Interpreta¸ c˜ oes

O valor de verdade de uma senten¸ca molecular pode depender ou n˜ao do contexto associado. Ou seja, existem senten¸cas que s˜ao sempre verdadeiras, independente do con- texto. Senten¸cas que s˜ao `as vezes verdadeiras, `as vezes falsas, dependendo do contexto. E senten¸cas que s˜ao sempre falsas, independente do contexto. Veremos agora que, para o caso das senten¸cas formadas pelo uso dos conectivos n˜ao, e, ou, se...ent˜ao e se, somente se (que possuem tabelas de verdade), dada uma senten¸ca qualquer, podemos decidir em qual dos casos ela est´a inserida.

Exemplo 46 Considere as seguintes senten¸cas: a) Chove ou n˜ao chove.

1.3. SEM ˆANTICA 37 c) Faz sol e n˜ao faz sol.

Avaliando estas senten¸cas, conclu´ımos que 1 ´e verdadeira e sempre verdadeira, inde- pendente do contexto; 2 ´e verdadeira, mas poderia ser falsa, dependendo do contexto; 3 ´e falsa e sempre falsa, independente do contexto.

Simbolizando, temos: a) (p ∨(¬p)) b) (q ∧r) c) (s ∧(¬s)) onde: p : (chove)

q : (Bras´ılia ´e a capital do Brasil)

r : (S˜ao Paulo ´e a maior cidade da Am´erica Latina) s : (faz sol)

Vamos, agora, avaliar estas senten¸cas utilizando as tabelas de verdade.

a) A senten¸ca (p ∨(¬p)) ´e formada por aplica¸c˜ao do conectivo¬ `a senten¸ca atˆomica p, obtendo (¬p) e por aplica¸c˜ao do conectivo ∨ `as senten¸cas p e (¬p). De acordo com a tabela de verdade do ∨, o valor de verdade de (p ∨(¬p)) pode ser determinado diretamente a partir dos valores de p e (¬p). De modo an´alogo, de acordo com a tabela de verdade do ¬, o valor de verdade de (¬p) tamb´em pode ser determinado diretamente a partir do valor de verdade de p. Assim, dado o valor de p, podemos calcular de maneira direta o valor de (p ∨(¬p)), calculando o valor de (¬p) pela tabela do¬ e calculando o valor de (p∨(¬p)), usando a tabela do ∨ . Mas, como p ´e atˆomica, o valor de p n˜ao pode ser calculado a partir do valor de nenhuma outra senten¸ca. De acordo com a defini¸c˜ao de senten¸ca, teremos, ent˜ao, dois casos:

1. Se p possui valor V , (¬p) possui valor F e (p ∨ (¬p)) possui valor V . 2. Se p possui valor F , (¬p) possui valor V e (p∨ (¬p)) possui valor V .

Como, em ambos os casos, a senten¸ca (p ∨(¬p)) possui valor V e estes s˜ao os ´unicos casos poss´ıveis, conclu´ımos que (p∨ (¬p)) ´e uma verdade l´ogica, pois sempre assume valor V .

O que foi dito acima pode ser sumarizado na seguinte tabela, chamada a tabela de verdade de (p∨(¬p)):

p (¬p) (p ∨(¬p))

V F V

b) A senten¸ca (q ∧r) ´e formada por aplica¸c˜ao do conectivo ∧ `as senten¸cas atˆomicas q e r. De acordo com a tabela de verdade do ∧, o valor de verdade de (q ∧r) pode ser determinado diretamente a partir dos valores de q e r. Como q e r s˜ao atˆomicas, os valores de q e r n˜ao podem ser calculados a partir do valor de nenhuma outra senten¸ca. De acordo com a defini¸c˜ao de senten¸ca teremos, ent˜ao, quatro casos:

1. Se q e r possuem ambas o valor V , (q ∧r) possui valor V . 2. Se q possui valor V e r possui valor F , (q ∧r) possui valor F . 3. Se q possui valor F e r possui valor V , (q ∧r) possui valor F . 4. Se q e r possuem ambos valor F , (q ∧r) possui valor F .

Os dois primeiros casos acima s˜ao suficientes para concluirmos que (q ∧r) n˜ao ´e uma verdade l´ogica, pois pode assumir tanto o valor V como o valor F .

O que foi dito acima pode ser sumarizado na seguinte tabela, chamada a tabela de verdade de (q ∧r): q r (q ∧r) V V V V F F F V F F F F

c) A senten¸ca (s ∧(¬s)) ´e formada por aplica¸c˜ao do conectivo ¬ `a senten¸ca atˆomica s, obtendo (¬s) e por aplica¸c˜ao do conectivo ∧ `as senten¸cas s e (¬s). De acordo com a tabela de verdade do ∧, o valor de verdade de (s ∧(¬s)) pode ser determi- nado diretamente a partir dos valores de s e (¬s). Analogamente, de acordo com a tabela de verdade do ¬, o valor de verdade de (¬s) tamb´em pode ser determinado diretamente a partir do valor de verdade de s. Assim, dado o valor de s, podemos calcular de maneira direta o valor de (s∧(¬s)). Como s ´e atˆomica, o valor de s n˜ao pode ser calculado a partir do valor de nenhuma outra senten¸ca. De acordo com a defini¸c˜ao de senten¸ca, teremos, ent˜ao dois casos:

1. Se s possui valor V , (¬s) possui valor F e (s ∧(¬s)) possui valor F . 2. Se s possui valor F , (¬s) possui valor V e (s ∧(¬s)) possui valor F .

Como em ambos os casos (s∧(¬s)) possui valor F e estes s˜ao os ´unicos casos poss´ıveis, conclu´ımos que (s∧(¬s)) sempre possui valor F .

O que foi dito acima pode ser sumarizado na seguinte tabela, chamada a tabela de verdade de (s∧(¬s)):

1.3. SEM ˆANTICA 39 s (¬s) (s ∧(¬s))

V F F

F V F

O Exemplo 46 mostra como podemos associar a senten¸cas simbolizadas uma tabela de verdade que lista todos os valores de verdade poss´ıveis que esta senten¸ca simbolizada pode assumir. Em particular, inspecionando a tabela de uma senten¸ca podemos determinar se esta senten¸ca ´e ou n˜ao uma verdade l´ogica.

Apresentaremos agora algumas defini¸c˜oes que nos permitir˜ao estender o processo esbo- ¸

cado acima para todas as senten¸cas simbolizadas.

Defini¸c˜ao 1.18 Uma interpreta¸c˜ao para uma senten¸ca simbolizada α ´e uma atribui¸c˜ao de valores de verdade `as letras sentenciais que ocorrem em α, de modo que a cada letra seja atribu´ıdo um ´unico valor de verdade.

Exemplo 47 a) A senten¸ca simbolizada p ´e atˆomica e, portanto, possui apenas duas interpreta¸c˜oes:

p V F

b) A senten¸ca simbolizada (p → (q → p)) possui ocorrˆencia duas senten¸cas atˆomicas p e q. Portanto, possui quatro interpreta¸c˜oes:

p q V V V F F V F F

c) A senten¸ca simbolizada (((p → q) ∧(q → r)) → (p → r)) possui ocorrˆencia das trˆes senten¸cas atˆomicas p, q e r. Logo, possui oito interpreta¸c˜oes:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F De uma maneira geral, temos o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 1.1 Se α ´e uma senten¸ca simbolizada que possui a ocorrˆencia de m letras sentenciais distintas, ent˜ao α possui exatamente 2m _{interpreta¸c˜oes.}

Prova: Seja α uma senten¸ca simbolizada que possui a ocorrˆencia de m letras sentenciais distintas.

De acordo com a defini¸c˜ao, cada interpreta¸c˜ao para α pode ser visualizada como uma linha de uma tabela:

p1 p2 . . . pm

. . .

onde em cada uma das lacunas ocorre uma das letras V ou F .

Decorre da´ı que o n´umero de interpreta¸c˜oes distintas para α ser´a exatamente o n´umero total de maneiras de preencher cada linha da tabela acima, associando a cada letra sen- tencial exatamente um dos valores V ou F . Como temos duas possibilidades para cada uma das lacunas e o preenchimento de uma lacuna ´e independente do preenchimento das outras, pelo Princ´ıpio Fundamental da Contagem (da An´alise Combinat´oria), o n´umero total de possibilidades de preenchimento de uma linha ´e 2 × 2 × . . . × 2

| {z }

mvezes

= 2m.

(Redu¸c˜ao do N´umero de Parˆenteses)

Para facilitar a escrita de senten¸cas simbolizadas, daqui por diante adotaremos as seguintes regras.

Regra 1 Os parˆenteses externos n˜ao ser˜ao escritos.

Exemplo 48 Ao inv´es de ((p ∧(p→q))→q), escreveremos simplesmente: (p∧(p →q))→q.

Regra 2 Os parˆenteses em torno da nega¸c˜ao n˜ao ser˜ao escritos.

Exemplo 49 Ao inv´es de ((¬q) ∧(p →q))→(¬p), escreveremos simplesmente: (¬q ∧ (p→q))→ ¬p.

Regra 3 O → e o ↔ tˆem precedˆencia sobre o ∧ e o ∨.

Exemplo 50 Ao inv´es de (¬q ∧ (p→q))→ ¬p, escreveremos simplesmente:

1.4. TAUTOLOGIAS, CONTING ˆENCIAS E CONTRADIC¸ ˜OES 41

Regra 4 O¬ se aplica `a menor senten¸ca que o sucede.

Exemplo 51 Escreveremos ¬(p∧ q), pois escrevendo ¬p ∧q o ¬ se aplica somente `a senten¸ca p.