Interpreta¸c˜ ao Cin´ etica da Temperatura (T )

Como já mencionamos em outra ocasião, a temperatura de um corpo se relaciona com a energia de agita¸cão dos átomos e moléculas deste corpo.

Mostraremos agora como os f´ısicos do século passado, ba- seados no modelo cinético de um gás, chegaram a esta con- clusão. A expressão p = N mv2_{/3V , que havia sido obtida}

baseando-se no modelo cin´etico, pode ser escrita como

pV = N mv

Comparando-a com a equa¸c˜ao de estado de um g´as ideal, pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que

N mv2

3 = nRT

Mas sendo NA (o n´umero de Avogrado) o n´umero de

moléculas que existe em 1 mol e sendo n o número de moles que corresponde a N moléculas, é claro que

N = nNA

e com este valor de N na igualdade anterior, vir´a nNAmv2

3 = nRT

ou, simplificando e reescrevendo

mv2_{= 3(R/N}

A)T

e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos 1

2mv

2₌ 3

2(R/NA)T

Observe que o primeiro membro desta expressão representa a energia cinética média das moléculas. Esta energia cinética média será representada por EC. O quociente

R/NA que aparece no segundo membro, ´e constante, pois,

como j´a sabemos, tanto R quanto NA s˜ao constantes. Este

quociente é muito importante, é representado por kB e é a

famosa constante de Boltzmann: kB= 1, 38× 10−23J/K

Desta maneira, chegamos a seguinte express˜ao:

EC= 3

2kBT

que mostra ser a energia cinética média das moléculas de um gás diretamente proporcional a sua temperatura absoluta, isto é, quanto maior for a energia cinética média das moléculas, maior será a temperatura do gás. Destacamos, então que: a temperatura absoluta, T de um gás está rela- cionada com a energia cinética média de suas moléculas.

Em uma amostra, podemos dizer que a ´unica energia exi-

tente é a energia de cada part´ıcula, sendo N o número de part´ıculas, a energia mecânica total da amostra é E = N EC.

Essa energia mecânica total é por defini¸cão a energia interna Eint.da amostra. Logo, substituindo essa rela¸cão na

express˜ao da energia cin´etica temos: Eint.= N

3 2kBT

ou, como N = nNAe kB= R/NA, temos

Eint.=

2nRT

Pense um Pouco!

• Quando um gás absorve calor e seu volume é mantido fixo, para onde vai a energia ganha? Explique. • Se um gás num pistão isolado se expande e realiza um

trabalho mecˆanico, o que acontece com sua temperatura? Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao

1. (ACAFE) Um recipiente cont´em H2 a 27◦C. Podemos

afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é: a) 2, 2_{× 10−21 J}

c) 6, 2_{× 10−21 J} d) 7, 1_{× 10−21 J} e) n.d.a

2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de h´elio a 17◦_C.

Adimtindo que nessas condi¸cões o hélio se comporta como um gás ideal, a energia mecânica (interna) do sistema é dada por: a) 6, 2× 103_J b) 7, 2× 103_J c) 2, 4× 103_J d) 2, 2_{× 10}3_J e) 1, 5_{× 10}3_J

3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma temperatura de 36◦_{C, podemos afirmar que a energia cin´etica}

média de suas moléculas é de: a) 6, 4× 10−21_J b) 1, 2× 10−21_J c) 2, 5_{× 10}−21_J d) 4, 3_{× 10}−21_J e) 5, 3_{× 10}−21_J

Exerc´ıcios Complementares

4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um g´as ´e correto afirmar que:

a) a velocidade de suas mol´eculas permanece constante b) a velocidade de suas mol´eculas aumenta

c) a velocidade de suas mol´eculas diminui

d) nada podemos afirmar a respeito da velocidade e) a energia cin´etica das mol´eculas diminui

5. (UFCE) Um recipiente A cont´em 5 mol de H2a 32◦C,

e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 `a mesma tem-

peratura. Podemos afirmar que:

a) a energia cinética média das moléculas é a mesma nos dois recipientes

b) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é maior do que as do recipiente B

c) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é menor do que as do recipiente B

d) depende do tamanho dos recipientes

e) não é possivel determinar nada a respeito das energias cinéticas das moléculas

6. (UEM-PR) As mol´eculas de um certo g´as possuem uma

energia cin´etica m´edia de 20, 7_{× 10}−23_{J, podemos afirmar}

que a temperatura em ◦_{C desse g´}_as:

a) ´e 243

b) est´a acima de 243 c) ´e 200

d) ´e zero

e) est´a abaixo de−243

Termodinˆamica Aula 5

Modelo Molecular de um G´as

As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar

estas leis com o comportamento das part´ıculas que cons- tituem o gás, isto é, seus átomos ou suas moléculas. Os cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposi¸cões:

1. um gás é constituido de pequenas part´ıculas, átomos ou moléculas;

2. o número de moléculas existentes em uma dada massa gasosa é muito grande;

3. a distância média entre as moléculas é muito maior do que as dimensões de uma molécula;

4. as moléculas de um gás estão em constante movimento, e este movimento é inteitamente ao acaso, isto é as moléculas se movimentam em qualquer dire¸cão. Ao estabelecerem estas hipóteses, os cientistas estavam ten- tando descrever o comportamento de um gás através do movimento de suas moléculas, isto é, estavam supondo que as leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da

Mecˆanica ao movimento das mol´eculas, tratando-as como

se fossem part´ıculas. Desta maneira, os cientistas estrutu- raram um modelo para descrever o comportamento de um g´as.

Este modelo é denominado modelo cinético em virtude de se basear no movimento das moléculas do gás.

Cálculo Cinético da Pressão (p)

Como vimos, no modelo cinético de um gás, o número de moléculas é muito grande e elas estão em constante movimento. Em conseqüência disto, as moléculas colidem conti- nuamente contra as paredes do recipiente que contém o gás, exercendo uma pressão nessas paredes. Como o número de colisões é muito grande, não se percebe o efeito do choque de cada part´ıcula. O que se observa é o efeito médio da frequente sucessão de colisões, que ocasiona o aparecimento de uma for¸ca cont´ınua, sem flutua¸cões, pressionando as paredes do recipiente. Portanto, a pressão que um gás exerce sobre as paredes do recipiente que o contém é devida as incessantes e cont´ınuas colisões das moléculas do gás contra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecânica as colisões das moléculas contra as paredes do recipiente, os f´ısicos do século passado obtiveram uma expressão ma- temática, relacionando a pressão exercida por um gás com as seguintes grandezas:

N — n´umero de mol´eculas do recipiente V — volume do recipiente

m — massa de cada mol´ecula

v2 _{— m´edia dos quadrados das velocidades das mol´eculas}

A express˜ao a que chegaram foi a seguinte:

p = 1

3(N/V )mv

Analisando esta express˜ao vemos que:

• p ∝ N: este resultado é intuitivo pois, quanto maior for o número total de moléculas, maior será o número de colisões contra as paredes e, portanto, maior será a pressão exercida pelo gás;

• p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior será a distância que uma molécula terá que percor- rer para colidir contra as paredes e, consequentemente, menor será o número de colisões, isto é, menor será a pressão exercida pelo gás;

• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior for a massa de um molécula, maior será a sua quan- tidade de movimento (~q = m~v) e assim, maior será a for¸ca que ela exerce ao colidir contra a parede do recipiente;

• p ∝ v2_{: realmente, quanto maior for v}2_{, mais rapida-}

mente as moléculas estarão se movimentando. É fácil perceber que, nestas condi¸cões, maior será a for¸ca que cada molécula exercerá ao colidir contra a parede e, além disso, maior será o número de colisões.