Estudaremos agora, de forma intuitiva, a forma¸c˜ao e a avalia¸c˜ao de senten¸cas por meio das part´ıculas todo e existe. Estas particulas, em conjunto com os conectivos, s˜ao as part´ıculas mais utilizadas na linguagem matem´atica.
Defini¸c˜ao 2.8 As part´ıculas todo e existe s˜ao chamadas quantificadores.
2.2.1 Quantifica¸c˜ao em Dom´ınios Finitos
Inicialmente, vamos analisar a rela¸c˜ao existente entre os quantificadores e os conectivos e e ou.
Exemplo 3 Considere uma sala na qual est˜ao quatro pessoas: Maria, Jos´e, Pedro e Paulo.
Maria Pedro
Jos´e Paulo Sala 1
A senten¸ca todos nesta sala s˜ao homens ´e falsa, assim como ´e falsa a primeira das senten¸cas:
2.2. QUANTIFICAC¸ ˜AO 65 Maria ´e homem,
Pedro ´e homem, Jos´e ´e homem, Paulo ´e homem, enquanto que as outras trˆes s˜ao verdadeiras.
Logo, a senten¸ca todos nesta sala s˜ao homens ´e falsa, assim como ´e falsa a conjun¸c˜ao (Maria ´e homem)∧(Pedro ´e homem)∧(Jos´e ´e homem)∧(Paulo ´e homem), que expressa o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o todos.
Exemplo 4 Considere agora uma sala em que est˜ao quatro pessoas: Jo˜ao, Jos´e, Pedro e Paulo.
Jo˜ao Pedro
Jos´e Paulo Sala 2
Neste contexto, a senten¸ca todos nesta sala s˜ao homens ´e verdadeira, assim como tamb´em s˜ao verdadeiras as senten¸cas:
Jo˜ao ´e homem, Pedro ´e homem,
Jos´e ´e homem, Paulo ´e homem.
Logo, a senten¸ca todos nesta sala s˜ao homens ´e verdadeira, assim como a conjun¸c˜ao (Jo˜ao ´e homem) ∧(Pedro ´e homem) ∧(Jos´e ´e homem) ∧(Paulo ´e homem), que expressa o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o todos.
Generalizando os exemplos apresentados acima, dado um dom´ınio com m objetos a1, a2, . . . , am, e uma propriedade P sobre estes objetos, podemos concluir que a sen-
ten¸ca todos os elementos do dom´ınio possuem a propriedade P ´e verdadeira quando cada uma das m senten¸cas:
a1 possui a propriedade P ,
a2 possui a propriedade P ,
. . .
´e verdadeira. Ou seja, quando a conjun¸c˜ao (a1 possui a propriedade P ) ∧(a2 possui a
propriedade P )∧ . . . ∧(am possui a propriedade P ) ´e verdadeira. E a mesma senten¸ca ´e
falsa quando ao menos uma das senten¸cas:
a1 possui a propriedade P ,
a2 possui a propriedade P ,
. . .
am possui a propriedade P ,
´e falsa. Ou seja quando a conjun¸c˜ao (a1 possui a propriedade P ) ∧(a2 possui a propriedade
P )∧ . . . ∧(am possui a propriedade P ) ´e falsa.
Assim, podemos considerar que, em dom´ınios finitos, o todo ´e equivalente a um e generalizado.
Exemplo 5 Considere agora a mesma Sala 1 do Exemplo 3 e a senten¸ca nesta sala existe uma mulher. Esta senten¸ca ´e verdadeira. E tamb´em ´e verdadeira a primeira das senten¸cas
Maria ´e mulher, Pedro ´e mulher, Jos´e ´e mulher, Paulo ´e mulher, enquanto que as outras trˆes s˜ao falsas.
Logo, a senten¸ca nesta sala existe uma mulher ´e verdadeira, assim como ´e verdadeira a disjun¸c˜ao (Maria ´e mulher) ∨(Pedro ´e mulher)∨(Jos´e ´e mulher) ∨(Paulo ´e mulher), que expressa o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o existe.
Exemplo 6 Considere agora a Sala 2 do Exemplo 4. Neste contexto, a senten¸ca nesta sala existe uma mulher ´e falsa, assim como tamb´em s˜ao falsas todas as senten¸cas:
Jo˜ao ´e mulher, Pedro ´e mulher,
Jos´e ´e mulher, Paulo ´e mulher.
Logo, a senten¸ca nesta sala existe uma mulher ´e falsa, assim como ´e falsa a disjun¸c˜ao (Jo˜ao ´e mulher)∨(Pedro ´e mulher)∨(Jos´e ´e mulher) ∨(Paulo ´e mulher) que expressa o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o existe.
Generalizando os exemplos apresentados acima, dado um dom´ınio com m objetos a1, a2, . . . , am, e uma propriedade P sobre estes objetos, podemos concluir que a sen-
ten¸ca existe ao menos um elemento do dom´ınio que possui a propriedade P ´e verdadeira quando ao menos uma das senten¸cas:
2.2. QUANTIFICAC¸ ˜AO 67 a1 possui a propriedade P ,
a2 possui a propriedade P ,
. . .
am possui a propriedade P ,
´e verdadeira. Ou seja, quando a disjun¸c˜ao (a1 possui a propriedade P ) ∨(a2 possui a
propriedade P )∨ . . . ∨(am possui a propriedade P ) ´e verdadeira. E a mesma senten¸ca ´e
falsa quando todas as senten¸cas:
a1 possui a propriedade P ,
a2 possui a propriedade P ,
. . .
am possui a propriedade P ,
s˜ao falsas. Ou seja, quando a disjun¸c˜ao (a1 possui a propriedade P )∨(a2 possui a pro-
priedade P ) ∨ . . . ∨(am possui a propriedade P ) ´e falsa.
Assim, podemos considerar que, em dom´ınios finitos, o existe ´e equivalente a um ou generalizado.
2.2.2 Quantifica¸c˜ao em Dom´ınios Infinitos
Se trabalh´assemos somente com dom´ınios finitos, poder´ıamos abolir o uso dos quan- tificadores e ficar somente com os conectivos, escrevendo conjun¸c˜oes e disjun¸c˜oes genera- lizadas no lugar de senten¸cas onde ocorrem o todo e o existe. Mas, como em Matem´atica, mesmo nos estudos mais elementares, dom´ınios infinitos s˜ao considerados, devemos levar adiante a an´alise da forma¸c˜ao e avalia¸c˜ao de senten¸cas por meio dos quantificadores. Ve- jamos agora o que acontece em dom´ınios infinitos.
Exemplo 7 Considere o conjunto N = {0, 1, 2, . . . , . . .} dos n´umeros naturais. A senten¸ca todos os elementos de N s˜ao maiores que 0 ´e falsa, assim como ´e falsa a primeira das senten¸cas:
0 ´e maior que 0, 1 ´e maior que 0, 2 ´e maior que 0,
. . . enquanto que todas as outras s˜ao verdadeiras.
Logo, a senten¸ca todos os elementos de N s˜ao maiores que 0 ´e falsa, assim como seria falsa a “conjun¸c˜ao infinita” (0 ´e maior que 0)∧ (1 ´e maior que 0) ∧ (2 ´e maior que 0) ∧
. . . , que expressaria o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o todos, se pudesse ser escrita.
Exemplo 8 Considere o mesmo conjunto N e a senten¸ca todos os elementos de N s˜ao inteiros. Esta senten¸ca ´e verdadeira, assim como s˜ao verdadeiras todas as senten¸cas:
0 ´e um inteiro, 1 ´e um inteiro, 2 ´e um inteiro,
. . .
Logo, a senten¸ca todos os elementos de N s˜ao inteiros ´e verdadeira, assim como seria verdadeira a “conjun¸c˜ao infinita” (0 ´e inteiro) ∧ (1 ´e inteiro) ∧ (2 ´e inteiro) ∧ . . . , que expressaria o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o todos, se pudesse ser escrita. Assim, podemos considerar que, em dom´ınios infinitos, o todo ´e equivalente, em termos de conte´udo, a uma “conjun¸c˜ao infinita”, embora uma tal conjun¸c˜ao n˜ao possa ser escrita. Exemplo 9 Considere agora o mesmo conjunto N e a senten¸ca existe um elemento em N que ´e par e primo. Esta senten¸ca ´e verdadeira, assim como ´e verdadeira a terceira das senten¸cas:
0 ´e par e primo, 1 ´e par e primo, 2 ´e par e primo,
. . . enquanto que todas as outras s˜ao falsas.
Logo, a senten¸ca existe um elemento em N que ´e par e primo ´e verdadeira, assim como seria verdadeira a “disjun¸c˜ao infinita” (0 ´e par e primo) ∨ (1 ´e par e primo) ∨ (2 ´e par e primo)∨ . . . , que expressaria o mesmo conte´udo que a senten¸ca onde ocorre o existe, se pudesse ser escrita.
Exemplo 10 Considere ainda o conjunto N e a senten¸ca existe um elemento em N que ´e irracional. Esta senten¸ca ´e falsa, assim como s˜ao falsas todas as senten¸cas:
0 ´e irracional, 1 ´e irracional, 2 ´e irracional,
. . .
Logo, a senten¸ca existe um elemento em N que ´e irracional ´e falsa, assim como seria falsa a “disjun¸c˜ao infinita” (0 ´e irracional) ∨ (1 ´e irracional) ∨ (2 ´e irracional)∨ . . . , que expressaria o mesmo conte´udo da senten¸ca onde ocorre o existe, se pudesse ser escrita.
2.3. SINTAXE 69