Um dos problemas centrais da visão computacional consiste em determinar as propriedades geométricas de um objeto utilizando imagens em perspectiva e com base nessas propriedades, efetuar o seu reconhecimento. Dessa forma, conclui-se que é essencial determinar proprieda- des da geometria do objeto que sejam invariantes perante o processo que rege a formação da imagem. O ponto fundamental será a possibilidade de descrever os objetos em termos desses invariantes. Nesta seção serão introduzidos os conceitos fundamentais sobre invariantes proje- tivos.
Grupos de Transformações Invariantes Geométricos
Projetividades Colinearidade; Concorrência; Ordem de contato: - Inflexão - Intersecção - Tangência Razão cruzada. Afinidades Paralelismo;
Razão do comprimento de segmentos (Paralelos e Colineares);
Razão entre áreas.
Similaridades Ângulo;
Razão de comprimentos.
Isometrias Área;
Comprimento.
Tabela 1 – Invariantes geométricos pertencentes a um determinado grupo da tabela servem tam- bém como invariantes para os grupos abaixos desses. Os invariantes projetivos são os invariantes mais gerais, se localizam no topo da tabela.
3.6.1 Razão Cruzada
A razão cruzada (do inglês cross-ratio) de quatro pontos colineares é o invariante projetivo mais fundamental: uma razão de comprimentos em uma reta é invariante sob afinidades, mas não sob projetividades; no entanto, uma razão de razão ou razão cruzada de comprimentos em uma reta é um invariante projetivo (HARTLEY; ZISSERMAN, 2004).
A razão cruzada de quatro pontos colineares (P1, P2, P3, P4) dispostos nessa ordem, pode
ser definida como:
RC(P1, P2, P3, P4) = P1P3 P2P3 , P1P4 P2P4 , (3.5)
onde PiPj é a distância entre os pontos Pi e Pj.
Podemos perceber que é possível variar a disposição dos pontos para o cálculo da razão cruzada, como a razão cruzada envolve quatro elementos, assim sendo diferentes ordens dos
índices dos pontos produzem 4! = 24 permutações possíveis para o cálculo desse invariante; no entanto, apenas seis deles têm valores distintos, e dado um invariante RC(P1, P2, P3, P4) = λ,
todos os outros são funcionalmente dependentes dele, ou seja, podem ser derivados a partir de um valor de razão cruzada. Em resumo, todas as 24 diferentes permutações para realização do cálculo da razão cruzada expressarão apenas 6 valores de razão cruzada que são dependentes de um único valor de razão cruzada (SITTA; PEDROSO; TADINI, 2002). Dessa forma, os 6 únicos valores de razão cruzada em função de λ são:
( λ, 1 λ, 1 − λ, 1 1 − λ, λ − 1 λ , λ λ − 1 ) (3.6)
Existem cinco conjuntos de quatro pontos colineares exibidos na Figura 13, onde cada con- junto está relacionado aos outros por uma projetividade linha-a-linha. Uma vez que a razão cruzada é invariante sob uma projetividade, a razão cruzada tem o mesmo valor para todos os conjuntos mostrados na figura.
Figura 13 – A razão cruzada obtida pelo conjunto de pontos colineares (α, β, γ, δ) é a mesma para os outros quatro conjuntos de pontos também colineares (αi, βi, γi, δi) , onde
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3.6.2 Razão Cruzada de cinco pontos coplanares
A razão cruzada de cinco pontos coplanares pode ser entendida como um caso especial de razão cruzada do comprimento de quatro segmentos de retas concorrentes com um único ponto de intersecção. Também pode ser entendida como a razão cruzada das áreas de quatro triângulos coplanares com um vértice em comum (SUK; FLUSSER, 2000). A razão cruzada de cinco pontos coplanares (P1, P2, P3, P4, P5) ou da área de quatro triângulos coplanares com o
vértice P1em comum, pode ser definida como:
RC5(P1, P2, P3, P4, P5) =
∆(P1, P2, P3)∆(P1, P4, P5)
∆(P1, P2, P4)∆(P1, P3, P5)
, (3.7)
onde ∆(Pi, Pj, Pk) é a área do triângulo formado pelos pontos Pi, Pj e Pk.
Observe que ∆(Pi, Pj, Pk) terá valor nulo se Pi, Pj e Pk forem colineares. Sendo assim a
razão cruzada não está definida para todo tipo de arranjo geométrico, como aqueles que apresen- tarem colinearidade de no mínimo três pontos nos termos presentes no denominador da equação 3.7. Outra questão importante a ser discutida é a de que a equação 3.7 é apenas uma das defi- nições para esse invariante; é possível extrair dois desses invariantes projetivos funcionalmente independentes (MARSICO et al., 2012) como ilustrado na Figura 14. Porém não estamos inte- ressados aqui nas permutações desse invariante, isso é apenas para caráter informativo; para o descritor de forma discutido neste trabalho necessitamos apenas de uma única definição desse invariante projetivo.
Figura 14 – O mesmo conjunto de cinco pontos coplanares em (a) e (b) dão origem a dois invariantes projetivos funcionalmente independentes. Cada uma delas podem ser expressas como a razão cruzada de quatro retas concorrentes num ponto base P1em
(a) e P2 em (b); ou como a razão cruzada de quatro áreas de triângulos formados
por combinações dos pontos (P1, P2, P3, P4, P5), tendo como vértices em comum
3.7 DISCUSSÃO
Neste capítulo foram discutidos os princípios da obtenção de imagens pela visão de câmera através do estudo da geometria projetiva e os efeitos de deformação projetiva inerentes ao pro- cesso de visão nos objetos da cena.
Foi introduzido o espaço projetivo P2, onde foi mostrado o plano projetivo e os elementos geométricos básicos, como pontos, direções e retas sob a ótica da geometria projetiva. A hi- erarquia de transformações geométricas foi exibida e suas transformações foram brevemente estudadas. Os invariantes geométricos foram analisados sob o seu ponto de vista prático, e foi mostrado que os invariantes projetivos são mais gerais, isso quer dizer que podem ser utilizados para representar informações visuais extraídas de imagens de maneira mais robusta as diversas situações de cena; em outras palavras, esses invariantes são capazes de descrever objetos nas situações reais com uma flexibilização em discriminar superior aos outros invariantes geomé- tricos. Sendo assim, por fim, foi apresentada a razão cruzada que é o invariante projetivo mais fundamental, e foram expostas suas definições para quatro pontos colineares, e cinco pontos coplanares.
Esses fundamentos servem de base para o entendimento das deformações projetivas que os objetos estão suscetíveis e como é possível extrair e descrever características flexíveis de objetos planares a partir de cenas reais.
4 FUNÇÕES DE DISTÂNCIA, CORRELAÇÃO E DYNAMIC TIME WARPING
Este capítulo é uma miscelânea de conceitos, demonstrações e listagem de funções de dis- tância, correlação e a discussão de um algoritmo para comparações de séries temporais.
O acompanhamento do comportamento de um evento específico por tempo pode produzir informações relevantes. Uma grande variedade de aplicações do mundo real, como fisiologia, meteorologia, geologia, astrofísica, coletam observações que podem ser representadas como séries temporais. Uma série temporal pode ser definida como uma coleção S = (s1, s2, ..., sn)
de dados observados ao longo do tempo, onde n é o número de observações, em outras palavras é um sinal discreto dependente do tempo. Séries temporais podem ser usadas em áreas que lidam com sinais, como em processamento de imagens. Por exemplo, os valores em sequência das distâncias dos pontos do contorno de um objeto planar, em uma imagem, até o centroide do mesmo, podem ser convertidos para séries temporais, sendo útil na descrição de caracterís- ticas de forma (WANG et al., 2008). Então é necessário que existam métricas de comparação entre séries temporais para o problema de correspondência de similaridade. Uma métrica ou função de distância é uma função que define uma distância entre cada par de elementos de um conjunto. As séries temporais são essencialmente vetores de alta dimensão que podem ser comparados com outros vetores de igual dimensão, nesse sentido a função de distância mais utilizada é a Distância Euclidiana. Porém a Distância Euclidiana e suas variantes apresentam algumas desvantagens, que tornam inadequadas em determinadas aplicações (CASSISI et al., 2012). Por estas razões, outras técnicas de medida à distância foram propostas, com maior robustez à computação de similaridade. Neste capítulo são mostradas algumas métricas de dis- tância já consagradas, alguns métodos estatísticos de correlação e técnicas mais complexas que usam programação dinâmica para comparação de séries temporais de maneira mais robusta e flexível às transformações de sinais, como deslocamento, diferença entre números de elementos, variações da amplitude e do tempo.