Integral definida Definição

Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o conjunto P de pontos x0,x₁, ¨ ¨ ¨x_n com x₀“a ă x1ă ¨ ¨ ¨ ăxn“b e será denotado por P “ tx0,x1, ¨ ¨ ¨xnu.

Observação

1 A partição P “ tx₀,x₁, ¨ ¨ ¨x_nu de ra; bs divide ra; bs em n subintervalos.

2 O comprimento do subintervalo rx_i´1;x_is, para i “ 1, 2, ¨, n, é denotado por ∆ix “ xi ´xi´1 e temos

n

ÿ

i“1

Integral definida

Definição

Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o conjunto P de pontos x0,x₁, ¨ ¨ ¨x_n com x₀“a ă x1ă ¨ ¨ ¨ ăxn“b e será denotado por P “ tx0,x1, ¨ ¨ ¨xnu.

Observação

1 A partição P “ tx₀,x₁, ¨ ¨ ¨x_nu de ra; bs divide ra; bs em n subintervalos.

2 O comprimento do subintervalo rx_i´1;x_is, para i “ 1, 2, ¨, n, é denotado por ∆ix “ xi ´xi´1 e temos

n

ÿ

i“1

Integral definida

Definição

Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o conjunto P de pontos x0,x₁, ¨ ¨ ¨x_n com x₀“a ă x1ă ¨ ¨ ¨ ăxn“b e será denotado por P “ tx0,x1, ¨ ¨ ¨xnu.

Observação

1 A partição P “ tx₀,x₁, ¨ ¨ ¨x_nu de ra; bs divide ra; bs em n subintervalos.

2 O comprimento do subintervalo rx_i´1;x_is, para i “ 1, 2, ¨, n, é denotado por ∆ix “ xi ´xi´1 e temos

n

ÿ

i“1

Observação

1 Denominaremosnorma da partição P ou diámetro da partição P ao

número denido por:

}P} “ máxt∆ix; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu

2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo

comprimento, então temos

∆_ix “ b ´ a n e x0 “a, x₁“a ` b ´ a n ,x2“a ` 2 b ´ a n , ¨ ¨ ¨xn“a ` n b ´ a n “b

Observação

1 Denominaremosnorma da partição P ou diámetro da partição P ao

número denido por:

}P} “ máxt∆ix; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu

2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo

comprimento, então temos

∆_ix “ b ´ a n e x0“a, x₁ “a ` b ´ a n ,x2“a ` 2 b ´ a n , ¨ ¨ ¨xn“a ` n b ´ a n “b

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas x “ a, x “ b e o eixo X (chamadaregião embaixo da gráca de f de a até b).

Como calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos ui P rxi´1,x_isde forma tal que f puiq seja o valor mínimo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f puiq, estes retângulos tem área igual a

f puiq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular inscrito

em R, a área deste poligono será denotado por I pPq e temos I pPq “ ÿn

i“1

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas x “ a, x “ b e o eixo X (chamadaregião embaixo da gráca de f de a até b).

Como calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos ui P rxi´1,x_isde forma tal que f puiq seja o valor mínimo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f puiq, estes retângulos tem área igual a

f puiq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular inscrito

em R, a área deste poligono será denotado por I pPq e temos I pPq “ ÿn

i“1

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas x “ a, x “ b e o eixo X (chamadaregião embaixo da gráca de f de a até b).

Como calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos ui P rxi´1,x_isde forma tal que f puiq seja o valor mínimo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f puiq, estes retângulos tem área igual a

f puiq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular inscrito

em R, a área deste poligono será denotado por I pPq e temos I pPq “ ÿn

i“1

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas x “ a, x “ b e o eixo X (chamadaregião embaixo da gráca de f de a até b).

Como calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos ui P rxi´1,x_isde forma tal que f puiq seja o valor mínimo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f puiq, estes retângulos tem área igual a

f puiq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular inscrito

em R, a área deste poligono será denotado por I pPq e temos I pPq “ ÿn

i“1

Outra forma de calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos vi P rxi´1,x_isde forma tal que f pviq seja o valor máximo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f pviq, estes retângulos tem área igual a

f pviq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular

circunscrito em R, a área deste poligono será denotado por CpPq e temos

CpPq “ ÿn

i“1

Outra forma de calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos vi P rxi´1,x_isde forma tal que f pviq seja o valor máximo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f pviq, estes retângulos tem área igual a

f pviq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular

circunscrito em R, a área deste poligono será denotado por CpPq e temos

CpPq “ ÿn

i“1

Outra forma de calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx_0,x_{1, ¨ ¨ ¨}x_nude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos vi P rxi´1,x_isde forma tal que f pviq seja o valor máximo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f pviq, estes retângulos tem área igual a

f pviq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular

circunscrito em R, a área deste poligono será denotado por CpPq e temos

CpPq “ ÿn

i“1

Observação

1 Sejam P₁ e P₂ partições de ra; bs, então

I pP1q ďApRq ď CpP2q

2 Se L “ tI pPq; P é uma partição de ra; bsu e

U “ tCpPq; P é uma partição de ra; bsu, podemos denir Ai “suppLq e A_s “inf pUq

, como isso temos

I pPq ď Ai ďA ď A_s ďCpPq

3 Podemos provar que A_{i “}A_{s “}ApRq

4 Podemos provar que se t_1,t_{2, ¨ ¨ ¨}t_nsão pontos escolhidos nos n

subintervalos, então: A “ lim }P}Ñ0 ˜ _n ÿ i“1 f ptiq∆_ix ¸

Observação

1 Sejam P₁ e P₂ partições de ra; bs, então

I pP1q ďApRq ď CpP2q

2 Se L “ tI pPq; P é uma partição de ra; bsu e

U “ tCpPq; P é uma partição de ra; bsu, podemos denir Ai “suppLq e As “inf pUq

, como isso temos

I pPq ď Ai ďA ď A_s ďCpPq

3 Podemos provar que A_{i “}A_{s “}ApRq

4 Podemos provar que se t_1,t_{2, ¨ ¨ ¨}t_nsão pontos escolhidos nos n

subintervalos, então: A “ lim }P}Ñ0 ˜ _n ÿ i“1 f ptiq∆_ix ¸

Observação

1 Sejam P₁ e P₂ partições de ra; bs, então

I pP1q ďApRq ď CpP2q

2 Se L “ tI pPq; P é uma partição de ra; bsu e

U “ tCpPq; P é uma partição de ra; bsu, podemos denir Ai “suppLq e As “inf pUq

, como isso temos

I pPq ď Ai ďA ď A_s ďCpPq

3 Podemos provar que A_{i “}A_{s “}ApRq

4 Podemos provar que se t_1,t_{2, ¨ ¨ ¨}t_nsão pontos escolhidos nos n

subintervalos, então: A “ lim }P}Ñ0 ˜ _n ÿ i“1 f ptiq∆_ix ¸

Observação

1 Sejam P₁ e P₂ partições de ra; bs, então

I pP1q ďApRq ď CpP2q

2 Se L “ tI pPq; P é uma partição de ra; bsu e

U “ tCpPq; P é uma partição de ra; bsu, podemos denir Ai “suppLq e As “inf pUq

, como isso temos

I pPq ď Ai ďA ď A_s ďCpPq

3 Podemos provar que A_{i “}A_{s “}ApRq

4 Podemos provar que se t_1,t_{2, ¨ ¨ ¨}t_nsão pontos escolhidos nos n

subintervalos, então: A “ lim }P}Ñ0 ˜ _n ÿ i“1 f ptiq∆_ix ¸

6a _Aula

Exemplo

1 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x ` 1, x “ 0,

x “ 3 e o eixo X .

2 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x2, x “ 3 e o

Integral

No documento MAT-140 Integrais. Walter T. Huaraca Vargas. 1 de Agosto de 2016 (páginas 35-52)