As observações do receptor GPS estão disponíveis a cada 9 segundos e o integrador da dinâmica também usa, em todas as três Etapas consideradas, um passo de 9 segundos na fase de propagação do filtro de Kalman.
• 1ª Etapa: filtro de Kalman “comum” e observações GPS sem tendenciosidades;
Primeiramente, apresenta-se nas Figuras 15 até 17, os resultados para a 1ª Etapa (vide seção 3.1), onde o navegador não possui estimador de tendenciosidades (filtro de Kalman
“comum”) e onde as observações GPS são simuladas sem a incorporação de erros tendenciosos compatíveis aos que afetam a solução de navegação do GPS.
Comparando-se as curvas de ∆rGPS, ∆rNAV e ∆rˆNAV, apresentadas superpostas no gráfico da Figura 15, com os resultados correspondentes ao Caso 1 (intervalo de amostragem de três segundos) apresentados na Figura 1, observa-se que, como esperado, houve uma pequena degradação da precisão das estimativas em decorrência da menor quantidade de informação para o processo de filtragem, causado pela redução da taxa de amostragem de observações. Os resultados, no entanto, continuam satisfatórios, tanto em termos de precisão das estimativas quanto da robustez do filtro, já que não se observa quaisquer sinais de divergência.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tempo (h)
1 10 100 1000
Erro em posio (m)
Legenda: ∆rGPS ∆rNAV ∆^rNAV
Fig. 15 – Evolução no tempo de ∆rGPS, ∆rNAV e ∆rˆNAV
Os resultados globais em posição para a 1ªEtapa do Caso 2 foram:
rGPS
∆ = 92,4 m; ∆rNAV= 24,8 m; ∆rˆNAV= 32,5 m; QPOS = 26,8 %
O valor de QPOS de 26,8 %, embora pior do que o obtido na 1ª Etapa do Caso 1 (14,2 %), ainda traduz um bom desempenho do Filtro de Kalman "comum", na tarefa de filtrar o erro aleatório presente nas observações GPS.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tempo (h)
0.001 0.010 0.100 1.000 10.000
Erro em velocidade (m/s)
Legenda: ∆vGPS ∆vNAV ∆v^NAV
Fig. 16 – Evolução no tempo de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV
Para o caso das estimativas das componentes de velocidade, conforme se constata da comparação direta das curvas de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV, com as correspondentes apresentadas na Figura 2, valem os mesmos comentários recém efetuados para as estimativas de posição.
Os resultados globais em velocidade para a 1ªEtapa do Caso 2 foram:
vGPS
∆ = 9,29.10-1 m/s; ∆vNAV= 1,13.10-1 m/s; ∆vˆNAV= 2,35.10-1 m/s; QVEL = 12,2 % O valor de QVEL confirma numericamente os comentários feitos acima, dado que houve acréscimo no seu valor em relação à mesma Etapa do Caso 1.
A Figura 17 apresenta as curvas obtidas, no presente caso (Caso 2, 1ª Etapa), para o resíduo normalizado nas observações de posição (componentes x, y e z da solução de navegação do GPS). Analogamente ao Caso 1, observa-se que todos os resíduos apresentaram comportamento bastante regular, permanecendo em uma faixa de ±3σ, como
esperado. Em termos dos valores globais dos resíduos, percebe-se, em relação à 1ª Etapa do Caso 1, que houve um pequeno aumento dos valores de desvio padrão, cerca de 0,94 contra cerca de 0,92.
0 3 6 9 12 15
Resduo normalizado em X (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Y (sigma) Legenda: r
3nσ2
Resduo normalizado em Z (sigma) Legenda: r
3nσ3
= -0,0005 0,94
a) b) c)
Fig. 17 – Resíduos normalizados das observações: a) rn1; b) rn2; c) rn3
• 2ª Etapa: filtro de Kalman “comum” e observações GPS com tendenciosidades;
As Figuras 18 até 20 apresentam os resultados para a 2ªEtapa do Caso 2, com as observações possuindo tendenciosidades. Note-se que na 2ªEtapa o navegador não possui estimador de tendenciosidades.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Os resultados globais em posição para a 2ªEtapa do Caso 2 foram:
rGPS
∆ = 134,6 m; ∆rNAV= 107,2 m; ∆rˆNAV= 32,5 m; QPOS = 79,6 %
A magnitude do erro em posição cometido pelo navegador simplificado é de 79,6 % da magnitude do erro em posição presente nas observações GPS, em média. Este resultado, como no Caso 1, revela o baixo desempenho do filtro de Kalman "comum" (sem estimador de tendenciosidades), na tarefa de filtrar os erros aleatórios e compensar os erros tendenciosos presentes conjuntamente nas observações GPS na 2ª Etapa. De todo modo, um rápido exame da Figura 18 permite concluir que houve divergência do filtro, uma vez que o erro estimado pelo navegador é muito menor do que o valor real do erro em posição cometido pelo navegador. Isto pode ser confirmado numericamente, pelos valores de
rˆNAV
∆ = 32,5 m e ∆rNAV= 107,2 m.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tempo (h)
0.010 0.100 1.000 10.000
Erro em velocidade (m/s)
Legenda: ∆vGPS ∆vNAV ∆v^NAV
Fig. 19 – Evolução no tempo de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV
Para a Figura 19, vale a mesma análise feita para a Figura 6 (Caso 1). Observa-se que as estimativas das componentes de velocidade, embora apresentando um comportamento melhor que as de posição, mostram certa degradação do desempenho do filtro de Kalman, em relação à etapa anterior. O melhor comportamento apresentado pelas estimativas de velocidade deve-se ao fato de só serem utilizadas observações de posição e as tendenciosidades, sendo constantes enquanto não há variações no conjunto de satélites GPS visíveis, não afetam, nestes períodos, a velocidade do satélite. A degradação das
estimativas de velocidade só ocorre quando muda o valor da tendenciosidade das observações de posição, conforme se observa pela Figura 19.
Os resultados globais em velocidade obtidos na 2ªEtapa do Caso 2 foram:
vGPS
∆ = 1,04.100 m/s; ∆vNAV= 2,12.10-1 m/s; ∆vˆNAV= 2,35.10-1 m/s; QVEL = 20,4 % Da mesma maneira que ocorreu na 2ª Etapa do Caso 1, a magnitude do erro em velocidade cometido pelo navegador simplificado ficou ao redor de 20 % da magnitude do erro em velocidade presente nas observações GPS, em média.
A Figura 20 apresenta as curvas obtidas neste caso (Caso 2, 2ª Etapa), para os resíduos normalizados nas observações. Em termos de faixa de variação os resíduos permaneceram na faixa de ±3σ. Como dito antes (Caso 1), isto era esperado pois a ausência da compensação das tendenciosidades nas observações deve afetar basicamente a média dos resíduos, em cada intervalo em que as tendenciosidades são constantes. Da mesma forma que ocorreu na mesma Etapa do Caso 1, nota-se, novamente, que alguns resíduos escaparam da faixa de ±3σ. Analisando os valores globais dos resíduos e comparando-os com os valores obtidos na Etapa anterior, percebe-se que, analogamente ao ocorrido no Caso 1, houve um aumento dos valores de desvio padrão, cerca de 1,0 contra cerca de 0,94.
Resduo normalizado em X (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Y (sigma) Legenda: r
3nσ2
Resduo normalizado em Z (sigma) Legenda: r
3nσ3
= -0,0028 0,99
a) b) c)
Fig. 20 – Resíduos normalizados das observações: a) rn1; b) rn2; c) rn3
• 3ª Etapa: filtro de Kalman “modificado” e observações GPS com tendenciosidades.
Em seguida, finalizando o Caso 2, tem-se nas Figuras 21 até 25 os resultados para a 3ªEtapa (vide seção 3.1), onde o navegador possui estimador de tendenciosidades.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tempo (h)
10 100 1000
Erro em posio (m)
Legenda: ∆rGPS ∆rNAV ∆^rNAV
Fig. 21 – Evolução no tempo de ∆rGPS, ∆rNAV e ∆rˆNAV
Os resultados globais em posição para a 3ªEtapa do Caso 2 foram:
rGPS
∆ = 134,6 m; ∆rNAV= 64,6 m; ∆rˆNAV= 100,5 m; QPOS = 48,0 %
A magnitude do erro em posição cometido pelo navegador simplificado é de 48,0 % da magnitude do erro em posição presente nas observações GPS, em média. Como ocorreu no Caso 1, também no Caso 2 a introdução do procedimento de tratamento automático de tendenciosidades reverteu o desempenho insatisfatório do filtro de Kalman
“comum” na estimação das componentes orbitais, quando observações estão contaminadas por erros tendenciosos. O filtro modificado apresentou um desempenho inferior ao apresentado no Caso 1 (Figura 9), mas ainda satisfatório conseguindo, como pode ser constatado pela Figura 21, reduzir o erro médio das estimativas em aproximadamente duas vezes, contra uma redução de três vezes do Caso 1. Como no Caso 1, o filtro apresentou-se bastante robusto, apresentou-sem quaisquer sinais de divergência e, também como dito anteriormente, os picos apresentados pela curva de ∆rˆNAV advém da reinicialização da
matriz de covariância do erro nas estimativas quando ocorrem mudanças de valor do erro tendencioso nas observações, em função da mudança do conjunto de satélites GPS visíveis ao receptor de bordo.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tempo (h)
0.010 0.100 1.000 10.000
Erro em velocidade (m/s)
Legenda: ∆vGPS ∆vNAV ∆v^NAV
Fig. 22 – Evolução no tempo de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV
Analogamente ao que foi dito para a mesma etapa (3ª Etapa) do Caso 1, os resultados observados na Figura 22 para as estimativas das componentes de velocidade do vetor de estado confirmam o bom desempenho do procedimento de estimação com tratamento automático de tendenciosidades nas observações. Mais uma vez, observam-se os picos na curva de ∆vˆNAV devidos à reinicialização do processo de filtragem.
Os resultados globais em velocidade para a 3ªEtapa do Caso 2 foram:
vGPS
∆ = 1,04.100 m/s; ∆vNAV= 1,82.10-1 m/s; ∆vˆNAV= 3,56.10-1 m/s; QVEL = 17,5 % Aqui, a magnitude do erro em velocidade cometido pelo navegador simplificado é de 17,5 % da magnitude do erro em velocidade presente nas observações GPS, em média.
Este resultado, como esperado, foi melhor do que o obtido na etapa anterior (2ª Etapa, Caso 2), quando o filtro de Kalman “comum” obteve QVEL = 20,4 % .
A Figura 23 apresenta as curvas correspondentes às estimativas das tendenciosidades nas observações das componentes x, y e z, respectivamente. Observa-se
que o processo de estimação apresentou um desempenho satisfatório, embora, como esperado, inferior ao obtido no Caso 1 (Figura 11).
0 3 6 9 12 15
A Figura 24 apresenta, para o Caso 2, as curvas correspondentes às estimativas do módulo do erro tendencioso em posição, presente nas observações GPS.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Os resultados globais para os erros tendenciosos em posição foram:
e
GPS= 101,9 m; ∆e
NAV= 56,6 m; ∆eˆ
NAV= 92,5 m; QETE = 55,5 %O valor de QETE significa que a magnitude do erro tendencioso em posição cometido pelo navegador simplificado é de 55,5 % da magnitude do erro tendencioso em posição presente nas observações GPS, em média. Este resultado revela um desempenho satisfatório do filtro de Kalman “modificado”, na tarefa de compensar os erros tendenciosos presentes nas observações GPS. Comparando-se com o Caso 1, nota-se que,
como esperado, o aumento do intervalo de amostragem das observações GPS de 3 s para 9 s, ocasionou uma perda no desempenho do filtro (no Caso 1 QETE = 41,7 %), devido à redução na quantidade de informação gerada pela redução da taxa de amostragem.
Quanto aos resíduos normalizados, nota-se pelas curvas da Figura 25 a seguir que estes, mais uma vez, mantiveram-se coerentemente na faixa de ±3σ. Ao comparar os valores globais de desvio padrão dos resíduos com os valores obtidos anteriormente, percebe-se que, analogamente ao ocorrido para o Caso 1, os valores atuais são intermediários àqueles obtidos nas duas Etapas anteriores, com cerca de 0,97 ante cerca de 0,94 e 1,0, respectivamente, para a 1ª e a 2ª Etapa.
Resduo normalizado em X (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Y (sigma) Legenda: r
3nσ2
Resduo normalizado em Z (sigma)
Legenda: r
3nσ3
= 0,0001 0,97
a) b) c)
Fig. 25 – Resíduos normalizados das observações: a) rn1; b) rn2; c) rn3