rm _{uma aplica¸c˜ao cont´ınua e}

localmente Lipschitziana. Para cada p ∈ U, existe um intervalo aberto I 3 0 onde está definida uma única solu¸cão de 1.1.

Corol´_{ario 1.1.1. Seja X : U ⊂ R}m _{→ R}m _{campo vetorial de classe C}1_{. Para cada}

p ∈ U, existe um intervalo aberto I 3 0 onde está definida uma única solu¸cão de 1.1. Defini¸cão 1.1.1. Uma solu¸cão φp : Ip = (ω−(p), ω+(p)) → U de 1.1 é dita máxima se

não existe um intervalo Jp % Ip e uma extensão ˜φ : Jp → U de φ sendo ainda uma solu¸cão

(11)

Teorema 1.1.3. Seja X : U ⊂ Rm _{→ R}m _{um campo vetorial de classe C}r_{, r ≥ 0, tal}

que, para cada p ∈ U, existe um intervalo aberto onde está definida uma única solu¸cão de 1.1. Então,

1. para cada p ∈ U, existe um intervalo aberto Ip onde está definida a única solu¸cão

m´axima φp : Ip → U de 1.1.

2. o conjunto D = {(p, t); p ∈ U e t ∈ Ip} ´e aberto em Rm+1 e a aplica¸c˜ao

φ : D → U (p, t) 7→ φp(t)

´e de classe Cr_.

3. se t ∈ Ip e q = φ(p, t), ent˜ao Iq= Ip− t = {r − t; r ∈ Ip} e

φs◦ φt(p) := φ(q, s) = φ(p, t + s) := φt+s(p).

Defini¸c˜ao 1.1.2. A aplica¸c˜ao φ definida no Teorema 1.1.3 recebe o nome de fluxo do campo X. Quando para cada p ∈ Rm_{, I}

p =R, a aplica¸c˜ao φ : U × R → U recebe o nome

de fluxo completo de X. Neste caso, o item 3 do teorema acima, garante que a aplica¸cão t 7→ φt é um homomorfismo do grupo aditivo dos números reais sobre o conjunto dos

difeomorfismos de U (homeomorfismos no caso de fluxos cont´ınuos), munido da opera¸c˜ao de composi¸c˜ao.

Teorema 1.1.4. Seja X : U → Rm _{um campo cont´ınuo. Se φ}

p : Ip = (ω−(p), ω+(p)) →

U é uma solu¸cão máxima única de 1.1, então a aplica¸cão φp(t) tende à fronteira de U

quando t → ω±(p).

Defini¸c˜_{ao 1.1.3. Dizemos que p ∈ U é uma singularidade do campo vetorial X : U →} Rm _{se X(p) = 0. Caso contrário, dizemos que p é um ponto regular. Se X define um}

fluxo φ, e p é uma singularidade de X, é óbvio que φ(t, p) = p e Ip =R.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Seja X um campo cont´ınuo que define um fluxo φ. O conjunto γp :=

(12)

chama-se singular. Se γp ´e uma curva homeomorfa a um c´ırculo, dizemos que a trajet´oria

´e fechada ou peri´odica. O conjunto γ+

p := {φ(p, y); t ∈ [0, ω+(p))} recebe o nome de

semi-trajet´oria positiva partindo de p. Analogamente definimos γ−

p. Quando n˜ao houver

risco de dúvidas, identificaremos a solu¸cão máxima φp : Ip → U com sua imagem, ou

seja, com a trajet´oria de X que passa por p.

Proposi¸c˜ao 1.1.1. Seja X um campo cont´ınuo que define um fluxo φ. Se φ(t1, p) =

φ(t2, p) e t1 < t2, ent˜ao Ip =R e, para todo t ∈ R,

φ(t + (t2− t1), p) = φ(t, p),

ou seja, γp ´e peri´odica.

Defini¸cão 1.1.5. Seguindo o enunciado da Proposi¸cão 1.1.1, o número real T = t2 − t1

recebe o nome de per´ıodo da trajet´oria fechada γp.

Defini¸c˜ao 1.1.6. Sejam U e V subespa¸cos topol´ogicos de Rm

, X : U → Rm e Y : V → Rm _{campos cont´ınuos que definem fluxos. Dizemos que X e Y s˜ao topologicamente}

equiv-alentes (resp. Cr-equivalentes) se existe um homeomorfismo (resp. um difeomorfismo Cr_{) h : U → V levando órbitas de X em órbitas de Y , preservando a orienta¸cão dada}

pelos fluxos.

Defini¸c˜ao 1.1.7. Sejam φX : DX → Rm, φY : DY → Rm fluxos associados a campos

X : U ⊂ Rm _{→ R}m _{e Y : V ⊂ R}m _{→ R}m _{respectivamente. Dizemos que X e Y s˜ao}

topologicamente conjugados (resp. Cr_{-conjugados) se existe um homeomorfismo (resp.}

um difeomorfismo Cr_{) h : U → V tal que h(φ}

X(t, p)) = φY(t, h(p)) para todo (t, p) ∈ DX.

Observa¸cão 1.1.1. Toda conjuga¸cão é uma equivalência. A rec´ıproca não é necessaria-mente verdadeira.

Observa¸cão 1.1.2. As no¸cões de equivalência e conjuga¸cão, definem rela¸cões de equivalência entre campos definidos em abertos de Rm_.

Lema 1.1.1. Se X : U ⊂ Rm _{→ R}m _{e Y : V ⊂ R}m _{→ R}m _{s˜ao campos de classe C}r _e

h : U → V é um difeomorfismo Cr_{, h é uma conjuga¸cão entre X e Y se, e somente se,}

(13)

Lema 1.1.2. Sejam X : U → Rm _{e Y : V → R}m _{campos vetoriais cont´ınuos, sendo que}

Y define um fluxo. Seja h : U → V um difeomorfismo de classe Cr_{. Se, para alguma}

aplica¸c˜ao cont´ınua a : U → R+_{, tivermos Dh(p)X(p) = a(p)Y (h(p)), ∀p ∈ U, ent˜ao X}

define um fluxo e h ´e uma equivalˆencia de classe Cr _{entre X e Y .}

Demonstra¸cão. Seja p ∈ U. Pelo Teorema 1.1.1, existe um intervalo I = (−², ²) onde está definida alguma solu¸cão β de X para o problema (1.1). Considere a fun¸cão b = 1

a◦β :

I → R+_{. Pelo Teorema 1.1.1, se i ∈ I, existe um intervalo J}

i 3 0 onde o problema de valor inicial    ˙s(t) = b(s(t)) s(0) = i. (1.2) possui alguma solu¸cão si. Como b > 0, sié uma aplica¸cão crescente, sendo um

difeomor-fismo sobre sua imagem. Considere agora a aplica¸c˜ao αi = Ji → V t 7→ h ◦ β ◦ si(t). Temos que d dtαi(t) = Dh(β(si(t))) · d dsβ(si(t)) · d dtsi(t) = Dh(β(si(t))) · X(β(si(t))) · 1 a(β(si(t))) = Y (αi(t)).

Analizemos primeiramente o caso em que p ´e uma singularidade. Neste caso, h(p) ´e uma singularidade de Y . Se i ∈ I ∩ β−1_{(p), a imagem de β(s}

i(Ji)) por h est´a contida na ´unica

trajetória de Y que passa por h(p), que se trata exatamente da aplica¸cão constante igual a h(p). Isto implica que o intervalo aberto si(Ji) 3 i está contido em β−1(p), e que este

´

ultimo, portanto, é aberto. Como β−1_{(p) contém o zero, e é também fechado, temos}

que β ´e constante e igual a p. Como β foi tomada arbitrariamente, conclu´ımos que a ´

unica solu¸cão de X para o problema 1.1 neste caso é a aplica¸cão constante e igual a p. Suponhamos agora que p é regular. Como β0_{(s) 6= 0, para todo s ∈ I, podemos supor}

(14)

é a única solu¸cão do problema 1.2 definida no intervalo Ji. Pelo Teorema 1.1.1, b define

um fluxo. Denotaremos por J = J0 o intervalo m´aximo da trajet´oria s = s0 de b que

passa por 0. Pelo Teorema 1.1.4, s(J) = I. Fica claro que α0 = α ´e a trajet´oria de Y que

passa por h(p), restrita ao intervalo J. Suponhamos que exista uma outra solu¸c˜ao β1 de

X para o problema 1.1, definida em I1 = (−²1, ²1), ²1 ≤ ². Seja δ o maior n´umero real em

[0, ²1] tal que β1 permanece injetiva em (−δ, δ). Procedendo analogamente, concluiremos

que a imagem por h de β[(−δ, δ)] também conterá h(p) e estará contida na trajetória de Y que passa por h(p). Como h é uma bije¸cão, verifica-se facilmente que δ = ²1, e que o

problema 1.1 tem solu¸cão única em I. Temos pelo Teorema 1.1.3 que X define um fluxo. Se p é um ponto regular, e a trajetória β de X que passa por p não é fechada, podemos tomar I como sendo o intervalo maximal de defini¸cão de β e repetir o procedimento acima, garantindo que β é mandada por h sobre a trajetória de Y que passa por h(p). Como h é difeomorfismo, podemos usar a expressão

Dh−1(q)Y (q) = 1

a(h−1_(q))X(h

−1_(q)),

e concluir que h−1 _{leva a trajet´oria de Y que passa por h(p) em β. Dessa forma,}

con-clu´ımos que a fun¸c˜ao s ´e um difeomorfismo crescente entre os intervalos maximais Ih(p) e

Ip. No caso em que a trajet´oria β de X passando por p ´e fechada, tomamos δ menor do que

o per´ıodo T de β, e consideramos o intervalo I = (δ − T, δ). Após proceder como acima, verificamos facilmente que h|β é um difeomorfismo (preservando orienta¸cões) entre β e a

trajetória (também fechada) de Y que passa por h(p). Isto conclui a demonstra¸cão. Proposi¸cão 1.1.2. Seja X :_Rm _{→ R}m _{um campo cont´ınuo que define um fluxo. Existe}

um campo cont´ınuo ˜X : Rm _{→ R}m _{que define um fluxo completo, e ´e equivalente a X}

pela identidade.

Demonstra¸cão. Considere o campo ˜X = _1+kXkX . Como a fun¸cão a = _1+kXk1 é cont´ınua e positiva, temos pelo Lema 1.1.2 que a identidade é uma equivalência entre X e ˜X. Basta agora verificar que, para cada p ∈ Rn_{, o intervalo máximo I}

p da trajet´oria ˜φp de ˜X ´e

igual a_{R. Temos obviamente que ˜}φp satisfaz a seguinte equa¸c˜ao:

˜ φp(t) = p + Z t 0 X( ˜φp(s)) 1 + kX( ˜φp)(s)k ds.

(15)

Suponha que ω+(p) < ∞. Como k ˜X(t)k < 1, ∀t ∈ Ip, temos que k ˜φpk ≤ kpk+ω+(p), para

todo t ∈ [0, ω+(p)). Logo, a semi-trajet´oria positiva ˜φ+p est´a contida na bola centrada na

origem com raio kpk+ω+(p). Isto ´e absurdo pelo Teorema 1.1.4. Analogamente, prova-se

que ω−(p) = −∞.

Defini¸c˜_{ao 1.1.8. Seja X : U ⊂ R}m _{→ R}m _{um campo que define um fluxo. Considere o}

conjunto

B²δ := {(x, y) ∈ R × Rm−1; |x| < ² e |yi| < δ, i = 1, . . . , m − 1},

onde ², δ > 0. Seja e1 : Rm → Rm o campo constante determinado pelo primeiro vetor

da base canônica de Rm_{. Dizemos que (L, h) é um fluxo tubular de X se L é um aberto}

contido em U , e h : L → B²δ é uma equivalência topológica entre X|L e e1|B²δ.

Teorema 1.1.5 (Teorema do Fluxo tubular). Seja X : U → Rm _{um campo de classe}

Cr_{, r ≥ 1. Se p ´e um ponto regular de X, existe um fluxo tubular (L, h) de X tal que}

i. p ∈ L, e h(p) = 0. ii. h ´e uma Cr _{conjuga¸c˜ao.}

Teorema 1.1.6 (Teorema do Fluxo tubular longo). Seja X : U ⊂ Rm _{um campo}

de classe Cr_{, r ≥ 1. Se γ ´e um arco de trajet´oria compacto de X, existe um fluxo tubular}

(L, h) de X tal que

i. γ ⊂ L, e h(γ) ⊂ B²δ∩ ({0} × Rm−1).

ii. h ´e uma Cr_{-conjuga¸c˜ao.}

Observa¸c˜ao 1.1.3. Seja X :Rm _{→ R}m_{um campo de classe C}1_{. Dado um ponto regular}

p ∈ Rm_{, existe uma subvariedade Σ}

p 3 p de Rm com dimens˜ao m − 1 que ´e transversal a

todas as trajet´orias de X que encontra. Basta considerar o fluxo tubular (L, h) fornecido pelo Teorema 1.1.5, e tomar Σp = h−1(Bδm−1(0)).

Observa¸cão 1.1.4. Nos Teoremas 1.1.5 e 1.1.6, podemos supor que h é um difeomorfismo positivo de _Rm_{, compondo com um isomorfismo adequado se necessário.}

(16)

Defini¸c˜_{ao 1.1.9. Seja X : U → R}m _{um campo cont´ınuo que define um fluxo local. Se}

p ∈ U e ω+(p) = ∞, definimos o conjunto ω-limite:

ω(p) := {q ∈ U; ∃(tn) tal que lim

n→∞tn= ∞ e limn→∞φ(p, tn) = q}.

Analogamente, se ω−(p) = −∞, definimos o conjunto α-limite:

α(p) := {q ∈ U; ∃(tn) tal que lim

n→∞tn = −∞ e limn→∞φ(p, tn) = q}.

Observa¸cão 1.1.5. Se φ(t, p) é a trajetória de um campo X, verifica-se facilmente que ϕ(t, p) = φ(−t, p) é a trajetória do campo Y = −X. Portanto, o conjunto ω-limite de um ponto com respeito a X, é igual ao conjunto α-limite deste ponto com respeito a Y , e vice-versa.

Teorema 1.1.7 (Poincar´e-Bendixson). Seja X : R2 _{→ R}2 _{um campo de classe C}1_.

Seja φt = φ(t, p) uma curva integral de X definida para todo t ≥ 0. Suponha que a

semi-trajet´oria positiva γ+

p esteja contida em algum compacto K ⊂ R2, e que X possua

um número finito de singularidades em ω(p). Temos, então as seguintes possibilidades: i. Se ω(p) é composto apenas de pontos regulares, então ω(p) é uma trajetória fechada. ii. Se ω(p) contém pontos regulares e singulares, então ω(p) consiste de um conjunto de trajetórias, cada uma das quais tende a um desses pontos singulares quando t → ±∞.

iii. Se ω(p) não contém pontos regulares, então ω(p) é um ponto singular.

Lema 1.1.3. Seja X : R2 _{→ R}2 _{um campo de classe C}1 _{com um n´}_{umero finito de}

singularidades, e que define um fluxo completo. Seja p ∈ R2_{. Se existe um ponto regular}

q ∈ ω(p), ou o conjunto α(p) é uma trajetória fechada, ou α(p) possui singularidades. Demonstra¸cão. Tome um segmento Σq 3 q transversal a todas as trajetórias de X que

encontra (ver Observa¸c˜ao 1.1.3). Considere Σq orientado por uma parametriza¸c˜ao de

classe C1_{. Devido `a transversalidade, a trajet´oria positiva γ}+

p deve intersectar Σq numa

sequˆencia mon´otona (ver Figura 1.1). Portanto, tomando dois pontos consecutivos pi e

(17)

PSfrag replacements _q Σq

Figura 1.1: N˜ao ocorre.

K limitado pelos arcos [pi, pi+1]1 ⊂ γp+ e [pi, pi+1]2 ⊂ Σq (ver Figura 1.2). Agora basta

aplicar o Teorema 1.1.7 para o campo Y = −X.PSfrag replacements q

pi

pi+1

Σq

Figura 1.2: Semi-trajet´oria negativa contida num compacto.

Defini¸c˜_{ao 1.1.10. Seja X : U → R}m _{um campo de classe C}1_{. Se p ´e uma singularidade}

de X, o conjunto dos pontos q ∈ U tais que ω(q) = {p} recebe o nome de variedade est´avel de p, e ´e denotado por Ws_(p).

Defini¸c˜_{ao 1.1.11. Seja X : U → R}m _{um campo de classe C}1_{. Dizemos que uma}

singularidade p de X ´e um atrator local se existe uma vizinhan¸ca W de p contida em Ws_{(p). Se W}s_{(p) = U =} _Rm_{, dizemos que p ´e um atrator global de X.}

SejaK = R ou C. Denotemos por L (Km_{) o espa¸co vetorial dos operadores}_K-lineares

de_Km _{munido da norma}

kAk = sup{kAvk; kvk = 1}.

Um elemento p ∈ Cm_{, pode ser escrito na forma p = u+v ·}√_{−1, onde u e v pertencem}

a _Rm_.

(18)

denotado por ˜A:

˜

A :_Cm _{→ C}m

(u + v√_{−1) 7→ Au + Av ·}√_−1. Observa¸c˜_{ao 1.1.6. Se A ∈ L (R}m_{), ent˜ao ˜}_{A ∈ L (C}m_).

Defini¸c˜_{ao 1.1.13. Seja A ∈ L (R}m_{). O conjunto de auto-valores de ˜}_{A, recebe o nome}

de espectro complexo de A, e ´e denotado por SpecA. Se X : U ⊂ Rm _{→ R}m _{´e uma}

aplica¸c˜ao diferenci´avel, o conjunto

Spec(X) = [

p∈U

SpecDX(p) recebe o nome de espectro de X.

Lema 1.1.4. Se A ∈ L (Rm_{), o espectro complexo de A coincide com as ra´ızes do}

polinˆomio caracter´ıstico associado a A.

Lema 1.1.5. Seja A ∈ L (R2). Se (a + b ·√−1) e (c + d ·√−1) pertencem a SpecA, existe uma base de R2 _{na qual matriz associada ao operador A tem a forma}

  a b d c  .

Demonstra¸cão. Pelo Lema 1.1.4, x = a + b√_{−1 e y = c + d}√_{−1 são ra´ızes do polinômio} caracter´ıstico associado a A. Logo, ou x e y são ambos reais, ou y = ¯x. Neste último caso, os autovetores de Ã associados aos autovalores x e ¯_{x têm a forma: w = u + v ·}√₋₁ e ¯_{w = u − v ·}√_{−1, para algum par (u, v) ∈ R}2_{× R}2_{. Com isto, temos que}

A(u) = A˜· w + ¯w 2 ¸ = Re(x) · u − Im(x) · v, A(v) = A˜· √−1 · ( ¯w − w) 2 ¸ = Im(x) · u + Re(x) · v. Logo, u e v formam a base procurada.

Defini¸c˜_{ao 1.1.14. Um campo linear X ∈ L (R}n_{) ´e hiperb´olico se seu espectro complexo}

é disjunto do eixo imaginário. Neste caso, o número de autovalores de X com parte real negativa é denominado ´ındice de X.

(19)

Proposi¸c˜_{ao 1.1.3. Se A ∈ L (R}n_{) tem ´ındice dois, ent˜ao a origem ´e um atrator global}

para A.

Defini¸c˜ao 1.1.15. Seja X : Rm _{→ R}m _{uma aplica¸c˜ao de classe C}r_{, tal que X(p) = 0.}

Dizemos que p é uma singularidade hiperbólica de X se DX(p) :_Rm _{→ R}m _{é um campo}

linear hiperb´olico.

Teorema 1.1.8 (Grobman-Hartman). Seja X : _Rm _{→ R}m _{um campo de classe C}1_.

Se p é uma singularidade hiperbólica, existem vizinhan¸cas U 3 p e W 3 0 , e uma conjuga¸cão topológica h : U → W entre X|U e DX(p)|W tal que h(p) = 0.

1.2 Resultados cl´

assicos em an´

alise

Nesta se¸cão enunciaremos alguns resultados clássicos em Análise.

Teorema 1.2.1 (Teorema da Aplica¸c˜_{ao Inversa). Seja f : U → R}n _{uma aplica¸c˜ao de}

classe C1_{, onde U ´e um aberto de} _Rn_{. Se a ∈ U, e Df(a) : R}n _{→ R}n _{´e um isomorfismo,}

existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f |V ´e um difeomorfismo sobre a imagem.

Teorema 1.2.2 (Teorema da Aplica¸c˜_{ao Impl´ıcita). Seja f : U → R}n _{uma aplica¸c˜ao}

de classe C1_{, onde U ´e um aberto de}_Rn+m_{. Considere uma decomposi¸c˜ao em soma direta}

Rm+n ₌ _Rn_{⊕ R}m_{. Se a = (a}

1, a2) ∈ U e ∂1f (a) : Rn → Rn ´e um isomorfismo, existem

abertos W ⊂ Rm_{, V ⊂ U tais que}

i. a2 ∈ W e a ∈ V .

ii. Para cada x ∈ W , existe um ´unico ξ(x) ∈ Rn _{tal que (ξ(x), x) ∈ V e f(ξ(x), x) =}

f (a). A aplica¸c˜ao ξ : W → Rn _{´e de classe C}1_.

Teorema 1.2.3 (F´_{ormula de Green). Sejam f : U → R e g : U → R fun¸cões de} classe C1_{, onde U é uma região de} _R2_{. Se U é limitada por uma curva fechada C}1 _por

partes γ, orientada no sentido anti-hor´ario, ent˜ao Z γ f dx + gdy = Z Z U ³∂g ∂x − ∂f ∂y ´ dydx.

(20)

No que segue, Mm _{e N}n _{s˜ao variedades diferenci´aveis, sendo m e n suas respectivas}

dimens˜oes.

Defini¸c˜_{ao 1.2.1. Dizemos que c ∈ N}n _{´e um valor regular de uma aplica¸c˜ao f : M}m _→

Nn _{se para cada p ∈ f}−1_{(c), a derivada Df (p) : T}

pM → TcN ´e sobrejetora.

Proposi¸c˜_{ao 1.2.1. Seja c ∈ N}n um valor regular de uma aplica¸cão f : Mm _{→ N}n de classe Cr_{, r ≥ 1. Então, ou f}−1_{(c) é vazio, ou f}−1_{(c) é uma subvariedade de classe C}k

e dimensão m − n. Neste caso, o espa¸co tangente a f−1(c) em um ponto p é o núcleo de Df (p) : TpM → TcN .

Teorema 1.2.4 (Forma Local das Submers˜oes). Seja f : Mm _{→ N}n _{uma aplica¸c˜ao}

de classe Cr_{, r ≥ 1. Se Df(p) : T}

pM → Tf (p)N ´e sobrejetiva, existem cartas locais

ϕ : U → Rm _{e φ : V → R}n_{, e uma decomposi¸c˜ao} _Rm ₌_Rn_{× R}m−n_{, tais que}

i. p ∈ U e f(U) ⊂ V .

ii. A express˜ao de f nas cartas (ϕ, U ) e (φ, V ) ´e

φ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → φ(V ) (x, y) 7→ x.

1.3 Folhea¸c˜

oes

Todos os resultados não demonstrados desta se¸cão podem ser encontrados em [1]. Defini¸cão 1.3.1. Uma folhea¸cão de classe Cr_{, r ≥ 1, e dimensão n (codimensão m − n)}

´e um atlas m´aximo F de classe Cr _{em M com as seguintes propriedades:}

i. Se (U, ϕ) ∈ F, ent˜ao ϕ(U) = U1 × U2, onde U1 e U2 s˜ao discos abertos de Rn e

Rm−n _{respectivamente.}

ii. Se (U, ϕ) e (V, φ) pertencem a F e U ∩ V 6= ∅, ent˜ao a mudan¸ca de coordenadas φ ◦ ϕ−1 _{tem a forma}

φ ◦ ϕ−1 : U1× U2 → φ(V )

(21)

Daqui por diante, F denota uma folhea¸c˜ao de classe Cr_{, r ≥ 1, e dimens˜ao 0 < n < m}

de uma variedade Mm_.

Uma carta local (ϕ, U ) ∈ F recebe o nome de carta trivializadora de F. Se ϕ(U) = U1 × U2 ⊂ Rn× Rm−n, os conjuntos da forma ϕ−1(U1× {c}), onde c ∈ U2, recebem o

nome de placas de U, ou ainda placas de F. Um caminho de placas ´e uma sequˆencia α1, . . . , αk de placas tal que αj ∩ αj+1 6= ∅ para todo j ∈ {1, . . . , k − 1}. Definimos a

rela¸c˜ao de equivalˆencia R: pRq se existe um caminho de placas α1. . . αk com p ∈ α1 e

q ∈ αk. Pela Defini¸cão 1.3.1, M é coberta por placas de F. As classes de equivalência

da rela¸c˜ao R s˜ao chamadas folhas de F.

Observa¸c˜_{ao 1.3.1. Placas de F s˜ao subvariedades de M.}

Exemplo 1. Uma submers˜ao f : Mm _{→ N}n _{de classe C}r_{, r ≥ 1, define uma folhea¸c˜ao}

Cr _{em M de dimens˜ao m − n, cujas folhas s˜ao as componentes conexas das superf´ıcies}

de n´ıvel f−1_{(c), c ∈ N. As cartas desta folhea¸c˜ao s˜ao obtidas a partir da Forma Local}

das Submers˜oes.

Exemplo 2. Um campo X : U ⊂ Rm _{→ R}m _{de classe C}1 _{sem singularidades define}

uma folhea¸cão de classe C1 _de _Rm_{, cujas folhas são as trajetórias de X. As cartas desta}

folhea¸c˜ao s˜ao obtidas a partir do Teorema do Fluxo tubular.

Defini¸c˜_{ao 1.3.2. Seja ∼ a rela¸c˜ao de equivalˆencia em M que identifica os pontos de uma} mesma folha de F. Considere a topologia quociente em M∼, ou seja, a topologia induzida

pela proje¸c˜ao π : M → M

∼. O conjunto M

∼ com esta topologia recebe o nome de espa¸co

de folhas. Seja A ⊂ M. O conjunto F(A) = {x ∈ M; x ∼ y, para algum y ∈ A} recebe o nome de saturado de A por F. Outra maneira de escrever tal conjunto ´e F(A) = π−1_{(π(A)) = ∪}

x∈AFx, onde Fx denota a folha de F que cont´em x.

Teorema 1.3.1. A proje¸c˜ao π : M → M

∼ ´e uma aplica¸c˜ao aberta, ou seja, o saturado de

um subconjunto aberto de M ´e aberto.

O espa¸co de folhas de uma folhea¸cão nem sempre é Hausdorff. Abaixo, exibiremos um caso em que isto não acontece.

(22)

Exemplo 3. Tome um ² > 0. Seja α :R → R uma aplica¸c˜ao de classe C∞ _{tal que}

i. α(1) = 0

ii. α(t) = 1, se t ∈ [0, ²). iii. α(t) < 0, se t > ².˙

Considere a fun¸cão f :R2 _{→ R definida por f(x, y) = α(x}2_)ey_{. Tal aplica¸cão é claramente}

uma submers˜ao. Portanto, as curvas de n´ıvel de f formam uma folhea¸c˜ao de classe C∞ _{do plano. Verifica-se facilmente que uma folha γ contida em (−1, 1) × R pode ser}

parametrizada por x ∈ (−1, 1) 7→ (x, ln(c/α(x2_{)), onde c > 0 e f}−1_{(c) = γ. Al´em disso,}

f−1_{(0) possui duas componentes conexas: {−1} × R e {1} × R. Essas duas folhas, vistas}

como elementos de _R2_{/ ∼, n˜ao podem ser separadas por abertos disjuntos (ver Figura}

1.3). Tal exemplo é conhecido como folhea¸cão de Reeb. De modo análogo, podemos obter uma folhea¸cão de Reeb para o cil´ındro sólido de _R3_{, e a partir da´ı induzir no toro}

sólido uma folhea¸cão que é pe¸ca fundamental da Teoria geométrica das folhea¸cões.

Figura 1.3: folhea¸c˜ao de Reeb.

Defini¸c˜_{ao 1.3.3. Dizemos que uma subvariedade Σ de M é uma se¸cão transversal de F} se dim Σ + dim F = dim M e, para cada p ∈ Σ, TpM = TpL ⊕ TpΣ, onde L é uma placa

(23)

Defini¸c˜_{ao 1.3.4. Seja F uma folhea¸cão de codimensão um. Dizemos que Σ é uma se¸cão} transversal compacta de f se, para algum ² > 0, existe um mergulho Γ : (−², 1 + ²) → M de classe C1 _{tal que Γ([0, 1]) = Σ.}

Observa¸c˜_{ao 1.3.2. Se α é uma placa de F e p ∈ α, é óbvio que existe uma se¸cão} transversal de F tocando α apenas em p. Se F é definida por uma submersão, tal se¸cão tocará a folha que contém α apenas em p. Em geral, dado um ponto numa folha F , não existe necessariamente uma se¸cão transversal da folhea¸cão tocando F apenas em p. Observa¸c˜_{ao 1.3.3. Placas de F são sempre subvariedades de M. Quando F é definida} por uma submersão, temos que todas as suas folhas são subvariedades de M . Isto, em geral, não acontece. Entretanto, folhas possuem sempre uma estrutura de variedade induzida pelas cartas de F.

Os dois pr´oximos resultados esclarecem bem as observa¸c˜oes feitas acima.

Teorema 1.3.2. Toda folha F possui uma estrutura de variedade Cr_{de dimens˜ao n, onde}

os dom´ınios das cartas são placas de F. Com esta estrutura, a aplica¸cão i : F → M, i(p) = p, é uma imersão biun´ıvoca de classe Cr_{. Além disso, F é uma subvariedade C}r

de M se e somente se i ´e um mergulho.

Teorema 1.3.3. Sejam F uma folha e Σ uma se¸c˜ao transversal de F tal que Σ ∩ F 6= ∅. Existem trˆes possibilidades.

i. Σ ∩ F é discreto, e neste caso F é uma folha mergulhada. ii. O fecho de Σ ∩ F em P contém um aberto.

iii. Σ ∩ F ´e um conjunto sem pontos isolados e com interior vazio.

Até o fim desta secão, (e1, . . . , en, en+1, . . . , em) representam os vetores da base canônica

de_Rm_{. Al´em disso, W ´e o subespa¸co de}_Rm_{gerado por (e}

1, . . . , en), enquanto V ´e o

sube-spa¸co gerado por (en+1, . . . , em). Fixada uma carta trivializadora (ϕ, U ), com p ∈ U,

denotaremos por ∂ ∂x1 (p), . . . , ∂ ∂xm (p) a base de TpM que satisfaz [dϕ(p)]−1ei = _∂x∂_i(p).

(24)

Defini¸c˜_{ao 1.3.5. A aplica¸cão de n-planos determinada por F associa, a cada p ∈ M,} o subespa¸co de TpM gerado por (_∂x∂₁(p), . . . ,_∂x∂_n(p)). Tal aplica¸cão será denotada por

P . Fica claro que P (p) é exatamente o espa¸co tangente de uma placa no ponto p. Isto garante que aplica¸cão está bem definida, ou seja, que não depende da escolha da carta trivializadora.

Defini¸c˜_{ao 1.3.6. Dizemos que F ´e orient´avel se existe um atlas}

B = (Uk, ϕk)k∈K de M formado por cartas trivializadoras de F satisfazendo as seguintes

condi¸c˜oes equivalentes: i. Se (Ui, ϕi) e (Uj, ϕj) pertencem a B e p ∈ Ui∩ Uj, as bases ∂i ∂x1 (p), . . . , ∂ i ∂xn (p) e ∂ j ∂x1 (p), . . . , ∂ j ∂xn (p) determinam a mesma orienta¸c˜ao em P (p).

ii. Se p ∈ Ui∩ Uj, ent˜aoD[ϕj ◦ (ϕi)−1]ϕi(p)|W : W → W ´e um isomorfismo positivo.

Lema 1.3.1. Seja F uma folhea¸cão de dimensão um. Se existe um campo cont´ınuo X : M → T M tal que, para cada p ∈ M, P (p) é gerado por X(p), então F é orientável. Demonstra¸cão. Considere o conjunto B formado por todas as cartas (U, ϕ) de F, tais que, para alguma fun¸cão cont´ınua a : U → R+

dϕ(p)X(p) = a(p) · e1, ∀p ∈ U.

Se (φ, V ) ∈ F, segue da conexidade de V , da continuidade de X, e do fato de que P (p) é gerado por X(p), que existe uma fun¸cão cont´ınua b : V → R que não se anula, nem muda de sinal, satisfazendo

dφ(q)X(q) = b(p) · e1, ∀q ∈ V.

Considere a aplica¸c˜ao

L1 :Rm → Rm

(x1, x2, . . . , xm) 7→ (−x1, x2, . . . , xm).

Se b for negativa, a carta (ϕ = φ ◦ L1, V ) ∈ F. Portanto, os dom´ınios de cartas de B

(25)

No que segue, F é uma folhea¸cão unidimensional de Rm_{, e X é um campo cont´ınuo}

satisfazendo as hipóteses do Lema 1.3.1. Nessas condi¸cões, diremos que X orienta F. Além disso B ⊂ F denota o atlas constru´ıdo na demonstra¸cão do Lema 1.3.1.

Proposi¸c˜_{ao 1.3.1. Se X orienta F, então X define um fluxo. Além disso, as trajetórias} de X são exatamente as folhas de F.

Demonstra¸cão. Por defini¸cão X não possui singularidades. Tome um ponto p ∈ Rm _e

uma carta (U, ϕ) do atlas B constru´ıdo na demonstra¸cão do Lema 1.3.1. Aplicando o Lema 1.1.2 conclu´ımos que X|U define um fluxo e que ϕ é uma equivalência entre X|U

e e1|ϕ(U ). Logo X também definirá um fluxo, e a interse¸cão das trajetórias de X com

o aberto U são exatamente as trajetórias de X|U. Como a placa de U que contém p é

exatamente a trajet´oria de X|U, temos o resultado desejado.

Observa¸c˜_{ao 1.3.4. Uma carta de B ´e um fluxo tubular de X.}

Observa¸c˜ao 1.3.5. Podemos definir facilmente o conceito de folhea¸c˜ao de classe C0_,

exigindo que o atlas F da Defini¸c˜ao 1.3.1 seja apenas de classe C0_{. Vimos que um}

campo cont´ınuo que orienta uma C1_{-folhea¸c˜ao unidimensional F de R}m_{, define um fluxo,}

e que as trajetórias deste campo são exatamente as folhas de F. No Exemplo 2, vimos que as trajetórias de um campo C1 _{sem singularidades são folhas de uma C}1_{-folhea¸cão.}

Se X = (f, g) : _R2 _{→ R}2 _{´e um campo cont´ınuo, sem singularidades, e localmente}

lipschitziano, podemos utilizar o Teorema 1.1.2 (Picard) e as solu¸c˜oes do campo ortogonal (−g, f) para garantir que todo p ∈ R2 _{pertence ao dom´ınio de um fluxo tubular de X.}

Com isto, verificamos facilmente que X define uma folhea¸c˜ao de classe C0 _de_R2_{, tamb´em}

conhecida como folhea¸c˜ao planar.

Defini¸c˜_{ao 1.3.7. Um caminho injetivo γ : I = [0, 1] → M de classe C}1_{, recebe o nome}

de caminho simples em M .

Lema 1.3.2. Seja γ um caminho simples contido numa folha de F. Existe uma cobertura U1, . . . , Ur de γ(I), formada por dom´ınios de cartas de F tal que

(26)

ii. Para i = {2, . . . , r − 1}, Ui intersecta apenas Ui−1 e Ui+1.

Defini¸c˜ao 1.3.8. Uma cobertura (U1, . . . , Ur) de γ dada pelo Lema 1.3.2 recebe o nome

de cobertura subordinada a γ.

Teorema 1.3.4. Considere a folhea¸c˜ao L definida no produto dos discos Dm−n _{× D}n

cujas folhas s˜ao as superf´ıcies de n´ıvel da proje¸c˜ao

π2 : Dm−n× Dn → Dn, P (x, y) = y.

Seja F uma folhea¸cão de classe Cr_{, r ≥ 1, e codimensão n. Se γ : I → M é um caminho}

simples cuja imagem est´a contida em uma folha F , existe uma vizinhan¸ca V ⊃ γ(I), e um difeomorfismo h : V → Dm−n_{× D}n_{, que leva folhas de F em folhas de L .}

Demonstra¸c˜ao. Seja β = (U1, . . . , Ur) uma cobertura subordinada a γ. Para cada i ∈

{1, 2, . . . , r − 1}, tome um ponto pi ∈ Ui∩ Ui+1, e considere uma se¸c˜ao transversal Σi 3 pi

de F|Ui∩Ui+1. Denote γ(0) por p0, e γ(1) por p1. Tome se¸c˜oes transversais Σ0 3 p0 de

F|U1, e Σr+1 3 pr+1 de F|Ur.

Fixado j ∈ {0, . . . , r − 1}, existe um disco mergulhado Dj = Dj(pj) ⊂ Σj

suficiente-mente pequeno tal que toda folha de F|Uj que toca Dj cruza Σj+1 exatamente uma vez.

Considere a aplica¸c˜ao injetiva fγj : Dj → Σj+1 que associa, a cada p ∈ Dj, o ponto de

interse¸cão entre Σj+1 e a folha de F|Uj que contém p. Como Uj é dom´ınio de uma carta

de F, fγj ´e um difeomorfismo C

r _{sobre sua imagem. Como β ´e uma cobertura finita,}

existem discos D0 = D0(p0) ⊂ Σ0 e Dr+1 = Dr+1(pr+1) ⊂ Σr+1 suficientemente pequenos,

onde est´a definido um difeomorfismo fγ : D0 → Dr+1 de classe Cr, que associa, a cada

p ∈ D0, o ponto de interse¸c˜ao entre Σr+1 e a folha de F|∪r

k=1Ur que cont´em p. Segue do

Teorema 1.3.1 que a uni˜ao de todas as folhas de F|∪r

k=1Ur que cruzam D0 ´e um aberto U

de M contendo γ(I). Considere a submers˜ao f : U → D0 que associa, a cada x ∈ U, o

ponto de interse¸c˜ao entre D0 e a folha de F|U que passa por x.

Seja A a folha de F|U que cont´em γ(I). Utilizando as cartas (ϕk, Uk), k ∈ {1, . . . , r},

considere a retra¸c˜ao π : U → A de classe Cr _{que associa, a cada ponto de U , sua proje¸c˜ao}

sobre a folha A. Reduzindo A se necess´ario, tome um difeomorfismo k1 : Dm−n → A

de classe Cr_{. Seja k}

(27)

Definimos

h : V _{→ D}m−n_{× D}n

p 7→ (k1−1(π(p)), k−12 (f (p))).

A aplica¸cão h é um difeomorfismo de classe Cr _{que satisfaz as condi¸cões desejadas.}

Observa¸c˜_{ao 1.3.6. Se X orienta F, e γ é um arco compacto de alguma trajetória de} X, o par (h, V ) obtido no Teorema 1.3.4 é um fluxo tubular para γ. De fato, a derivada de h leva X|V em um múltiplo do campo e1. Da´ı, basta compor h com o funcional

(x1, . . . , xm) 7→ (−x1, . . . , xm), se necess´ario, e aplicar o Lema 1.1.2.

1.4 Integra¸c˜

ao e Medida de Lebesgue

Nesta se¸cão faremos uma rápida exposi¸cão sobre a σ-álgebra e a medida de Lebesgue na reta. Obteremos alguns resultados que serão utilizados na demonstra¸cão do principal teorema deste trabalho. Para maiores detalhes, ver [3].

No que segue, utilizaremos o termo fam´ılia para designar um conjunto de conjuntos. A fam´ılia de todos os subconjuntos de um conjunto Ω ser´a denotada porP(Ω).

Defini¸c˜_{ao 1.4.1. Dizemos que uma fam´ılia A ⊂ P(Ω) é uma álgebra se forem satisfeitas} as seguintes condi¸cões:

1. Se A e B pertencem a A , ent˜ao A ∪ B ∈ A . 2. Se A ∈ A , ent˜ao Ac _{∈ A .}

Observa¸c˜_{ao 1.4.1. Se A e B pertencem a uma ´algebra A , ent˜ao A∩B = (A}c_∪Bc₎c _{∈ A ,}

e A\B = A ∩ Bc _{∈ A .}

Defini¸c˜_{ao 1.4.2. Dizemos que uma álgebra A ⊂ P(Ω) é uma σ-álgebra se para qualquer} fam´ılia enumerável {An}n∈N contida em A , a união S∞i=1An pertence a A .

Observa¸cão 1.4.2. Uma σ-álgebra A também é fechada para interse¸cões enumeráveis. De fato, se {An}n∈N⊂ A , então T∞ i=1An = ³ S∞ i=1Acn ¢c ∈ A .

(28)

Defini¸cão 1.4.3. Seja ∅ 6= D ⊂ P(Ω). Uma fun¸cão µ : D → (−∞, +∞] denomina-se uma fun¸cão de conjunto.

Defini¸c˜_{ao 1.4.4. Seja A uma σ-´algebra. Dizemos que µ : A → [0, +∞] ´e uma medida} quando µ¡ +∞ [ n=1 En¢ = ∞ X n=1 µ(En)

para qualquer sequˆencia En de conjuntos disjuntos dois-a-dois pertencentes a A .

Defini¸c˜_{ao 1.4.5. Se Ω é um conjunto, A ⊂ P(Ω) é uma σ-álgebra, e}

µ : A → [0, +∞] é uma medida, a tripla (Ω, A , µ) recebe o nome de espa¸co de medida. Defini¸c˜_{ao 1.4.6. Seja (Ω, A , µ) um espa¸co de medida. Seja B ⊂ A a fam´ılia de} subconjuntos cuja medida é zero. Dizemos que µ é completa quando, para todo B ∈ B,

A ⊂ B ⇒ A ∈ A .

Defini¸c˜_{ao 1.4.7. Seja (Ω, A , µ) um espa¸co de medida. Seja A ∈ A . Dizemos que uma} propriedade P acontece em quase todo ponto de A com respeito `a µ quando existe um subconjunto B ⊂ A com µ(B) = 0 tal que propriedade P ´e verdadeira para todos os pontos de A\B.

Denotaremos o comprimento de um intervalo I ⊂ R por l(I).

Defini¸c˜_{ao 1.4.8. Para cada A ⊂ R, considere a fam´ılia H de todas as coberturas} enumer´aveis α = {In} de A formadas por intervalos abertos. Seja

m∗(A) = inf

α∈H

¡ X

n

l(In)¢.

A fun¸c˜ao de conjuntos m∗ _: _{P(Ω) → [0, +∞] recebe o nome de medida exterior de}

Lebesgue.

Observa¸cão 1.4.3. Se I é um intervalo, m∗_{(I) = l(I). Além disso, se A é um conjunto}

finito, m∗_{(A) = 0.}

Proposi¸c˜ao 1.4.1. Seja (An) uma fam´ılia cont´avel de subconjuntos de R. Temos que

m∗_{¡ ∪ A}n¢ ≤

X

(29)

Considere a fam´ılia L ⊂ P(Ω) definida pela seguinte senten¸ca: E ∈ L ⇔ ∀A ⊂ R, m∗(A) = m∗_{(A ∩ E) + m}∗_{(A ∩ E}c).

Teorema 1.4.1. A fam´ılia L é uma σ-álgebra que contém todos os conjuntos abertos de R. Além disso, se E ⊂ R, e m∗

(E) = 0, ent˜ao E ∈ L Teorema 1.4.2. A fun¸c˜ao de conjunto m = m∗_|

L : L → [0, +∞] ´e uma medida

completa.

Defini¸cão 1.4.9. A σ-álgebra mencionada no Teorema 1.4.1 recebe o nome de σ-álgebra de Lebesgue em _{R. A medida m mencionada no Teorema 1.4.2 é denominada medida de} Lebesgue em R.

No que segue, L e m denotam, respectivamente, a σ-´algebra e a medida de Lebesgue em R.

Proposi¸c˜_{ao 1.4.2. Seja E ∈ L . Dado ² > 0, existe uma uni˜ao finita U de intervalos} abertos tal que

m∗_{¡(U\E) ∪ (E\U)¢ < ².}

Defini¸cão 1.4.10. Seja xn uma sequência de números reais. Definimos

lim sup xn := inf

n (sup_k≥nxk)

lim inf xn := sup

n (infk≥nxk).

Defini¸c˜_{ao 1.4.11. Seja I ⊂ R um intervalo. Dada uma fun¸c˜ao f : I → [−∞, +∞], e} um ponto y ∈ I, definimos lim sup x→y f (x) := inf δ>0 ¡ sup 0<|x−y|<δ f (x)¢ lim sup x→y+ f (x) := inf δ>0 ¡ sup 0<x−y<δ f (x)¢ lim sup x→y− f (x) := inf δ<0 ¡ sup δ<x−y<0 f (x)¢ lim inf x→y f (x) := sup_δ>0 ¡ inf 0<|x−y|<δf (x) ¢ lim inf x→y+ f (x) := sup δ>0 ¡ inf 0<x−y<δf (x) ¢ lim inf x→y− f (x) := sup_δ<0 ¡ inf δ<x−y<0f (x)¢.

(30)

Defini¸c˜_{ao 1.4.12. Seja A ∈ L . Uma fun¸cão f : A → [−∞, +∞] é dita mensurável se,} para cada α ∈ R, o conjunto {x; f(x) < α} pertence a L .

Defini¸c˜_{ao 1.4.13. Seja A ⊂ R. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : A → [−∞, +∞] ´e} semi-cont´ınua superiormente em y ∈ A se f(y) 6= +∞ e lim supx→yf (x) ≤ f(y).

Equivalente-mente, f ´e semi-cont´ınua superiormente em y se, e somente se, dado ² > 0, existe δ > 0 tal que se |x − y| < δ, ent˜ao f(x) ≤ f(y) + ².

Lema 1.4.1. Seja I ⊂ R um intervalo. Se f : I → [−∞, ∞] é semi-cont´ınua superior-mente em quase todo ponto, então f é mensurável.

Demonstra¸c˜ao. Seja E ⊂ I um subconjunto com medida de Lebesgue zero tal que f ´e semi-cont´ınua superiormente em F = I\E. Sejam α ∈ R, e Hα := {x ∈ R; f(x) < α}.

Seja y ∈ F ∩ Hα. Tomando ² = α−f (y)₂ existe, por defini¸c˜ao, um δ > 0 tal que, se

x ∈ Iy = (y − δ, y + δ), ent˜ao f(x) ≤ f(y) + ² < α. Logo Iy ⊂ Hα. Portanto,

Hα =

¡ [

y∈F ∩Hα

Iy¢ ∪ (E ∩ Hα).

ComoS

y∈F ∩HαIy ´e aberto, e (E ∩ Hα) tem medida exterior zero, Hα pertence a L .

Defini¸c˜_{ao 1.4.14. Seja f : I ⊂ R → R uma fun¸c˜ao, e seja x ∈ I. Definimos abaixo um} conjunto de quatro valores, que recebem o nome de derivadas de f em x:

D+f (x) := lim sup h→0+ f (x + h) − f(x) h D+f (x) := lim inf h→0+ f (x + h) − f(x) h D−f (x) := lim sup h→0− f (x + h) − f(x) h D−f (x) := lim inf h→0− f (x + h) − f(x) h .

Dizemos que f é diferenciável em x quando as quatro derivadas de f em x são iguais e finitas.

Observa¸c˜ao 1.4.4. Obviamente, temos que D+_{f (x) ≥ D}

+f (x) e D−f (x) ≥ D−f (x).

O Lema abaixo será de fundamental importância para o nosso propósito. Sua demon-stra¸cão pode ser encontrada em [22]

(31)

Lema 1.4.2. Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão mensurável tal que |f(x)| < K, para todo x ∈ [a, b]. Seja B o conunto dos pontos x ∈ [a, b] tais que, para alguma sequência hn → 0,

lim

n→∞

|f(x + hn) − f(x)|

|hn| = σ ∈ R.

Ent˜ao m(Bc_{) = 0.}

Corol´_{ario 1.4.1. Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão mensurável e limitada. Para quase} todo ponto x ∈ [a, b] existe uma sequência hn→ 0 de termos diferentes de 0 tal que

lim

n→∞

f (x + hn) − f(x)

hn = σ ∈ R.

Demonstra¸c˜ao. O resultado segue diretamente do Lema 1.4.2. Defini¸c˜_{ao 1.4.15. Seja E ∈ L . A fun¸c˜ao}

χE(x) =    1, se x ∈ E 0, se x /_{∈ E} recebe o nome de fun¸c˜ao caracter´ıstica de E.

Defini¸cão 1.4.16. Dizemos que uma fun¸cão mensurável ϕ é simples se existem conjuntos E1, E2, . . . , En pertencentes a L tais que

ϕ(x) =

n

X

i=1

ai· χEi(x).

Convém observar que uma fun¸cão simples não se escreve de maneira única como com-bina¸cão linear de fun¸cões caracter´ısticas.

Proposi¸c˜ao 1.4.3. Seja ϕ uma fun¸c˜ao simples que se anula fora de um conjunto de medida finita. Se ϕ = n X i=1 ai· χEi(x) = k X i=1 bi· χFi(x), temos que n X i=1 ai· m(Ei) = k X i=1 bi· m(Fi).

(32)

Defini¸c˜ao 1.4.17. Seja ϕ uma fun¸c˜ao simples que se anula fora de um conjunto de medida finita. Se ϕ =Pn

i=1ai· χEi(x), definimos abaixo a integral de Lebesgue de ϕ:

Z ϕ = Z ϕ(x)dx = n X i=1 ai· m(Ei).

Se E ´e um conjunto mensur´avel, definimos abaixo a integral de Lebesgue de ϕ sobre E: Z

E

ϕ = Z

ϕ · χE.

Proposi¸cão 1.4.4. Uma fun¸cão limitada definida num conjunto mensurável E com me-dida finita é mensurável se, e somente se,

inf f ≤ψ Z E ψ = sup f ≥ϕ Z E ϕ onde ψ e ϕ s˜ao fun¸c˜oes simples.

Defini¸cão 1.4.18. Seja f uma fun¸cão limitada definida em um conjunto mensurável E com medida finita. Definimos a integral de Lebesgue de f sobre E através da senten¸ca

Z E f = Z E f (x)dx = inf ψ≥f Z E ψ(x)dx, onde ψ ´e uma fun¸c˜ao simples.

Defini¸cão 1.4.19. Seja f uma fun¸cão mensurável não-negativa definida em um conjunto mensurável E. Definimos a integral de Lebesgue de f sobre E através da senten¸ca

Z E f = sup h≤f Z E h,

onde h é uma fun¸cão mensurável limitada que se anula fora de um conjunto de medida finita.

Lema 1.4.3 (Lema de Fatou). Se fn é uma sequência de fun¸cões mensuráveis

não-negativa, e fn(x) → f(x) em quase todo ponto de um conjunto mensurável E, então

Z

Ef ≤ lim inf

Z

E

fn.

Defini¸c˜_{ao 1.4.20. Se f : A → [−∞, ∞] é uma fun¸cão mensurável. As fun¸cões não} neg-ativas f+_{(x) = max{f(x), 0} e f}−_{(x) = max{−f(x), 0} são chamadas de parte positiva}

(33)

Observa¸cão 1.4.5. AS fun¸cões f+ _{e f}− _{são mensuráveis.}

Defini¸c˜_{ao 1.4.21. Dizemos que uma fun¸cão mensurável f : E → [−∞, ∞] é integrável} sobre E se as integrais das fun¸cões não-negativas f+ _{e f}− _{são ambas finitas. Neste caso,}

definimos abaixo a integral de f sobre E: Z E f = Z E f+₋ Z E f−.

Proposi¸cão 1.4.5. Sejam f e g duas fun¸cões integráveis sobre E. Então: 1. Para qualquer constante c ∈ R, a fun¸cão cf é integrável sobre E, e R

Ecf = c ·

R

Ef.

2. A fun¸cão f + g é integrável sobre E, e Z E f + g = Z E f + Z E g. 3. Se f ≤ g em quase todos os pontos, então R

Ef ≤

R

Eg.

4. Se A e B são conjuntos mensuráveis disjuntos contidos em E, então R

A∪Bf =

R

Af +

R

Bf.

Defini¸c˜ao 1.4.22. Seja I uma fam´ılia de intervalos. Dizemos que I cobre um conjunto E no sentido de Vitali se dados ² > 0, e x ∈ E, existe um intervalo I ∈ I tal que x ∈ I e l(I) < ².

Lema 1.4.4 (Lema de Vitali). Seja E um conjunto tal que m∗_{(E) < ∞. Se I ´e uma}

cole¸c˜ao de intervalos que cobre E no sentido de Vitali, dado ² > 0, existe uma cole¸c˜ao finita {I1, . . . , IN} de intervalos pertencentes a I , dois a dois disjuntos, tal que

m∗³_E\ N [ n=1 In ´ < ².

Teorema 1.4.3. Se f : [a, b] → R é uma fun¸cão crescente, então f é diferenciável em quase todo ponto. Além disso, se f0_{(x) denota a derivada de f no ponto x, temos que f}0

´e mensur´avel e

Z b

a

(34)

Demonstra¸c˜ao. Devemos mostrar que o subconjunto dos pontos x ∈ [a, b] que possuem duas derivadas de f em x distintas tem medida nula. Provaremos que o conjunto dos pontos x ∈ [a, b] tais que D+_{f (x) > D}

−f (x) tem medida nula. Para os casos restantes,

a demonstra¸cão é análoga. Seja

E(u,v) := {x; D+f (x) > u > v > D−f (x)}.

Pela densidade dos racionais na reta, a igualdade abaixo ´e ´obvia: E = [

(u,v)∈Q×Q

E(u,v).

Portanto, ´e suficiente provar que m∗_(E

(u,v)) = 0. Seja s = m∗(E(u,v)). Tomemos ² > 0.

Pela defini¸cão de medida exterior, podemos tomar um aberto U tal que m(U ) < s + ². Se x ∈ E(u,v), então D−f (x) < v. Pela Defini¸cão 1.4.11, podemos tomar um h1 < 0 com

valor absoluto arbitrariamente pequeno, de forma que f (x + h1) − f(x)

h1

< v.

Como U ´e aberto, podemos tomar h1 suficientemente pequeno de forma que, se 0 < h =

−h1, ent˜ao

i. o intervalo [x − h, x] est´a contido em U. ii. f (x) − f(x − h) < vh.

Pelo Lema 1.4.4, podemos escolher uma cole¸c˜ao {I1, . . . , IN} de intervalos cujos interiores

cobrem um subconjunto A ⊂ E(u,v) tal que m∗(A) > s − ². Al´em disso, para cada

n ∈ {1, . . . , N}, temos que In = [xn− hn, xi], onde hn > 0 e xn ∈ E(u,v). Por (ii), temos

que N X n=1 ³ f (xn) − f(xn− hn) ´ < v · N X n=1 hn < v · m(U) < v · (s + ²).

(35)

Como D+_{f (x) > u, temos por argumento an´alogo que cada ponto de A ´e o extremo de}

um intervalo (y, y + k) arbitrariamente pequeno, contido em algum In, e que satisfaz

f (y + k) − f(y) > uk.

Utilizando novamente o Lema 1.4.4, podemos tomar uma cole¸c˜ao finita

{J1, . . . , JM} de tais intervalos, tal que ∪Mi=1Ji cont´em um subconjunto de A de medida

maior do que s − 2². Portanto,

M X i=1 ³ f (yi+ ki) − f(yi) ´ > u · M X i=1 ki > u · (s − 2²).

Fixe n ∈ {1, . . . , N}. Considere todos os valores de i ∈ {1, . . . , M} tais que Ji ⊂ In.

Como f ´e crescente, temos que X i ³ f (yi+ ki) − f(yi) ´ ≤ f(xn) − f(xn− hn). Logo, N X n=1 ³ f (xn) − f(xn− hn) ´ ≥ M X i=1 ³ f (yi+ ki) − f(yi) ´ .

Portanto, v · (s + ²) > u · (s − 2²). Como ² é arbitrário, e u > v, s deve ser zero. Agora, consideremos a fun¸cão

g(x) = lim

h→0

f (x + h) − f(x) h .

Pelo que vimos, g está definida em quase todos os pontos de [a, b]. Além disso, f é diferenciável nos pontos x ∈ [a, b] tais que g(x) < ∞. Estendamos a fun¸cão f para o intervalo [a, +∞), fazendo f(x) = f(b) para todo x > b. Consideremos a seguinte sequência de fun¸cões:

gn(x) = n ·

³

f (x + 1/n) − f(x)´.

(36)

converge para g(x). Isto implica que g ´e mensur´avel. Pelo Lema 1.4.3, temos que Z b a g ≤ lim inf Z b a gn = lim inf Ã n · Z b a ³ f (x + 1/n) − f(x)´dx ! = lim inf Ã n · Z b+1/n b f − n · Z a+1/m a f ! = lim inf Ã f (b) − n · Z a+1/m a f ! ≤ f(b) − f(a).

Concluimos que g é integrável, portanto finita em quase todos os pontos de [a, b]. Logo, f é diferenciável em quase todos os pontos e g = f0_.

(37)

Cap´ıtulo 2

Injetividade de Aplica¸c˜

oes no Plano

Neste cap´ıtulo, obteremos o teorema principal deste trabalho, que garante a injetividade de um campo C1 _{no plano sob certas condi¸c˜oes no seu espectro.}

2.1 N˜

ao-injetividade

Nesta se¸cão, X = (f, g) : _R2 _{→ R}2 _{é uma aplica¸cão de classe C}1 _{tal que 0 /}_{∈ Spec(X).}

Provaremos que a não injetividade de X implica na existência de componentes Semi-Reeb para as folhea¸cões orientadas definidas por f e g.

Como para cada p ∈ R2_{, DX(p) é não singular, f :} _R2 _{→ R é uma submersão.}

Portanto, pelo Exemplo 1, as componentes conexas das curvas de n´ıvel da fun¸cão f definem as folhas de uma folhea¸cão F(f) de classe C1 _{do plano. Além disso, o campo}

Xf = (−fy, fx) n˜ao possui singularidades. Como o gradiente de f ´e ortogonal ao campo

Xf, e também às folhas de F(f), é claro que Xf orienta F(f). Portanto, pela Proposi¸cão

1.3.1, Xf define um fluxo, e suas trajet´orias s˜ao exatamente as folhas de F(f). Por

conveniência, estaremos considerando o atlas D ⊂ F(f) mencionado na Observa¸cão ??. Todos os argumentos acima, assim como os próximos resultados, possuem uma versão análoga para a fun¸cão g.

Lema 2.1.1. Seja F uma folha de F(f) orientada pelo fluxo de Xf. Temos que g|F ´e

(38)

Demonstra¸cão. Considere a trajetória φt(p) de Xf que passa por um ponto arbitrário p. Temos que d dtg(φt(p)) = dg(φt(p)) · d dtφt(p) = dg(φt(p)) · Xf(φt(p)) = detDX(φt(p)) 6= 0. Como X é de classe C1_{, det DX(q) tem o mesmo sinal para todo q ∈ R}2_.

Lema 2.1.2. Sejam γ1 e γ2 duas folhas distintas de F(f). Existe um cami-nho simples

α tal que

i. α(0) = p1 ∈ γ1, α(1) = p2 ∈ γ2.

ii. α é transversal à γ1 em p1, e à γ2 em p2.

iii. α tem um n´_{umero finito de pontos de tangência com F(f), todos quadrá-ticos.} Demonstra¸cão. Tome pontos q1 ∈ γ1, q2 ∈ γ2. Considere o segmento de reta parametrizado

β(t) = q2· t + (1 − t) · q1, e os valores

t0 = sup{t ∈ [0, 1]; β(t) ∈ γ1} e t1 = inf{t ∈ [t0, 1]; β(t) ∈ γ2}.

Como γ1 e γ2 s´o se acumulam no infinito (ver Observa¸c˜ao 2.2.2), temos que

0 ≤ t0 < t1 ≤ 1, β(t0) ∈ γ1 e β(t1) ∈ γ2 (ver Figura 2.1).

PSfrag replacements

γ1 γ2

β(t0) β(t1)

Figura 2.1: Segmento unindo γ1 e γ2.

Como as folhas s˜ao subconjuntos fechados de_R2_{, podemos tomar uma cobertura finita}

(B1, B2, . . . , Br) de β([t0, t1]), formada por bolas abertas, tal que

(39)

2. se i ∈ {2, . . . , r − 1}, Bi intersecta apenas Bi−1 e Bi+1.

3. para cada i ∈ {1, . . . , r}, Bi est´a contida em algum dom´ınio de carta de A.

Agora é fácil substituir β([t0, t1]) por um caminho satisfazendo as condi¸cões desejadas

(ver Figura 2.2).

PSfrag replacements

γ1 γ2

Figura 2.2: Caminho com um n´umero finito de tangˆencias.

Devido ao Teorema 1.3.4, dados quaisquer pontos p1 ∈ γ1e p2 ∈ γ2, existe um caminho

α satisfazendo as condi¸c˜oes (i), (ii) e (iii) do Lema 2.1.2.

Considere o conjunto Ω(p1, p2) dos caminhos simples que satisfazem as condi¸c˜oes (i),

(ii) e (iii) do Lema 2.1.2. Um caminho α ∈ Ω(p1, p2) que possui o menor n´umero poss´ıvel

de pontos de tangˆencia com F(f) recebe o nome de caminho ideal em Ω(p1, p2).

Lema 2.1.3. Se um caminho simples α intersecta uma mesma curva de n´ıvel da fun¸c˜ao f em pontos distintos p1 = α(t1) e p2 = α(t2), existe um t ∈ (t1, t2) tal que α(t) = q ´e

um ponto de tangˆencia entre α e F(f).

Demonstra¸c˜ao. Considere a fun¸c˜ao h = f ◦ α : [t1, t2] → R. Como h(t1) = h(t2), existe

um t ∈ [t1, t2] tal que

(40)

Logo, α ´e tangente `a F em q = α(t).

Observa¸c˜_{ao 2.1.1. Pelo Lema 2.1.1, nenhuma se¸c˜ao transversal de F(f) pode tocar a} mesma folha mais de uma vez.

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Seja α um caminho ideal em Ω(p1, p2).

i. Se α intersecta uma folha em exatamente dois pontos, as interse¸c˜oes s˜ao transver-sais.

ii. α n˜ao intersecta uma folha mais do que duas vezes.

Demonstra¸cão. Suponha que α intersecte alguma folha γ em dois pontos, e que a in-terse¸cão em algum deles não seja transversal. Utilizando o Teorema 1.3.4, encontramos um caminho com um n´_{umero menor de pontos de tangência com F(f) do que α (ver} Figura 2.3).

PSfrag replacements

α

γ

h

Figura 2.3: Interse¸c˜oes transversais.

Da mesma forma, se α intersectar alguma folha γ em três pontos, utilizando o Teorema 1.3.4 e o Lema 2.1.3, obtemos um caminho com um número menor de pontos de tangência com F(f) do que α (ver Figura 2.4).

(41)

PSfrag replacements

α

γ h

Figura 2.4: No m´aximo dois pontos de interse¸c˜ao.

Observa¸c˜ao 2.1.2. Utilizando o Teorema 1.3.4, o Lema 2.1.3 e a Proposi¸c˜ao 2.1.1, concluimos que um caminho ideal α ∈ Ω(p1, p2) intersecta γi apenas em pi, i = {1, 2}.

(ver Figura 2.5).

PSfrag replacements pi

γi

α

Devido ao Teorema de Jordan, cada folha γ de F(f) divide o plano em duas regiões, ambas limitadas por γ. Sejam γ1 e γ2 duas folhas de F. Se δγi(γj) é a região do plano

limitada por γi que cont´em γj, considere µ(γ1, γ2) := δγ1(γ2) ∩ δγ2(γ1) (ver Figura 2.6).

Defini¸c˜ao 2.1.1. Fixemos duas folhas γ1e γ2de F(f). Diremos que duas se¸c˜oes

(42)

PSfrag replacements

γ1

γ2

µ(γ1, γ2)

Figura 2.6: regi˜ao entre folhas 1. Σ1 e Σ2 estiverem contidas no fecho de µ(γ1, γ2).

2. Σi possui um extremo pi pertencente a γi, i = 1, 2. Utilizaremos, a nota¸c˜ao (Σi, pi),

para explicitar tais extremos.

Defini¸cão 2.1.2. Diremos que duas folhas γ1 e γ2 de F(f) são inseparáveis (ver Figura

2.7) se existirem duas se¸c˜oes admiss´ıveis (Σ1, p1) e (Σ2, p2) para o par (γ1, γ2), onde

podemos definir um homeomorfismo π : Σ1\{p1} → Σ2\{p2}, tal que

1. Para cada x ∈ Σ1\{p1}, existe um arco de trajet´oria de Xf unindo x e π(x).

2. limx→p1π(x) = p2.

Observa¸cão 2.1.3. Pelo Teorema 1.3.4, se soubermos que γ1 e γ2 são folhas inseparáveis

de F(f), dados quaisquer pontos p1 ∈ γ1 e p2 ∈ γ2, existem se¸c˜oes admiss´ıveis (Σ1, p1),

(Σ2, p2) para (γ1, γ2) onde podemos definir um homeomorfismo π satisfazendo as condi¸c˜oes

estipuladas na Defini¸c˜ao 2.1.1. Al´em disso, podemos tomar Σ1 e Σ2 contidas em folhas

de F(g).

Observa¸c˜ao 2.1.4. Sejam γ1 e γ2 duas folhas insepar´aveis de F(f). Tomando duas

se¸c˜oes admiss´ıveis (Σ1, p1) e (Σ2, p2) para (γ1, γ2) contidas em folhas de F(g), podemos

utilizar o Teorema 1.3.4 e obter um caminho ideal η ⊂ Ω(p1, p2) tal que

(43)

PSfrag replacements

γ1 γ2

x

π(x) p1 p2

Figura 2.7: folhas insepar´aveis.

• Para algum 0 < a < 1, os conjuntos η([0, a]) e η([1 − a, 1]) est˜ao contidos em folhas de F(g).

O caminho η divide µ(γ1, γ2) em duas regi˜oes, cujas fronteiras cont´em a imagem de η.

Denotemos por S a ´unica dessas regi˜oes com a seguinte propriedade:

• Se uma trajetória de Xf cruza a imagem de η|(0,1), então a interse¸cão entre S e esta

trajet´oria possui fecho compacto.

Defini¸c˜_{ao 2.1.3. Seja S a região mencionada na Observa¸cão 2.1.4. Dizemos que A = S} é uma semi-componente de Reeb de F(f) definida por γ1 e γ2 (ver Figura 2.8). Os

conjuntos s = A ∩ γ1 e r = A ∩ γ2 recebem o nome de fronteiras n˜ao-compactas de A,

enquanto η denomina-se fronteira compacta de A.

O teorema enunciado abaixo ´e o principal resultado desta se¸c˜ao.

Teorema 2.1.1. Se X não é injetiva, F(f) possui duas folhas inseparáveis.

Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese, existem pontos distintos, p1 e p2, tais que X(p1) = X(p2).

Como g(p1) = g(p2), temos pelo Lema 2.1.1, que p1 e p2 pertencem `a folhas distintas de

F(f), as quais denotaremos por γ1 e γ2. Seja α um caminho ideal em Ω(p1, p2). Pelo

(44)

PSfrag replacements γ1 γ2 η r s A

Figura 2.8: Semi-componente de Reeb.

a nota¸c˜ao de intervalos reais para a imagem de α. Tomando uma carta de F(f) cujo dom´ınio cont´em q, verifica-se que existem pontos p, T p ∈ α e um homeomorfismo T : (p, q] → [q, T p) tais que:

1. T q = q

2. ∀x ∈ (p, q), existe um arco de trajet´oria transversal a α unindo x e T x. 3. limx→pT x = T p.

Podemos tomar (p, T p) maximal com estas propriedades. Pela Proposi¸cão 2.1.1, as folhas que cruzam o intervalo (p, T p) não tocam mais α. Por isso, tomando cartas locais em p e Tp, verifica-se facilmente que as trajetórias de Xf que passam por esses pontos cruzam α

transversalmente (ver Figura 2.9). A maximalidade de [p, q], e o Teorema 1.3.4, garantem que tais folhas s˜ao insepar´aveis (ver Figura 2.10).

Em [15], Gutierrez, Jarque, Llibre e Teixeira provam que a rec´ıproca do Teorema 2.1.1 n˜ao ´e verdadeira.

(45)

PSfrag replacements

p1 p2

T p

γ1 γ2

h

2.2 Injetividade

Provaremos nesta se¸c˜ao o principal resultado deste trabalho:

Teorema 2.2.1. Seja X = (f, g) :R2 _{→ R}2 _{uma aplica¸c˜ao de classe C}1_{. Se para algum}

² > 0, Spec(X) ∩ [0, ²) = ∅, ent˜ao X ´e injetiva.

Primeiramente, provaremos a seguinte vers˜ao mais fraca deste Teorema: Teorema 2.2.2. Seja X = (f, g) :R2

→ R2 uma aplica¸cão de classe C1. Se para algum ² > 0, Spec(X) ∩ (−², ²) = ∅, então X é injetiva.

Antes porém, serão necessários alguns resultados importantes. No que segue, X = (f, g) é uma aplica¸cão satisfazendo as hipóteses do Teorema 2.2.2. Além disso, Xθ :=

(fθ, gθ) = Rθ◦ X ◦ R−θ, onde θ é um número real diferente de qualquer múltiplo inteiro

de π₂, e Rθ :R2 → R2 ´e a rota¸c˜ao representada pela matriz

  cos θ − sin θ sin θ cos θ  . A aplicã¸cão π :_R2 _{→ R é a proje¸cão (x, y) 7→ x.}

(46)

PSfrag replacements

p1 p2

T p p

γ1 γ2

Figura 2.10: Obten¸cao de folhas insepar´aveis. Observa¸c˜ao 2.2.1. Seja γ+

p a semi-trajet´oria positiva de Xf partindo de p ∈ R2.

Supon-hamos que π(γ+

p ) seja um intevalo de comprimento finito. Tomemos uma sequˆencia

tn → +∞. Como γp s´o se acumula no infinito, kφp(tn))k → ∞. Existe uma subsequˆencia

qk de π(φp(tn)) tal que qk → q. Como rota¸cões são isometrias, segue que π(Rθ(γp+)) é um

intervalo de comprimento infinito (ver Figura 2.11). PSfrag replacements p q θ qk Figura 2.11: Rota¸c˜ao

Lema 2.2.1. Fixe p ∈ R2_{, e sejam φ(t, p) e ϕ(t, p) trajet´orias de X}

f e Xg

respectiva-mente. As fun¸c˜oes

fθ(Rθ◦ φ(t, p)) e fθ(Rθ◦ ϕ(t, p))

(47)

Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao, temos que

fθ = cos θ · f ◦ R−θ− sin θ · g ◦ R−θ e gθ = sin θ · f ◦ R−θ+ cos θ · g ◦ R−θ.

Logo,

fθ(Rθ◦ φ(t, p)) = cos θ · a − sin θ · g ◦ φ(t, p)

fθ(Rθ◦ ϕ(t, p)) = sin θ · f ◦ ϕ(t, p) + cos θ · b,

onde a e b s˜ao constantes. Como θ 6= mπ

2, o resultado segue do Lema 2.1.1.

Lema 2.2.2. Seja K um subconjunto compacto de R2_{. Dado ² > 0, existe um δ > 0 tal}

que, se |θ| < δ, |f(x) − fθ(Rθ(x))| < ², para todo x ∈ K.

Demonstra¸c˜ao. Temos que fθ = cos θ · f ◦ R−θ− sin θ · g ◦ R−θ. O resultado segue do fato

de que limθ→0| sin θ| = 0 e limθ→0| cos θ| = 1.

Lema 2.2.3. Suponha que X n˜ao seja injetiva. Existe um θ ∈ R tal que, Xfθ possui

uma semi-componente de Reeb cuja proje¸c˜ao no eixo das abscissas ´e um intervalo de comprimento infinito.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 2.1.1, F(f) possui duas folhas insepar´aveis, γ1e γ2. Tomemos

um caminho β : (−a, 1 + a) de classe C1_{, onde 0 < a < 1, tal que}

1. η = β|[0,1] seja a fronteira compacta de uma semi-componente de Reeb A definida

por γ1 e γ2.

2. As imagens de γ|(−a,a) e γ|(1−a,1+a) estejam contidas em folhas de F(g).

Se a proje¸cão de alguma das fronteiras não compactas de A sobre o eixo das abscissas for um intervalo de comprimento infinito, não há o que demonstrar. Suponhamos que isto não ocorra. Pelo Lema 2.1.1, as fun¸cões cont´ınuas h1 = f ◦ β|(−a,a) e h2 = f ◦ β|(1−a,1+a)

são estritamente monótonas. Além disso, por uma questão de orienta¸cões, uma delas é crescente e a outra decrescente. Como h1(0) = h2(1), existe um 0 < δ < a suficientemente

pequeno tal que a fun¸c˜ao

ϕ : [−δ, δ] → (1 − a, 1 + a) s 7→ h−12 ◦ h1(s)

(48)

está bem definida. Tal fun¸cão é cont´ınua, injetiva, inverte orienta¸cões, e satisfaz: (a1) ϕ(0) = 1.

(a2) para s ∈ (−δ, δ), f(β(s)) = f(β(ϕ(s))).

(a3) para s ∈ (0, δ), existe um arco de trajet´oria de Xf partindo de β(s) e intersectando

a imagem de β|(1−a,1) exatamente em β(ϕ(s)).

Considere o conjunto Rθ(A). Como β([−δ, δ]) e β([ϕ(δ), ϕ(−δ)]) s˜ao compactos, podemos

utilizar o Lema 2.2.2, e a Figura 2.12, para verificar que existe um α > 0 tal que, se |θ| < α, a rela¸c˜ao de ordem entre as imagens de fθ exibida na Figura 2.13 ocorre. Pelo

PSfrag replacements f (β(−δ)) f (β(δ)) f (β(δ₂)) f (β(0)) f (β(1)) f (β(1 + a)) f (β(1 − a)) Figura 2.12: Imagem de β por f

Lema 2.2.1, se |θ| < α, podemos proceder como acima, e garantir que existe uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕθ : [−δ, δ] → (1 − a, 1 + a) que inverte orienta¸c˜oes, e satisfaz:

(b1) fθ(Rθ(β(s))) = fθ(Rθ(β(ϕθ(s))))

(b2) ϕθ(δ₂) ∈ Rθ(β((1 − a, 1))).