para o
Vestibular Vocacionado UDESC
.
.
.
.
u
n
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n
i
lle
u
d
e
ww
w
sc
br
m
Aline Felizardo Gol¸calves
Andr´
e Alexandre Silveira
Andr´
e Antˆ
onio Bernardo
C´
esar Manchein
Fl´
abio Esteves Cordeiro
Gisele Maria Leite Dalmˆ
onico
Marcio Rodrigo Loos
Priscila Fischer
Ricardo Fernandes da Silva
Sidinei Schaefer
Professores
Luciano Camargo Martins
Coordenador
Nossa Apostila
A edi¸c˜
ao dessa apostila, concretiza os esfor¸cos feitos
desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo
Curso de Licenciatura Plena em F´ısica da UDESC
mobilizaram-se por for¸ca e vontade pr´
oprias no
pro-jeto, desenvolvimento e apresenta¸c˜
ao de um Curso
Pr´e-Vestibular aberto `
a comunidade, gratuito, que
prepa-rasse melhor os alunos interessados nos cursos
ofere-cidos pelo Centro de Ciˆencias Tecnol´
ogicas (CCT) da
UDESC-Joinville.
Essa primeira tentativa de implantar o Curso
Pr´e-Vestibular n˜
ao chegou a se realizar, por raz˜
oes
pura-mente burocr´
aticas, apesar dos esfor¸cos gastos na
pre-para¸c˜
ao das aulas e do material did´
atico inicial.
Nos anos que se seguiram, a id´eia original foi abra¸cada
por um projeto de extens˜
ao oficial, e s´
o ent˜
ao pode
ser realizada com relativo sucesso, j´a tendo atendido
centenas de alunos at´e agora.
Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC,
espe-ramos que esse material seja minimamente suficiente
para a revis˜
ao dos conte´
udos exigidos nas provas de
ingresso aos seus bancos acadˆemicos.
Extrapolando o objetivo inicial do projeto, moldado
pela nossa vis˜ao local de ensino e extens˜
ao, as vers˜
oes
on line dessa apostila ganharam os quatro cantos do
pa´ıs, e tem auxiliado muitos alunos e escolas como
ma-terial did´
atico inicial, especialmente ´
util para aqueles
alunos de cidades pequenas e locais isolados, que tanto
nos incentivam com suas perguntas e sugest˜oes
diari-amente recebidas e respondidas por correio eletrˆ
onico
ou convencional. A julgar pelas impress˜
oes que
fica-ram desses contatos breves com os internautas, muitos
parecem ainda n˜
ao dispor de acesso aos materiais mais
sofisticados e completos existentes na internet, que n˜
ao
s˜
ao poucos, por´em nem todos s˜
ao de uso livre e
gra-tuito; e outros tantos parecem carecer completamente
de livros pr´
oprios e professores qualificados.
´
E a essas pessoas, os internautas que nos procuram
diariamente, que dedico essa revis˜
ao ampliada e um
pouco melhorada do material precedente, no sentido
de oferecer um material simples e compacto, que
au-xilie especialmente `
aqueles que almejam o ingresso na
universidade, ou mesmo `
aqueles que por outras raz˜
oes
queiram aprender coisas novas ou simplesmente rever
alguns dos conte´
udos do Ensino M´edio brasileiro.
Nessa revis˜
ao atual, foi feito um grande esfor¸co pessoal
no sentido de rever todo o material apresentado,
tex-tos e gr´
aficos, e incluir o t˜
ao solicitado gabarito de
res-postas aos exerc´ıcios existentes no final de cada aula,
inclu´ıdo ao final da apostila, junto com uma tabela
peri´
odica dos elementos qu´ımicos. A apostila
apre-senta
Disciplina
N
ode aulas
F´ısica
59
Qu´ımica
26
Matem´atica
37
L´ıngua Portuguesa
18
Hist´oria de SC
1
totalizando 141 aulas e 894 exerc´ıcios propostos.
Toda a apostila foi diagramada automaticamente
em L
ATEX(www.latex-project.org), os gr´aficos
fo-ram gerados com Xfig (www.xfig.org) e GNUPlot
(www.gnuplot.info), todos softwares livres e rodando
num sistema operacional aberto e livre: o Linux!
Mai-ores informa¸c˜
oes em http://br-linux.org.
Convidamos a todos para que visitem o nosso site, e
eventualmente, nos ajude na divulga¸c˜
ao desse projeto
maior chamado de Mundo F´ısico!
Envie suas sugest˜oes, cr´ıticas ou coment´
arios.
Endere¸co na Internet:
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
Contato por correio eletrˆ
onico:
mundofisico@joinville.udesc.br
Porto Alegre-RS, 11 de novembro de 2009
Professor Luciano Camargo Martins
Sum´
ario
F´
ISICA
3
Mecˆanica – Aula 1: Grandezas F´ısicas . . . .
3
Mecˆanica – Aula 2: Algarismos Significativos . . . .
4
Mecˆanica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . .
7
Mecˆanica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . .
10
Mecˆanica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . .
12
Mecˆanica – Aula 6: Energia . . . .
14
Mecˆanica – Aula 7: Energia Potencial . . . .
17
Mecˆanica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . .
18
Mecˆanica – Aula 9: Dinˆ
amica do Movimento Circular . . . .
20
Mecˆanica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . .
22
Mecˆanica – Aula 11: Impulso e Momento . . . .
23
Mecˆanica – Aula 12: Conserva¸c˜
ao da Quantidade de Movimento . . . .
24
Mecˆanica – Aula 13: Colis˜
oes . . . .
25
Mecˆanica – Aula 14: Lei da A¸c˜
ao e Rea¸c˜
ao . . . .
26
Mecˆanica – Aula 15: For¸ca de Atrito . . . .
28
Gravita¸c˜
ao – Aula 1: As Leis de Kepler . . . .
30
Gravita¸c˜
ao – Aula 2: Gravita¸c˜
ao Universal . . . .
32
Gravita¸c˜
ao – Aula 3: Peso . . . .
33
Gravita¸c˜
ao – Aula 4: Centro de Gravidade
. . . .
35
´
Otica – Aula 1: ´
Otica . . . .
38
´
Otica – Aula 2: Espelhos Esf´ericos . . . .
40
´
Otica – Aula 3: Refra¸c˜
ao da Luz . . . .
43
´
Otica – Aula 4: Lentes Esf´ericas . . . .
45
´
Otica – Aula 5: ´
Otica da Vis˜ao . . . .
48
Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . .
51
i
Fluidos – Aula 2: Hidrost´
atica . . . .
53
Cinem´atica – Aula 1: Cinem´atica . . . .
55
Cinem´atica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . .
57
Cinem´atica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . .
59
Cinem´atica – Aula 4: Queda Livre . . . .
61
Cinem´atica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . .
63
Ondas – Aula 1: Ondas . . . .
65
Ondas – Aula 2: Ondas . . . .
67
Ondas – Aula 3: Ondas e Interferˆencia . . . .
69
Ondas – Aula 4: Som . . . .
72
Ondas – Aula 5: Efeito Doppler . . . .
73
Termodinˆ
amica – Aula 1: Termodinˆ
amica . . . .
76
Termodinˆ
amica – Aula 2: Dilata¸c˜
ao T´ermica . . . .
77
Termodinˆ
amica – Aula 3: Transforma¸c˜
oes Gasosas . . . .
79
Termodinˆ
amica – Aula 4: Lei de Avogrado . . . .
81
Termodinˆ
amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´
as . . . .
82
Termodinˆ
amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´
as . . . .
84
Termodinˆ
amica – Aula 7: Capacidade T´ermica (C) . . . .
86
Termodinˆ
amica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinˆ
amica . . . .
88
Termodinˆ
amica – Aula 9: M´aquinas T´ermicas . . . .
90
Termodinˆ
amica – Aula 10: Mudan¸cas de Fase . . . .
92
Termodinˆ
amica – Aula 11: Sublima¸c˜
ao e Diagrama de Fases . . . .
93
Eletricidade – Aula 1: Carga El´etrica
. . . .
95
Eletricidade – Aula 2: Eletrosc´opio de Folhas . . . .
97
Eletricidade – Aula 3: Campo El´etrico . . . .
98
Eletricidade – Aula 4: Potencial El´etrico . . . 101
Eletricidade – Aula 5: Superf´ıcies Equipotenciais . . . 103
Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equil´ıbrio . . . 105
Eletricidade – Aula 7: Capacidade El´etrica . . . 107
Eletricidade – Aula 8: Associa¸c˜
ao de Capacitores . . . 109
Eletricidade – Aula 9: Corrente El´etrica . . . 111
Eletricidade – Aula 10: Resistˆencia Equivalente . . . 113
Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida . . . 115
QU´
IMICA
123
Qu´ımica – Aula 1: Estrutura Atˆ
omica . . . 123
Qu´ımica – Aula 2: Modelos Atˆ
omicos . . . 124
Qu´ımica – Aula 3: Liga¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 127
Qu´ımica – Aula 4: Liga¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 129
Qu´ımica – Aula 5: A Estrutura da Mat´eria . . . 132
Qu´ımica – Aula 6: Teoria Cin´etica dos Gases . . . 134
Qu´ımica – Aula 7: ´
Acidos e Bases . . . 137
Qu´ımica – Aula 8: Solu¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 140
Qu´ımica – Aula 9: Equil´ıbrio Iˆonico . . . 143
Qu´ımica – Aula 10: Equil´ıbrio Iˆonico da ´
Agua e pH . . . 144
Qu´ımica B – Aula 1: O que ´e Qu´ımica? . . . 146
Qu´ımica B – Aula 2: Mat´eria e Energia . . . 148
Qu´ımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . 150
Qu´ımica B – Aula 4: Propriedades Peri´
odicas . . . 152
Qu´ımica B – Aula 5: Liga¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 154
Qu´ımica B – Aula 6: Liga¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 156
Qu´ımica B – Aula 7: Equa¸c˜
oes e Rea¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 158
Qu´ımica B – Aula 8: Equa¸c˜
oes e Rea¸c˜
oes (II) . . . 160
Qu´ımica B – Aula 9: Solu¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 163
Qu´ımica B – Aula 10: Fun¸c˜
oes Qu´ımicas . . . 165
Qu´ımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas . . . 168
Qu´ımica B – Aula 12: Eletroqu´ımica . . . 171
Qu´ımica Orgˆ
anica – Aula 1: Introdu¸c˜
ao `
a Qu´ımica Orgˆ
anica . . . 174
Qu´ımica Orgˆ
anica – Aula 2: Nomenclatura . . . 177
Qu´ımica Orgˆ
anica – Aula 3: Pol´ımeros . . . 182
Qu´ımica Orgˆ
anica – Aula 4: Isomeria . . . 184
MATEM ´
ATICA
191
Matem´atica A – Aula 1: Rela¸c˜
oes e Fun¸c˜
oes . . . 191
Matem´atica A – Aula 2: Fun¸c˜
oes Polinomiais . . . 195
Matem´atica A – Aula 4: Fun¸c˜
oes Especiais (II) . . . 201
Matem´atica A – Aula 5: Polinˆ
omios . . . 204
Matem´atica A – Aula 6: Equa¸c˜
oes Alg´ebricas . . . 207
Matem´atica A – Aula 7: Geometria Anal´ıtica . . . 209
Matem´atica A – Aula 8: Geometria Anal´ıtica . . . 212
Matem´atica A – Aula 9: Circunferˆencia . . . 215
Matem´atica A – Aula 10: Circunferˆencia - II . . . 216
Matem´atica B – Aula 1: Matrizes . . . 218
Matem´atica B – Aula 2: Opera¸c˜
oes com Matrizes . . . 220
Matem´atica B – Aula 3: Determinantes . . . 222
Matem´atica B – Aula 4: Sistemas Lineares . . . 225
Matem´atica B – Aula 5: Discuss˜ao de um Sistema Linear . . . 227
Matem´atica B – Aula 6: Progress˜
ao Aritm´etica . . . 228
Matem´atica B – Aula 7: Progress˜
ao Geom´etrica (PG) . . . 230
Matem´atica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . 232
Matem´atica C – Aula 2: Conjuntos Num´ericos . . . 236
Matem´atica C – Aula 3: N´
umeros complexos (C) . . . 238
Matem´atica C – Aula 4: Raz˜
oes e Propor¸c˜
oes . . . 241
Matem´atica C – Aula 5: Regras de Trˆes Simples e Composta . . . 242
Matem´atica C – Aula 6: Juros e Porcentagens . . . 244
Matem´atica C – Aula 7: An´alise Combinat´
oria . . . 247
Matem´atica C – Aula 8: An´alise Combinat´
oria . . . 249
Matem´atica C – Aula 9: Binˆ
omio de Newton . . . 251
Matem´atica C – Aula 10: Probabilidade . . . 253
Matem´atica C – Aula 11: Inequa¸c˜
oes . . . 255
Matem´atica C – Aula 12: Equa¸c˜
oes Trigonom´etricas . . . 259
Matem´atica C – Aula 13: Introdu¸c˜
ao `
a Geometria . . . 261
Matem´atica C – Aula 14: Triˆ
angulos . . . 265
Matem´atica C – Aula 15: Quadril´ateros . . . 268
Matem´atica C – Aula 16: Circunferˆencia . . . 270
Matem´atica C – Aula 17: Pol´ıgonos e Figuras Planas . . . 272
Matem´atica C – Aula 18: Retas e Planos . . . 274
Matem´atica C – Aula 19: Poliedros . . . 276
L´
INGUA PORTUGUESA
285
L´ıngua Portuguesa – 01: Variantes Lingu´ısticas . . . 285
L´ıngua Portuguesa – 02: Acentua¸c˜
ao Gr´
afica . . . 286
L´ıngua Portuguesa – 03: Concordˆancia Nominal . . . 288
L´ıngua Portuguesa – 04: Concordˆancia Verbal . . . 289
L´ıngua Portuguesa – 05: Coloca¸c˜
ao Pronominal . . . 291
L´ıngua Portuguesa – 06: Crase . . . 292
L´ıngua Portuguesa – 07: Interpreta¸c˜
ao de Textos . . . 294
L´ıngua Portuguesa – 08: Sinˆ
onimos, Antˆ
onimos e etc. . . 295
L´ıngua Portuguesa – 09: Classes de Palavras . . . 297
L´ıngua Portuguesa – 10: Verbo . . . 298
L´ıngua Portuguesa – 11: Adv´erbio . . . 300
L´ıngua Portuguesa – 12: Interpreta¸c˜
ao de Texto . . . 302
L´ıngua Portuguesa – 13: Textos e Linguagens . . . 303
Literatura – Aula 14: Nur na Escurid˜
ao . . . 304
Literatura – Aula 15: A colina dos suspiros . . . 305
Literatura – Aula 16: No Tempo das Tangerinas . . . 306
Literatura – Aula 17: O menino no espelho . . . 307
Literatura – Aula 18: Sucupira, ame-a ou deixe-a . . . 308
HIST ´
ORIA
313
Hist´oria – Aula 1: Hist´oria de Santa Catarina . . . 313
Tabela Peri´
odica
317
Gabarito de respostas aos exerc´ıcios...
319
F´ısica
Mecˆ
anica Aula 1
Grandezas F´ısicas
Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜
ao
es-tabelecidos padr˜oes e definidas unidades para que
te-nhamos um n´
umero m´ınimo de grandezas denominadas
fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais
definem-se unidades para todas as demais grandezas,
as chamadas grandezas derivadas.
A partir de uma das grandezas fundamentais, o
com-primento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m),
pode-se definir as unidades derivadas, como ´
area (m
2)
e volume (m
3). Utilizando o metro e outra grandeza
fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de
velocidade (m/s) e acelera¸c˜
ao (m/s
2).
Sistema Internacional(SI)
At´e o final do s´eculo XV III era muito grande a
quantidade de padr˜oes existentes. Cada regi˜
ao
esco-lhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos
hist´
oricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam at´e hoje
os seus padr˜oes regionais. O elevado aumento nos
in-tercˆ
ambios econˆ
omicos e culturais levou ao surgimento
do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema
m´etrico.
Grandeza
Unidade
S´ımbolo
comprimento
metro
m
massa
quilograma
kg
tempo
segundo
s
corrente el´etrica
amp`ere
A
temperatura
kelvin
K
quantidade de mat´eria
mol
mol
intensidade luminosa
candela
cd
Tabela de unidades fundamentais do SI.
Em 1971, a 14
aConferˆencia Geral de Pesos e Medidas
escolheu sete grandezas como fundamentais, formando
assim a base do SI. Al´em das grandezas, definiu-se
tamb´em os s´ımbolos, unidades derivadas e prefixos. A
tabela acima mostra as unidades fundamentais do SI e
a tabela abaixo apresenta algumas unidades derivadas
do SI.
Grandeza Unidade S´ımbolo
´
area metro
qua-drado
m2
volume metro c´ubico m3
densidade quilograma
por metro
c´ubico
kg/m3
velocidade metro por
se-gundo
m/s
acelera¸c˜ao metro por
segundo ao quadrado m/s2 for¸ca newton N = Kg m/s2 press˜ao pascal P a = N/m2
trabalho, energia, calor joule J
potˆencia watt W = J/s
carga el´etrica coulomb C = As
diferen¸ca de potencial volt V = J/C
resistˆencia el´etrica ohm Ω = V /A
Tabela de algumas unidades derivadas do SI.
Prefixo S´ımbolo Potˆencia de dez
pico p 10−12 nano n 10−9 micro µ 10−6 mili m 10−3 centi c 10−2 deci d 10−1 deca D 101 hecto H 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012
Prefixos, s´ımbolos e potˆencias de dez.
Nota¸c˜
ao Cient´ıfica
A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar
em um n´umero que seja extremamente grande ou
extrema-mente pequeno, por exemplos temos:
• distˆancia da Terra `a Lua: 384.000.000 m.
• diˆametro de um ´atomo de hidrogˆenio:
0, 000 000 000 1 m.
Para manipular tais n´umeros, utilizamos a nota¸c˜ao ci-ent´ıfica, fazendo uso das potˆencias de 10.
O m´odulo de qualquer n´umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma potˆencia de dez:
g = a× 10n,
onde devemos ter 1≤ a < 10.
Exemplos
• 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103
• 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4
• 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10−3
Regra Pr´
atica
• N´umeros maiores que 1: deslocamos a v´ırgula para
a esquerda, at´e atingir o primeiro algarismo do n´umero. O n´umero de casas deslocadas para a esquerda corres-ponde ao expoente positivo da potˆencia de 10.
• N´umeros menores do que 1: deslocamos a v´ırgula
para a direita, at´e o primeiro algarismo diferente de
zero. O n´umero de casas deslocadas para a direita
corresponde ao expoente negativo da potˆencia de 10.
Pense um Pouco!
• Quais s˜ao as unidades de Peso e de massa? por que elas n˜ao s˜ao iguais?
• Um analg´esico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada
n˜ao pode exceder 200 mg. Cada gota cont´em 5 mg
do rem´edio. Quantas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg?
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜
ao
1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens˜oes e as unidades, no sistema internacional,
Grandeza Dimens˜ao Unidades SI
Comprimento L m (metro)
Massa M kg (quilograma)
Tempo T s (segundo)
das grandezas mecˆanicas prim´arias:
a) Sabendo que for¸ca = massa · acelera¸c˜ao, expresse a uni-dade de for¸ca em uniuni-dades de grandezas prim´arias.
b) Determine os valores de n e p, se a express˜ao M LnTn−p corresponde `a dimens˜ao de energia cin´etica.
2. (FGV-SP) A dimens˜ao de potˆencia em fun¸c˜ao das gran-dezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ´e: a) M L2T−2 b) M L2T−1 c) M L2T2 d) M L2T−3 e) M LT−2
3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segundos, ´e de:
a) 3, 0× 102 b) 3, 0× 103 c) 3, 6× 103 d) 6, 0× 103 e) 7, 2× 103
Exerc´ıcios Complementares
4. (UFPI) A nossa gal´axia, a Via L´actea, cont´em cerca de 400 bilh˜oes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estre-las possuam um sistema planet´ario onde exista um planeta semelhante `a Terra. O n´umero de planetas semelhantes `a Terra, na Via L´actea, ´e:
a) 2× 104
b) 2× 106
c) 2× 108
d) 2× 1011
e) 2× 1012
5. Transforme em quilˆometros: a) 3600 m b) 2.160.000 cm c) 0, 03 m d) 5.780 dm e) 27.600 m f) 5.800 mm
6. (Unifor-CE) Um livro de F´ısica tem 800 p´aginas e 4, 0 cm de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em mil´ımetros: a) 0, 025 b) 0, 050 c) 0, 10 d) 0, 15 e) 0, 20
7. Escreva os seguintes n´umeros em nota¸c˜ao cient´ıfica: a) 570.000 b) 12.500 c) 50.000.000 d) 0, 0000012 e) 0, 032 f) 0, 72 g) 82× 103 h) 640× 105 i) 9.150× 10−3 j) 200× 10−5 k) 0, 05× 103 l) 0, 0025× 10−4
Mecˆ
anica Aula 2
Algarismos Significativos
A precis˜ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medi¸c˜ao. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ao deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.
Denominamos algarismos significativos todos os algarismos conhecidos com certeza, acompanhados de um ´ultimo
duvi-doso, que expressam o valor da medida de uma grandeza,
ou seja: todos os algarismos que representam a medida de uma grandeza s˜ao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com exce¸c˜ao do ´ultimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso.
O algarismo duvidoso de uma medida ser´a sublinhado para destac´a-lo, quando for preciso.
1. A medida 2, 35 cm apresenta trˆes algarismos significa-tivos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um algarismo duvidoso (5).
2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois alga-rismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e
um duvidoso (7). Observe que os zeros `a esquerda
n˜ao s˜ao algarismos significativos, pois servem apenas para posicionar a v´ırgula no n´umero. Nesse caso, ´e aconselh´avel escrever a medida em nota¸c˜ao cient´ıfica: 5, 7× 10−4mm.
3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi-ficativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ´ultimo zero ´e o algarismo duvidoso. Em nota¸c˜ao cient´ıfica es-crevemos: 1, 5000× 102km. Note que ao escrevermos
um n´umero usando as potˆencias de 10 mantemos a
quantidade de algarismos significativos deste n´umero, ou seja, mantemos sua precis˜ao.
4. Considere a medida do comprimento de uma haste com r´egua com divis˜oes em cent´ımetros:
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
Qual das op¸c˜oes abaixo melhor representa o compri-mento da haste? a) 5, 0 cm b) 5, 40 cm c) 5 cm d) 5, 5 cm e) 5, 2 cm 5. Considere a figura: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7
A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com uma r´egua milimetrada:
a) 5, 2 cm b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm
6. Indique o n´umero de algarismos significativos de cada n´umero abaixo:
a) 7, 4 2 significativos
b) 0, 0007 1 significativo
c) 0, 034 2 significativos
d) 7, 40× 10−10 3 significativos
Crit´
erios de Arredondamento
Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . .× 108m/s.
Como devemos proceder para escrever “c” com um n´umero
menor de algarismos significativos? Devemos utilizar os crit´erios de arredondamento. Podemos escrever: c = 2, 998× 108m/s 4 significativos c = 3, 00× 108m/s 3 significativos c = 3, 0× 108m/s 2 significativos
REGRAS
• Se o algarismo a ser eliminado ´e menor que 5, ele ´e simplesmente eliminado.
Exemplo: √2 = 1, 41421 . . . = 1, 414
• Se o algarismo a ser eliminado ´e igual ou maior que 5, ele ´e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo anterior.
Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416
Opera¸c˜
oes com Algarismos Significativos
Adi¸
c˜
ao e Subtra¸
c˜
ao
O resultado da adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao de dois n´umeros n˜ao pode ter maior n´umero de casas decimais, do que a parcela mais pobre (em casas decimais). Procede-se a opera¸c˜ao normal-mente e arredonda-se o resultado.
Exemplos
• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m • 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m
Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a seguir procedermos o arredondamento.
Multiplica¸
c˜
ao e Divis˜
ao
O resultado de uma multiplica¸c˜ao e divis˜ao n˜ao pode ter
maior n´umero de algarismos significativos do que o
fa-tor mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a opera¸c˜ao normalmente e arredonda-se o resultado.
Exemplos
• 4, 23 m × 2, 0 m = 8, 46 m2= 8, 5 m2
• 4, 98 cm ÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s
Rela¸c˜
oes entre Grandezas F´ısicas
Muitos fenˆomenos f´ısicos podem ser reduzidos ao estudo da rela¸c˜ao entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados obtidos das medi¸c˜oes podem ser expressos por uma repre-senta¸c˜ao gr´afica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendiculares entre si.
Atrav´es da representa¸c˜ao gr´afica da rela¸c˜ao entre duas gran-dezas pertencentes a um determinado fenˆomeno f´ısico, po-demos obter algumas conclus˜oes sobre o comportamento de uma das grandezas (vari´avel dependente) em rela¸c˜ao a outra (vari´avel independente).
Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento `as 8 horas e uma outra dose `as 12 horas da manh˜a. A temperatura da pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos s˜ao mostrados abaixo.
Tempo (h) Temperatura (◦C) 0 39,0 1 39,0 2 38,5 3 38,0 4 38,5 5 37,5 6 37,0 7 36,5 8 36,5 9 36,5
Podemos representar os dados da tabela acima em um gr´afico. A representa¸c˜ao gr´afica das vari´aveis temperatura (vari´avel dependente: eixo vertical) e tempo (vari´avel inde-pendente: eixo horizontal) est´a mostrada na Figura 1.
35.0
36.0
37.0
38.0
39.0
40.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
T(
oC)
t(h)
medidas
ajuste
Figura 1: Um gr´
afico da temperatura em fun¸c˜
ao do
tempo
O gr´afico cartesiano mostrado anteriormente, al´em de faci-litar a visualiza¸c˜ao do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observa¸c˜ao, permite tamb´em, algumas conclus˜oes.
Como Construir um Gr´
afico
Para que gr´aficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara ´e necess´ario respeitar algumas regras simples:
• O eixo vertical ´e chamado de eixo das abscissas e o horizontal de eixo das coordenadas;
• a vari´avel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a vari´avel independente no eixo horizontal;
• os eixos devem se encontrar no canto inferior es-querdo do papel, ou espa¸co (retˆangulo) reservado para o gr´afico;
• as escalas s˜ao independentes e devem ser constru´ıdas independentemente;
• as divis˜oes num´ericas das escalas (lineares) devem ser regulares;
• o valor zero (0) n˜ao precisa estar em nenhuma das es-calas;
• as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de baixo para cima;
• antes de iniciar a constru¸c˜ao de um gr´afico dese ve-rificar a escala a ser usada levando em considera¸c˜ao os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assumido por ambas as vari´aveis do gr´afico. Divide-se ent˜ao o espa¸co dispon´ıvel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais;
• o teste final para saber se as escalas est˜ao boas ´e feito verificando-se se ´e f´acil de ler as coordenadas de qual-quer ponto nas escalas.
Pense um Pouco!
• A fun¸c˜ao da posi¸c˜ao x em rela¸c˜ao ao tempo t de um ponto material em movimento retil´ıneo, expressa em unidades do SI, ´e
x = 10 + 5, 0t Determine:
a) a posi¸c˜ao do ponto material no instante 5, 0 s; b) o instante em que a posi¸c˜ao do ponto material ´e x = 50 m;
c) esboce o gr´afico x× t do movimento.
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜
ao
1. Determine o comprimento de cada haste:
a) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 b) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 c) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 d) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 e) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 f) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7
2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divis˜ao, o mil´ımetro. Essa trena ´e utilizada para se medir a distˆancia entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ao houve erro grosseiro, o resultado de uma s´o medi¸c˜ao, com o n´umero correto de algarismos significativos, ´e mais bem representado por:
b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m
Exerc´ıcios Complementares
3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. N˜ao dispondo de r´egua, decide utilizar um toco de l´apis como padr˜ao de comprimento. Ve-rifica ent˜ao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de l´apis. Chegando ao col´egio, mede com uma r´egua o comprimento do seu toco de l´apis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa ser´a corretamente expresso por: a) 120, 15 cm
b) 120, 2 cm c) 1× 102cm
d) 1, 2× 102cm
e) 102cm
4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, ap´os realizar a me-dida necess´aria, que o volume de um dado ´e 2, 36 cm3.
Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume total de cinco dados, idˆenticos ao primeiro, ser´a correta-mente expresso por:
a) 6, 8 cm3
b) 7 cm3
c) 13, 8 cm3
d) 16, 80 cm3
e) 17, 00 cm3
5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 fo-lhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a me-dida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m´edia de uma folha ´e:
a) 10−1mm
b) 10−2mm
c) 10−3mm
d) 10−4mm
e) 10−5mm
Mecˆ
anica Aula 3
Grandezas Escalares e Vetoriais
Na F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.
Grandezas Escalares
A grandeza escalar ´e aquela que fica perfeitamente ca-racterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exemplo 36oC), o volume (5 m3, por exemplo), a
den-sidade (para a ´agua, 1000 kg/m3), a press˜ao (105N/m2), a
energia (por exemplo 100 J) e muitas outras.
Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸c˜oes alg´ebricas comuns, arredondando-se quando ne-cess´ario.
Grandezas Vetoriais
Dada a velocidade instantˆanea de um m´ovel qualquer (por
exemplo, um avi˜ao a 380 km/h), constatamos que apenas
essa indica¸c˜ao ´e insuficiente para dizermos a dire¸c˜ao em que o m´ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza vetorial.
Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracte-rizada, ´e necess´ario saber n˜ao apenas a sua intensidade ou m´odulo mas tamb´em a sua dire¸c˜ao e o seu sentido. Ge-ralmente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v) e o m´odulo ou intensidade, por|~v| ou simplesmente por v.
A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada
grafica-mente por um segmento de reta (indicando a dire¸c˜ao da
grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (in-dica¸c˜ao de seu m´odulo ou intensidade). Tal representa¸c˜ao ´e denominada vetor.
No exemplo anterior do avi˜ao, poder´ıamos dizer, por exem-plo, que ele se movimenta num certo instante com veloci-dade ~v, de m´odulo v = 380 km/h, na dire¸c˜ao norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial ins-tantˆanea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1.
N
S
O L
380 km/h
Figura 1: Exemplo de representa¸c˜
ao vetorial
Como afirmamos anteriormente, para representar grande-zas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´odulo, a dire¸c˜ao e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸c˜ao utili-zando um vetor (veja a figura 2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho -intensidade - ´e proporcional `a -intensidade da grandeza que representa.Para melhor entendermos o significado e a representa¸c˜ao de um vetor, observe a figura 3.
S
Figura 2: A reta s, que cont´em o vetor, indica a
a b d c e g r w z v q f
Figura 3: Representa¸c˜
ao de alguns vetores
Na figura de cima os vetores representados possuem mesma
dire¸c˜ao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam
a mesma dire¸c˜ao e sentidos opostos. Portanto, podemos
notar que vetores de mesma dire¸c˜ao s˜ao paralelos, o que n˜ao garante que tenham o mesmo sentido.
Soma de Vetores Paralelos
Quando os vetores tem a mesma dire¸c˜ao, podemos
deter-minar o m´odulo do vetor soma estabelecendo convencional-mente um sentido como positivo e somando algebricaconvencional-mente os seus m´odulos. Observe:
d a b − c c b a
Figura 4: De acordo com a conven¸c˜
ao adotada, o
m´
odulodo vetor ser´
a d = a + b
− c.
Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma dire¸c˜ao (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores ~a e ~b s˜ao positivos e o vetor ~c ´e negativo. O m´odulo do vetor soma, ~d, ´e dado por
d = a + b− c
Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seu sentido ´e positivo, ou seja, o vetor ´e horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido ´e negativo, isto ´e, o vetor ´e horizontal para a esquerda.
Vetores Perpendiculares
Imaginaremos agora, que um m´ovel parte de um ponto A e sofre um deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo um
ponto B e, em seguida, um deslocamento ~d2 no sentido
norte, atingindo um ponto C (veja a figura 5)
Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A para
B, e o ~d2, de B para C, equivalem a um ´unico deslocamento,
d1 d d2 S O L N B A C
Figura 5: O deslocamento ~
d equivale aos deslocamentos
~
d
1e ~
d
2. Portanto ~
d = ~
d
1+ ~
d
2.
~
d, de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d ´e a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,
~
d = ~d1+ ~d2
Este resultado ´e v´alido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 6.
a c
b b
Figura 6: O vetor ~c ´e a resultante ou soma vetorial de
~a e ~b.
Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. ´
E crucial notar que a coloca¸c˜ao do vetor ~b na origem ou na extremidade do vetor ~a n˜ao altera o vetor soma ~c. Deve-se obDeve-servar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triˆangulo retˆangulo, em que ~c ´e a hipotenusa ~a e ~b s˜ao catetos. Para obtermos o m´odulo do vetor resultante, basta aplicar o te-orema de Pit´agoras:
c2= a2+ b2
Soma de Vetores
A soma de vetores perpendiculares entre si ou de dire¸c˜oes quaisquer n˜ao apresenta muita diferen¸ca. Para um m´ovel, partir de A e atingir B num deslocamento ~d1e, em seguida,
atingir C num deslocamento ~d2 equivale a partir de A e
atingir C num deslocamento ~d (veja figura 7). Desta forma, ~
d = ~d1+ ~d2
Na determina¸c˜ao do m´odulo do vetor ~d resultante, n˜ao po-demos aplicar o teorema de Pit´agoras, tendo em vista que o ˆangulo entre ~d1e ~d2 n˜ao ´e reto (90o). Assim, aplicamos a
regra do paralelogramo, como mostra a figura 8.
Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,
d d2 d1 A C B
Figura 7: O deslocamento ~
d equivale aos deslocamentos
~
d
1e ~
d
2.
a b b c c a α α α αFigura 8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜
ao
os vetores ~a e ~b, ´e o vetor resultante ~c. Podemos
deslo-car o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo
a figura anterior.
se ~a e ~b formam entre si um ˆangulo α, o m´odulo do vetor resultante ~c ser´a dado pela express˜ao:
c2= a2+ b2+ 2ab· cos α
Decomposi¸
c˜
ao de Vetores
Ao somarmos dois vetores, podemos obter um ´unico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obt´em-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal
que ~ax+ ~ay= ~a (veja a figura 9).
a ax ay α x y
Figura 9: O vetor ~a pode ser decomposto em um
com-ponente horizontal, ~a
x, e outro vertical, ~a
y.
O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor
~axde tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~axe
~ay formem um triˆangulo retˆangulo (figura 10). Aplicando a
a
ay ay
ax α
Figura 10: O vetor ~a e seus componentes ~a
xe ~a
yfor-mam um triˆ
angulo retˆ
angulo, onde ~a ´e a hipotenusa e
~a
xe ~a
ys˜
ao os catetos.
trigonometria ao triˆangulo retˆangulo, podemos determinar o m´odulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical)
de ~a em fun¸c˜ao do ˆangulo α. Desta forma, no triˆangulo hachurado da figura 10, temos
cos α = cateto adjacente
hipotenusa ⇒ cos α =
ax
a ax= a· cos α
onde ax ´e o m´odulo da componente horizontal ~ax do vetor
~a. Temos ainda
sin α = cateto oposto
hipotenusa ⇒ sin α =
~ay
a ay= a· sin α
onde ay ´e o m´odulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.
Podemos relacionar o m´odulo do vetor e o m´odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´agoras no triˆangulo formado por ~a e seus componentes ~axe ~ay:
a2= a2x+ a2y
Pense um Pouco!
• Qual a condi¸c˜ao para que a soma de dois vetores seja nula?
• O m´odulo da soma de dois vetores pode ser igual `a soma de seus m´odulos? Quando?
• O m´odulo de um vetor pode ser negativo? Por quˆe?
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜
ao
1. Um m´ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em seguida, 50 m no sentido norte-sul.
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o m´odulo do deslocamento resultante.
2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m´odulo da
F1 F2
120o
3. Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400 m/s
fa-zendo um ˆangulo de 45◦ com a horizontal. Determine os
componentes vertical e horizontal da velocidade do proj´etil.
Exerc´ıcios Complementares
4. Na figura abaixo est˜ao representadas duas for¸cas: ~F1, de
m´odulo F1= 5, 0 N e ~F2, de m´odulo F2= 3, 0 N , formando
entre si um ˆangulo α = 60◦. Determine a for¸ca resultante
~
FR para o sistema de for¸cas mostrado.
F2 F1
α = 60o
5. Um vetor velocidade ´e decomposto em dois outros, per-pendiculares entre si. Sabendo que o m´odulo do vetor ´e 10, 0 m/s e que um dos componentes tem m´odulo igual a 8, 0 m/s, determine o m´odulo do vetor correspondente ao outro componente.
6. Um proj´etil ´e lan¸cado do solo segundo uma dire¸c˜ao que forma 53ocom a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o m´odulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e vertical, ~vy, dessa velocidade. Dados:
sin(53◦) = 0, 80 e cos(53◦) = 0, 60
v
α = 53
o7. Um avi˜ao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste.
a) Fa¸ca um esquema gr´afico representando a velocidade do avi˜ao e do vento.
b) Determine o m´odulo da velocidade resultante. Dado: cos(45◦) = 0, 71.
Mecˆ
anica Aula 4
A Primeira Lei de Newton
O Conceito de For¸ca
Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empur-rar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar est´a quase sem-pre associada a id´eia de contato, o que exclui uma carac-ter´ıstica fundamental da no¸c˜ao de for¸ca: a a¸c˜ao `a distˆancia.
A atra¸c˜ao gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ´e exercida a milh˜oes de quilˆometros de distˆancia.
A palavra for¸ca n˜ao possui uma defini¸c˜ao ´unica, expressa em palavras. A F´ısica moderna admite a existˆencia de quatro tipos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸c˜oes: gravitacional, eletromagn´etica, e as for¸cas
nucleares forte e fraca.
Em rela¸c˜ao ao estudo dos movimentos e de suas causas,
pode-se dizer que for¸ca ´e a a¸c˜ao capaz de modificar a velo-cidade de um corpo.
Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca ´e uma grandeza vetorial, ou seja, possui m´odulo dire¸c˜ao e sentido. Podemos resumir, ent˜ao a defini¸c˜ao de for¸ca da seguinte forma:
For¸ca ´e uma grandeza vetorial que
carac-teriza a a¸c˜ao de um corpo sobre outro e
que tem como efeito a deforma¸c˜ao ou a
al-tera¸c˜ao da velocidade do corpo sobre o qual ela est´a sendo aplicada.
A Primeira Lei de Newton
Figura 1: Isaac Newton (1642-1727).
Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer for¸ca?” Essa pergunta pode
ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre o corpo em repouso: se
ne-nhuma for¸ca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistˆencia de
for¸cas sobre o corpo em movimento: se nenhuma for¸ca atua
sobre o corpo em movimento, ele continua em movimento.
Mas que tipo de movimento? J´a que n˜ao existem for¸cas
atuando sobre o corpo, sua velocidade n˜ao varia de m´odulo ou dire¸c˜ao. Desta forma, o ´unico movimento poss´ıvel do corpo na ausˆencia de qualquer for¸ca atuando sobre ele ´e o
movimento retil´ıneo uniforme.
A Primeira Lei de Newton re´une as duas respostas anterio-res em um ´unico enunciado:
Todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo e
uni-forme, a menos que for¸cas externas
provo-quem varia¸c˜ao na sua velocidade.
De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar que na ausˆencia de for¸cas, todo corpo tende a ficar como est´a: parado se estiver parado, em movimento retil´ıneo uni-forme, se estiver em movimento (retil´ıneo uniforme). Por este motivo essa lei tamb´em ´e chamada de Princ´ıpio da
In´ercia.
Figura 2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua
seu movimento pra frente...
O que ´
e In´
ercia?
Todos os corpos apresentam a tendˆencia de se manter em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme. Essa proprie-dade dos corpos ´e chamada in´ercia. A palavra in´ercia ´e de-rivada do latim inertia, que significa indolˆencia ou pregui¸ca. Os corpos tˆem uma esp´ecie de resistˆencia `as modifica¸c˜oes de sua velocidade.
Equil´ıbrio de uma Part´ıcula
Dizemos que uma part´ıcula se encontra em equil´ıbrio, quando a resultante das for¸cas atuando sobre ela for nula. Se a resultante ´e nula, n˜ao ocorre altera¸c˜ao na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´ıbrio de est´atico; se ele estiver em movimento retil´ıneo e uniforme, o equil´ıbrio ser´a chamado de dinˆamico.
Pense um Pouco!
• Qual a rela¸c˜ao entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de seguran¸ca? e o encosto para a cabe¸ca no banco do carro?
• Por que quando um ˆonibus freia repentinamente, os passageiros s˜ao “arremessados” para a frente? e o que ocorre quando o ˆonibus ´e acelerado?
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜
ao
1. (UFMG) Um corpo de massa m est´a sujeito `a a¸c˜ao de uma for¸ca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em sen-tido contr´ario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com velocidade constante ´e porque:
a) a for¸ca ~F ´e maior do que a da gravidade. b) a for¸ca resultante sobre o corpo ´e nula. c) a for¸ca ~F ´e menor do que a gravidade.
d) a diferen¸ca entre os m´odulos das for¸cas ´e diferente de zero.
e) a afirma¸c˜ao da quest˜ao est´a errada, pois qualquer que seja ~F o corpo estar´a acelerado porque sempre existe a ace-lera¸c˜ao da gravidade.
2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enunciado da Lei da In´ercia, tamb´em conhecida como pri-meira Lei de Newton.
a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma ´
orbita el´ıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.
b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma for¸ca proporci-onal ao produto de suas massas e inversamente proporciproporci-onal ao quadrado da distˆancia entre eles.
c) Quando um corpo exerce uma for¸ca sobre outro, este re-age sobre o primeiro com uma for¸ca de mesma intensidade e dire¸c˜ao, mas de sentido contr´ario.
d) A acelera¸c˜ao que um corpo adquire ´e diretamente propor-cional `a resultante das for¸cas que nele atuam, e tem mesma dire¸c˜ao e sentido dessa resultante.
e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo for¸cas com resultante n˜ao nula.
3. (UNESP-SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto de seguran¸ca deve ser obrigat´orio para prevenir les˜oes mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a fun¸c˜ao do cinto est´a relacionada com a: a) primeira Lei de Newton.
b) lei de Snell. c) lei de Amp`ere. d) lei de Ohm.
e) primeira Lei de Kepler.
Exerc´ıcios Complementares
4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda. Pela Lei da In´ercia, conclui-se que:
a) a pedra se mant´em em movimento circular.
b) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸c˜ao perpendicu-lar `a corda no instante do corte.
c) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸c˜ao da corda no instante do corte.
d) a pedra p´ara.
e) a pedra n˜ao tem massa.
5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme
re-til´ıneo, s´o pode estar sob a a¸c˜ao de uma:
a) for¸ca resultante n˜ao-nula na dire¸c˜ao do movimento. b) ´unica for¸ca horizontal.
c) for¸ca resultante nula. d) for¸ca nula de atrito.
e) for¸ca vertical que equilibre o peso.
6. (Fiube-MG) Uma part´ıcula se desloca ao longo de uma reta com acelera¸c˜ao nula. Nessas condi¸c˜oes, podemos afir-mar corretamente que sua velocidade escalar ´e:
a) nula.
b) constante e diferente de zero. c) inversamente proporcional ao tempo. d) diretamente proporcional ao tempo.
e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.
Mecˆ
anica Aula 5
A Segunda Lei de Newton
´
E muito comum encontrarmos a defini¸c˜ao de massa de um
corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo repre-senta a quantidade de mat´eria que ele possui”. Em cursos elementares de ciˆencias, esta defini¸c˜ao pode ser aceita como uma id´eia inicial da no¸c˜ao de massa, embora n˜ao possa ser considerada uma defini¸c˜ao precisa dessa grandeza. De fato, a defini¸c˜ao apresentada n˜ao ´e adequada, pois pretende de-finir um novo conceito – massa – por meio de uma id´eia vaga, que n˜ao tem significado f´ısico preciso – quantidade de mat´eria.
Experimentalmente os f´ısicos constataram que entre a for¸ca F aplicada a um corpo e a acelera¸c˜ao a, que ele adquire, existe uma propor¸c˜ao direta. Desta forma, o quociente F/a ´e constante para um certo objeto. Este quociente, que ´e intr´ınseco a cada corpo, foi denominado pelos f´ısicos de massa do corpo. Desta forma, podemos afirmar:
A massa m de um corpo ´e o quociente entre
o m´odulo da for¸ca que atua num corpo e o
valor da acelera¸c˜ao a que ela produz neste
corpo. Assim,
m = F
a
No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa ´e o quilograma:
1 quilograma = 1 kg = 1000 g
Massa e In´
ercia
Suponhamos que uma for¸ca F foi aplicada a trˆes corpos de massa diferentes, como trˆes blocos de ferro, com volumes diversos. Imaginaremos que a superf´ıcie na qual estes blocos
est˜ao apoiados n˜ao apresenta atrito. Analisando a equa¸c˜ao m = F/a, percebemos facilmente que:
- Quanto maior m→ menor a
- Quanto maior m→ maior a dificuldade de alterar a velo-cidade do corpo.
Podemos concluir que
Quanto maior ´e a massa de um corpo,
maior ser´a sua in´ercia (dificuldade de ter
sua velocidade alterada), isto ´e, a massa
re-presenta a medida de in´ercia de um corpo.
As conclus˜oes anteriormente, explicam porque um caminh˜ao vazio (quando sujeito a uma for¸ca F) adquire uma ace-lera¸c˜ao maior do que quando esta cheio, por exemplo.
A Segunda Lei de Newton
De acordo com o princ´ıpio da in´ercia, um corpo s´o pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo com ve-locidade constante se sobre ele atuar uma for¸ca resultante externa. Neste momento, poder´ıamos perguntar: “O que acontece se existir uma for¸ca resultante externa agindo no corpo?” Nesta situa¸c˜ao, o corpo fica sujeito a uma ace-lera¸c˜ao, ou seja, um corpo sujeito a uma for¸ca resultante
externa movimenta-se com velocidade vari´avel.
0 1 00 11
F
00000000000000
11111111111111
´E f´acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por exemplo, desde o repouso at´e 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da for¸ca que teremos de aplicar depender´a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, ´e evidente que a for¸ca necess´aria ser´a muito menor do que se tratasse de um caminh˜ao. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´a ser a intensidade da for¸ca necess´aria para que ele alcance uma determinada acelera¸c˜ao.
Foi Isaac Newton quem obteve essa rela¸c˜ao entre massa
e for¸ca, que constitui a segunda lei de Newton ou
princ´ıpio fundamental da dinˆamica. Temos, ent˜ao que
A acelera¸c˜ao de um corpo submetido a
uma for¸ca resultante externa ´e
inversa-mente proporcional `a sua massa, e
direta-mente proporcional a intensidade da for¸ca.
Assim, para uma dada for¸ca resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor ser´a a acelera¸c˜ao a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ´e dada por:
~ F = m~a
Esta equa¸c˜ao vetorial imp˜oe que a for¸ca resultante e a ace-lera¸c˜ao tenham a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido. No SI a unidade de for¸ca ´e o newton ou (N ):
1 N = 1 kg· m/s2
Por defini¸c˜ao, o newton ´e a for¸ca que produz uma acelera¸c˜ao
de 1 m/s2quando aplicada em uma massa de 1 kg.
Diagrama de Corpo Livre
Antes de resolver qualquer problema de dinˆamica, ´e de fun-damental importˆancia a identifica¸c˜ao de todas as for¸cas rele-vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualiza¸c˜ao destas for¸cas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um
diagrama de corpo livre ou diagrama de for¸cas para
cada corpo, que ´e um esquema simplificado envolvendo to-das as massas e for¸cas do problema.
Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano inclinado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco:
m
N
F
atP
θFigura 1: Diagrama de corpo livre para um bloco
es-corregando num plano inclinado.
ObserveNesse exemplo, o bloco ´e tratado como uma part´ıcula, por simplifica¸c˜ao, n˜ao sendo relevante suas dimens˜oes ou o ponto de aplica¸c˜ao das for¸cas, colocadas todas no seu centro geom´etrico, por conveniˆencia. Desprezou-se a for¸ca de em-puxo do ar, a for¸ca de resistˆencia viscosa ao movimento do bloco, tamb´em causada pelo ar, e outras for¸cas irrelevantes ao problema.
Pense um Pouco!
• ´E muito comum nos depararmos com a situa¸c˜ao na qual
um carro e um caminh˜ao est˜ao emparelhados
aguar-dando o sinal verde do sem´aforo. Vocˆe sabe por quˆe, quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminh˜ao ter um motor mais pos-sante?
• Se o peso de um corpo ´e proporcional `a sua massa, ent˜ao podemos afirmar que todos os corpos ter˜ao a mesma acelera¸c˜ao, em queda livre?
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜
ao
1. Na figura abaixo os blocos A, B e C est˜ao sobre um
plano horizontal sem atrito.
B
A
Sendo F = 20 N , ma= 3, 0 kg, mb= 8, 0 kg e mc= 9, 0 kg,
determine:
a) a acelera¸c˜ao do conjunto;
b) a tra¸c˜ao nos fios (TAB entre A e B e TBC, entre B e C).
Admitir a massa dos fios desprez´ıvel.
2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe ace-lerado a 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a tra¸c˜ao no
cabo que o sustenta, ´e de: a) 6000 N b) 5000 N c) 4000 N d) 3000 N e) 2000 N
Exerc´ıcios Complementares
3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, est´a sobre o plano sem atrito.
A
F
B C
Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextens´ıvel de massa
des-prez´ıvel como a massa da polia, determine: a) a acelera¸c˜ao do conjunto;
b) a tra¸c˜ao no fio.
4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg,
mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se ap´oia num
plano sem atrito. S˜ao desprez´ıveis as massas da polia e do fio, que ´e inextens´ıvel.
B
A C
Admitindo g = 10 m/s2, determine:
a) a acelera¸c˜ao do conjunto;
b) a tra¸c˜ao TAB entre os blocos A e B;
c) a tra¸c˜ao TBC entre os blocos B e C.
5. Na figura, a for¸ca ~F tem intensidade 90 N . Despreze os atritos e as in´ercias do fio e da roldana. Quais os valores da acelera¸c˜ao do conjunto e da for¸ca que traciona o fio?
00000000000000000000000 00000000000000000000000 11111111111111111111111 11111111111111111111111 4 kg 6 kg F
6. (UEL-PR) Os trˆes corpos, A, B e C, representados na figura tˆem massas iguais, m = 3, 0 kg
A
B
C
O plano horizontal, onde se ap´oiam A e B, n˜ao fornecem atrito, a roldana tem massa desprez´ıvel e a acelera¸c˜ao local da gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2. A tra¸c˜ao
no fio que une os blocos A e B tem m´odulo: a) 10 N
b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N
7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se sobre uma balan¸ca no piso de um elevador. Se o elevador sobe com acelera¸c˜ao igual, em m´odulo, `a metade da acelera¸c˜ao da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balan¸ca: a) ser´a de 25 N b) permanece inalterada c) ser´a de 75 N d) ser´a de 100 N e) ser´a de 200 N
Mecˆ
anica Aula 6
Energia
A energia se apresenta de diversas formas na
natu-reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam
energia qu´ımica, a combust˜ao da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.
Trabalho
O significado da palavra trabalho, na F´ısica, ´e diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F´ısica ´e sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´a em movimento. A partir dessa descri¸c˜ao podemos dizer que s´o h´a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ario o trabalho realizado ser´a nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloc´a-lo, ela n˜ao est´a realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela for¸ca.
Uma For¸ca Constante
Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ario ao movimento
do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela for¸ca ´e considerado negativo.
0 1 0 1 0011 01 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111F F d
Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um desloca-mento horizontal d ´e:
W =±F d (1)
onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante e d ´e o deslocamento (em m´odulo). O sinal + ´e usado quando a for¸ca e o
des-locamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando
possuem sentidos contr´arios. Importante
Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser definida a partir de dois vetores (F e d).
Unidades
1 N· m = 1 J = 1 joule = 107erg
1 kJ = 103J
Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um ˆangulo φ com a horizontal, temos a seguinte f´ormula mais geral:
W = F d cos φ (2)
onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante, d ´e o deslocamento (em m´odulo) e φ o ˆangulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a dire¸c˜ao da for¸ca e o deslocamento.
0 0 1 1 00 00 11 11 00 00 11 11 0 0 1 1 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111φ φ d F F
Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F atrav´es da ´area sob a curva do gr´afico F× x:
F
O x X
Area = Trabalho
W ≡ ´Area sob a curva
Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do tra-balho atrav´es da an´alise do gr´afico, e do sentido relativo entre a for¸ca e o deslocamento (ou do ˆangulo φ).
Uma For¸ca Vari´
avel
0 gr´afico abaixo representa a a¸c˜ao de uma for¸ca vari´avel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, desde o ponto x′ at´e o ponto x′′.
x
1x
2 1F(x )
2F(x )
O
X
Area = TrabalhoNeste caso, o trabalho pode ser determinado pela ´area sob a curva, desenhando-se o gr´afico em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela ´area de um trap´ezio:
W = F d = F1+ F2 2
(x2− x1)
Observe que essa f´ormula considera a for¸ca m´edia (aproxi-mada) multiplicada pelo deslocamento.
Tipos de For¸cas
Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um corpo: for¸ca el´astica, for¸ca peso, for¸ca el´etrica, for¸ca de contato, etc...
Potˆ
encia
P
Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸c˜ao desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potˆencia maior.
Figura 1: James Watt (1736-1819)
Um carro ´e mais potente que o outro quando ele “ar-ranca”mais r´apido e atinge uma dada velocidade num in-tervalo de tempo menor do que o outro carro..
Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´aquina ´e caracterizada n˜ao s´o pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em determinado tempo.
Ent˜ao podemos concluir que potˆencia ´e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja:
P = W/t
Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equa¸c˜ao acima temos
P = Wt =F dt
t = F v .
j´a que v = d/t.
Unidade de Potˆencia
1 J/s = 1 watt = 1 W
Energia cin´
etica
Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e pre-ciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em rela¸c˜ao a um dado sistema de referˆencia.
Chamamos essa energia de movimento de energia de
cin´etica. Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v
a energia cin´etica ´e:
Ec=
1 2mv
2
e assim como o trabalho, mede-se a energia cin´etica em joules.
Teorema Trabalho-Energia
Suponhamos que FR seja a resultante das for¸cas que atuam
sobre uma part´ıcula de massa m. O trabalho dessa resul-tante ´e igual `a diferen¸ca entre o valor final e o valor inicial da energia cin´etica da part´ıcula:
W = ∆Ec= 1 2mv 2 f − 1 2mv 2 i
Esse enunciado, conhecido como teorema do
trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das for¸cas que
atua sobre uma part´ıcula modifica sua energia cin´etica.
Pense um Pouco!
• Que trabalho realizamos sobre um corpo que ´e levan-tado a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo ou negativo?
• Se vocˆe pudesse segurar um elefante a uma determi-nada altura, vocˆe estaria realizando trabalho? Por quˆe?
• Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar-bante.
1. H´a algum trabalho sendo realizado sobre o carri-nho? Por quˆe? O trabalho ´e positivo ou negativo. 2. O menino desenvolve alguma potˆencia? Por quˆe? 3. O carrinho tem energia cin´etica? Por quˆe?
Exerc´ıcios de Aplica¸c˜
ao
1. (ESAL-MG) Um homem est´a em repouso com um
cai-xote tamb´em em repouso `as costas.
a) Como o caixote tem um peso, o homem est´a realizando
trabalho.
b) O homem est´a realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando
c) O homem est´a realizando trabalho pelo fato de estar fa-zendo for¸ca.
d) O homem n˜ao realiza trabalho pelo fato de n˜ao estar se deslocando.
e) O homem n˜ao realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito `a acelera¸c˜ao da gravidade.
2. (UFSE) Um corpo est´a sendo arrastado por uma
su-perf´ıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as afirma¸c˜oes a seguir: I. O trabalho da for¸ca de atrito ´e nulo. II. O trabalho da for¸ca peso ´e nulo. III. A for¸ca resultante que arrasta o corpo ´e nula. Dentre as afirma¸c˜oes:
a) ´E correta a I, somente. b) ´E correta a II, somente. c) ´E correta a III, somente. d) S˜ao incorretas I, II, III. e) S˜ao corretas II e III.
3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potˆencia e energia, pode-se afirmar que:
a) potˆencia e energia s˜ao sinˆonimos.
b) trabalho e potˆencia se expressam com a mesma unidade. c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade. d) potˆencia ´e a capacidade de realizar trabalho. e) trabalho ´e a rela¸c˜ao energia-tempo.
4. O produto da for¸ca pelo deslocamento do corpo em que ela atua est´a associado com:
a) trabalho b) potˆencia c) distˆancia d) acelera¸c˜ao e) velocidade
Exerc´ıcios Complementares
5. (UFSC) O gr´afico a seguir representa a resultante das for¸cas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a 10, 0 kg, em fun¸c˜ao do deslocamento total em metros. Su-pondo que a sua velocidade inicial ´e de 1421m/s, determine, em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m.
F(N) 5 20 0 0 10 20 30 15 10 x(m) 40
6. Um proj´etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma t´abua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a for¸ca com que a t´abua exerce sobre o proj´etil.
F v = 100 m/s v = 90 m/s x = 1,0 cm f o m = 10 g
7. Um m´ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido `a uma for¸ca constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule:
a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potˆenciaP desenvolvida pela for¸ca;
