MAT-140 Integrais. Walter T. Huaraca Vargas. 1 de Agosto de 2016

(1)

MAT-140 Integrais

Walter T. Huaraca Vargas 1 de Agosto de 2016

(2)

Integral Indefinida

Definição

Seja I um intervalo e F : I Ñ R. Uma função F : I Ñ R tal que F1

pxq “ f pxq, para todo x P I , é chamada deprimitiva ou antiderivada de f em I o que denotaremos por:

F pxq “ Antpf pxqq, @x P I

Exemplo

Achar antiderivadas para as seguintes funções:

1 f pxq “ 4x3 2 gpxq “ ex

(3)

Integral Indefinida

Definição

Seja I um intervalo e F : I Ñ R. Uma função F : I Ñ R tal que F1

pxq “ f pxq, para todo x P I , é chamada deprimitiva ou antiderivada de f em I o que denotaremos por:

F pxq “ Antpf pxqq, @x P I

Exemplo

Achar antiderivadas para as seguintes funções:

1 f pxq “ 4x3 2 gpxq “ ex

(4)

Proposição

Seja F : I Ñ R uma função denida no intervalo aberto I e F : I Ñ R uma antiderivada ou primitiva de f . Se F1:I Ñ R é uma outra primitiva de f ,

então:

F1pxq “ F pxq ` C

Para alguma constante C P R.

Definição

Seja F pxq uma primitiva de f pxq denida no intervalo I . A integral

indenida de f pxqé o conjunto de todas as primitivas de f pxq denidas no intervalo I e denotaremos por:

ż

f pxqdx “ F pxq ` C

Onde C é uma constante, chamada de constante de integração, f pxq é chamado deintegrando, f pxqdx é chamado deelemento de integração, ş

(5)

Proposição

Seja F : I Ñ R uma função denida no intervalo aberto I e F : I Ñ R uma antiderivada ou primitiva de f . Se F1:I Ñ R é uma outra primitiva de f ,

então:

F1pxq “ F pxq ` C

Para alguma constante C P R.

Definição

Seja F pxq uma primitiva de f pxq denida no intervalo I . A integral

indenida de f pxqé o conjunto de todas as primitivas de f pxq denidas no intervalo I e denotaremos por:

ż

f pxqdx “ F pxq ` C

Onde C é uma constante, chamada de constante de integração, f pxq é chamado deintegrando, f pxqdx é chamado deelemento de integração, ş

(6)

Observação

Da denição anterior deduzimos:

1 d dxp ż f pxqdxq “ p ż f pxqdxq1 “ pF pxq ` Cq1 “f pxq

2 Se f é uma função derivável em I , então uma primitiva de f1 é f ,

assim: ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Exemplo

Calcular as integrais indenidas:

1 ş4x3dx 2 şexdx 3 şlnpxqdx, calcule pxLnpxq ´ xq1 4 ş dx 1`x2 1a _Aula

(7)

Observação

assim: ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Exemplo

(8)

Observação

assim: ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Exemplo

(9)

Propriedades

Proposição

Se f e g são funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k P R uma constante qualquer, então as funções f ˘ g e kf admitem

antiderivadas em I e tems: 1 ż rf pxq ˘ gpxqsdx “ ż f pxqdx ˘ ż gpxqdx 2 ż rkf pxqsdx “ k ż f pxqdx Exemplo Calcular ż rex _´_4x3_`_Lnpxqsdx

(10)

Propriedades

Proposição

(11)

Propriedades

Proposição

(12)

Integrais Imediatas

Se conhecemos f1

pxq, pela observação anterior, deduzimos que: ż

f1

(13)

Integrais Imediatas

Se conhecemos f1

pxq, pela observação anterior, deduzimos que: ż f1 pxqdx “ f pxq ` C ş dx “ x ` c ş xn_{dx “} xn`1 n`1 `c, n ‰ ´1 ş un_{du “} un`1 n`1 `c, n ‰ ´1 ş au_{du “} au Lnpaq`c, a ą 0, a ‰ 1 ş eu_{du “ e}u_`_c ş senpuqdu “ ´cospuq ` c ş cospuqdu “ senpuq ` c ş tgpuqdu “ Lnp|secpuq|q ` c ş ctgpuqdu “ Lnp|senpuq|q ` c ş secpuqdu “ Ln|secpuq ` tgpuq| ` c ş cscpuqdu “ Ln|cscpuq ´ ctgpuq| ` c ş

sec2_{puqdu “ tgpuq ` c}

ş

(14)

Integrais Imediatas

ş secpuqtgpuqdu “ secpuq ` c ş cscpuqctgpuqdu “ ćscpuq ` c şdu udu “ Lnp|u|q ` c ş du u2à2 “ 1aarctgpuaq `c ş du u2_´_a2 “ _2a1Ln|uá_uà| `c ş du a2_´_u2 “ _2a1Ln|aù_aú| `c ş du ? a2_´_u2 “arcsenpu_aq `c ş du ? u2_´_a2 “ Ln|u `?u2_´_a2_{| `}_c ş du ? u2_`_a2 “Ln|u ` ? u2_`_a2_{| `}_c ş du u?u2_´_a2 “ 1_aarcsecpu_aq `c ş du ? a2_`_u2 “ ´1aLnpa` ? a2ù2 u q `c ş du ? a2_ú2 “ ´1aLnpa` ? a2_´_u2 u q `c ş ? a2_´_u2_{du “} 1 2u ? a2_´_u2_` a2 2arcsenpuaq `c ş a? u2_˘_a2_{du “} 1 2u ? u2_˘_a2_˘ a2 2Ln|u ` ? u2_˘_a2_{| `}_c

(15)

Integrais Imediatas

Exemplo

Calcule as seguintes integrais:

1 ş_p?2 ´?xq2dx 2 ş3x5´6x2`?x x3 dx 3 ş x2`2 x2_p_x2_`_4qdx 4 ş dx x4_´₉ 5 ş?x2`13 x2`9dx 6 şsen2pxqdx 7 şp1 ` x3_q665x2dx

(16)

métodos de integração: Mudança de Variável

Proposição

Se y “ f puq é uma função derivável em u, u “ gpxq função derivável em x e F é uma antiderivada de f , então:

ż f pgpxqqg1 pxqdx “ F pgpxqq ` C Se fazemos u “ gpxq, então du “ g1 pxqdx, então: ż f pgpxqqg1 pxqdx “ ż f puqdu “ F puq ` C

(17)

Exemplo

Calcular as seguintes integrais:

1 ż x4 7 ? x5_`₁dx 2 ż arcsenpxqdx ? x ´ x2 3 ż xdx e3x_{p1 ´ xq}4 4 ş c 2 `b2 `a2 ` 2cosp5?x ` 4qx´1₂_dx 2a _Aula

(18)

métodos de integração: por partes

Sejam u e v funções denidas e deriváveis no intervalo I , temos dpuvq “ vdu ` udv

de onde temos:

udv “ dpuvq ´ vdu integrando obtemos:

ż

udv “ uv ´ ż

(19)

Exemplo Calcular: 1 şLnpxqdx 2 şpx2_`3x ´ 1qe2xdx 3 cospxq`xsenpxq´1 psenpxq´xq2 dx 4

ż esenpxqpxcos3pxq ´ senpxqq

cos2_pxq dx

(20)

métodos de integração: frações parciais

simples

Diremos que uma fração é simples se tem alguma das formas abaixo:

1 f pxq “ a x´r com integral ż a x ´ rdx “ aLn|x ´ r| ` C 2 f pxq “ a px´rqn com integral ż a px ´ rqndx “ a p1 ´ nqpx ´ rqn´1 `C 3 f pxq “ ax`b

px2_`_qx`rdx para calcular esta integral, devemos fazer:

(21)

métodos de integração: frações parciais

1 Seja a função racional f pxq “ Ppxq

Qpxq, onde Ppxq e Qpxq são polinômios

de grau m e n respetivamente. Se m ă n diremos que a função racional é própriae se m ě n, diremos que ela éimprópria.

2 Se pxq “ Ppxq

Qpxq é uma função racional imprópria, pelo algoritmo de

divisão, existem polinômios Cpxq e Rpxq únicos tais que Ppxq

Qpxq “Cpxq ` Rpxq Qpxq

Onde o grau de Rpxq é menor que o grau de Qpxq, Cpxq e Rpxq são, respetivamente, oquociente e orestoda divisão entre Ppxq e Qpxq.

3 Do item anterior, temos que:

ż f pxqdx “ ż Ppxq Qpxqdx “ ż Cpxqdx ` ż Rpxq Qpxq

(22)

Teorema

Se Ppxq e Qpxq são polinômios de grau n e m respetivamente com n ě 1 e m ă n, então:

Qpxq“apx´r1qn1p_x´r2qn2¨¨¨p_x´rkqnkp_x2_`_p1x`q1qm1p_x2_`_p2x`q2qm2¨¨¨p_x2_`_psx`qs_qms

Onde todos os fatores são polinômios irredutíveis e n “ n1`n₂` ¨ ¨ ¨n_k `m₁`m₂` ¨ ¨ ¨m_s

(23)

Teorema (continacao do teorema anterior) e temos que: Ppxq Qpxq “ x´rA111 ` A12 px´r1q2 ` ¨ ¨ ¨ A1n1 px´r₁qn1 ` _x´rA21 2 ` A22 px´r2q2 ` ¨ ¨ ¨ A2n2 px´r₁qn2 ` ¨ ¨ ¨ ` _x´rAk1 k ` Ak2 px´r_kq2 ` ¨ ¨ ¨ A_knk px´r1qnk ` _xB211_`px`C₁_x`q11₁ `_pxB2_`p12x`C₁_x`q12₁_q2 ` ¨ ¨ ¨_pxB21m1_`p₁x`C_x`q1m1₁_qm1 ` _xB221_`_px`C₁_x`q21₁ `_p_x2B_`22_px`C₁_x`q22₁_q2 ` ¨ ¨ ¨_p_xB22m2_`_p₁x`C_x`q2m2₁_qm2 ` ¨ ¨ ¨ ` _xB2s1_`_px`C₁_x`qs1₁ `_p_x2B_`s2_px`C₁_x`qs2₁_q2 ` ¨ ¨ ¨_p_xB2_`sms_p₁x`C_x`qsms₁_qms

(24)

Exemplo 1 Calcular şx3´3x`3 x2_´_x´2dx 2 Calcular şx2´6x`8 x2_`_x`5dx 3 Calcular ş 1 x3_`1dx 4 Calcular ş atanpxqdx 3a _{e 4}a _Aula

(25)

métodos de integração:Substitução

Trigonomêtrica

ż

Rpx,apx2_`_{qx ` rqdx}

Completando quadrados, podemos mudar a expressão numa das formas:

1 a2_ú2, fazemos a substituição " u “ asenpθq, a ą 0 du “ acospθqdθ 2 a2_ù2, fazemos a substituição " u “ atanpθq, a ą 0 du “ asec2_pθqdθ 3 u2_á2, fazemos a substituição " u “ asecpθq, a ą 0 du “ asecpθqtanpθqdθ

(26)

Exemplo

Calcular as seguintes integrais:

1 ş ?9 ´ x2dx 2 ş dx x2?_16`9x2 3 ş dx p1`x4q ?? 1`x4_´_x2 4 ş e´xdx p9e´2x`1q32 5 şx ? 1´xdx ? 2´x

(27)

Integral Definida: Somatorios

Definição

Sejam m, n P Z tal que m ď n e f piq uma função denida para todo i P Z.

Denotaremos _n

ÿ

i“m

f piq “ f pmq ` f pm ` 1q ` ¨ ¨ ¨ f pnq

i é chamado de indice, m é chamado delimite inferiore n é chamado de

limite superior. Exemplo 1 Se f piq “ i2, calcular 6 ÿ i“2 f piq

2 Se f piq “ senpixq, calcular

n

ÿ

i“1

(28)

Integral Definida: Somatorios

Definição

Sejam m, n P Z tal que m ď n e f piq uma função denida para todo i P Z.

Denotaremos _n

ÿ

i“m

f piq “ f pmq ` f pm ` 1q ` ¨ ¨ ¨ f pnq

i é chamado de indice, m é chamado delimite inferiore n é chamado de

limite superior. Exemplo 1 Se f piq “ i2, calcular 6 ÿ i“2 f piq

2 Se f piq “ senpixq, calcular

n

ÿ

i“1

(29)

propriedades dos sumatorios

Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:

1 n ÿ i“m “ pn ´ m ` 1qk 2 n ÿ i“m kf piq “ k ÿn i“m f piq 3 n ÿ i“m pf piq ˘ gpiqq “ ÿn i“m f piq ˘ ÿn i“m gpiq 4 n ÿ i“m rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q 5 n ÿ i“m rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q

(30)

propriedades dos sumatorios

(31)

propriedades dos sumatorios

(32)

propriedades dos sumatorios

(33)

propriedades dos sumatorios

(34)

Exemplo 1 Calcular 400 ÿ i“5 p ? i ´?i ´ 1 ` 4q 2 Prove que n ÿ i“1 i “ npn ` 1q₂ 3 Prove que n ÿ i“1 i2 _“ npn ` 1qp2n ` 1q 6

(35)

Integral definida

Definição

Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o conjunto P de pontos x0,x₁, ¨ ¨ ¨x_n com x₀“a ă x1ă ¨ ¨ ¨ ăxn“b e será denotado por P “ tx0,x1, ¨ ¨ ¨xnu.

Observação

1 A partição P “ tx₀,x₁, ¨ ¨ ¨x_nu de ra; bs divide ra; bs em n subintervalos.

2 O comprimento do subintervalo rx_i´1;x_is, para i “ 1, 2, ¨, n, é denotado por ∆ix “ xi ´xi´1 e temos

n

ÿ

i“1

(36)

Integral definida

Definição

Observação

n

ÿ

i“1

(37)

Integral definida

Definição

Observação

n

ÿ

i“1

(38)

Observação

1 Denominaremosnorma da partição P ou diámetro da partição P ao

número denido por:

}P} “ máxt∆ix; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu

2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo

comprimento, então temos

∆_ix “ b ´ a n e x0 “a, x₁“a ` b ´ a n ,x2“a ` 2 b ´ a n , ¨ ¨ ¨xn“a ` n b ´ a n “b

(39)

Observação

1 Denominaremosnorma da partição P ou diámetro da partição P ao

número denido por:

}P} “ máxt∆ix; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu

2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo

comprimento, então temos

∆_ix “ b ´ a n e x0“a, x₁ “a ` b ´ a n ,x2“a ` 2 b ´ a n , ¨ ¨ ¨xn“a ` n b ´ a n “b

(40)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas x “ a, x “ b e o eixo X (chamadaregião embaixo da gráca de f de a até b).

Como calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx₀_,x₁_{, ¨ ¨ ¨}x_n_ude ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos ui P rxi´1,x_isde forma tal que f puiq seja o valor mínimo de f em rxi´1,xis.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f puiq, estes retângulos tem área igual a

f puiq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular inscrito

em R, a área deste poligono será denotado por I pPq e temos I pPq “ ÿn

i“1

(41)

f puiq∆_ix.

i“1

(42)

f puiq∆_ix.

i“1

(43)

f puiq∆_ix.

i“1

(44)

Outra forma de calcular áreapRq?

pontos vi P rxi´1,x_isde forma tal que f pviq seja o valor máximo de f em rxi´1,xis.

denidos por P e de alturas f pviq, estes retângulos tem área igual a

f pviq∆_ix.

4 Os n retângulos considerados denem opolígono retangular

circunscrito em R, a área deste poligono será denotado por CpPq e temos

CpPq “ ÿn

i“1

(45)

f pviq∆_ix.

CpPq “ ÿn

i“1

(46)

f pviq∆_ix.

CpPq “ ÿn

i“1

(47)

Observação

1 Sejam P₁ e P₂ partições de ra; bs, então

I pP1q ďApRq ď CpP2q

2 Se L “ tI pPq; P é uma partição de ra; bsu e

U “ tCpPq; P é uma partição de ra; bsu, podemos denir Ai “suppLq e A_s “inf pUq

, como isso temos

I pPq ď Ai ďA ď A_s ďCpPq

3 Podemos provar que A_i _“A_s _“ApRq

4 Podemos provar que se t₁_,t₂_{, ¨ ¨ ¨}t_nsão pontos escolhidos nos n

subintervalos, então: A “ lim }P}Ñ0 ˜ _n ÿ i“1 f ptiq∆_ix ¸

(48)

Observação

U “ tCpPq; P é uma partição de ra; bsu, podemos denir Ai “suppLq e As “inf pUq

, como isso temos

(49)

Observação

, como isso temos

(50)

Observação

, como isso temos

(51)

6a _Aula

Exemplo

1 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x ` 1, x “ 0,

x “ 3 e o eixo X .

2 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x2, x “ 3 e o

(52)

Integral

Definição

1 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx₀_,x₁_{, ¨ ¨ ¨}x_n_u uma

partição de ra; bs denamos a soma superior de f em relação a P por Spf , Pq “ÿn

i“1

supxPrxi´1;x_ispf pxqq∆ix

2 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx₀,x₁, ¨ ¨ ¨x_nu uma partição de ra; bs denamos a soma inferior de f em relação a P por

I pf , Pq “ ÿn

i“1

(53)

Integral

Definição

1 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx₀_,x₁_{, ¨ ¨ ¨}x_n_u uma

partição de ra; bs denamos a soma superior de f em relação a P por Spf , Pq “ÿn

i“1

supxPrxi´1;x_ispf pxqq∆ix

2 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx₀,x₁, ¨ ¨ ¨x_nu uma partição de ra; bs denamos a soma inferior de f em relação a P por

I pf , Pq “ ÿn

i“1

(54)

Definição

Considere uma função limitada f : ra; bs Ñ R. Se lim

}P}Ñ0Spf , Pq “ lim}P}Ñ0I pf , Pq

Diremos que a integral de Riemann de f existe ou quea função f é Riemann integrávele denotaremos por şb_af pxqdx, assim temos:

żb

a f pxqdx “ lim}P}Ñ0Spf , Pq “ lim}P}Ñ0I pf , Pq

Exemplo

Considere a função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denida por: f pxq “

"

0 se x P I 1 se x P Q Verique que ela não é integrável.

(55)

Definição

Considere uma função limitada f : ra; bs Ñ R. Se lim

}P}Ñ0Spf , Pq “ lim}P}Ñ0I pf , Pq

Diremos que a integral de Riemann de f existe ou quea função f é Riemann integrávele denotaremos por şb_af pxqdx, assim temos:

żb

a f pxqdx “ lim}P}Ñ0Spf , Pq “ lim}P}Ñ0I pf , Pq

Exemplo

Considere a função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denida por: f pxq “

"

0 se x P I 1 se x P Q Verique que ela não é integrável.

(56)

Definição 1 Se a ă b, deniremos ża b f pxqdx “ ´ żb a f pxqdx

2 Se f esta denida em a, então

ża

(57)

Propriedades da Integral Definida

1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.

2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em

qualquer subintervalo rc; ds Ă ra; bs.

3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é

integrável e temos: żb

apkf qpxqdx “ k

żb

a f pxqdx

4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:

żb a pf ˘ gqpxqdx “ żb a f pxqdx ˘ żb a gpxqdx

5 Se f é integrável em ra; cs e em rc; bs, então f é integrável em ra; bs e

temos: żb a f pxqdx “ żc a f pxqdx ` żb c f pxqdx (c qualquer)

(58)

Propriedades da Integral Definida

1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável. 2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em

apkf qpxqdx “ k

żb

a f pxqdx

(59)

Propriedades da Integral Definida

apkf qpxqdx “ k

żb

a f pxqdx

(60)

Propriedades da Integral Definida

apkf qpxqdx “ k

żb

a f pxqdx

(61)

Propriedades da Integral Definida

apkf qpxqdx “ k

żb

a f pxqdx

(62)

Propriedades da Integral Definida

1 Se f é integrável em ra; bs e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs então:

żb

a f pxqdx ě 0

2 Se f e g são integráveis em ra; bs e f pxq ď gpxq para todo x P ra; bs

então:

żb

a f pxqdx ď

żb

a gpxq

3 Se f é integrável em ra; bs e m ď f pxq ď M para todo x P ra; bs

então:

mpb ´ aq ď żb

a f pxqdx ď Mpb ´ aq

4 Se f é integrável em ra; bs então:

| żb

a f pxqdx| ď

żb

(63)

Propriedades da Integral Definida

żb

a f pxqdx ě 0

então:

żb

a f pxqdx ď

żb

a gpxq

então:

mpb ´ aq ď żb

| żb

a f pxqdx| ď

żb

(64)

Propriedades da Integral Definida

żb

a f pxqdx ě 0

então:

żb

a f pxqdx ď

żb

a gpxq

então:

mpb ´ aq ď żb

| żb

a f pxqdx| ď

żb

(65)

Propriedades da Integral Definida

żb

a f pxqdx ě 0

então:

żb

a f pxqdx ď

żb

a gpxq

então:

mpb ´ aq ď żb

| żb

a f pxqdx| ď

żb

(66)

Teoremas Fundamentais do Cálculo

7a _Aula

Teorema (valor intermediario para integrais)

Se f é uma função contínua em I “ ra; bs então existe c P I tal que żb

(67)

Teoremas Fundamentais do Cálculo

Teorema (Primeiro teorema Fundamental do Cálculo)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R a função denida por: F pxq “ żx a f ptqdt Então: F1 pxq “ d dx ˆżx a f ptqdt ˙ “f pxq Observação

1 Este teorema é uma ponte entre as integrais indenidas e integrais

denidas: Pois prova que para uma função contínua em ra; bs admite uma antiderivada F pxq “ ş_axf ptqdt pois F1

pxq “ f pxq

2 Este é um teorema de existência: Para f existe F tal que

F1

pxq “ f pxq para todo x P ra; bs. Como F paq “ 0, F é uma antiderivada de f passando pelo ponto pa; 0q.

(68)

Teoremas Fundamentais do Cálculo

pxq “ f pxq

F1

(69)

Teoremas Fundamentais do Cálculo

pxq “ f pxq

F1

(70)

Teoremas Fundamentais do Cálculo

Teorema (Segundo teorema Fundamental do Cálculo)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R uma antiderivada de f , Então: żb a f ptqdt “ F pbq ´ F paq “ rF pxqs b a Observação

1 A diferença F pbq ´ F paq independe la eleção da antiderivada de f ,

pois todas a s antiderivadas deferem aprenas numa constante.

(71)

Teoremas Fundamentais do Cálculo

Teorema (Segundo teorema Fundamental do Cálculo)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R uma antiderivada de f , Então: żb a f ptqdt “ F pbq ´ F paq “ rF pxqs b a Observação

1 A diferença F pbq ´ F paq independe la eleção da antiderivada de f ,

pois todas a s antiderivadas deferem aprenas numa constante.

(72)

Exemplo 1 Se F pxq “ şx 0 1`t12dt calcular F 1 pxq. 2 Calcular ş1 0exdx 3 Seja Gpxq “ şu

af ptqdt, onde f : ra; b Ñ Rs e u : rc; ds Ñ ra; bs é uma

função diferenciável, então: G1

pxq “ f puqu1

“f puq d

dxpupxqq

4 Seja Hpxq “ şa

uf ptqdt, onde f : ra; b Ñ Rs e u : rc; ds Ñ ra; bs é uma

função diferenciável, então: H1 pxq “ ´f puqu1 “ ´f puq_dxd pupxqq 5 Se Gpxq “ şx4 ´3 1 1`9sene_p_tqdt, calcular G 1 pxq. 6 Calcular ş1 ´1 1`x|x|2dx

(73)

cálculo de áreas de regiões planas

Caso I: Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs, a área da região R limitada pelo gráco de f , o eixo X , as retas x “ a e x “ b é dado por:

ApRq “ p żb

a f pxqdxqu 2

(74)

cálculo de áreas de regiões planas

Caso II: Sejam f , g : ra; bs Ñ R funções contínuas e gpxq ď f pxq para todo x P ra; bs, a área da região Ω limitada pelos grácos de f e de g, e as retas x “ a e x “ b é dado por:

ApRq “ p żb

a rf pxq ´ gpxqsdxqu 2

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Exemplo

1 Calcular a área da região limitada por:

y “ senpxq, x “ 0, x “ π 2,y “ 0

2 Calcular a área da região limitada pela parábola y “ x2_`4x, o eixo X

e as retas x “ ´2 e x “ 2.

3 Calcular a área da região limitada por:

y “ |x3_´_4x2_`_{x ` 6|, 3y ` x}2 _“_{0, x “ 0x “ 4} 9a _Aula