Neste Caso, as observações do receptor GPS estão disponíveis a cada 3 segundos e o integrador da dinâmica também usa um passo de 3 segundos na fase de propagação do filtro de Kalman, em todas as três Etapas consideradas.
• 1ª Etapa: filtro de Kalman “comum” e observações GPS sem tendenciosidades;
Primeiramente, tem-se nas Figuras 1 até 3, os resultados para a 1ª Etapa (vide seção 3.1), onde o navegador não possui estimador de tendenciosidades e onde as observações GPS estão isentas de tendenciosidades.
0 1 2 3 4 5
Tempo (h)
1 10 100 1000
Erro em posio (m)
Legenda: ∆rGPS ∆rNAV ∆^rNAV
Fig. 1 – Evolução no tempo de ∆rGPS, ∆rNAV e ∆rˆNAV
Pela Figura 1, observa-se que quando não há erro tendencioso nas observações, o processo de filtragem “comum”, isto é, que não inclui o procedimento de tratamento
automático de tendenciosidades apresenta, como era esperado, um desempenho amplamente satisfatório. O erro real em posição foi reduzido de aproximadamente uma ordem de grandeza em relação ao correspondente à solução de navegação do GPS.
Observa-se também que o filtro não apresenta nenhum sinal de divergência durante todo o período simulado (5 horas).
Numericamente, os resultados globais em posição que condensam as informações gráficas da Figura 1 foram os seguintes:
rGPS
∆ = 92,4 m; ∆rNAV= 13,1 m; ∆rˆNAV= 19,2 m; QPOS = 14,2 %
O valor de QPOS significa que a magnitude do erro em posição cometido pelo navegador simplificado é de 14,2 % da magnitude do erro em posição presente nas observações GPS, em média. Este resultado traduz, de modo compacto, o bom desempenho do filtro de Kalman "comum" na tarefa de filtrar o erro aleatório presente nas observações GPS.
0 1 2 3 4 5
Tempo (h)
0.010 0.100 1.000 10.000
Erro em velocidade (m/s)
Legenda: ∆vGPS ∆vNAV ∆^vNAV
Fig. 2 – Evolução no tempo de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV
Pela Figura 2, observa-se que os resultados relativos às estimativas das componentes de velocidade, atestam um desempenho do estimador bastante semelhante ao obtido para as componentes de posição, recém apresentados. Os erros também foram reduzidos em aproximadamente uma ordem de grandeza.
Os resultados globais em velocidade foram os seguintes:
vGPS
∆ = 9,29.10-1 m/s; ∆vNAV= 6,89.10-2 m/s; ∆vˆNAV= 1,45.10-1 m/s; QVEL = 7,4 % Analogamente ao parâmetro de análise QPOS, o valor de QVEL significa que a magnitude do erro em velocidade cometido pelo navegador simplificado é de 7,4 % da magnitude do erro em velocidade presente nas observações GPS, em média.
A Figura 3 apresenta as curvas obtidas, no presente caso (Caso 1, 1ª Etapa), para o resíduo normalizado nas observações de posição (componentes x, y e z da solução de navegação do GPS). Observe-se que todos os resíduos apresentaram comportamento bastante regular, permanecendo em uma faixa de ±3σ, como esperado. Os valores globais de média dos resíduos normalizados ficaram próximos a zero, como esperado, caracterizando um estimador não tendencioso. Da mesma forma, os valores globais de desvio padrão ficaram próximos de 1, conferindo consistência estatística ao navegador.
0 1 2 3 4 5
Resduo normalizado em X (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Y (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Z (sigma) Legenda: r
3nσ3
= 0,0053 0,92
a) b) c)
Fig. 3 – Resíduos normalizados das observações: a) rn1; b) rn2; c) rn3
Adicionalmente, é apresentado na Figura 4 a seguir, os gráficos de frequência relativa (linha contínua) dos resíduos normalizados. Comprova-se, através dos mesmos, que os resíduos seguem uma distribuição gaussiana (pontos "x" do gráfico), o que é esperado, tendo em vista que as observações só possuem erros aleatórios com distribuição gaussiana nesta 1ª Etapa.
-5 0 5
• 2ª Etapa: filtro de Kalman “comum” e observações GPS com tendenciosidades;
A título de análise, nas Figuras 5 até 7, são apresentados os resultados para a 2ª Etapa (vide seção 3.1), onde as observações GPS são afetadas por erros tendenciosos.
Como esclarecido na seção 3.1, na 2ªEtapa o navegador não possui tratamento automático de tendenciosidades.
Nesta Etapa, os resultados globais em posição, que condensam as informações gráficas apresentadas, foram os seguintes:
rGPS
∆ = 133,7 m; ∆rNAV= 104,6 m; ∆rˆNAV= 19,2 m; QPOS = 78,2 %
A magnitude do erro em posição cometido pelo navegador simplificado foi 78,2 % da magnitude do erro em posição presente nas observações GPS, em média. Este resultado revela o baixo desempenho do Filtro de Kalman "comum" (sem estimador de tendenciosidades), na tarefa de filtrar os erros aleatórios e compensar os erros tendenciosos presentes conjuntamente nesta 2ª Etapa nas observações GPS. Conforme se observa pela Figura 5, não se conseguiu evitar a divergência do filtro, uma vez que o erro estimado pelo navegador é muito menor do que o valor real do erro em posição cometido pelo navegador, este último praticamente da ordem do erro na solução de navegação do GPS, utilizada como observação. Numericamente, os valores de
rˆNAV
∆ = 19,2 m e ∆rNAV= 104,6 m, traduzem o desempenho insatisfatório do processo de filtragem “comum”, quando em presença de erros tendenciosos de observação, já que o filtro de Kalman "comum" pressupõe a existência apenas de erros aleatórios nas observações, não conseguindo compensar, por si só, erros tendenciosos. Entretanto, nota-se uma curva contínua e mais suave no erro ∆rNAV, comparativamente à curva do erro ∆rGPS, com oscilações devido às tendências (bias) introduzidas. Ao menos, o navegador atuou no sentido de suavizar o estado.
0 1 2 3 4 5
Tempo (h)
0.010 0.100 1.000 10.000
Erro em velocidade (m/s)
Legenda: ∆vGPS ∆vNAV ∆^vNAV
Fig. 6 – Evolução no tempo de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV
Pela Figura 6, observa-se que as estimativas das componentes de velocidade, embora apresentando um comportamento melhor que as de posição, mostram certa
degradação do desempenho do filtro de Kalman, em relação à Etapa anterior. Este comportamento melhor deve-se ao fato de só serem utilizadas observações de posição e as tendenciosidades, sendo constantes enquanto não há variações no conjunto de satélites GPS visíveis, não afetam, nestes períodos, a velocidade do satélite. A degradação das estimativas de velocidade só ocorre quando há mudança de valor das tendenciosidades das observações de posição, conforme se observa pela figura.
Os resultados globais em velocidade foram:
vGPS
∆ = 1,05.100 m/s; ∆vNAV= 2,00.10-1 m/s; ∆vˆNAV= 1,45.10-1 m/s; QVEL = 19,1 % O valor de QVEL significa que a magnitude do erro em velocidade cometido pelo navegador simplificado é de 19,1 % da magnitude do erro em velocidade presente nas observações GPS, em média.
A Figura 7 apresenta as curvas obtidas neste caso (Caso 1, 2ª Etapa), para os resíduos normalizados nas observações. Em amplitude de variação os resíduos permaneceram na faixa de ±3σ. Isto era esperado, pois a ausência da compensação das tendenciosidades nas observações faz com que estas sejam incorporadas, como erros, às estimativas, não afetando significativamente a estimativa dos resíduos em cada intervalo em que as tendenciosidades são constantes. Em outras palavras, as observações calculadas a partir das estimativas tendem a ficar próximas ao valor medido, já que as estimativas absorveram, como erro, o valor das tendenciosidades, fazendo com que a média dos resíduos seja próxima a zero e os valores dentro da faixa de ±3σ. Notou-se apenas que agora alguns resíduos escaparam da faixa de ±3σ, o que não acontecia na Etapa anterior.
Analisando os valores globais de desvio padrão dos resíduos e comparando-os com os valores obtidos na Etapa anterior, percebe-se que houve um aumento dos valores de desvio padrão, com cerca de 0,98 contra cerca de 0,92.
0 1 2 3 4 5
Resduo normalizado em X (sigma) Legenda: r
3nσ1
Resduo normalizado em Y (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Z (sigma) Legenda: r
3σn3
= 0,0092 0,97
a) b) c)
Fig. 7 – Resíduos normalizados das observações: a) rn1; b) rn2; c) rn3
Na Figura 8 a seguir, são apresentados os gráficos de freqüência relativa dos resíduos normalizados. Observando-se os gráficos atuais e comparando-os com aqueles da Figura 4, percebe-se que a inclusão de erros tendenciosos nas observações não ocasionou mudanças significativas nestes gráficos.
-5 0 5
• 3ª Etapa: filtro de Kalman “modificado” e observações GPS com tendenciosidades.
Em seguida, finalizando o Caso 1, tem-se nas Figuras 9 até 13 os resultados para a 3ª Etapa (vide seção 3.1), onde o navegador possui compensação automática de tendenciosidades.
0 1 2 3 4 5
Tempo (h)
1 10 100 1000
Erro em posio (m)
Legenda: ∆rGPS ∆rNAV ∆^rNAV
Fig. 9 – Evolução no tempo de ∆rGPS, ∆rNAV e ∆rˆNAV
Os resultados globais em posição para a 3ªEtapa do Caso 1 foram:
rGPS
∆ = 133,7 m; ∆rNAV= 46,0 m; ∆rˆNAV= 93,9 m; QPOS = 34,4 %
A magnitude do erro médio em posição cometido pelo navegador simplificado (QPOS) foi, agora, 34,4 % da magnitude do erro em posição presente nas observações GPS, ou seja, situou-se, coerentemente, em um valor intermediário entre o obtido para o filtro de Kalman "comum", sem tendenciosidades nas observações (14,2 %, como visto) e o filtro de Kalman "comum" suprido por observações impregnadas de erros tendenciosos (78,2 %).
A introdução do procedimento de tratamento automático de tendenciosidades reverteu o desempenho insatisfatório do filtro de Kalman “comum” na estimação das componentes orbitais, quando observações estão contaminadas por erros tendenciosos. O
Figura 9) reduzir o erro médio das estimativas em aproximadamente três vezes. Este filtro apresentou também características satisfatórias de robustez, não mostrando sinais de divergência nem mesmo após as ocorrências de variações no erro tendencioso das observações (causadas pela mudança do conjunto de satélites GPS visíveis ao receptor do sistema). Os picos apresentados pela curva de ∆rˆNAV devem-se à reinicialização da matriz de covariância do erro nas estimativas quando da ocorrência destas variações.
0 1 2 3 4 5
Tempo (h)
0.010 0.100 1.000 10.000
Erro em velocidade (m/s)
Legenda: ∆vGPS ∆vNAV ∆^vNAV
Fig. 10 – Evolução no tempo de ∆vGPS, ∆vNAV e ∆vˆNAV
Os resultados relativos as estimativas das componentes de velocidade do vetor de estado, conforme pode ser observado pela Figura 10, confirmam o bom desempenho do procedimento de estimação com tratamento automático de tendenciosidades nas observações. Os picos observados na curva de ∆vˆNAV devem-se, como explicado acima para as estimativas de posição, à imposição de valores constantes à matriz de covariância do vetor de estado aumentado para reinicialização do processo de filtragem.
Os resultados globais em velocidade para a 3ªEtapa do Caso 1 foram:
vGPS
∆ = 1,05.100 m/s; ∆vNAV= 1,37.10-1 m/s; ∆vˆNAV= 2,51.10-1 m/s; QVEL = 13,1 % A magnitude do erro em velocidade cometido pelo navegador simplificado foi, em média, de 13,1 % da magnitude do erro em velocidade presente nas observações GPS. Este resultado confirma o bom desempenho apresentado pelo procedimento proposto na
estimação das componentes de posição. Houve uma melhora significativa em relação ao valor obtido no caso de aplicação do filtro sem compensação dos erros tendenciosos das observações, que foi de 19,1 %.
A Figura 11 apresenta as curvas correspondentes às estimativas das tendenciosidades nas observações das componentes x, y e z, respectivamente. Em média, o erro na estimativa das tendenciosidades foi da ordem de 40 % . Considerando-se apenas a média após a convergência do filtro em cada intervalo, o erro reduz-se a aproximadamente 30 % .
A Figura 12 apresenta as curvas correspondentes às estimativas do módulo do erro tendencioso em posição, presente nas observações GPS, que condensam as informações sobre os erros tendenciosos individuais apresentados na Figura 11.
0 1 2 3 4 5
Os resultados globais para os erros tendenciosos foram:
eGPS= 99,97 m; ∆eNAV= 41,7 m; ∆
eˆ
NAV= 90,5 m; QETE = 41,7 %Analogamente aos parâmetros QPOS e QVEL, o valor de QETE estabelece que a magnitude do erro tendencioso em posição cometido pelo navegador simplificado é de 41,7 % da magnitude do erro tendencioso em posição presente nas observações GPS, em média. Este resultado confirma os comentários feitos em relação à Figura 11, sintetizando numericamente o bom desempenho do Filtro de Kalman “modificado”, na tarefa de compensar os erros tendenciosos presentes nas observações GPS.
Quanto aos resíduos normalizados, nota-se pelas curvas da Figura 13 a seguir que estes mantiveram-se na faixa de ±3σ. Comparando os valores globais de desvio padrão dos resíduos com os valores obtidos anteriormente, percebe-se que os valores atuais são intermediários àqueles obtidos nas duas Etapas anteriores, com cerca de 0,94 para os valores de desvio padrão, ante cerca de 0,92 e 0,98, respectivamente, para a 1ª e a 2ª Etapa.
Resduo normalizado em X (sigma)
Legenda: r
Resduo normalizado em Y (sigma) Legenda: r
3nσ2
Resduo normalizado em Z (sigma)
Legenda: r
3nσ3
= 0,0022 0,94
a) b) c)
Fig. 13 – Resíduos normalizados das observações: a) rn1; b) rn2; c) rn3
A Figura 14 a seguir, apresenta os gráficos de freqüência relativa dos resíduos normalizados. Comparando os gráficoss atuais com aqueles das Figuras 4 e 8, percebe-se que, novamente, não houve mudança significativa nestes gráficos. Menciona-se, neste ponto, que não serão apresentados gráficos de freqüência relativa para os Casos 2 e 3 a seguir, por entender-se que os resultados seriam qualitativamente os mesmos já obtidos no Caso 1 e que as conclusões obtidas com base na sua análise valem também para os Casos 2 e 3. Evita-se, assim, tornar o presente trabalho desnecessariamente extenso e repetitivo.
-5 0 5 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
S I G M A -5 0 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
S I G M A -5 0 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
S I G M A
a) b) c)
Fig. 14 – Freqüência relativa dos resíduos normalizados: a) rn1; b) rn2; c) rn3