Teorema 3.4.1. Os únicos subespaços totalmente geodésicos do bidisco são: pontos,
geodésicas, planos verticais/horizontais, planos euclidianos, diagonais e fibrações verti- cais/horizontais.
A prova deste fato será subdividida numa série de lemas e proposições.
Lema 3.4.2. Se um subconjunto totalmente geodésico 𝐶 de H contém uma geodésica 𝛾 e
um ponto 𝑝 ∈ H, 𝑝 /∈ 𝛾, então 𝐶 = H.
Observação 3.4.3. Dados dois pontos 𝑝, 𝑞 ∈ H, lembre-se que 𝛾𝑝,𝑞 denota a geodésica
parametrizada tal que 𝛾𝑝,𝑞(0) = 𝑝 e 𝛾𝑝,𝑞(1) = 𝑞. Em particular, 𝛾𝑝,𝑞(2) = 𝑟(𝑞)𝑝 e 𝛾𝑝,𝑞(−1) =
𝑟(𝑝)𝑞.
Lema 3.4.4. Sejam 𝛾 uma geodésica em H e 𝑝 ∈ H, 𝑝 /∈ 𝛾. Sejam 𝑞, 𝑞1, 𝑞2 ∈ 𝛾 dois a dois
distintos e tais que 𝑑(𝑝, 𝑞) = 𝑑(𝑝, 𝛾) e 𝑑(𝑞, 𝑞1) = 𝑑(𝑞, 𝑞2). Para cada 𝑡 ̸= 0, ±1, os pontos
𝛾𝑝,𝑞(𝑡), 𝛾𝑝,𝑞1(𝑡) e 𝛾𝑝,𝑞2(𝑡) não estão numa mesma geodésica.
Demonstração. Podemos supor que 𝛾 é a geodésica polar a (0, 1, 0) e que 𝑝 = (0, tanh(𝑝′), 1) para algum 𝑝′ ̸= 0. Então 𝑞 = (0, 0, 1), 𝑞1 = (tanh(𝑞′), 0, 1) e 𝑞2 = (− tanh(𝑞′), 0, 1),
para algum 𝑞′ ̸= 0. Se 𝜆 := 𝑑(𝑝, 𝑞𝑗), então a geodésica ligando 𝑝 e 𝑞𝑗 é definida por
𝛾𝑝,𝑞𝑗(𝑡) = 𝑎𝑡𝑝 + 𝑏𝑡𝑞𝑗, 𝑗 = 1, 2, onde 𝑎𝑡 := cosh(𝑝
′) senh((1 − 𝑡)𝜆) e 𝑏
𝑡 := cosh(𝑞′) senh(𝑡𝜆).
Note em particular que cosh(𝜆) = cosh(𝑝′) cosh(𝑞′) e que 𝑑(𝑝, 𝑞) = 𝑝′. Um cálculo simples mostra que o polar da geodésica ligando os pontos 𝛾𝑝,𝑞1(𝑡) e 𝛾𝑝,𝑞2(𝑡) é dado por
𝑢𝑡 := (︁ 0, 𝑎𝑡+ 𝑏𝑡, 𝑎𝑡tanh(𝑝′) )︁ . Agora 𝛾𝑝,𝑞(𝑡) = 𝑎′𝑡𝑝 + 𝑏 ′ 𝑡𝑞, onde 𝑎 ′ 𝑡= cosh(𝑝 ′) senh((1 − 𝑡)𝑝′) e 𝑏′ 𝑡= senh(𝑡𝑝 ′), o que implica
que 0 = ⟨𝑢𝑡, 𝛾𝑝,𝑞(𝑡)⟩ = ⟨(0, 𝑎𝑡+ 𝑏𝑡, 𝑎𝑡tanh(𝑝′)), (0, 𝑎′𝑡tanh(𝑝 ′ ), 𝑎′𝑡+ 𝑏′𝑡)⟩ = 𝑎′𝑡tanh(𝑝′)(𝑎𝑡+ 𝑏𝑡) − 𝑎𝑡tanh(𝑝′)(𝑎′𝑡+ 𝑏 ′ 𝑡) ⇔ 𝑎 ′ 𝑡𝑏𝑡= 𝑎𝑡𝑏′𝑡
⇔ cosh(𝑝′) senh((1 − 𝑡)𝑝′) cosh(𝑞′) senh(𝑡𝜆) = cosh(𝑝′) senh((1 − 𝑡)𝜆) senh(𝑡𝑝′) ⇔ senh((1 − 𝑡)𝑝′) cosh(𝑞′) senh(𝑡𝜆) = senh((1 − 𝑡)𝜆) senh(𝑡𝑝′)
⇔ cosh(𝑞′) senh(𝑡𝜆) senh(𝑝′) cosh(𝑡𝑝′) = senh(𝜆) cosh(𝑡𝜆) senh(𝑡𝑝′) ⇔ cosh(𝜆)
cosh(𝑝′)senh(𝑡𝜆) senh(𝑝 ′
) cosh(𝑡𝑝′) = senh(𝜆) cosh(𝑡𝜆) senh(𝑡𝑝′)
⇔ tanh(𝑡𝜆) tanh(𝑝′) = tanh(𝜆) tanh(𝑡𝑝′) ⇔ 𝑡 = 0, ±1 ou 𝜆 = |𝑝′|,
o que é impossível, pois, por hipótese 𝑡 ̸= 0, ±1 e 𝑞1 ̸= 𝑞.
O lema acima é válido no seguinte caso geral
Exercício. Sejam 𝛾 uma geodesica de H, 𝑝 ∈ H, 𝑝 /∈ 𝛾 e 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝛾 dois a dois distintos. Então para todo 𝑡 ̸= 0, ±1, os pontos 𝛾𝑝,𝑥(𝑡), 𝛾𝑝,𝑦(𝑡) e 𝛾𝑝,𝑧(𝑡) não são colineares (o resultado
é claramente óbvio para 𝑡 = ±2 e para 𝑡 suficientemente grande).
Proposição 3.4.5. Seja 𝐶 ⊂ B um subconjunto totalmente geodésico contendo uma
geodésica não genérica 𝛾 e um ponto 𝑝 ∈ B, 𝑝 /∈ 𝛾.
1. Se 𝛾𝑗 é um ponto, 𝑝𝑗 ̸= 𝛾𝑗 e 𝑝𝑗+1 ∈ 𝛾/ 𝑗+1, então 𝐶 contém 𝜄𝑗+1(𝛾𝑝𝑗,𝛾𝑗 × H), 𝑗 = 1, 2
(índices mod 2).
2. Se 𝛾𝑗 é um ponto, 𝑝𝑗 ̸= 𝛾𝑗 e 𝑝𝑗+1 ∈ 𝛾𝑗+1, então 𝐶 contém 𝜄𝑗+1(𝛾𝑝𝑗,𝛾𝑗× 𝛾𝑗+1), 𝑗 = 1, 2
(índices mod 2).
3. Se 𝛾𝑗 é um ponto, 𝑝𝑗 = 𝛾𝑗 e 𝑝𝑗+1 ∈ 𝛾/ 𝑗+1, então 𝐶 contém 𝜄𝑗+1(𝑝𝑗 × H), 𝑗 = 1, 2
(índices mod 2).
Demonstração. Suponha que 𝛾1 é um ponto (o outro caso é análogo).
1. Sejam 𝑞0, 𝑞1, 𝑞2 ∈ 𝛾2 dois a dois distintos e tais que 𝑑(𝑝2, 𝑞0) = 𝑑(𝑝2, 𝛾2) e
𝑑(𝑞1, 𝑞0) = 𝑑(𝑞2, 𝑞0). Então, pelo lema3.4.4, para cada 𝑡 ̸= 0, ±1 os pontos (𝛾𝑝1,𝛾1(𝑡), 𝛾𝑝2,𝑞𝑗(𝑡)), 𝑗 = 0, 1, 2, não estão na mesma geodésica. Logo, do lema3.4.2, temos que 𝛾𝑝1,𝛾1(𝑡) × H ⊂ 𝐶,
para todo 𝑡 ̸= 0, ±1, i.e., 𝑥 × H ⊂ 𝐶 para todo 𝑥 ∈ 𝛾𝑝1,𝛾1∖{𝑝1, 𝛾1, 𝑟(𝑝1)𝛾1}. Fixados
𝑥, 𝑦 ∈ 𝛾𝑝1,𝛾1∖{𝑝1, 𝛾1, 𝑟(𝑝1)𝛾1}, temos que a geodésica ligando (𝑥, 𝑞) e (𝑦, 𝑞) está contida em
𝐶 para todo 𝑞 ∈ H, i.e., 𝛾𝑝1,𝛾1 × 𝑞 ⊂ 𝐶 para todo 𝑞 ∈ H.
2. Como 𝑝2 ∈ 𝛾2, a geodésica (𝛾𝑝1,𝛾1(𝑡), 𝑝2) está contida em 𝐶, ou seja, 𝛾𝑝1,𝛾1×𝑝2 ⊂ 𝐶.
Resta notar que, para qualquer 𝑞 ∈ 𝛾𝑝1,𝛾1 × 𝛾2, temos que 𝑞 =
(︁ 𝛾𝑞′
1,𝛾1(2), 𝛾𝑝2,𝑞′2(2)
)︁
∈ 𝐶, onde 𝑞1′ := 𝑟(𝛾1)𝑞1 e 𝑞2′ := 𝛾𝑝2,𝑞2(1/2) (ver figura 5a).
58 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico
3. Segue imediatamente do lema 3.4.2.
𝑞1 𝑞′ 1 𝛾1 𝑝1 𝑝2 𝑞2 𝑞′ 2 𝛾2 𝑞 1 𝑟(𝑥)𝑞1 𝑥 𝑝1 𝑝0 𝛾 (a) (b) Figura 5
Proposição 3.4.6. Seja 𝐶 ⊂ B um subconjunto totalmente geodésico contendo um plano
vertical 𝑞 × H (resp. horizontal H × 𝑞) e um ponto 𝑝 /∈ 𝑞 × H (resp. 𝑝 /∈ H × 𝑞). Então 𝐶 contém a fibração vertical 𝛾𝑝1,𝑞× H (resp. horizontal H × 𝛾𝑝2,𝑞).
Demonstração. Vamos considerar apenas o caso vertical (o horizontal é análogo). Note
que 𝛾𝑝1,𝑞× 𝑝2 ⊂ 𝐶, pois 𝑝 and (𝑞, 𝑝2) são pontos de 𝐶. Agora, para qualquer 𝑥 ∈ 𝛾𝑝1,𝑞× H,
𝑥 ̸= 𝑝, e 𝑥 /∈ 𝑞 × H, temos que 𝑥 = (︁𝛾𝑞,𝑥′1(2), 𝛾𝑥′2,𝑝2(2)
)︁
∈ 𝐶, onde 𝑥′
2 := 𝑟(𝑝2)𝑥2 e
𝑥′1 := 𝛾𝑞,𝑥1(1/2) ∈ 𝛾1.
Proposição 3.4.7. Seja 𝐶 ⊂ B um subconjunto totalmente geodésico contendo uma
fibração vertical/horizontal 𝐿 e um ponto 𝑝 ∈ B, 𝑝 /∈ 𝐿. Então 𝐶 = B.
Demonstração. Suponha que 𝐿 = 𝛾 × H, para alguma geodésica 𝛾 de H. Seja 𝑞 ∈ B, 𝑞 ̸= 𝑝 e 𝑞 /∈ 𝛾 × H. Suponha que 𝑞1 e 𝑝1 estejam do mesmo lado com relação a 𝛾 e
seja 𝑥 ∈ 𝛾 arbitrário. A geodésica ligando 𝑝1 e 𝑞1′ := 𝑟(𝑥)𝑞1 intersecta a geodésica 𝛾 em,
digamos, 𝑝0. Note que para algum 𝑡0 > 1, 𝛾𝑝1,𝑝0(𝑡0) = 𝑞 ′
1 (ver figura 5b). Sejam 𝛾2 uma
geodésica arbitrária em H que não passa por 𝑝2 e 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝛾2 dois a dois distintos e
tais que 𝑑(𝑝2, 𝑥0) = 𝑑(𝑝2, 𝛾2) e 𝑑(𝑥1, 𝑥0) = 𝑑(𝑥2, 𝑥0). Então, pelo lema 3.4.4, os pontos
(𝛾𝑝1,𝑝0(𝑡0), 𝛾𝑝2,𝑥𝑗(𝑡0)), 𝑗 = 0, 1, 2, não estão numa mesma geodésica e, pelo lema 3.4.2, 𝑞1′ × H ⊂ 𝐶. Resta notar que 𝑞 = (𝛾𝑞′
1,𝑥(2), 𝛾𝑞′2,𝑦(2)) ∈ 𝐶, onde 𝑞 ′
2 := 𝑟(𝑦)𝑞2 e 𝑦 ∈ H é
arbitrário. Agora, se 𝑞1 e 𝑝1 estão de lados opostos com relação a 𝛾, um argumento análogo
mostra que 𝑞1× H ⊂ 𝐶, ou seja, 𝑞 ∈ 𝐶.
Proposição 3.4.8. Seja 𝐶 ⊂ B um subconjunto totalmente geodésico contendo a diagonal
Δ e um ponto 𝑝 ∈ B, 𝑝 /∈ Δ. Então 𝐶 = B.
Demonstração. Seja 𝑞 ∈ B tal que 𝑞 ̸= 𝑝 e 𝑞 /∈ Δ. Como as geodésicas (𝑝1, 𝛾𝑝1,𝑝2(𝑡)) e
Sejam 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝛾𝑝1,𝑝2, tais que 𝑥1, 𝑥2 ̸= 𝑝1 e 𝑥1 ̸= 𝑥2. Se 𝑞 ′
1 := 𝑟(𝑝1)𝑞1, então os pontos
(𝛾𝑞1′,𝑝1(2), 𝛾𝑞′1,𝑥𝑗(2)) = (𝑞1, 𝑟(𝑥𝑗)𝑞
′
1), 𝑗 = 1, 2, e (𝑞1, 𝑞1) estão numa mesma geodésica sse
𝑞1 ∈ 𝛾𝑝1,𝑝2. Se 𝑞1 ̸∈ 𝛾𝑝1,𝑝2, então, do lema 3.4.2, temos que 𝑞1× H ⊂ 𝐶. Se 𝑞1 ∈ 𝛾𝑝1,𝑝2,
mas 𝑞2 ∈ 𝛾/ 𝑝1,𝑝2, um argumento semelhante mostra que H × 𝑞2 ⊂ 𝐶. Suponha agora que
𝑞1, 𝑞2 ∈ 𝛾𝑝1,𝑝2. Então 𝑞 = (𝛾𝑝1,𝑚(2), 𝛾𝑞′2,𝑝2(2)) ∈ 𝐶, onde 𝑞 ′
2 := 𝑟(𝑝2)𝑞2 e 𝑚 := 𝛾𝑝1,𝑞1(1/2).
Proposição 3.4.9. Seja 𝐶 ⊂ B um subconjunto totalmente geodésico contendo um plano
euclidiano 𝑆 = 𝛾1× 𝛾2 e um ponto 𝑝 ∈ B, 𝑝 /∈ 𝑆.
1. Se 𝑝1 ∈ 𝛾1 (resp. 𝑝2 ∈ 𝛾2), então 𝐶 contém a fibração vertical 𝛾1× H (resp. horizontal
H × 𝛾2);
2. Se 𝑝𝑗 ∈ 𝛾/ 𝑗, 𝑗 = 1, 2, então 𝐶 = B.
Demonstração. 1. Suponha que 𝑝1 ∈ 𝛾1 e seja 𝑞 ∈ 𝛾1× H, tal que 𝑞 ̸= 𝑝 e 𝑞 /∈ 𝑆. Se 𝑝2 e
𝑞2 estão do mesmo lado com relação a 𝛾2, denote por 𝑞2′ := 𝑟(𝑥)𝑞2, onde 𝑥 ∈ 𝛾2 arbitrário,
e por 𝑝′2 o ponto de interseção de 𝛾𝑝2,𝑞′2 e 𝛾2. Seja 𝑡0 > 1 tal que 𝑞 ′
2 = 𝛾𝑝2,𝑝′2(𝑡0). Logo,
𝑞 =(︁𝛾𝑞′1,𝑚(2), 𝛾𝑞2′,𝑥(2)
)︁
∈ 𝐶, onde 𝑞′
1 := 𝛾𝑝1,𝑞1(𝑡0) e 𝑚 := 𝛾𝑞1,𝑞′1(1/2). Suponha agora que 𝑞2
e 𝑝2 estão de lados opostos com relação a 𝛾2. Então a geodésica 𝛾𝑝2,𝑞2 intersecta 𝛾2 em,
digamos, 𝑦. Seja 𝑡1 tal que 𝑞′2 := 𝑟(𝑦)𝑞2 = 𝛾𝑝2,𝑦(𝑡1). Então 𝑞 =
(︁ 𝛾𝑞′1,𝑚′(2), 𝛾𝑞′ 2,𝑦(2) )︁ , onde 𝑞1′ := 𝛾𝑝1,𝑞1(𝑡1) e 𝑚 ′ := 𝛾 𝑞′1,𝑞1(1/2).
2. Seja 𝑞 ∈ B tal que 𝑞 ̸= 𝑝 e 𝑞 /∈ 𝑆. Suponha que 𝑞1 ∈ 𝛾/ 1. Se 𝑞1 e 𝑝1 estão do
mesmo lado com relação a 𝛾1, sejam 𝑥 ∈ 𝛾1 arbitrário e 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝛾2 dois a dois distintos
tais que 𝑑(𝑝2, 𝑥0) = 𝑑(𝑝2, 𝛾2) e 𝑑(𝑥1, 𝑥0) = 𝑑(𝑥2, 𝑥0). Note que a geodésica passando por 𝑝1
e 𝑞′1 := 𝑟(𝑥)𝑞1 intersecta a geodésica 𝛾1 em, digamos, 𝑝0. Assim, para algum 𝑡0 > 1, temos
que 𝛾𝑝1,𝑝0(𝑡0) = 𝑞 ′
1; portanto, pelo lema 3.4.4, os pontos (𝛾𝑝1,𝑝0(𝑡0), 𝛾𝑝2,𝑥𝑗(𝑡0)), 𝑗 = 0, 1, 2,
não estão na mesma geodésica. Logo, pelo lema 3.4.2, 𝑞′1 × H ⊂ 𝐶. Resta notar que
𝑞 = (︁𝛾𝑞′ 1,𝑥(2), 𝛾𝑞 ′ 2,𝑦(2) )︁ ∈ 𝐶, onde 𝑞′
2 := 𝑟(𝑦)𝑞2 e 𝑦 ∈ 𝛾2 é arbitrário. Por outro lado, se 𝑞1
e 𝑝1 estão de lados opostos com relação a 𝛾1, um argumento análogo ao anterior mostra
que 𝑞1× H ⊂ 𝐶, ou seja, 𝑞 ∈ 𝐶. Agora, se 𝑞1 ∈ 𝛾1, então 𝑞2 ∈ 𝛾/ 2 e um argumento análago,
usando agora 𝑞2 ao invés de 𝑞1, mostra que 𝑞 ∈ 𝐶.
Lema 3.4.10. Seja 𝛾 uma geodésica e seja 𝑝 ∈ H, 𝑝 /∈ 𝛾. Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝛾, 𝑥 ̸= 𝑦, então o ponto médio do segmento de geodésica ligando 𝛾𝑥,𝑝(𝑡) e 𝛾𝑦,𝑝(−𝑡) está em 𝛾 para todo 𝑡 ̸= 0, ±1
sse ta(𝑝, 𝑥) = ta(𝑝, 𝑦).
Demonstração. Podemos supor que 𝛾 é polar a 𝑢 = (0, 1, 0), 𝑝 = (0, senh(𝑝′), cosh(𝑝′)),
𝑥 = (senh(𝑥′), 0, cosh(𝑥′)) e 𝑦 = (senh(𝑦′), 0, cosh(𝑦′)), onde 𝑝′, 𝑥′, 𝑦′ ∈ R, 𝑝′ ̸= 0 e 𝑥′ ̸= 𝑦′.
Logo, o ponto médio de 𝛾𝑥,𝑝(𝑡) e 𝛾𝑦,𝑝(−𝑡) é dado por
𝛾𝑥,𝑝(𝑡) + 𝛾𝑦,𝑝(−𝑡) = senh((1 − 𝑡)𝜆𝑥) senh(𝜆𝑥) 𝑥 +senh(𝑡𝜆𝑥) senh(𝜆𝑥) 𝑝 + senh((1 + 𝑡)𝜆𝑦) senh(𝜆𝑦) 𝑦 +senh(−𝑡𝜆𝑦) senh(𝜆𝑦) 𝑝,
60 Capítulo 3. O bidisco hiperbólico onde 𝜆𝑥 = 𝑑(𝑝, 𝑥) e 𝜆𝑦 = 𝑑(𝑝, 𝑦). Agora 0 = ⟨𝛾𝑥,𝑝(𝑡) + 𝛾𝑦,𝑝(−𝑡), 𝑢⟩ = ⟨ senh(𝑡𝜆𝑥) senh(𝜆𝑥) 𝑝, 𝑢 ⟩ − ⟨ senh(𝑡𝜆𝑦) senh(𝜆𝑦) 𝑝, 𝑢 ⟩ = senh(𝑡𝜆𝑥) senh(𝜆𝑥) senh(𝑝′) − senh(𝑡𝜆𝑦) senh(𝜆𝑦) senh(𝑝′) ⇔ senh(𝑡𝜆𝑥) senh(𝜆𝑥) = senh(𝑡𝜆𝑦) senh(𝜆𝑦) ⇔ 𝜆𝑥 = 𝜆𝑦
Proposição 3.4.11. Seja 𝐶 ⊂ B um subconjunto totalmente geodésico contendo uma
geodésica genérica 𝛾 e um ponto 𝑝 ∈ B, 𝑝 /∈ 𝛾. 1. Se 𝑝 ∈ 𝛾1× 𝛾2, então 𝛾1× 𝛾2 ⊂ 𝐶;
2. Se 𝑝1 ∈ 𝛾1 e 𝑝2 ∈ 𝛾/ 2 (resp. 𝑝2 ∈ 𝛾2 e 𝑝1 ∈ 𝛾/ 1), então 𝐶 contém 𝛾1× H (resp. H × 𝛾2);
3. Se 𝜅(𝛾) ̸= 1 e 𝑝𝑗 ∈ 𝛾/ 𝑗, 𝑗 = 1, 2, então 𝐶 = B;
4. Se 𝜅(𝛾) = 1, 𝑝𝑗 ∈ 𝛾/ 𝑗, 𝑗 = 1, 2, e 𝑝 não está na diagonal de 𝛾, então 𝐶 = B.
5. Se 𝜅(𝛾) = 1, 𝑝𝑗 ∈ 𝛾/ 𝑗, 𝑗 = 1, 2, e 𝑝 está na diagonal de 𝛾, então 𝐶 contém a diagonal
de 𝛾.
Demonstração. 1. Seja 𝑡𝑗 tal que 𝛾𝑗(𝑡𝑗) = 𝑝𝑗, 𝑗 = 1, 2. Então as geodésicas
(︁ 𝑝1, 𝛾𝑝2,𝛾2(𝑡1)(𝑡) )︁ e (︁ 𝛾𝑝1,𝛾1(𝑡2)(𝑡), 𝑝2 )︁
estão contidas em 𝐶, i.e., 𝐶 contém 𝑝1×𝛾2e 𝛾1×𝑝2. Agora, dado 𝑞 ∈ 𝛾1×𝛾2,
𝑞 ̸= 𝑝, 𝑞 /∈ 𝛾, basta notar que 𝑞 = (︁𝛾𝑝1,𝑞′1(2), 𝛾𝑞2′,𝑝2(2)
)︁
∈ 𝐶, onde 𝑞′
1 := 𝛾𝑞1,𝑝1(1/2) e
𝑞2′ := 𝑟(𝑝2)𝑞2.
2. Suponha que 𝑝1 ∈ 𝛾1 e 𝑝2 ∈ 𝛾/ 2. Se 𝑡0 é tal que 𝑝1 = 𝛾1(𝑡0), então a geodésica
(𝑝1, 𝛾𝑝2,𝑝′1(𝑡)), onde 𝑝 ′
1 := 𝛾2(𝑡0), está contida em 𝐶, i.e., 𝐶 contém o produto 𝑝1× 𝛾𝑝2,𝑝′1.
Seja 𝑡1 ∈ R, 𝑡1 ̸= 𝑡0, tal que 𝑞2 := 𝛾2(𝑡1) /∈ 𝛾𝑝2,𝑝′1, e sejam 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝛾𝑝2,𝑝′1, dois a dois
distintos e tais que 𝑑(𝑞2, 𝑥0) = 𝑑(𝑞2, 𝛾𝑝2,𝑝1′) e 𝑑(𝑥1, 𝑥0) = 𝑑(𝑥2, 𝑥0). Pelo lema 3.4.4, para
todo 𝑡 ̸= 0, ±1, os pontos 𝛾𝑞2,𝑥𝑗(𝑡), 𝑗 = 0, 1, 2, não estão na mesma geodésica. Assim, pelo
lema3.4.2, 𝐶 contém 𝛾𝑞1,𝑝1(𝑡) × H para todo 𝑡 ̸= 0, ±1, onde 𝑞1 := 𝛾1(𝑡1), o que implica
que 𝛾1× H ⊂ 𝐶.
3. Podemos supor que 𝑝𝑗 = (0, senh 𝑟𝑗, cosh 𝑟𝑗), para algum 𝑟𝑗 > 0, 𝑗 = 1, 2, e que
a geodésica 𝛾 é dada por
𝛾(𝑡) =(︁(senh 𝑡, 0, cosh 𝑡), (senh(𝑡𝜆 + 𝑐), 0, cosh(𝑡𝜆 + 𝑐)))︁, 𝜆, 𝑐 ∈ R, 𝜆 ̸= 0. (3.10) Como ta(𝛾1(𝑡), 𝑝1) = ta(𝛾1(−𝑡), 𝑝1), pelo lema 3.4.10, o ponto médio 𝑚1 = 𝑚1(𝑡, 𝑠) do
𝑝1 𝛾1(𝑡) 𝛾𝛾1(𝑡),𝑝1(𝑠) 𝛾1(−𝑡) 𝛾𝛾1(−𝑡),𝑝1(−𝑠) 𝛾2(−𝑡) 𝑝2 𝛾2(𝑡) 𝛾𝛾2(𝑡),𝑝2(𝑠) 𝛾𝛾2(−𝑡),𝑝2(−𝑠) 𝑚2 𝑚1
Figura 6 – Configuração para 𝑐 = −0.15, 𝜆 = 1.75, 𝑟1= 0.8, 𝑟2= 0.45 e 𝑡 = 0.4.
(veja figura6). Se 𝑐 ̸= 0, também pelo lema3.4.10, o ponto médio 𝑚2 = 𝑚2(𝑡, 𝑠) do segmento
de geodésica ligando 𝛾𝛾2(𝑡),𝑝2(𝑠) e 𝛾𝛾2(−𝑡),𝑝2(−𝑠) não está em 𝛾2 para todo 𝑠 ̸= 0, ±1. Fixado
𝑠 ̸= 0, ±1, seja 𝑡𝑠 ∈ R tal que 𝑚1 = 𝛾1(𝑡𝑠). Então 𝐶 contém o ponto (𝑚1, 𝛾2(𝑡𝑠)) ∈ 𝛾1× 𝛾2
e o ponto (𝑚1, 𝑚2), o que implica que 𝐶 contém o subespaço 𝑚1 × 𝛾𝛾2(𝑡𝑠),𝑚2. Como
𝑝1 ̸∈ 𝛾1, pela proposição 3.4.5, temos que 𝛾𝑝1,𝑚1 × 𝛾𝛾2(𝑡𝑠),𝑚2 ⊂ 𝐶. Seja 𝑡0 ∈ R tal que
𝛾1(𝑡0) /∈ 𝛾𝑝1,𝑚1 e 𝛾2(𝑡0) /∈ 𝛾𝛾2(𝑡𝑠),𝑚2. Então, do item 2. da proposição 3.4.9 temos que
𝐶 = B. Suponha agora que 𝑐 = 0. Neste caso (𝑚1, 𝑚2) ∈ 𝛾1 × 𝛾2 para todo 𝑡, 𝑠 ∈ R
(lema 3.4.10). Em particular, podemos escrever 𝑚1 = (tanh(𝑡) tanh(𝑠𝜆1), 0, tanh 𝜆1) e
𝑚2 = (tanh(𝜆𝑡) tanh(𝑠𝜆2), 0, tanh 𝜆2), onde 𝜆𝑗 = 𝑑(𝑝𝑗, 𝛾𝑗(𝑡)), 𝑗 = 1, 2. Se denotarmos por
𝑜 := (0, 0, 1), então ta(𝑜, 𝑚1) = 1 1 − tanh2(𝑡)𝑓1(𝑡, 𝑠) e ta(𝑜, 𝑚2) = 1 1 − tanh2(𝜆𝑡)𝑓2(𝑡, 𝑠) ,
onde, 𝑓𝑗(𝑡, 𝑠) = tanh(𝑠𝜆𝑗)/ tanh 𝜆𝑗, 𝑗 = 1, 2. Logo 𝑑(𝑜, 𝑚2) = 𝜆𝑑(𝑜, 𝑚1) para todo 𝑡, 𝑠 ∈ R
sse 𝜆 = 1 e 𝑝1 = 𝑝2, o que contraria o fato de que 𝜅(𝛾) ̸= 1. Assim, devem existir 𝑡 ̸= 0 e
𝑠 ̸= 0, ±1 tais que (𝑚1, 𝑚2) /∈ 𝛾. Pelo item 1., temos que 𝛾1× 𝛾2 ⊂ 𝐶. Como 𝑝𝑗 ̸∈ 𝛾𝑗 segue,
do item 2. da proposição 3.4.9, que 𝐶 = B.
4. segue dos itens 2. e 3. considerando 𝜆 = 1, 𝑐 = 0 e 𝑝1 ̸= 𝑝2 em 3.10.
5. segue imediatamente do lema 3.4.2.
Demonstração do Teorema 3.4.1. É claro que pontos, geodésicas, planos verticais/ho- rizontais, diagonais, planos euclidianos e fibrações verticais/horizontais são totalmente geodésicos. Que não existem outros, segue das proposições 3.4.5 a3.4.11.
CAPÍTULO
4
FIBRADOS DE DISCOS SOBRE
SUPERFÍCIES COM A GEOMETRIA DO
BIDISCO HIPERBÓLICO
No que se segue vamos constuir poliedros que servirão de domínios fundamentais para a ação de certas famílias de grupos discretos e provaremos os principais resultados deste trabalho utilizando os fatos estabelecidos no capítulo anterior.