30. Releia o Problema 41 nos Exercícios 1.1 e dê uma
solução explícita P(t ) para a Equação (1). Ache
uma família a um parâmetro de soluções de (1).
31. Releia a sentença que se segue à Equação (3). Su-
pondo que T m seja uma constante positiva, forneça as razões de por que devemos esperar k < 0 em
(3) tanto no caso de esfriamento como no de aque- cimento. Você pode, primeiramente, interpretar, di- gamos, T (t ) > T m graficamente.
32. Releia a discussão anterior à Equação (8). Supondo
que o tanque contenha inicialmente, digamos, 50 lb de sal, é evidente que A(t )deve ser uma função cres-
cente, pois o sal está sendo adicionado ao tanque continuamente para t > 0. Discuta como você po-
deria determinar com base na ED, sem resolvê-la, o número de libras de sal no tanque após um longo período.
33. Modelo populacional A equação diferencial d P
dt = (k cos t )P, onde k é uma constante positiva, é um
modelo de população humana P(t ) de uma determi-
nada comunidade. Discuta uma interpretação para a solução dessa equação. Em outras palavras, que tipo de população você imagina que a equação di- ferencial descreve?
34. Fluido rotacional Como mostrado na Figura
1.3.24(a), um cilindro circular preenchido com fluido é rotacionado com uma velocidade angular constante ω em torno de um eixo y vertical posicio-
nado no seu centro. O fluido forma uma superfície de revolução S . Para identificar S , primeiramente
estabelecemos um sistema de coordenadas consis- tido de um plano vertical determinado pelo eixo y e
um eixo x desenhado perpendicularmente ao eixo y
de modo que o ponto de intercecção dos eixos (ori- gem) é localizado no ponto mais baixo da superfí- cie S . Então procuramos uma função y = f ( x) que represente a curva C da intersecção da superfície S e a coordenada vertical do plano. Definamos o
ponto P( x, y) como a posição de uma partícula do
fluido de massa m no plano coordenado. Veja a Fi-
gura 1.3.24(b).
a) Em P existe uma força de reação de magnitude F causada por outras partículas do fluido, que
é normal à superfície S . De acordo com a lei
de Newton, a magnitude da força líquida agindo em uma partícula é mω2 x. Qual é esta força?
Use a Figura 1.3.24(b) para discutir a natureza e a origem das equações.
F cos θ = mg, F sen θ = mω2 x.
b) Use a parte (a) para encontrar a equação dife- rencial de primeira ordem que define a função
y = f ( x).
FIGURA 1.3.24 Fluido rotacional do Problema 34.
35. Corpo em queda No Problema 23, suponha que
r = R+s, onde s é a distância da superfície da Terra ao corpo em queda. O que acontecerá com a equa- ção diferencial obtida no Problema 23 quando s for
muito pequeno, comparado a R? [Sugestão: Pense
nas séries binomiais para
( R+ s)−2 = R−2(1+ s/ R)−2.]
36. Em meteorologia, o termo virga refere-se aos pin-
gos de chuva ou partículas de gelo que se evaporam antes de atingir o solo. Suponha que uma gota de chuva comum tenha a forma esférica. Começando em algum instante, o qual designaremos por t = 0, a gota de chuva de raio r 0 cai, do repouso, de uma nuvem e começa a evaporar-se.
a) Supõe-se que uma gota de chuva evapora de tal forma que seu formato permaneça esférico; por- tanto, também faz sentido supor que a taxa se- gundo a qual a gota de chuva se evapora (isto é, a taxa segundo a qual a gota perde massa) seja proporcional à área de sua superfície. Mostre que essa última hipótese implica que a taxa se- gundo a qual o raio r da gota de chuva decresce
é uma constante. Ache r (t ). [Sugestão: Veja o
Problema 51 nos Exercícios 1.1.]
b) Se o sentido positivo for para baixo, construa um modelo matemático para a velocidade v de
uma gota de chuva caindo no instante t > 0. Ig-
nore a resistência do ar. [Sugestão: Use a forma
da segunda lei de Newton dada em (17).]
37. O “problema do removedor de neve” é um clássico
e aparece em diversos textos sobre equações dife- renciais. Mas, provavelmente, ele se tornou famoso por meio de Ralph Palmer Agnew.
Um dia, começou a nevar pesada e constan- temente. Um removedor de neve começou a trabalhar ao meio-dia, percorrendo 2 milhas na primeira hora e 1 milha na segunda hora. Quando começou a nevar?
38. Releia a Seção 1.3 e classifique cada modelo mate-
mático como linear ou não linear.
REVISÃO DO CAPÍTULO 1
As respostas aos problemas ímpares estão no final do livro.
Nos problemas 1 e 2, preencha os espaços em branco e depois escreva o resultado como uma equação dife- rencial linear de primeira ordem sem o símbolo c1, da
forma dy/dx = f ( x, y). Os símbolos c1 e k representam constantes. 1. d dxc1e 10 x = 2. d dx(5+c1e− 2 x)=
Nos problemas 3 e 4, preencha os espaços em branco e depois escreva o resultado como uma equação diferen- cial linear de segunda ordem sem os símbolos c1 e c2, da
forma F ( y, y′′) = 0. Os símbolos c1, c2 e k representam constantes. 3. d 2 dx2(c1 cos kx +c2 sen kx) = 4.
d 2 dx2c1 cosh kx+c2 senh kx
=Nos problemas 5 e 6, calcule y′, y′′ e combine estas deri- vadas com y com uma equação linear de segunda ordem
sem os símbolos c1 e c2, da forma F ( y, y′, y′′) = 0. Os símbolos c1 e c2 representam constantes.
5. y= c1e x+c2 xe x
6. y= c1e xcos x+c2e xsen x
Nos problemas 7-12, associe cada uma das equações di- ferenciais com uma ou mais das seguintes soluções: (a)
y = 0, (b) y = 2, (c) y = 2 x, (d) y = 2 x2.
7. xy′ = 2 y 8. y′ = 2 9. y′ = 2 y
−
4 10. xy′ = y 11. y′′+9 y= 18 12. xy′′−
y′ = 0Nos problemas 13 e 14, determine, por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial dada.
13. y′′ = y′
14. y′ = y( y
−
3)Nos problemas 15 e 16, interprete cada afirmativa como uma equação diferencial.
15. Sobre o gráfico de y = φ( x), a inclinação da reta tangente em um ponto P( x, y) é o quadrado da dis-
tância de P( x, y) à origem.
16. Sobre o gráfico de y = φ( x), a taxa segundo a qual a inclinação varia em relação a x em um ponto P( x, y) é o negativo da inclinação da reta tangente
em P( x, y).
17. a) Dê o domínio da função y = x2/3.
b) Dê o intervalo I de definição sobre o qual y = x2/3 é uma solução da equação diferencial
3 xy′
−
2 y= 0.18. a) Observe que a família a um parâmetro
y2
−
2 y= x2−
x +c é uma solução implícita da equação diferencial (2 y−
2) y′ = 2 x−
1.b) Encontre um membro da família de um parâme- tro da parte (a) que satisfaça a condição inicial
y(0) = 1.
c) Use seu resultado do item (b) para encontrar uma função explícita y = φ( x) que satisfaça
y(0) = 1. Dê o domínio de φ. A função y = φ( x) é uma solução do problema de valor inicial?
Se afirmativo, dê o seu intervalo I de definição;
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS • 35
19. Dado que y = x
−
2/ x é uma solução da EDxy′ + y = 2 x, encontre x0 e o maior intervalo I para o qual y( x) é uma solução do PVI de primeira or-
dem xy′ + y = 2 x, y( x0)= 1.
20. Suponha que y( x) denote a solução do PVI de pri-
meira ordem y′ = x2+ y2, y(1)=
−
1 e que y( x) pos- suía pelo menos uma segunda derivada em x = 1, nas proximidades de x = 1. Use a ED para determi- nar se y( x) é crescente ou decrescente e se o gráfico y( x) tem concavidade para cima ou para baixo.21. Uma equação diferencial pode ter mais de uma fa-
mília de soluções.
a) Plote diferentes membros das famílias
y = φ1( x) = x2+c1 e y = φ2( x)=
−
x2 +c2. b) Verifique que y = φ1( x) e y = φ2( x) são duas so-luções da equação diferencial não linear de pri- meira ordem ( y′)2 = 4 x2.
c) Construa uma função definida por partes que seja uma solução da ED não linear do item (b), mas não seja um membro da outra família de soluções do item (a).
22. Qual é a inclinação da reta tangente ao gráfico da
solução de y′ = 6
√
y+5 x3que passa por (−
1, 4)? Nos problemas 23-26, verifique que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. Dê um intervalo de definição I para cada solução.23. y′′+ y = 2cos x
−
2sen x; y= xsen x+ xcos x24. y′′+ y = sec x; y = xsen x+(cos x) ln(cos x)
25. x2 y′′+ xy′+ y = 0; y= sen(ln x)
26. x2 y′′+ xy′+ y = sec(ln x);
y = cos(ln x) ln(cos(ln x))+(ln x) sen(ln x)
Nos problemas 27-30 verifique que a expressão indi- cada é uma solução implícita da equação diferencial dada.
27. xdydx + y = y12; x3 y3 = x3+1
28.
dydx
2+1= y12; ( x−
5)2
+ y2 = 1
29. y′′ = 2 y( y′)3; y3+3 y = 1
−
3 x30. (1
−
xy) y′ = y2; y = e xyNos Problemas 31-34, y = c1e3 x+c2e− x
−
2 x é uma fa- mília de dois parâmetros da ED de segunda ordem y′′−
2 y′−
3 y = 6 x+4. Encontre uma solução para o PVI de segunda ordem consistindo desta equação diferencial e as condições iniciais dadas.31. y(0) = 0, y′(0) = 0
32. y(0) = 1, y′(0) =
−
333. y(1) = 4, y′(1) =
−
234. y(
−
1) = 0, y′(−
1) = 135. O gráfico de uma solução do problema de valor
inicial de segunda ordem d 2 y/dx2 = f ( x, y, y′),
y(2) = y0, y′(2) = y1 é dado na Figura 1.R.1. Use o gráfico para estimar os valores de y0 e y1.
FIGURA 1.R.1 Gráfico para o Problema 35.
36. Um tanque com a forma de um cilindro circular
reto com raio de 2 pés e altura de 10 pés está na ver- tical sobre uma das bases. Se o tanque estiver inici- almente cheio de água e ela vaza por um buraco cir- cular em sua base inferior com raio de 1
2 pol, deter- mine a equação diferencial para a altura h da água
em um instante t > 0. Ignore o atrito e a contração
da água no buraco.
37. O número de camundongos campestres em um
certo pasto é dado pela função 200
−
10t , em que t é dado pelo número de anos. Determine a equa-ção diferencial que governa uma população de co- rujas que se alimentam dos camundongos se a taxa de crescimento da população de corujas é propor- cional à diferença entre o número de corujas em um dado instante t e o número de camundongos no
mesmo instante t > 0.
38. Suponha que dA/dt =
−
0,0004332 A(t ) represente um modelo matemático para a desintegração ra- dioativa do rádio-226, em que A(t ) é a quantidadede rádio (medida em gramas) restantes em um dado instante t (medido em anos). Quanto da amostra
de rádio resta em um dado instante t quando a
amostra está sofrendo desintegração a uma taxa de 0,002 g/ano?