5. Uma xícara de café esfria de acordo com a lei do es-
friamento de Newton (3). Use os dados do gráfico de temperatura T (t ) da Figura 1.3.10 para estimar
as constantesT m, T 0 e k em um modelo da forma
de um problema de valor inicial de primeira ordem:
dT /dt = k (T
−
T m), T (0)= T 0.FIGURA 1.3.10 Curva de resfriamento do Problema 5.
6. A temperatura ambiente T m em (3) pode ser uma função do tempo t . Suponha que em um ambiente
artificialmente controlado, T m(t ) é periódica com uma fase de 24 horas, conforme ilustrado na Figura 1.3.11. Construa um modelo matemático para a tem- peratura T (t ) de um corpo dentro desse ambiente.
FIGURA 1.3.11 Temperatura ambiente do Problema 6. PROPAGAÇÃO DE UMA DOENÇA OU DE UMA TECNOLOGIA
7. Suponha que um estudante portador de um vírus da
gripe retorne para um campus universitário fechado
com mil estudantes. Determine a equação diferen- cial que descreve o número de pessoas x(t ) que con-
trairão a gripe, se a taxa segundo a qual a doença se espalha for proporcional ao número de interações entre os estudantes gripados e os estudantes que ainda não foram expostos ao vírus.
8. No momento t = 0 uma inovação tecnológica é in- troduzida em uma comunidade com uma população fixa de n indivíduos. Determine a equação diferen-
cial que descreve o número de pessoas x(t ) que ado-
taram a inovação no instante t , se for suposto que a
taxa segundo a qual a inovação se espalha na comu- nidade é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que a adotaram e ao número de pessoas que não a adotaram.
MISTURAS
9. Suponha que um grande tanque para misturas con-
tenha inicialmente 300 galões de água, no qual foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 gal/min, e quando a solução está bem misturada ela é bombeada para fora segundo a mesma taxa. De- termine uma equação diferencial para a quantidade de sal A(t ) no tanque no instante t > 0. Qual é o A(0)?
10. Suponha que um grande tanque para misturas con-
tenha inicialmente 300 galões de água, no qual fo- ram dissolvidas 50 libras de sal. Uma outra solu- ção de sal é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 gal/min, e então, quando a solução está bem misturada, é bombeada para fora a uma taxa menor de 2 gal/min. Se a concentração da solução que entra for de 2 lb/gal, determine uma equação diferencial para a quantidade de sal A(t ) no tanque,
no instante t > 0.
11. Qual é a equação diferencial no Problema 10, se
a solução bem misturada é bombeada a uma taxa mais rápida que 3,5 gal/min?
12. Generalize o modelo dado pela equação (8) na
página 23 supondo que o tanque grande contém inicialmente N 0 galões de solução salina, r e e r s são as taxas de entrada e saída, respectivamente (medi- das em galões por minuto), ce é a concentração de sal no fluxo de entrada, c(t ) é a concentração de sal
no tanque assim como no fluxo de saída em um ins- tante t qualquer (medido em libras de sal por ga-
lão), e A(t ) é a quantidade de sal no tanque em um
instante t > 0 qualquer. DRENANDO UM TANQUE
13. Suponha que a água esteja saindo de um tanque por
um buraco circular em sua base de área Ah. Quando a água vaza pelo buraco, o atrito e a contração da corrente nas proximidades do buraco reduzem o vo- lume de água que está vazando do tanque por se- gundo para cAh
2gh, onde c (0 < c < 1) é umaconstante empírica. Determine uma equação dife- rencial para a altura h de água no instante t para um
tanque cúbico, como na Figura 1.3.12. O raio do buraco é 2 pol. e g = 32 pés/s2.
FIGURA 1.3.12 Tanque cúbico do Problema 13.
14. Um tanque com formato de cone circular reto é
mostrado na Figura 1.3.13. Dele vaza água por um buraco circular na base. Determine uma equação di- ferencial para a altura h de água no instante t > 0.
O raio do buraco é 2 pol, g = 32 pés/s2 e o fa- tor atrito/contração introduzido no Problema 13 é
c= 0,6.
FIGURA 1.3.13 Tanque cônico do Problema 14. CIRCUITOS EM SÉRIE
15. Um circuito em série contém um resistor e um in-
dutor conforme a Figura 1.3.14. Determine uma equação diferencial para a corrente i(t ) se a resistên-
cia for R, a indutância for L e a voltagem aplicada
for E (t ).
FIGURA 1.3.14 Circuito RL em série do Problema 15.
16. Um circuito em série contém um resistor e um ca-
pacitor conforme a Figura 1.3.15. Determine uma equação diferencial para a carga q(t ) no capacitor,
se a resistência for R, a capacitância for C e a volta-
gem aplicada for E (t ).
FIGURA 1.3.15 Circuito RC em série do Problema 16.
CORPOS EM QUEDA E RESISTÊNCIA DO AR
17. Para um movimento em alta velocidade no ar – tal
como o paraquedista mostrado na Figura 1.3.16, caindo antes de abrir o paraquedas –, a resistência do ar está próxima de uma potência da veloci- dade instantânea. Determine uma equação diferen- cial para a velocidade v(t ) de um corpo em queda
com massa m, se a resistência do ar for proporcio-
nal ao quadrado de sua velocidade instantânea.
FIGURA 1.3.16 Resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade do Problema 17.
SEGUNDA LEI DE NEWTON E PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
18.
FIGURA 1.3.17 Movimento do barril flutuante do Problema 18.
Um barril cilíndrico de s pés de diâmetro e w li-
bras de peso está flutuando na água, como mostrado na Figura 1.3.17(a). Depois de afundado, o barril movimenta-se para cima e para baixo ao longo de uma reta vertical. Usando a Figura 1.3.17(b), de- termine uma equação diferencial para o desloca- mento vertical y(t ), se a origem for tomada sobre
o eixo vertical na superfície da água quando o bar- ril estiver em repouso. Use o princípio de Arqui- medes: todo corpo flutuando sofre a ação de uma
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS • 31
força da água sobre si mesmo, que é igual ao peso da água deslocada. Suponha que o sentido seja po- sitivo para baixo, a densidade da água seja de 62,4 lb/pés3 e que não haja resistência entre o barril e a
água.
SEGUNDA LEI DE NEWTON E LEI DE HOOKE
19. Depois que uma massa m é presa a uma mola, essa
é estendida s unidades e então chega ao repouso
na posição de equilíbrio como mostrada na Figura 1.3.18(b). Depois de colocada em movimento, seja
x(t ) a distância do sistema massa/mola à posição
de equilíbrio. Como indicado na Figura 1.3.18(c), suponha que o sentido para baixo seja positivo, o movimento se dê em uma reta vertical que passa pelo centro de gravidade da massa e as únicas for- ças que agem sobre o sistema sejam o peso da massa e a força restauradora da mola esticada. Use a lei de Hooke: a força restauradora de uma mola é
proporcional à sua elongação total. Determine uma equação diferencial para o deslocamento x(t ) no
instante t > 0.
FIGURA 1.3.18 Sistema massa/mola do Problema 19.
20. No Problema 19, qual é a equação diferencial para
o deslocamento x(t ), se o movimento tiver lugar em
um meio que exerce sobre o sistema massa/mola uma força amortecedora proporcional à velocidade instantânea da massa e age no sentido oposto ao do movimento?
SEGUNDA LEI DE NEWTON E MOVIMENTO DE FO- GUETES
Quando a massa m de um corpo muda com o tempo, a
segunda lei de movimento de Newton fica
F = d
dt (mv), (1)
onde F é a força líquida atuando no corpo e mv é seu
momento. Use (17) nos Problemas 21 e 22.
21. Um pequeno foguete de um estágio é lançado ver-
ticalmente como mostrado na Figura 1.3.19. Uma vez lançado, o foguete consome seu combustível e
assim sua massa total m(t ) varia com o tempo t > 0.
Se assumirmos que a direção positiva é para cima, a resistência do ar é proporcional à velocidade ins- tantânea v do foguete e R é um empurrão para cima
ou força gerada pelo sistema de propulsão, construa um modelo matemático para a velocidade v(t ) do
foguete. [Sugestão: Veja (14) na seção 1.3.]
FIGURA 1.3.19 Foguete de um estágio do Problema 21.
22. No Problema 21, a massa m(t ) é a soma de três di-
ferentes massas: m(t )= m p+mv+m f (t ), onde m p é a massa constante de carga, mv é a massa constante do veículo e m f (t ) é a quantidade variável de com- bustível.
a) Mostre que a taxa com que a massa total m(t ) do
foguete muda é a mesma taxa com que a massa
m f (t ) do combustível muda.
b) Se o foguete consome seu combustível numa taxa constante λ, ache m(t ). Então reescreva a
equação diferencial no Problema 21 em termos de λ e da massa inicial total m(0)= m0.
c) Sob o pressuposto do item (b), mostre que o tempo de queima t b > 0 do foguete, ou o
tempo na qual todo o combustível é consumido é t b = m f (0)/λ, onde m f (0) é a massa inicial de combustível.
SEGUNDA LEI DE NEWTON E LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
23. Pela lei da gravitação universal de Newton, a ace-
leração de um corpo em queda livre, tal como o satélite da Figura 1.3.20, caindo de uma grande dis- tância, não é a constante g. Em vez disso, a acelera-
distância ao centro da Terra: a = k /r 2, onde k é a constante de proporcionalidade. Leve em conside- ração o fato de que na superfície da Terra r = R e a = g, determine k . Supondo que o sentido posi- tivo seja para cima, use a segunda lei de Newton e sua lei da gravitação universal para encontrar uma equação diferencial para a distância r .
FIGURA 1.3.20 Satélite do Problema 23.
24. Suponha que um buraco tenha sido feito através do
centro da Terra, atravessando-a de ponta a ponta, e uma bola de boliche com massa m seja jogada no
buraco, conforme mostra a Figura 1.3.21. Construa um modelo matemático que descreva o movimento da bola. Em um dado instantet , sejar a distância do
centro da Terra até a massa m, M a massa da Terra, M r a massa da parte da Terra dentro de uma esfera
de raio r e δ, a densidade constante da Terra.
FIGURA 1.3.21 Orifício através da Terra do Problema 24. MODELOS MATEMÁTICOS ADICIONAIS
25. Teoria de aprendizagem Na teoria de aprendiza-
gem, supõe-se que a taxa segundo a qual um as- sunto é memorizado é proporcional à quantidade a ser memorizada. Suponha que M denote a quanti-
dade total de um assunto a ser memorizado e A(t )
a quantidade memorizada no instante t > 0. De-
termine uma equação diferencial para a quantidade
A(t ).
26. Esquecimento No Problema 23, suponha que a
taxa segundo a qual o assunto é esquecido seja
proporcional à quantidade memorizada no instante
t > 0. Determine uma equação diferencial para A(t ),
levando em conta o esquecimento.
27. Injeção de um medicamento Uma droga é inje-
tada na corrente sanguínea de um paciente a uma taxa constante de r gramas por segundo. Simul-
taneamente, a droga é removida a uma taxa propor- cional à quantidade x(t ) de droga presente no ins-
tante t . Determine uma equação diferencial que go-
verne a quantidade x(t ).
28. Tratriz Uma pessoa P, começando na origem,
move-se no sentido positivo do eixo x, puxando um
peso ao longo da curva C , chamada de tratriz, con-
forme mostra a Figura 1.3.22. O peso, inicialmente localizado sobre o eixo y em (0, s), é puxado por
uma corda de comprimento constante s, a qual é
mantida esticada durante todo o movimento. Deter- mine uma equação diferencial da trajetória do peso. Suponha que a corda seja sempre tangente a C .
FIGURA 1.3.22 Curva tratriz do Problema 28.
29. Superfície reflexiva Conforme ilustrado na Figura
1.3.23, raios de luz atingem uma curva plana C
de tal maneira que todos os raios L paralelos ao
eixo x são refletidos para um único ponto O (si-
tuado na origem). Supondo que o ângulo de inci- dência seja igual ao ângulo de reflexão, determine uma equação diferencial que descreva o formato da curva C . O formato da curva C é importante
na construção de telescópios, antenas de satélites, faróis de automóveis, coletores solares etc. [Suges- tão: Uma inspeção da Figura 1.3.23 mostra que
podemos escrever φ = 2θ . Por quê? Use agora uma identidade trigonométrica apropriada.]
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS • 33