Neste cap´ıtulo introduz-se alguns t´opicos padr˜oes da mecˆanica dos fluidos. Os fenˆomenos relacionados `as part´ıculas refletem-se nas propriedades observ´aveis e mensur´aveis da mat´eria gra¸cas ao emaranhamento que ocorre entre os n´ıveis mi- crosc´opicos e macrosc´opicos.
Interessa-nos discutir a existˆencia de solu¸c˜oes do sistema ρut+ ρu · ∇ u n − µ∆u + n∇p + µF (n) u = ρng em QT, div u = 0 em QT, u (x, 0) = u0(x) , ∀x ∈ Ω, u (x, t) = 0 , ∀t ∈ (0, T ) , ∀x ∈ ∂Ω. (2.1)
na situa¸c˜ao na qual a porosidade do meio granular ´e conhecida a priori, assim iremos apenas fazer um esbo¸co das id´eias f´ısicas subjacentes para obter o modelo descrito em (2.1).
Por meio poroso entenderemos como sendo um material consistindo de uma matriz s´olida com vazios interconectados. A matriz s´olida pode ser r´ıgida ou sofrer pequenas deforma¸c˜oes. A interconex˜ao dos vazios ( poros) permite o fluxo de um
ou mais fluidos atrav´es do material. Na situa¸c˜ao mais simples (com uma ´unica fase fluida) os vazios est˜ao saturados s´o por um fluido. No fluxo de duas fases, um l´ıquido e um g´as compartilham o mesmo espa¸co vazio.
Num meio poroso natural a distribui¸c˜ao dos poros em rela¸c˜ao `a forma e ao tama- nho ´e irregular. Exemplos de meios naturais s˜ao praias de areia, arenitos, calc´arios, p˜ao de centeio, madeiras, e o pulm˜ao humano. Na escala dos poros ( isto ´e, na escala microsc´opica) as quantidades de escoamento ( velocidade, press˜ao, etc) s˜ao evidentemente irregulares. Mas em experimentos t´ıpicos, as quantidades de inte- resse s˜ao medidas atrav´es de ´areas que atravessam muitos poros, e tais quantidades (macrosc´opicas) espacialmente avaliadas variam de uma maneira regular em rela¸c˜ao ao espa¸co e ao tempo, da´ı serem acess´ıveis para o tratamento te´orico.
A abordagem ser´a feita segundo a hip´otese do meio cont´ınuo f´ısico, assim o meio poroso real multif´asico ´e substitu´ıdo por um meio cont´ınuo fict´ıcio: uma substˆancia sem estrutura, no qual a qualquer ponto pode-se associar vari´aveis cinem´aticas, dinˆamicas e parˆametros que s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas das coordenadas espaciais do ponto e do tempo. Na mecˆanica do cont´ınuo sup˜oe-se que se pode associar uma part´ıcula de mat´eria a cada ponto da regi˜ao do espa¸co ocupada pelo corpo, e associar quantidades de campo tais como densidade, velocidade, e etc, a estas part´ıculas. Justifica-se este procedimento porque estende at´e certo grau as teorias da mecˆanica estat´ıstica dos gases, l´ıquidos e s´olidos, mas principalmente por depender do seu sucesso em descrever e prever o comportamento mecˆanico do material como um todo. (Cfe [45], p´agina 02).
Tratar de escoamento atrav´es de uma estrutura porosa ´e essencialmente uma quest˜ao de distˆancia – a distˆancia entre processo solucionador do problema e a es- trutura real do escoamento. Quando a distˆancia ´e pequena, o observador apenas vˆe um ou dois canais, ou uma ou duas cavidades abertas ou fechadas. Neste caso ´e poss´ıvel usar a mecˆanica dos fluidos convencional para descrever o que ocorre num ponto qualquer do espa¸co ocupado pelo fluido ou pelo s´olido. Quando a distˆancia ´e grande tal que existem muitos canais e cavidades no campo de vis˜ao da solu¸c˜ao do problema, as complexidades dos caminhos do escoamento fogem da abordagem convencional. Neste limite, as medidas globais e m´edias volum´etricas (por exem- plo, permeabilidade, condutividade, etc.) s˜ao ´uteis para descrever o escoamento
sos na escala decrescente dos poros, o problema tende a ficar entre os extremos considerados acima. Nesta faixa intermedi´aria, o desafio n˜ao ´e apenas descrever rigorosamente a estrutura dos poros mas tamb´em otimizar os elementos de esco- amento que os comp˜oem. As estruturas de escoamento resultantes s˜ao os meios porosos projetados.
A maneira usual para deduzir as leis que governam as vari´aveis macrosc´opicas ´e come¸car com as equa¸c˜oes padr˜oes obedecidas pelos fluidos e obter as equa¸c˜oes macrosc´opicas avaliando-se estas vari´aveis atrav´es de m´edias sobre os volumes e ´
areas contidos nos muitos caminhos formados pelos poros. H´a dois modos de se calcular a m´edia: o estat´ıstico e o espacial. Na abordagem espacial a vari´avel macrosc´opica define-se como uma m´edia adequada sobre um volume elementar re- presentativo (VER) suficientemente grande. Esta opera¸c˜ao produz o valor daquela vari´avel no centr´oide do VER. Admite-se que o resultado independe do tamanho do VER. A escala do comprimento do VER ´e muito maior do que a escala dos poros, mas consideravelmente menor do que a escala de comprimento aplicada ao dom´ınio do escoamento macrosc´opico. Na abordagem estat´ıstica a m´edia ´e tomada sobre um conjunto de poss´ıveis estruturas porosas que sejam macroscopicamente equivalen- tes. Uma dificuldade que surge ´e que normalmente a informa¸c˜ao estat´ıstica sobre o conjunto tem que ser baseada num ´unico exemplo, e isto s´o ´e poss´ıvel se admitirmos que h´a homogeneidade estat´ıstica.
Se estivermos interessados apenas em deduzir as rela¸c˜oes existentes entre as quan- tidades m´edias espaciais, e n˜ao em suas flutua¸c˜oes, os resultados obtidos usando-se qualquer uma dessas abordagens ser˜ao os mesmos. Logo, nesta situa¸c˜ao, pode-se bem usar a abordagem mais simples, a saber, a baseada sobre os VER.
As vari´aveis e parˆametros do cont´ınuo fict´ıcio, avaliados sobre um VER, permi- tem descrever o fluxo, e outros fenˆomenos dentro de um dom´ınio do meio poroso, atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais parciais. Tais equa¸c˜oes descrevem o que acontece em cada ponto no espa¸co f´ısico e a cada instante f´ısico de tempo.(Cfe [6], p´aginas 24-25).
Observa¸c˜ao 2.1 Numa camada porosa, um canal ou tubo com paredes r´ıgidas im- perme´aveis geralmente tem um aumento da porosidade `a medida que se pr´oxima das paredes, porque as part´ıculas s´olidas s˜ao incapazes de se acomodar eficientemente como em qualquer outro lugar diferente por causa da presen¸ca das paredes. Experi-
mentos mostram que a porosidade ´e uma fun¸c˜ao oscilante amortecida da distˆancia `
as paredes, variando de um valor pr´oximo da unidade na parede para um valor maior que zero no interior do n´ucleo distante cinco diˆametros das paredes. Como conseq¨uˆencia a velocidade do escoamento paralelo `a parede cresce ´a medida que se aproxima da parede, atingindo um valor m´aximo antes da parede para ent˜ao se reduzir a zero ( para satisfazer `a condi¸c˜ao de n˜ao deslizamento).