Introdução à análise estatística das falhas

O conceito de fiabilidade, inicialmente utilizado na resolução de problemas de segurança dos aviões, tem vindo a ser aplicado, nos últimos 50 anos, nos mais diversos sectores da actividade industrial. No entanto, o maior desenvolvimento da fiabilidade está associado à resolução de

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problemas de segurança, durante a concepção e exploração de mísseis balísticos, naves espaciais e centrais nucleares.

Através do estudo da fiabilidade é obtida informação necessária à tomada de decisão sobre diferentes aspectos relacionados com o equipamento, designadamente, intervenções de manutenção preventiva, substituição do equipamento, entre outras. Entretanto, antes de iniciar o estudo é necessário, clarificar o tipo de problema, objectivos, condições de funcionamento e limitações do estudo.

As empresas necessitam de ter os seus equipamentos a trabalhar e em boas condições de funcionamento para garantirem a qualidade, o cumprimento de prazos e a indispensável competitividade e rentabilidade. No entanto, os equipamentos podem falhar devido a deficiente condução e por falta de manutenção, e mesmo com a manutenção correcta e explorando correctamente os equipamentos, as falhas poderão acontecer devido a defeitos provocados por diversas causas (deficiências de projecto, erros de fabricação, defeitos, etc.).

O estudo da fiabilidade possibilita a obtenção de valores numéricos que vão permitir a avaliação do desempenho futuro do sistema (componente ou equipamento) e a sua comparação rigorosa com outras soluções alternativas.

No estudo da fiabilidade é habitual considerar três tipos de falhas (infantis, acidentais e por envelhecimento ou desgaste) que ocorrem nos componentes e sistemas reparáveis, mesmo que estes sejam objecto de todos os cuidados de armazenamento, manutenção e exploração. As falhas infantis, estão associadas a problemas de fabrico e de deficiente controlo de qualidade. As falhas acidentais são provocadas por fenómenos aleatórios e não são possíveis de eliminar qualquer que seja o tipo de manutenção utilizado. Finalmente as falhas provocadas por desgaste, degradação ou envelhecimento podem ser reduzidos (ou mesmo eliminadas) através da manutenção adequada.

As técnicas da fiabilidade permitem actuar sobre os três tipos de falhas (ou avarias). Sobre as falhas infantis observando a sua distribuição e definindo, por exemplo, o tempo e o tipo de ensaios. Relativamente às falhas por desgaste o estudo da sua distribuição estatística permite definir a melhor periodicidade para a realização das intervenções de manutenção. No que se refere às falhas acidentais a aplicação das técnicas da fiabilidade possibilita a redução da probabilidade da sua ocorrência.

Por fiabilidade entende-se a “probabilidade de um elemento (componente, subsistema ou sistema reparável), desempenhar uma função especificada, segundo dadas condições ambientais e operacionais, durante um período de tempo estabelecido”.

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Esta definição diz-nos que a fiabilidade é a probabilidade do elemento funcionar, sem falhas, durante um determinado período de tempo. No entanto, essa probabilidade não é conhecida com antecedência, sendo necessários dados do fabricante ou do registo histórico de manutenção para poder efectuar a sua estimativa. O cálculo da fiabilidade também requer a definição rigorosa do que se entende por funcionamento correcto do elemento. Nessas condições, chamamos falha à cessação do funcionamento correcto do elemento.

De acordo com a NP EN 13306:2007 a fiabilidade é definida como sendo a aptidão de um bem para cumprir uma função requerida sob determinadas condições, durante um determinado intervalo de tempo.

A observação e o registo do número de falhas que ocorrem num elemento durante um determinado período permite-nos determinar a taxa de falhas λ, que representa o número de falhas por um dado período de utilização.

Devido às características aleatórias das causas que provocam as falhas nos equipamentos, a determinação da fiabilidade envolve a utilização extensa e aprofundada da estatística e do cálculo de probabilidades.

2.2.1.1 _{Probabilidades}

São desenvolvidos alguns conceitos gerais relacionados com a qualidade e com a relação entre a qualidade e a manutenção.

Conceitos-chave: Probabilidade, Técnicas de contagem.

Para efectuar a medição da probabilidade, nas situações em que os vários resultados elementares possíveis são equiprováveis, é geralmente utilizada a definição clássica de Laplace, cujo enunciado estabelece que a probabilidade de um acontecimento associado a uma experiência aleatória é dada pelo quociente do número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis

. (2.1)

A probabilidade permite medir a verosimilhança de um evento, acontecimento ou resultado individual de uma experiência estatística e fundamenta-se num conjunto de axiomas(Pedrosa & Gama, 2004):

“Seja um espaço amostral. Sejam e , com _{eventos quaisquer} de S. Chama-se probabilidade de A, e denota-se por P(A), o número real

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associado a A que mede a verosimilhança com que A ocorre e que satisfaz os seguintes axiomas:

, (a probabilidade é um número real entre 0 e 1). , (a probabilidade do evento certo é 1).

forem eventos mutuamente exclusivos, isto é, então: ” (2.2)

Desta definição decorrem vários teoremas de grande interesse para o estudo da probabilidade, nomeadamente, os seguintes(Figueiredo, Figueiredo, Ramos, & Teles, 2009):

1. Sejam e dois eventos quaisquer de um espaço amostral . Então,

̅ . (2.3)

2. Sejam e dois eventos quaisquer de um espaço amostral . Então,

. (2.4)

3. Seja um evento qualquer de um espaço amostral . Então,

̅ . (2.5)

4. Sejam , e C três eventos quaisquer de um espaço amostral . Então,

. (2.6)

5. Sejam eventos quaisquer de um espaço amostral . Então, ∑ ∑ ( ) _. (2.8)

6. Sejam e dois eventos, a probabilidade condicionada de A dado B designa-se por e é dada por: . (2.9)

7. Sejam e dois eventos, tem-se:

(2.10) 8. Dados eventos , tem-se:

(2.11) 9. Dois eventos e [ ] dizem-se independentes quando se verificam

as condições:

20 2.2.1.2 Técnicas de contagem

Para experiências aleatórias de maior complexidade, são utilizados métodos de contagem do número de casos prováveis e do número de casos possíveis, que requerem a utilização de instrumentos da análise combinatória.

A utilização da disposição rectangular (ou tabular) de pares ordenados associadas a uma dada experiência aleatória, por exemplo, a representação numa tabela de dupla entrada do espaço amostral resultante do lançamento de dois dados, é baseada no seguinte teorema (Pestana & Velosa, 2002):

Seja _{um conjunto com elementos, e seja} um conjunto com elementos. Então o conjunto de pares em que o primeiro

elemento provém de e o segundo elemento provém de , designado por

produto cartesiano de _{por , {( ) }} tem _{elementos. (2.13)}

Outras formas de contagem de subconjuntos, com sem reposição e considerando a ordem dos elementos, decorrem do seguinte teorema:

Sejam conjuntos tais que _Então

(2.14)

Consideramos neste texto, algumas fórmulas e indicações da análise combinatória, relacionadas com a formação de permutações, arranjos e combinações(Oliveira, 1990):

1) Dados elementos diferentes de um conjunto, o número de permutações sem repetição ou de sequências diferentes que é possível formar com todos os elementos do conjunto, é dado pela expressão . No caso de existirem elementos iguais, iguais entre si, idênticos, etc. o número de permutações com repetição é dado pela

expressão: . (2.15)

2) Se considerarmos um conjunto com elementos chamamos arranjo sem repetição dos n elementos k a k a qualquer grupo formado por k elementos distintos do conjunto. O número total desses grupos é: . No caso de os grupos poderem ser constituídos por elementos repetidos o número de arranjos com

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3) As combinações sem repetição indicam quantas variedades de subconjuntos com elementos distintos existem num conjunto com elementos (distinguem-se dos arranjos porque nos seus elementos não interessa a ordem). O seu número é dado por:

. No caso das combinações com repetição de elementos a o seu número é igual ao número de combinações sem repetição de elementos a .

(2.17)

2.2.1.3 _{Função de risco}

Uma função muito importante nos estudos de fiabilidade é a função de risco:

[ ] (2.18)

definida como a probabilidade condicionada, por unidade de tempo, de um sistema falhar dado que a falha não é verificada até .

Para a sua dedução partimos da função de fiabilidade e do seu complementar, designado por função acumulada de probabilidade de falha que se representa por . R . A partir destas duas funções e por derivação podemos obter a função de densidade de probabilidade, que se representa por :

(2.19)

Relacionando com , vamos obter a função de risco, :

(2.20)

Esta função dá-nos a probabilidade de um equipamento, em boas condições de funcionamento, no instante , avarie no intervalo ] [.

Devido ao seu grande interesse prático descreve-se a função de risco para fenómenos com distribuição exponencial. Conhecidas as respectivas funções de distribuição de probabilidade de falha _{e de densidade de probabilidade , da} distribuição exponencial, determina-se (2.21)

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2.2.1.4 Relações matemáticas entre as funções da fiabilidade

Na teoria da fiabilidade existem quatro funções importantes: a função de fiabilidade ou de sobrevivência, , a função acumulada de probabilidade de falha, , a função densidade de probabilidade, e a função de risco . Partindo de uma qualquer das funções podemos obter as restantes por deduções matemáticas(Turner, 1999):

Dada a função densidade de probabilidade, , a sua integração entre e , permite-nos obter a função acumulada de probabilidade de falha.

∫ (2.22) E depois, as restantes funções

∫ (2.23)

_∫ (2.24)

Conhecida a função acumulada de probabilidade de falha, , a sua derivada em ordem a , dá-nos a função densidade de probabilidade.

(2.25)

(2.26)

(2.27)

No caso de ser conhecida a função de fiabilidade ou de sobrevivência, , calculamos , derivando a função , em ordem a .

(2.28)

(2.29)

, (2.30)

Finalmente, no caso de conhecermos , deduzimos as restantes expressões (Mendonça Dias, 2010c), a partir de [ ]

,: ∫

23 Como, por definição, , obtém-se:

∫ ∫ _(2.32) ∫ (2.33)

∫ _(2.34)

Na tabela seguinte estão representadas as relações entre as várias funções apresentadas:

Tabela 2-3: Relações matemáticas entre as funções da fiabilidade F(t), f(t), R(t) e h(t)

1 ∫ ∫ 1 ∫ _∫ 1 ∫ ∫ 1

2.2.1.4.1 Tempo médio de falha – MTTF

O MTTF é o tempo médio a que o componente se avaria (Mean Time To Failure). É uma média estatística que pode ser determinado através das expressões :

̅ ∑ _{, para variáveis discretas, ou por ̅ ∑}

, no caso de variáveis discretas em que se conhece a probabilidade de ocorrência de cada .

Para variáveis contínuas o MTTF é dado por: ∫ (2.35)

∫ ∫ porque (2.36) Efectuando a integração, vem, [ ] ∫ logo

∫ , porque a primeira parcela é nula, , por definição. No caso, frequente, de a função de risco tomar o valor constante λ, vem:

24 ∫ ∫ λ

λ λ λ (2.37)

Sublinha-se que o apenas se aplica aos componentes não reparáveis (lâmpadas, rolamentos, vedantes, etc.).