2.3 Considera¸c˜ oes sobre o Modelo e as Hip´ oteses F´ısicas
2.3.4 Linhas Gerais da Dedu¸c˜ ao das Equa¸c˜ oes
As equa¸c˜oes cl´assicas de Navier-Stokes aqui tˆem suas vari´aveis consideradas em m´edia, para ressaltar que elas s˜ao calculadas via m´edias integrais em volumes pequenos ( a integra¸c˜ao num certo sentido, ´e um processo de m´edia generalizado), para obtermos as equa¸c˜oes que descrevem o escoamento de fluidos em meios porosos.
Definimos: q(x, t) ≡ 1 V0 Z Vn vdV (2.26)
onde Vn ´e um volume de controle centrado em x no instante de tempo t. Um pro-
cedimento semelhante atrav´es de m´edias integrais volum´etricas usando-se a rela¸c˜ao (2.25) e a equa¸c˜ao de Navier-Stokes (2.23) toma a forma seguinte
ρ∂t∂q + ρ (q · ∇) nq + n∇pn− nρg − µ∇2q+ +ρ∇ · (nhv vin) −V1 0 Z Sf s (−p v + µv · ∇v) dS = 0 (2.27) A equa¸c˜ao acima ainda precisa ser transformada de modo que seja de uso pr´atico. Temos
• o termo ρ∇ · (nhv vin) ser´a desprezado, sendo importante apenas nos casos de
grandes gradientes das velocidades m´edias em meios porosos. Uma poss´ıvel explica¸c˜ao ´e que nestes casos, as part´ıculas finas de um meio n˜ao consolidado poderiam ser removidas de suas posi¸c˜oes deixando uma cavidade no local, e eventualmente ao serem arrastadas causariam o colapso do meio poroso, fenˆomeno conhecido como eros˜ao interna (piping).
• a quantidade v ´e a diferen¸ca vetorial entre a velocidade real v num ponto no interior de Vn e a velocidade avaliada como m´edia integral sobre Vn dentro do
VER (Volume Elementar Representativo) em torno do ponto; • A avalia¸c˜ao do termo 1 V0 Z Sf s (−p v + µv · ∇v) dS
porosas. Esta, por sua vez, assegura uma descri¸c˜ao bastante precisa da micro- estrutura porosa; ap´os algumas modelagens pode ser escrito como µF (n) q. • A quantidade p ´e a diferen¸ca entre a press˜ao em um ponto dentro do volume
vazio e a press˜ao avaliada via m´edia integral sobre Vn ao longo do VER em
torno desse ponto. O termo envolvendo p ´e considerado, juntamente com o termo devido ao atrito, como parte de uma integral de superf´ıcie. Isso permite a avalia¸c˜ao dos efeitos de atrito nas sec¸c˜oes transversais dos poros, numa fase posterior da an´alise.
• v ´e o vetor normal que aponta para dentro da superf´ıcie; Assim considerando-se que
ρ∇ · (nhv vin) = 0 (2.28) e −µF (n) q = 1 V0 Z Sf s (−p v + µv · ∇v) dS (2.29) a equa¸c˜ao de Navier-Stokes (2.27) toma a forma
ρ∂ ∂tq + ρ (q · ∇) q n + n∇p − ρng − µ 4 q + µF (n) q = 0 (2.30) Observa¸c˜ao 2.16 As equa¸c˜oes acima modelam escoamentos diferentes das que nor- malmente s˜ao chamadas de “equa¸c˜oes de meio porosos”. Estas ´ultimas s˜ao associa- das a fluxos em meios porosos consolidados, nos quais a velocidade e a press˜ao est˜ao relacionadas (geralmente pela lei de Darcy, ou uma de suas variantes).
Cap´ıtulo 3
Existˆencia de Solu¸c˜oes Fracas
3.1
Introdu¸c˜ao
A partir da equa¸c˜ao (2.30), adotaremos a nota¸c˜ao u ≡ q, para propor o problema com um nome de vari´avel mais usual na literatura em EDP’s, e assim obtemos nosso conjunto de equa¸c˜oes a resolver
ρut+ ρ (u · ∇) u n − µ∆u + n∇p + µF (n) u = ρng em QT, div u = 0 em QT = Ω × (0, T ) u (x, 0) = uo(x) , ∀x ∈ Ω, u (x, t) = 0 , ∀t ∈ (0, T ) , ∀x ∈ ∂Ω. (3.1)
onde os operadores div, ∇ e ∆ referem-se apenas `as vari´aveis espaciais.
Em geral, uma das id´eias b´asicas da An´alise ´e decompor fun¸c˜oes arbitr´arias em termos de outras mais simples, com objetivo de encontrar propriedades daquelas fun¸c˜oes a partir das ”componentes”que as representem. Com um objetivo an´alogo, estabeleceremos a existˆencia de uma solu¸c˜ao fraca usando o m´etodo das solu¸c˜oes aproximadas de Faedo-Galerkin. A id´eia ´e (sempre que poss´ıvel) buscar num espa¸co de Sobolev adequado uma formula¸c˜ao variacional equivalente ao problema diferencial - cont´ınuo para o qual se quer uma solu¸c˜ao u , e desta forma obter uma segunda caracteriza¸c˜ao de u que se constr´oi pela sua atua¸c˜ao como argumento de termos da
forma f (u) em produtos escalares definidos pela integral de Lebesgue hf (u) , ϕi =
Z
Ω
f (u) ϕdx
sobre uma classe de fun¸c˜oes ϕ acess´orias suaves, onde f ´e uma aplica¸c˜ao que carac- teriza a EDP tendo como dom´ınio e imagem espa¸cos adequados de fun¸c˜oes. Em outras palavras, u ser´a descrita por uma cole¸c˜ao de m´edias ponderadas onde as fun¸c˜oes peso ϕ (x) pertencem a um certo conjunto D (E) . Como uma aplica¸c˜ao G que associa a qualquer elemento ϕ de um espa¸co linear V um n´umero escalar G (ϕ) do corpo E ´e chamado de funcional sobre V , e desde que seja poss´ıvel dotar D (E) facilmente de uma estrutura de espa¸co linear ent˜ao esta segunda caracte- riza¸c˜ao permitir´a idealmente descrever u como um funcional linear sobre o espa¸co D (E) das fun¸c˜oes acess´orias ϕ (x) . Evidentemente, se a representa¸c˜ao funcional de u fizer sentido, as fun¸c˜oes ϕ (x) precisam ser escolhidas adequadamente para ter pro- priedades desej´aveis. E para isto, examina-se um problema an´alogo definido num espa¸co de dimens˜ao finita k ∈ N, tal que existe uma solu¸c˜ao uk para o mesmo, de
modo que a solu¸c˜ao ukseja uma aproxima¸c˜ao ( num sentido a especificar) da solu¸c˜ao
do problema diferencial. Em seguida, descobrir estimativas capazes de limitar uk
independentemente de k, estendendo-a a todo intervalo [0, T [ . E finalmente, que se possa mostrar a existˆencia de uma subseq¨uencia de {uk}k∈N que converge ( num
sentido espec´ıfico) para a solu¸c˜ao u de (3.1), verificando as condi¸c˜oes iniciais e de contorno ou na pior das hip´oteses, uma solu¸c˜ao da formula¸c˜ao variacional. Ap´os obtermos a formula¸c˜ao variacional, por simplicidade, ainda dividiremos a demons- tra¸c˜ao da existˆencia de solu¸c˜oes nas etapas:
1- Constru¸c˜ao de solu¸c˜oes aproximadas em subespa¸cos de dimens˜ao finita;
2- Estimativas a priori (para mostrar que a fam´ılia {um} das solu¸c˜oes aproximadas
´e limitada em V independente de m, seguindo-se a existˆencia de uma subseq¨uˆencia {umk} fracamente convergente);
3- Passagem ao limite nas solu¸c˜oes aproximadas (e mostrar que o limite fraco ´e uma solu¸c˜ao do problema);