3.1 Preliminares
3.1.2 Isometrias do bidisco
Sejam 𝑓, 𝑔 ∈ Isom H. Então (𝑓, 𝑔) : (𝑝1, 𝑝2) ↦→ (𝑓 𝑝1, 𝑔𝑝2) é uma isometria de B.
Disso segue que Isom𝑜B := Isom H × Isom H está contido no grupo de isometrias do
bidisco hiperbólico. Além destas, temos ainda a isometria 𝜄 : B → B, (𝑥, 𝑦) ↦→ (𝑦, 𝑥). É bem sabido que o grupo de isometrias do bidisco hiperbólico é uma extensão de Isom𝑜B
pela involução 𝜄. Uma prova elementar deste fato pode ser encontrada em (CHARETTE; DRUMM; LAREAU-DUSSAULT, 2013) e utiliza essencialmente a ideia de que isometrias preservam famílias de subespaços totalmente geodésicos de mesma curvatura.
Proposição 3.1.2 ((CHARETTE; DRUMM; LAREAU-DUSSAULT, 2013)). O grupo de isometrias do bidisco é dado por
Isom B := Isom𝑜B o ⟨𝜄⟩ = {𝜄 ∘ (𝑓1, 𝑓2), (𝑓1, 𝑓2) | 𝑓𝑗 ∈ Isom H, 𝑗 = 1, 2},
onde ⟨𝜄⟩ é o grupo gerado por 𝜄.
O grupo de isometrias do bidisco não age transitivamente em pares de pontos com mesma distância. De fato, sejam 𝑚, 𝑝, 𝑞 ∈ B tais que 𝑚2 = 𝑚1, 𝑝2 = 𝑝1, 𝑞1 = 𝑚1
e 𝑑(𝑚1, 𝑞2) =
√
2𝑑(𝑚1, 𝑝1). É imediato que 𝜇(𝑚, 𝑝) = 𝜇(𝑚, 𝑞), porém não existe uma
isometria 𝐼 ∈ Isom B fixando o ponto 𝑚 e tal que 𝐼𝑝 = 𝑞. De modo geral, temos a seguinte
Proposição 3.1.3. 𝑝, 𝑝′, 𝑞, 𝑞′ ∈ B tais que 𝜇(𝑝, 𝑝′) = 𝜇(𝑞, 𝑞′). Existe uma isometria 𝐼 ∈ Isom B tal que 𝐼𝑝 = 𝑞 e 𝐼𝑝′ = 𝑞′sse os conjuntos {ta(𝑝1, 𝑝′1), ta(𝑝2, 𝑝′2)} e {ta(𝑞1, 𝑞′1), ta(𝑞2, 𝑞2′)}
são iguais.
Demonstração. Pela proposição 3.1.2, 𝐼 = (𝑓1, 𝑓2) ou 𝐼 = 𝜄 ∘ (𝑓1, 𝑓2), onde 𝑓1, 𝑓2 são
isometrias do plano hiperbólico. No primeiro caso, se 𝐼𝑝 = 𝑞 e 𝐼𝑝′ = 𝑞′, então
𝑓1𝑝1 = 𝑞1 e 𝑓1𝑝′1 = 𝑞 ′
1 ⇒ 𝑑(𝑞1, 𝑞1′) = 𝑑(𝑓1𝑝1, 𝑓1𝑝′1) = 𝑑(𝑝1, 𝑝′1).
Um argumento análogo mostra que 𝑑(𝑞2, 𝑞′2) = 𝑑(𝑝2, 𝑝′2). No segundo caso, se 𝐼𝑝 = 𝑞 e
𝐼𝑝′ = 𝑞′, então 𝑓1𝑝1 = 𝑞2 e 𝑓1𝑝′1 = 𝑞 ′ 2 ⇒ 𝑑(𝑞2, 𝑞2′) = 𝑑(𝑓1𝑝1, 𝑓1𝑝′1) = 𝑑(𝑝1, 𝑝′1). E analogamente, 𝑑(𝑞1, 𝑞1′) = 𝑑(𝑓2𝑝2, 𝑓2𝑝′2) = 𝑑(𝑝2, 𝑝′2).
3.1.3
Geodésicas
Geodésicas do bidisco são da forma (𝛾1, 𝛾2), onde 𝛾1 e 𝛾2 são (parametrizações de)
geodésicas em H. De fato, se 𝑝, 𝑞 ∈ B são distintos, então
𝛾 : 𝑡 ↦→ (𝛾𝑝1,𝑞1(𝑡), 𝛾𝑝2,𝑞2(𝑡)) (3.1)
é uma parametrização para a geodésica passando por 𝑝 e 𝑞. Para ver isto, basta notar que
𝜇(︁𝛾(𝑡), 𝛾(𝑠))︁= |𝑡 − 𝑠|
√︁ 𝜆2
1+ 𝜆22
para todos 𝑡, 𝑠 ∈ R, onde 𝜆𝑗 = 𝑑(𝑝𝑗, 𝑞𝑗), 𝑗 = 1, 2 (vide a parametrização 2.2). Note que se
𝜆1 = 0 ou 𝜆2 = 0, i.e., se 𝑝 e 𝑞 têm uma coordenada em comum, então 𝑡 ↦→ 𝛾(𝑡) tem uma
coordenada constante. Um ponto 𝑣 ∈ 𝜕B é um vértice da geodésica 𝛾 se 𝛾(𝑡) → 𝑣 quando
𝑡 → ∞ ou 𝑡 → −∞.
Seja 𝛾 = (𝛾1, 𝛾2) uma geodésica em B. Associamos a 𝛾 a constante 𝜅(𝛾) :=
√︁
|⟨ ˙𝛾2, ˙𝛾2⟩/⟨ ˙𝛾1, ˙𝛾1⟩|. Se ⟨ ˙𝛾1, ˙𝛾1⟩ = 0, i.e., se 𝛾1 é constante, definimos 𝜅(𝛾) := ∞. É claro
que 𝜅(𝛾) independe da parametrização de 𝛾 e que 𝜅(𝜄𝛾) = 𝜅(𝛾)−1. A geodésica 𝛾 é dita
genérica se ambas as projeções 𝜋1𝛾 e 𝜋2𝛾 são geodésicas de H ou, de maneira equivalente,
se 𝜅(𝛾) ̸= 0, ∞. Dizemos que duas geodésicas 𝛾 e 𝜎 em B são equivalentes se 𝜅(𝛾) = 𝜅(𝜎) ou 𝜅(𝛾) = 𝜅(𝜎)−1.
Proposição 3.1.4. Sejam 𝛾 e 𝜎 duas geodésicas distintas em B. Existe uma isometria
32 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico
Observação 3.1.5. No plano hiperbólico, uma geodésica é unicamente determinada por
um par de pontos isotrópicos 𝑣, 𝑤 ∈ 𝜕H (seus vértices). Já no bidisco, dados dois pontos
𝑣, 𝑤 ∈ 𝜕B distintos, temos as seguintes possibilidades:
1. Suponha que 𝑣 esteja no toro sólido H × 𝜕H e que 𝑣 seja o vértice de alguma geodésica 𝛾 ∈ B. Denote por 𝑤 ∈ 𝜕B o outro vértice de 𝛾. Suponha primeiro que 𝑣 e
𝑤 estão em toros sólidos distintos, i.e., que 𝑣 = (𝑥, 𝑣′) e 𝑤 = (𝑤′, 𝑦), onde 𝑥, 𝑦 ∈ H e 𝑣′, 𝑤′ ∈ 𝜕H. Sejam 𝑝, 𝑞 ∈ B pontos distintos de 𝛾. Da parametrização 3.1 segue que 𝛾 não tem os vértices descritos. Suponha agora que 𝑣 e 𝑤 estão no mesmo toro sólido, mas com coordenadas negativas distintas. Um argumento análogo ao anterior mostra 𝑣 e 𝑤 não são vértices de nenhuma geodésica em B. Resta o caso em que 𝑣 e 𝑤 pertencem ao mesmo toro sólido e têm coordenadas negativas iguais, ou seja,
𝑣 = (𝑥, 𝑣′) e 𝑤 = (𝑥, 𝑤′), para certos 𝑥 ∈ H e 𝑣′, 𝑤′
∈ 𝜕H. Assim, se 𝛾′ é a geodésica
em H com vértices 𝑣′ e 𝑤′, a geodésica 𝛾 : 𝑡 ↦→(︁𝑥, 𝛾′(𝑡))︁ é a única geodésica em B ligando 𝑣 e 𝑤. O caso em que 𝑣 ∈ 𝜕H × H é análogo.
2. Suponha que 𝑣, 𝑤 ∈ 𝜕0B. Neste caso, existem infinitas geodésicas com vértices 𝑣 e 𝑤.
De fato, defina
𝛾𝜆,𝑟(𝑡) =(︁𝑒−𝑡𝑣1− 𝑒𝑡𝑘1𝑤1, 𝑒−𝑡𝜆−𝑟𝑣2− 𝑒𝑡𝜆+𝑟𝑘2𝑤2
)︁
, (3.2)
onde 𝜆, 𝑟 ∈ R, 𝜆 > 0 e 2𝑘𝑗 = ⟨𝑣𝑗, 𝑤𝑗⟩−1, 𝑗 = 1, 2. Então é imediato que 𝛾𝜆,𝑟 tem
vértices 𝑣 e 𝑤 e que 𝛾𝜆,𝑟 ̸= 𝛾𝜆′,𝑟′ se (𝜆, 𝑟) ̸= (𝜆′, 𝑟′). Essas são, de fato, todas as
geodésicas com vértices 𝑣 e 𝑤.
3.2
Superfícies do bidisco
As superfícies totalmente geodésicas do bidisco são, geometricamente, de três tipos distintos, dependendo da geometria nelas induzida. As diagonais possuem, com a métrica induzida, curvatura constante −1/2; os planos verticais/horizontais têm curvatura constante −1 e, os planos euclidianos, curvatura constante 0.
Estas superfícies totalmente geodésicas desempenharão um papel central na cons- trução de certas classes de hipersuperfícies do bidisco, apresentadas na seção seguinte.
3.2.1
Planos verticais/horizontais
Planos verticais/horizontais constituem a classe mais simples de superfícies total- mente geodésicas em B. Eles serão utilizados para mostrar que os fibrados triviais sobre superfícies de gênero 𝑘 > 2 admitem geometria modelada no bidisco.
Definição 3.2.1. O produto 𝑝 × H (resp. H × 𝑝) de um ponto e um plano hiperbólico
Via a involução 𝜄, planos verticais e horizontais são isométricos. O estabilizador de um plano vertical 𝑝 × H em Isom B é, naturalmente, o produto do estabilizador SO(2) de um ponto no plano hiperbólico pelo grupo SO(2, 1) de isometrias do disco hiperbólico, ou seja, Stab(𝑝 × H) ≃ SO(2) × SO(2, 1).
Dado um plano vertical 𝑝 × H e um ponto (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑝 × H, é fácil ver que 𝑣 ∈ T(𝑝,𝑞)B
é tangente a 𝑝 × H sse 𝑣1 = 0 ∈ T𝑝H e 𝑣2 ∈ T𝑞H.
Observação 3.2.2. Um plano vertical e um plano horizontal sempre se intersectam em
um único ponto e o fazem ortogonalmente. De fato, se 𝑣 ∈ 𝑇(𝑝,𝑞)(𝑝 × H) e 𝑤 ∈ 𝑇(𝑝,𝑞)(H × 𝑞),
então 𝑣 = (0, 𝑣) e 𝑤 = (𝑤, 0) para alguns 𝑣 ∈ 𝑇𝑞H e 𝑤 ∈ 𝑇𝑝H. Logo, ⟨𝑣, 𝑤⟩ = 0.
A projeção ortogonal no plano vertical 𝑝 × H é definida por
proj𝑝×H: 𝑥 ↦→ (𝑝, 𝑥2), 𝑥 ∈ B. (3.3)
É claro que 𝜇(︁𝑥, 𝑝 × H)︁= 𝑑(𝑥1, 𝑝). Além do mais, para cada 𝑥 ∈ 𝑝 × H, proj−1𝑝×H𝑥 = H × 𝑥2
é ortogonal a 𝑝 × H em (𝑝, 𝑥2). Isso implica que
B = proj−1𝑝×H(𝑝 × H) =
⨆︁
𝑥∈𝑝×H
proj−1𝑝×H𝑥,
onde ⨆︀
denota a união disjunta.
A projeção ortogonal projH×𝑝 no plano horizontal H × 𝑝 é definida de maneira análoga.
3.2.2
Planos euclidianos
Planos euclidianos são superfícies totalmente geodésicas de curvatura constante zero no bidisco. Eles serão utilizados na construção de um fibrado trivial sobre o toro com a geometria modelada no bidisco (Teorema 4.1.2).
Definição 3.2.3. Um plano euclidiano é o produto 𝛾1× 𝛾2 de duas geodésicas 𝛾1, 𝛾2 ⊂ H.
Se 𝑢𝑗 ∈ E𝑉 é o ponto polar da geodésica 𝛾𝑗, 𝑗 = 1, 2, dizemos que 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) é o ponto
polar do plano euclidiano 𝛾1× 𝛾2.
Toda geodésica genérica determina (e está contida em) um único plano euclidiano. Neste caso, chamaremos o plano euclidiano determinado pela geodésica genérica 𝛾 de o
plano de 𝛾. Se uma geodésica não é genérica, então ela está contida em infinitos planos
euclidianos que se intersectam apenas nesta geodésica.
Planos euclidianos contêm representates de todas as classes de equivalência de geodésicas do bidisco, i.e., se 𝑆 é um plano euclidiano arbitrário, então para cada 𝜅 ∈ R, existe pelo menos uma geodésica 𝛾 em 𝑆 com 𝜅(𝛾) = 𝜅 (ver observação 3.1.5). Isso não é
34 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico
verdade, por exemplo, para planos verticais/hotizontais, que só possuem geodésicas com
𝜅 = 0, ∞, e para diagonais que só possuem geodésicas com 𝜅 = 1 (ver definição 3.2.11).
O estabilizador de um plano euclidiano no bidisco é particularmente pobre:
Proposição 3.2.4. Uma isometria 𝐼 do bidisco estabiliza o plano euclidiano 𝑆 = 𝛾1× 𝛾2,
sse
1. 𝐼 = (𝑓1, 𝑓2) para qualquer par 𝑓1, 𝑓2 ∈ Isom H tal que 𝑓𝑗𝛾𝑗 = 𝛾𝑗, 𝑗 = 1, 2.
2. 𝐼 = 𝜄 ∘ (𝑓1, 𝑓2) para qualquer par 𝑓1, 𝑓2 ∈ Isom H tal que 𝑓𝑗𝛾𝑗 = 𝛾𝑗+1, 𝑗 = 1, 2 (índices
mod 2).
Demonstração. Pela proposição 3.1.2, 𝐼 = (𝑓1, 𝑓2) ou 𝐼 = 𝜄 ∘ (𝑓1, 𝑓2) onde 𝑓1, 𝑓2 são
isometrias do plano hiperbólico. No primeiro caso, (𝑓1, 𝑓2)(𝑝1, 𝑝2) ∈ 𝛾1 × 𝛾2, ∀𝑝𝑗 ∈ 𝛾𝑗,
sse 𝑓𝑗 estabiliza 𝛾𝑗, 𝑗 = 1, 2. No segundo caso, i ∘ (𝑓1, 𝑓2)(𝑝1, 𝑝2) = (𝑓2𝑝2, 𝑓1𝑝1) ∈ 𝛾1× 𝛾2,
∀𝑝𝑗 ∈ 𝛾𝑗, 𝑗 = 1, 2, sse 𝑓1 manda 𝛾1 para 𝛾2 e 𝑓2 manda 𝛾2 para 𝛾1.
Corolário 3.2.5. Se 𝐼 ∈ Isom B estabiliza um plano euclidiano e tem ordem finita, então
𝐼 tem ordem no máximo 4.
Demonstração. Segue imadiatamente da proposição 3.1.3.
Seja 𝑆 = 𝛾1× 𝛾2 um plano. Uma tal isometria é dada por 𝐼 = 𝜄 ∘ (𝑓 𝑟(𝑝), ℎ𝑓−1),
onde 𝑝 ∈ 𝛾1 e 𝑓, ℎ ∈ Isom H são tais que 𝑓 𝛾1 = 𝛾2 e ℎ é hiperbólica com eixo 𝛾1 ou ℎ = 1.
De fato, dado 𝑥 ∈ B, temos
(︁ i∘(︁𝑓 𝑟(𝑝), ℎ𝑓−1)︁)︁4(𝑥1, 𝑥2) = (︁ i∘ (𝑓 𝑟(𝑝), ℎ𝑓−1))︁3(︁ℎ𝑓−1𝑥2, 𝑓 𝑟(𝑝)𝑥1 )︁ =(︁i∘ (𝑓 𝑟(𝑝), ℎ𝑓−1))︁2(︁ℎ𝑟(𝑝)𝑥1, 𝑓 𝑟(𝑝)ℎ𝑓−1𝑥2 )︁ = i ∘(︁𝑓 𝑟(𝑝), ℎ𝑓−1)︁(︁ℎ𝑟(𝑝)ℎ𝑓−1𝑥2, 𝑓 𝑟(𝑝)ℎ𝑟(𝑝)𝑥1 )︁ =(︁ℎ𝑟(𝑝)ℎ𝑟(𝑝)𝑥1, 𝑓 𝑟(𝑝)ℎ𝑟(𝑝)ℎ𝑓−1𝑥2 )︁ =(︁ℎℎ−1𝑥1, 𝑓 ℎ−1ℎ𝑓−1𝑥2 )︁ =(︁𝑥1, 𝑥2 )︁ . Além do mais i∘(︁𝑓 𝑟(𝑝), ℎ𝑓−1)︁(𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1, 𝑥2) ⇔ (︁ ℎ𝑓−1𝑥2, 𝑓 𝑟(𝑝)𝑥1 )︁ = (𝑥1, 𝑥2) ⇔ ℎ𝑓−1𝑥2 = 𝑥1 e 𝑓 𝑟(𝑝)𝑥1 = 𝑥2 ⇒ 𝑥2 = 𝑓 ℎ−1𝑥1 e 𝑓 𝑟(𝑝)𝑥1 = 𝑓 ℎ−1𝑥1 ⇒ 𝑟(𝑝)𝑥1 = ℎ−1𝑥1 ⇒ 𝑥1 = 𝑚 ⇒ 𝑥2 = 𝑓 ℎ−1𝑚,
onde 𝑚 = 𝛾𝑝,ℎ𝑝(1/2), ou seja, 𝐼 fixa o ponto (𝑚, 𝑓 ℎ−1𝑚) ∈ 𝑆. É claro que se ℎ estabiliza
Definição 3.2.6. Dois planos euclidianos distintos 𝛾1× 𝛾2 e 𝛾1′ × 𝛾 ′
2 são ditos, respecti-
vamente, ultraparalelos, assintóticos, concorrentes se as geodésicas 𝛾𝑗 e 𝛾𝑗′, 𝑗 = 1, 2, são
ultraparalelas, assintóticas, concorrentes.
Planos euclidianos concorrentes se intersectam em um único ponto em B; planos assintóticos se intersectam em um único ponto em 𝜕B; planos ultraparalelos são disjuntos em B. Existem ainda planos euclidianos que se intersectam ao longo de uma geodésica em B. Como um exemplo, tome 𝛾1× 𝛾 e 𝛾1′ × 𝛾, onde 𝛾, 𝛾1, 𝛾1′ são geodésicas em H com 𝛾1 e
𝛾1′ concorrentes.
Observação 3.2.7. Sejam 𝑆 = 𝛾1 × 𝛾2 e 𝑆′ = 𝛾1′ × 𝛾 ′
2 planos euclidianos concorrentes.
Seja 𝜃𝑗 o ângulo no qual as geodésicas 𝛾𝑗 e 𝛾𝑗′ se intersectam, 𝑗 = 1, 2. O par (𝜃1, 𝜃2) é um
invariante geométrico deste par de planos. Chamaremos tal invariante de ângulo entre 𝑆 e
𝑆′.
Dado um plano euclidiano 𝑆 = 𝛾1 × 𝛾2 e um ponto 𝑝 ∈ 𝑆 é automático verificar
que 𝑣 ∈ T𝑝B é tangente a 𝑆 em 𝑝 sse 𝑣𝑗 ∈ T𝑝𝑗𝛾𝑗, 𝑗 = 1, 2.
Proposição 3.2.8. Sejam 𝑆 = 𝛾1× 𝛾2 e 𝑆′ = 𝛾1′ × 𝛾 ′
2 planos euclidianos concorrentes.
Então 𝑆 e 𝑆′ são ortogonais sse 𝛾𝑗 e 𝛾𝑗′, 𝑗 = 1, 2, são ortogonais.
Demonstração. É claro que a ortogonalidade de 𝛾𝑗 e 𝛾𝑗′, 𝑗 = 1, 2, implica a ortogonalidade
de 𝑆 e 𝑆′. Suponha que 𝑆 e 𝑆′ são ortogonais no ponto 𝑝 = 𝑆 ∩ 𝑆′. Então, para quaisquer
𝑣 ∈ T𝑝𝑆 e 𝑣′ ∈ T𝑝𝑆′, temos ⟨𝑣, 𝑣′⟩ = 0. Se 𝑣′ = (𝑣1′, 0) ∈ T𝑝𝑆′, onde 𝑣1′ ̸= 0, então
0 = ⟨𝑣, 𝑣′⟩ ⇔ ⟨𝑣1, 𝑣1′⟩ = −⟨𝑣2, 0⟩ = 0 para qualquer 𝑣 ∈ T𝑝𝑆, ou seja, T𝑝1𝛾1 e T𝑝1𝛾 ′ 1 são
ortogonais. Um raciocínio análogo mostra que T𝑝2𝛾2 e T𝑝2𝛾 ′
2 devem ser ortogonais.
Seja 𝛾 uma geodésica em H com ponto polar 𝑢. A projeção ortogonal na geodésica
𝛾 é dada por (vide (ANAN’IN; GROSSI, 2011a) ou (GOLDMAN, 1999))
𝜋(𝑢)𝑥 := 𝑥 − ⟨𝑥, 𝑢⟩
⟨𝑢, 𝑢⟩𝑢. (3.4)
A projeção ortogonal no plano euclidiano 𝛾1× 𝛾2 é definida por
proj𝛾1×𝛾2 : 𝑥 ↦→
(︁
𝜋(𝑢1)𝑥1, 𝜋(𝑢2)𝑥2
)︁ ,
onde 𝑢𝑗 é o polar da geodésica 𝛾𝑗, 𝑗 = 1, 2.
Observação 3.2.9. Quando não houver possibilidade de consufão, vamos escrever proj𝑆
para indicar a projeção ortogonal no plano euclidiano 𝑆 = 𝛾1× 𝛾2.
Proposição 3.2.10. Se 𝑆 é um plano euclidiano, então para qualquer 𝑝 ∈ 𝑆, o subespaço
proj−1𝑆 𝑝 é o plano euclidiano ortogonal a 𝑆 em 𝑝. Além do mais, proj−1𝑆 𝑝 ∩ proj−1𝑆 𝑞 = ∅
sse 𝑝 ̸= 𝑞, 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑆. Em particular B =⨆︀
𝑝∈𝑆proj
−1
36 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico
Demonstração. Seja 𝑆 = 𝛾1 × 𝛾2 e seja 𝑝 ∈ 𝑆. Então proj−1𝑆 𝑝 = 𝛾
′ 1 × 𝛾 ′ 2, onde 𝛾 ′ 𝑗 é
a geodésica ortogonal a 𝛾𝑗 no ponto 𝑝𝑗, 𝑗 = 1, 2. E como em H geodésicas (distintas)
ortogonais a uma geodésica em comum são ultraparalelas, temos que proj−1𝑆 𝑝 ∩ proj−1𝑆 𝑞 = ∅
sse 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑆 são distintos.
3.2.3
Diagonais
Uma diagonal no bidisco nada mais é do que uma identificação 𝑓 ∈ Isom H do disco hiperbólico com si mesmo. Diagonais serão utilizadas para provar que o fibrado tangente de discos sobre uma superfície de gênero 𝑘 > 2 admite geometria modelada no bidisco hiperbólico.
Definição 3.2.11. Uma diagonal é qualquer subespaço da forma Δ𝑓 :=
{︁
(𝑥, 𝑓 𝑥) | 𝑥 ∈ H}︁, onde 𝑓 ∈ Isom H.
Note que se 𝐼 é um isometria arbitrária do bidisco, então 𝐼Δ1 = Δ𝑓, onde 𝑓 = 𝑓2𝑓1−1
(resp. 𝑓 = 𝑓1𝑓2−1) se 𝐼 = (𝑓1, 𝑓2) (resp. 𝐼 = 𝜄∘(𝑓1, 𝑓2)). Em particular, o espaço das diagonais
em B tem dimensão 3.
Observação 3.2.12. No que se segue, vamos escrever Δ𝑝, 𝑝 ∈ H, e Δ ao invés de Δ𝑟(𝑝) e
Δ1, respectivamente.
Se 𝛾 é uma geodésica na diagonal Δ𝑓, então 𝛾2(𝑡) = 𝑓 𝛾1(𝑡) para todo 𝑡 ∈ R. Em
particular 𝜅(𝛾) = 1. Reciprocamente, se 𝛾 é uma geodésica em B tal que 𝜅(𝛾) = 1, então existe uma única isometria 𝑓 ∈ Isom H tal que 𝛾2(𝑡) = 𝑓 𝛾1(𝑡) para todo 𝑡 ∈ R. A diagonal
Δ𝑓 será chamada de a diagonal de 𝛾.
Proposição 3.2.13. O estabilizador da diagonal Δ𝑓 é dado por
Stab (Δ𝑓) =
{︁
(𝑔, 𝑓 𝑔𝑓−1), 𝜄 ∘ (𝑓 𝑔, 𝑔𝑓−1) | 𝑔 ∈ Isom H}︁.
Demonstração. Seja 𝐼 = (𝑓1, 𝑓2) ou 𝐼 = 𝜄 ∘ (𝑓1, 𝑓2). Então 𝐼𝑝 ∈ Δ para todo 𝑝 ∈ Δ sse
𝑓1 = 𝑓2. Resta conjugar essas isometrias por (1, 𝑓 ).
Proposição 3.2.14. Duas diagonais arbitrárias Δ𝑓, Δ𝑔 se intersectam, respectivamente,
em um único ponto de B, em um único ponto de 𝜕B, em exatamente dois pontos distintos de 𝜕B sse 𝑓−1𝑔 é elíptica, parabólica, hiperbólica.
Demonstração. Se 𝑝 ∈ Δ𝑓 ∩ Δ𝑔, então existem 𝑥, 𝑦 ∈ H tais que 𝑝 = (𝑥, 𝑓 𝑥) = (𝑦, 𝑔𝑦).
Logo, 𝑥 = 𝑦 e 𝑓−1𝑔𝑥 = 𝑥.
Definição 3.2.15. Dizemos que duas diagonais distintas são, respectivamente, ultrapara-
lelas, assintóticas, concorrentes se elas se intersectam em exatamente dois pontos distintos
Um vetor 𝑣 ∈ T𝑝B é tangente à diagonal Δ𝑓 no ponto 𝑝 ∈ Δ𝑓 sse 𝑣2 = 𝑓 𝑣1. Dadas
duas diagonais concorrentes Δ𝑓 e Δ𝑔, é natural definir o ângulo entre elas por |𝜃|/2, onde
𝜃 ∈ [−𝜋, 𝜋] é o ângulo de rotação da isometria elíptica 𝑓−1𝑔. A diagonal Δ𝑓 é ortogonal à
diagonal Δ sse 𝑓 = 𝑟(𝑝), para algum ponto 𝑝 ∈ H.
A projeção ortogonal na diagonal Δ𝑓 é definida por
projΔ
𝑓 : 𝑥 ↦→ (𝑚, 𝑓 𝑚),
onde 𝑚 = 𝛾𝑥1,𝑓−1𝑥
2(1/2).
Proposição 3.2.16. Sejam 𝑝 ∈ B e 𝑓 ∈ Isom H. Então projΔ𝑓𝑝 ∈ Δ𝑓 é o (único) ponto
na diagonal Δ𝑓 que realiza a distância entre 𝑝 e Δ𝑓.
Demonstração. Podemos supor 𝑓 = 1. Sejam 𝑚 = 𝛾𝑝1,𝑝2(1/2), o ponto médio de 𝑝1 e
𝑝2 em H, e 𝛾 a geodésica em H passando por 𝑝1 e 𝑝2. Seja ainda 𝑦 ∈ H∖𝛾 (o caso
𝑦 ∈ 𝛾, 𝑦 ̸= 𝑚 segue pelo mesmo argumento). Então 𝜇2(𝑝, (𝑦, 𝑦)) = 𝑑2(𝑝
1, 𝑦) + 𝑑2(𝑝2, 𝑦) >
𝑑2(𝑝
1, 𝑦′) + 𝑑2(𝑝2, 𝑦′), onde 𝑦′ é a projeção ortogonal de 𝑦 em 𝛾. Se 𝑦′ está entre 𝑝1 e 𝑝2 ,
então 𝑑2(𝑝1, 𝑦′) + 𝑑2(𝑝2, 𝑦′) = (︁ 𝑑(𝑝1, 𝑦′) + 𝑑(𝑝2, 𝑦′) )︁2 − 2𝑑(𝑝1, 𝑦′)𝑑(𝑝2, 𝑦′) > 𝑑2(𝑝1, 𝑝2) − 2𝑑(𝑝1, 𝑚)𝑑(𝑝2, 𝑚) = 𝑑2(𝑝1, 𝑝2)/2 = 𝜇2(𝑝, (𝑚, 𝑚)). Se 𝑦′ não está entre 𝑝1 e 𝑝2, então
𝑑2(𝑝1, 𝑦′) + 𝑑2(𝑝2, 𝑦′) = (𝑑(𝑝1, 𝑦′) − 𝑑(𝑝2, 𝑦′))2+ 2𝑑(𝑝1, 𝑦′)𝑑(𝑝2, 𝑦′)
= 𝑑2(𝑝1, 𝑝2) + 2𝑑(𝑝1, 𝑦′)𝑑(𝑝2, 𝑦′) > 𝑑2(𝑝1, 𝑝2)/2
= 𝜇2(𝑝, (𝑚, 𝑚)).
A seguinte observação é uma aplicação direta da proposição anterior.
Observação 3.2.17. Sejam 𝑝 ∈ B e 𝑞 ∈ Δ. Então projΔ𝑝 = 𝑞 sse 𝑝2 = 𝑅(𝑞1)𝑝1. Logo,
proj−1Δ 𝑞 = Δ𝑞1. De modo geral, a diagonal ortogonal a Δ𝑓 em 𝑝 ∈ Δ𝑓 é dada por
proj−1Δ
𝑓𝑝 = Δ𝑓 𝑟(𝑝1). Note ainda que proj −1
Δ𝑓𝑝 ∩ proj
−1
Δ𝑓𝑞 = ∅ sse 𝑝 ̸= 𝑞, 𝑝, 𝑞 ∈ Δ𝑓, o que
implica que B = proj−1Δ𝑓Δ𝑓 = ⨆︀
𝑝∈Δ𝑓 proj
−1 Δ𝑓𝑝.
Proposição 3.2.18. Duas diagonais ultraparalelas possuem uma família uniparamétrica
de diagonais simultâneamente ortogonais a ambas.
Demonstração. Suponha que as diagonais em questão são Δ e Δ𝑓, para alguma isome-
tria hiperbólica 𝑓 ∈ Isom H. A ortogonalidade de Δ𝑝 e Δ𝑓 (ver observação anterior) é
38 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico
ortogonais sse 𝑟(𝑝)𝑓 é uma reflexão em ponto. Provemos que isto acontece sse 𝑝 é um ponto no eixo 𝑓 .
De fato, suponha que 𝑝 pertence ao eixo de 𝑓 . Escrevemos 𝑓 na forma 𝑓 = 𝑟(𝑝2)𝑟(𝑝1),
onde 𝑝1, 𝑝2 pertencem ao eixo de 𝑓 . Movendo simultaneamente 𝑝1 e 𝑝2 ao longo de eixo
de 𝑓 sem alterar as distâncias entre tais pontos (tal movimento se chama um bending, vide (ANAN’IN,2012)), não modificamos a isometria 𝑓 . Assim, podemos fazer 𝑝2 = 𝑝, isto
é, 𝑓 = 𝑟(𝑝)𝑟(𝑝′1) para algum 𝑝′1 no eixo da isometria. Daí, 𝑟(𝑝)𝑓 = 𝑟(𝑝)𝑟(𝑝)𝑟(𝑝′1) = 𝑟(𝑝′1). Reciprocamente, suponha que 𝑟(𝑝)𝑓 é uma reflexão em ponto e que 𝑝 não pertence ao eixo de 𝑓 . Escrevemos 𝑓 na forma 𝑓 = 𝑟2𝑟1 onde 𝑟𝑗 é a reflexão numa geodésica 𝛾𝑗,
𝑗 = 1, 2, ortogonal ao eixo de 𝑓 e tal que 𝑝 ∈ 𝛾2. Seja 𝛾3 a geodésica ortogonal a 𝛾2
passando por 𝑝. Então 𝑟(𝑝) = 𝑟3𝑟2, onde 𝑟3 denota a reflexão na geodésica 𝛾3. Assim,
𝑟(𝑝)𝑓 = 𝑟3𝑟2𝑟2𝑟1 = 𝑟3𝑟1. Como 𝑟(𝑝)𝑓 é uma reflexão em ponto, isto significa que as
geodésicas 𝛾1 e 𝛾3 se intersectam ortogonalmente, o que é impossível.
Logo, para cada 𝑝 ∈ eixo(𝑓 ) a diagonal Δ𝑝 é ortogonal a Δ e a Δ𝑓. Em particular,
Δ𝑝 intersecta Δ𝑓 em projΔ𝑓Δ𝑝 = (𝑚, 𝑓 𝑚), onde 𝑚 = 𝛾𝑝,𝑓−1𝑝(1/2).
Corolário 3.2.19. Sejam Δ𝑓1 e Δ𝑓2 ultraparalelas. A diagonal Δ𝑓 é simultâneamente
ortogonal a Δ𝑓1 e Δ𝑓2 sse 𝑓 = 𝑓1𝑟(𝑝) ou 𝑓 = 𝑓2𝑟(𝑝) para algum ponto 𝑝 no eixo de 𝑓 −1 1 𝑓2.
Demonstração. Pela Observação3.2.17, a diagonal Δ𝑝 é ortogonal a Δ; pelo Lema acima,
Δ𝑝 é ortogonal a Δ𝑓1−1𝑓2 (resp. Δ𝑓2−1𝑓1) sse 𝑝 é um ponto no eixo de 𝑓 −1
1 𝑓2. Logo uma
diagonal Δ𝑓 é simultâneamente ortogonal a Δ𝑓1 e Δ𝑓2 sse 𝑓 = 𝑓1𝑟(𝑝) (resp. 𝑓 = 𝑓2𝑟(𝑝))
para algum 𝑝 no eixo de 𝑓1−1𝑓2.
Sejam 𝑓1 e 𝑓2 como no corolário acima. Da proposição3.2.18, se 𝑝 pertence ao eixo
de ℎ𝑗 := 𝑓𝑗−1𝑓𝑗+1, então Δ𝑝 intersecta Δ e Δℎ𝑗, respectivamente, em (𝑝, 𝑝) e (𝑚, ℎ𝑗𝑚), onde 𝑚 = 𝛾𝑝,ℎ−1
𝑗 𝑝(1/2), 𝑗 = 1, 2 (índices mod 2). Aplicando (1, 𝑓𝑗), obtemos que Δ𝑓𝑗𝑟(𝑝)intersecta
ortogonalmente Δ𝑓𝑗 e Δ𝑓𝑗+1, respectivamente, em (𝑝, 𝑓𝑗𝑝) e (𝑚, 𝑓𝑗+1𝑚), 𝑗 = 1, 2 (índices
mod 2). Portanto, variando 𝑝, vemos que duas diagonais ultraparalelas Δ𝑓1 e Δ𝑓2 possuem
ortogonais comuns (somente) ao longo das geodésicas (𝛾, 𝑓1𝛾) ⊂ Δ𝑓1 e (𝛾, 𝑓2𝛾) ⊂ Δ𝑓2,
onde 𝛾 é o eixo de 𝑓1−1𝑓2. Como consequência, temos a seguinte
Proposição 3.2.20. A distância entre duas diagonais ultraparalelas Δ𝑓1 e Δ𝑓2, é dada
por 𝜇(︁Δ𝑓1, Δ𝑓2 )︁ = ℓ𝑓/ √ 2, onde 𝑓 := 𝑓1−1𝑓2.
Como visto logo acima, a distância entre Δ𝑓1 e Δ𝑓2 é dada por
𝜇2((𝑝, 𝑓1𝑝), (𝑚, 𝑓2𝑚)) = 𝑑2(𝑝, 𝑚) + 𝑑2(𝑓1𝑝, 𝑓2𝑚) = 𝑑2(𝑝, 𝑚) + 𝑑2(𝑓−1𝑝, 𝑚)
= 2𝑑2(𝑝, 𝑚) = 𝑑2(𝑝, 𝑓 𝑝)/2.
Observação 3.2.21. Se 𝑓 ∈ Isom H é elíptica ou hiperbólica, faz sentido associar o
símbolo 𝑓𝑡 à isometria com o mesmo conjunto de pontos fixos que 𝑓 , mas com autovalores
elevados a 𝑡 ∈ R. É claro que 𝑓0 := 1. Vamos nos referir ao grupo 𝐶(𝑓 ) := {𝑓𝑡 | 𝑡 ∈ R} como
o subgrupo uniparamétrico de 𝑓 . Note que se 𝐼 ∈ Isom𝑜B, podemos definir 𝐼𝑡 := (𝑓1𝑡, 𝑓2𝑡),
sempre que 𝑓𝑗, 𝑗 = 1, 2, é elíptica ou hiperbólica.
A reflexão na diagonal Δ𝑓 é definida por
𝑅(𝑓 ) := 𝜄 ∘ (𝑓, 𝑓−1).
Claro que 𝑅(𝑓 ) é uma involução que fixa Δ𝑓 pontualmente. Além disso, 𝑅(𝑓 ) é uma
reflexão no sentido usual, isto é, 𝑅(𝑓 ) estabiliza as diagonais ortogonais a Δ𝑓 (para ver
isto, tome 𝑓 = 1).
Dadas duas diagonais ultraparalelas Δ𝑓1 e Δ𝑓2, dizemos que Δ𝑓 é a diagonal média
de Δ𝑓1 e Δ𝑓2 se 𝑅(𝑓 )Δ𝑓1 = Δ𝑓2.
Proposição 3.2.22. Sejam Δ𝑓1 e Δ𝑓2 ultraparalelas. Então a diagonal média de Δ𝑓1 e
Δ𝑓2 é dada por Δ𝑓 com 𝑓 = 𝑓1(𝑓 −1
1 𝑓2)1/2 = 𝑓2(𝑓1−1𝑓2)−1/2.
Demonstração. Dado (𝑥, 𝑓1𝑥) ∈ Δ𝑓1, temos
𝑅(𝑓 )(𝑥, 𝑓1𝑥) = 𝜄 ∘ (𝑓, 𝑓−1)(𝑥, 𝑓1𝑥) = (𝑓−1𝑓1𝑥, 𝑓 𝑥) = ((𝑓1−1𝑓2)−1/2𝑥, 𝑓1(𝑓1−1𝑓2)1/2𝑥)
= ((𝑓1−1𝑓2)−1/2𝑥, 𝑓2𝑓2−1𝑓1(𝑓1−1𝑓2)1/2𝑥) = ((𝑓1−1𝑓2)−1/2𝑥, 𝑓2(𝑓1−1𝑓2)−1/2𝑥),
ou seja, 𝑅(𝑓 )(𝑥, 𝑓1𝑥) ∈ Δ𝑓2.
3.3
Hipersuperfícies do bidisco
Nesta seção, descreveremos alguns tipos de hipersuperfícies do bidisco (fibradas por superfícies totalmente geodésicas) bem como exibiremos critérios suficientes para garantir que duas hipersuperfícies de um mesmo tipo se intersectem somente ao longo de uma fibra comum a ambas. Isto é essencial para a construção de poliedros fundamentais cujas faces são as mencionadas hipersuperfícies.
40 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico